ВЫСОТА ОТВЕРСТИЯ 6 см. Найди объем оставшейся части шара.

Через центр шара просверлили цилиндрическое отверстие высотой 6 см. Найти объем оставшейся части шара.

[@DilobarArtikova]

Очень хорошая задача простое решение спасибо🎉

[@true7781]

С домашним заданием вы что-то напутали.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Что именно? Плоский вариант: из круга вырезан прямоугольник через ось, найти площадь оставшейся части круга. Думаю, вы что-то напутали. Все ясно, как божий день. Дело в том, что есть формула объема сегмента шара, но нет формулы площади сегмента круга. Такая вот печалька.

[@thebishop3588]

@@GeometriaValeriyKazakov формула то есть для сегмента, но в ней больше неизвестных, и получается, что задача имеет бесконечное множество ответов)

[@true7781]

​@@GeometriaValeriyKazakov«Плоский вариант: из круга вырезан прямоугольник через ось, найти площадь оставшейся части круга...» ***** Т. е. найти площадь двух равных сегментов? (Судя по вашему рисунку печенька распадётся на два равных сегмента, я правильно понимаю?) По-другому, в окружность вписали прямоугольник со стороной H = 6, нужно найти удвоенную площадь сегмента, "примыкающего" к этой стороне (судя по вашему рисунку). Площадь оставшейся части круга (за исключением "шляпок" - верхней и нижней) зависит от радиуса "печенюшки". H - высота этого прямоугольного "отверстия", R - радиус "печеньки"; S = 2R²arcsin(H/(2R)) - (H√(4R² - H²))/2. Если R = H/2, S = 𝜋H²/4 = 9𝜋 - площадь круга диаметра 6 (прямоугольник вырождается в отрезок); если R = H√2/2, S = 𝜋H²/4 - H²/2 = 9𝜋 - 18 (из круга радиуса 3√2 вырезали квадрат со стороной 6 и две "шляпки") и.т.д. при увеличении R (до бесконечности), S уменьшается (до нуля). *** P.S. Если из круглой печеньки вырезать концентрический круг, так чтобы отрезок касательной к отверстию (хорда печеньки) был равен 6, то площадь кольца (того, что осталось от "печенюшки"), действительно, не зависит от радиуса "печенюшки". Ответ в этом случае 9𝜋. Поправьте, если я ошибаюсь.

[@true7781]

@@GeometriaValeriyKazakov «...Дело в том, что есть формула объема сегмента шара, но нет формулы площади сегмента круга...» Площадь сегмента: S = R²arcsin(a/(2R)) - (a√(4R² - a²))/4, где a - хорда, R - радиус круга.

[@SB-7423]

Если проделать все вычисления в общем виде, подставив вместо 3--> Н/2, то получим V = π∙(H^3)/6. V = π∙(6^3)/6 = 36π , что и отметил @user-dd1qp8hl8t .

[@Vinografiy]

Отличная задача и простое решение! Из детства вспоминается другая задача с цилиндрами! Два цилиндра одинакового радиуса и длиной равной диаметру, пересекаются под прямым углом! Найти объем получившейся фигуры!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Отличная вещь. У нас она была в инженерных задачах чуть раньше (см.)

[@kulikovsergey3522]

Добрый вечер, Отличная задача! Не смотрел видео, решил по своему без знания объемов сегмента и сектора шара. Обозначил R как радиус шара а r как радиус цилиндра. Найдем площадь сечения полученной плоскостью перпендикулярной оси цилиндра и параллельной нижней и верхней граням цилиндра. Сечение будет в виде кольца с наружным радиусом Rсеч и внутренним r - радиусом цилиндра. Рассмотрим нижнюю половину цилиндра, а верхняя будет зеркальным отображением нижней и обозначим как l расстояние от точки пересечения сечения с осью цилиндра до центра этой оси, угол & как острый угол между лучом из центра оси цилиндра к точке расположенной на наружной окружности цилиндра с наружным радиусом сечения цилиндра Rсеч, и осью цилиндра. По т. Пифагора R^2 = 3^2 + r^2 = 9 + r^2. Тогда Rсеч^2 = R^2 - l^2 по т. Пифагора. Площадь кольца сечения равна П*(Rсеч^2 - r^2) = П*(R^2 - l^2 - r^2) = П*(r^2 + 9 - l^2 - r^2) = П(9 - l^2). Как видно площадь сечения не зависит от длины радиуса цилиндра отверстия, поэтому приняв r=0 находим искомый объем и он равен объему шара с радиусом 3, равен 4/3 ПR^3 при r=0 и R = 3 и равен 36П. Можно также вычислить через интеграл по площади кольца сечения, но нет смысла. Хотел написать 3 дня назад, интернет пропал)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@zawatsky]

Отличный алгоритм для мгновенного определения объёма бусины.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, интересно.

