"УРАВНЕНИЕ 2025 ГОДА". СКАНАВИ. Группа Б.

[@ЛидийКлещельский-ь3х]

Для разнообразия : сделаем замену переменной : (1) x=(t-1)/2 . Представляем в исходное уравнение . Получаем после преобразования : (2) 8*t^2+8=(t^2-1)^2 . Биквадратное уравнение . (3) t^2=5+4sqrt(2). Делаем обратную замену . Получаем Ваш ответ. С уважением , Лидий

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. супер

[@Alexander--]

Я решал почти так же. Сделал замену y = x + 1 и получил систему: 1/x² + 1/y² = 1 y - x = 1 Из первого домножением на x²y² y² + x² = x²y² (1) Вычтем из обеих частей 2xy y² - 2xy + x² = x²y² - 2xy (y - x)² = z² - 2z, где z = xy Но y - x = 1. Получили квадратное уравнение относительно z: z² - 2z - 1 = 0 z = 1 ± √2 Теперь к обеим частям уравнения (1) прибавим 2xy: y² + 2xy + x² = x²y² + 2xy (y + x)² = z² + 2z Подставляя сюда найденное z, получаем: (y + x)² = 5 ± 4√2 Если взять знак "-", то получится число меньше нуля, поэтому берём знак "+". Отсюда y + x = ±√(5 + 4√2) Допишем теперь сюда одно из уравнений системы: y - x = 1 Вычтем второе из первого и поделим на 2, получим x = (±√(5 + 4√2) - 1)/2

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. да, почти так

[@davidsalonine16]

Эту задачу, также как и прошлую, в силу симметрии удобно решать относительно у=х+1/2 Тогда имеем 4/(2у-1)^2+4/(2у+1)^2=1 что приводит к биквадратному уравнению 16у^4-40у^2-7=0

[@mikhailkadomtsev4886]

Я в точности так же и решал. Но немного опоздал

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно симметризовать, если 10-11 классы. Для 7-8 кл, думаю, лучше так.

[@PavelYakovleff]

Предпоследняя строка в ролике, написанная желтым - Если не заморачиваться корнями приведенного квадратного уравнения, а решать как нормальные семиклассники через дискриминант, то как раз ответ сразу и получится, без всяких промежуточных знаков равно и без выноса непонятной четверки из под знака корня. Лишняя операция в которой легко запутаться, потому что чтобы вынести эту четверку, надо сначала на нее умножить и единицу и корень из двух. Если через дискриминант, то там сразу и 4 корня из двух и пятерка образуются.

[@FastStyx]

Прошлая задача сводится к этой заменой t=1/x. Здесь хитрую замену надо сделать. Ниже уже написали мой ответ из прошлой темы.

[@arxippp-lb2tv]

Даёшь систематизацию подбора способов решения для любого уравнения! Ура, товарищи!

[@cicik57]

решил подстановкой y = x+0.5 и там легко приводится к квадратному

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, отлично

[@alexey.c]

А тот, кто учил на этом канале геометрию, нарисует прямоугольный треугольник со сторонами 1, 1/x, 1/(x + 1), и обнаружит, что sin(φ) = 1/x, а cos(φ) = 1/(x + 1) = sin(φ)/(1 + sin(φ)), откуда sin(φ)cos(φ) = sin(φ) - cos(φ). Возведя в квадрат: sin²(φ)cos²(φ) = 1 - 2sin(φ)cos(φ), откуда sin(φ)cos(φ) = √2 - 1 = 1/(√2 + 1). sin(φ)cos(φ) = 1/x * 1/(x + 1) = 1/(√2 + 1), откуда x(x + 1) = √2 + 1.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень интересный вопрос, будет время - подумаю. Спасибо.

[@alfal4239]

"нарисует прямоугольный треугольник со сторонами 1, 1/x, 1/(x + 1)" -- Опасное рисование. Стороны отрицательной длины трудно будет нарисовать.

[@alexey.c]

@@alfal4239 Я уверен, вы справитесь 😊

[@alfal4239]

@@alexey.c Справится даже тот, кто в квадрат возводить не будет, а положит φ = t + pi/4

[@davidsalonine16]

Если y^2+z^2=1, то конечно это sin и cos некоторого угла. Но из этого факта ни как нельзя узнать ни синус, ни косинус, ни угол. Геометрически это "геометрическое место точек", называемое "единичная окружность" с любыми синусами, косинусами и углами :-)