[@user-fo3pk4yp5q]

Классная задача, получил удовольствие от решения приведеного вами, самостоятельно решить не смог...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@KV0064]

Инженерное решение: Поскольку у задачи решение есть, а иначе ее бы нам не задавали.., то возьмем радиус цилиндра=0, и вычислим заданный объем по формуле объема шара.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, так можно рассуждать для выдвижения гипотезы. В письменной работе это придется доказать. А теперь дайте инженерное решение: найти площадь тр-ка по двум сторонам 3 и 4.

[@ndpsgu]

Волшебно! :)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@uri_cut]

По принципу Кавальери объем шара равен объему цилиндра с вырезанными конусами. Боковая проекция такого цилиндра выглядит как квадрат с диагоналями. Высверливание отверстия в шаре эквивалентно обтачиванию цилиндра снаружи. Получившийся цилиндр меньшего размера равен по объему полнотелому шару с диаметром 6 см.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Конечно очень инетресно, но многовато постулатов "эквивалентно", "равен". Но идея замечательная. Что у вас с плоским вариантом?

[@pojuellavid]

По имени этой задачи ( прочел у М Гарднера) я и называю решение через предельное значение "ненужного" параметра -- американским

[@alexnikola7520]

а-а... блин... я не учел арктику и антарктику шара... их же тоже срезало.... понятно

[@user-rk5eh2sh9v]

То есть это решение для бесконечного множества разных шаров и цилиндров? Чем больше ширина, тем больше радиус шара при этом объем шара минус объем цилиндра получается константа. Их размеры растут одинаково при увеличении либо радиуса шара, либо ширины цилиндра. Ну в пределе радиус шара не может быть больше 3 иначе ширина цилиндра станет отрицательной? А так же наверное не может быть меньше определенного размера так чтобы цилиндр высотой 6 в него поместился... Интересно какой минимальный радиус шара может быть чтобы в него поместился цилиндр высотой 6 см...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да-да-да! В этом и фокус.

[@user-gl1uz3er2y]

Радиус может быть больше 3, а вот меньше трех быть не может.

[@user-rk5eh2sh9v]

А, ну да, обратное. Какой максимальный радиус может быть при цилиндре высотой 6.

[@user-gl1uz3er2y]

@@user-rk5eh2sh9v Мое мнение, что предела нет. Из ооочень большого шара всегда (теоретически) получится кольцо высотой 6 см.

[@user-rk5eh2sh9v]

@@user-gl1uz3er2y а, ну собственно говоря да, раз у нас разница между объёмом шара и цилиндра константа, то можно до бесконечности увеличивать радиус, просто будут расти "шапки" и утоньшаться "оболочка" цилиндра.

[@alexandermorozov2248]

А если провести проверку? Скажем, диаметр отверстия устремляем к нулю, тогда высота отверстия в пределе будет равна диаметру шара. Если в формулу объёма шара подставить R=3см, то получим ли тот же ответ?

[@SB-7423]

Если проделать все вычисления в общем виде, подставив вместо 3--> Н/2, то получим V = π∙(H^3)/6. Пусть Н = 2R. Тогда V = 4/3*π∙(R^3), то есть объём шара. Можно и наоборот: объём шара равен V = 4/3*π∙(R^3). Если R = 3, то V = 4/3*π∙(3^3) = 36π .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Парни, решайте плоский вариант.

[@user-yw6nd4rq3i]

Ох ты ж боже ж мой, сколько разных формулов, сложно не запутаться. Почему бы не применить формулу Симпсона или хотя бы принцип Кавальери? Эти же формулы покажут, что на плоскости это не сработает, потому что R не сократится так удачно

[@GeometriaValeriyKazakov]

Потому что в школе их не изучают, можно было просто проитегрировать, ведь мы получим тело вращения. Приведитте меньше БУКОВОВ для ДЗ? Ждем-с!

[@user-yw6nd4rq3i]

@@GeometriaValeriyKazakov Ну, вообще-то иногда изучают (я точно в школе изучал). Принцип Кавальери вообще довольно интуитивная штука и как минимум для олимпиад его применение вполне оправдано (пускай строгое доказательство и требует интегрирования)

[@Frenk_math_2023]

Отличная задача! Увы, боюсь, большинству 10-классников будет не по зубам. Я выпускник мехмата еще прошлого тысячелетия, решила за 5 минут. Ну, формулу объема сегмента пришлось подсмотреть.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@kulikovsergey3522]

Не обязательно знать формулу объема сегмента отверстия, как и формулу объема цилиндра, приложил решение без знания этих формул в комментарии и еще один вариант привел

[@Afalin-xn5eu]

Всё понятно кроме одного: куда делась размерность

[@GeometriaValeriyKazakov]

написано см3

[@GeometriaValeriyKazakov]

в ответе да, лучше дописать. 6 см в условии дал так, для ощущения реальности. но вы правы, что для школьников лучше указать. мой косячок.

[@user-zc1wq2xu5j]

Хм. Через интеграл же решается на раз

[@user-zo8zo3cg9b]

не понимаю, как можно найти объём, если не дан радиус. есть бесконечность вариантов такой фигуры

[@ernstdamm266]

Все просто: Отрадиуса шара не зависит! Возмите в пределе высоту цилиндра равной диаметру шара, у цилиндра получится нулевой дивметр а оставшийся объем будет равен объему шара, и это тоже не зависит от размера шара.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, только доказать это нужно - почему не зависит. Если у треугольника даны только две стороны, то при углах 0 и 180 градусов между ними площадь будет 0. Значит, и всегда 0?

[@user-zo8zo3cg9b]

@@GeometriaValeriyKazakov нет, смотрите. дана высота дыры, но не дан её радиус. мы можем в 3д редакторе поставить цилиндр внутри шара и менять его диаметр. он будет занимать разную часть шара, но так как не дано ничего кроме высоты, то не дано пропорций, а значит любой случай можно считать как данный в условии задачи. они же разные все.как это понять?

[@kulikovsergey3522]

Не обязательно знать формулу объема сегмента отверстия, как и формулу объема цилиндра, приложил решение без знания этих формул в комментарии, решение ъаодно и является доказательством того что объем не зависит от радиуса отверстия, и еще один вариант решения и доказательства привел.

[@alexnikola7520]

я не решил эту задачу... но вообще, немного поразмышлял... вот в чем странность... я взял частный случай, предположив, что цилиндр - это квадрат в сечении... ну вот взяли мы квадрат со стороной 6 и вписали в окружность... и потом все это крутанули - получаем и шар и цилиндр, вписанный в него не правда ли... площадь основания цилиндра 9пи... а его объем 54пи... радиус шара 3√2... тогда площадь шара 72 √2 пи... ответ не сходится... ну буду смотреть решение общего случая... но где моя ошибка в вычислении частного случая...

[@true7781]

"но где моя ошибка в вычислении частного случая..." Вы забыли посчитать объёмы двух "шапочек" (сегментов шара).

[@user-ww6dl8nm2k]

Но ведь бусина может быть и больше и меньше по объему...Т.е. цилиндр может быть совсем узким, а может быть и очень широким...И вы хотите сказать что всё равно объём бусины будет H^2*Пи, где Н- высота цилиндра?

[@SB-7423]

У Вас размерность площади! На самом деле V = π∙(H^3)/6, так будет для любого цилиндра. И это не объём бусины , а объём её оставшейся части.

[@uri_cut]

V=(4/3)•π•(h/2)^3 объем шара

[@agqkwbite]

Не высота отверстия (это абсурд), в высота цилиндра, образованного...и т.д.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Я прочитал, т.е.е процитировал из всемирно известной книжки. Можете написать Гарднеру.

[@thebishop3588]

нормально звучит) как дырочная проводимость, где дырки имеют положительный заряд)

[@kulikovsergey3522]

Цилиндр частный случай отверстия, в данном случае подразумевается что отверстие в форме цилиндра, поэтому высота отверстия подразумевает высоту цилиндра и все нормально.

[@sacredabdulla5698]

шок контент

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ок

[@user-pb2sx9xq5g]

ДЗ: 9π см².

[@GeometriaValeriyKazakov]

ДЗ? Не, нужно решение. Гипотетически понятно, что r=0. Нужно вывести как мы.

[@user-pb2sx9xq5g]

@@GeometriaValeriyKazakov Площадь круга πr^2, площадь вырезаемого прямоугольника ab, где a и b его стороны, тогда площадь остатка равна πr^2-ab. Cтороны могут изменяться от нуля до 2r. Рассмотрим 2 предельных случая, а=0 и b=0, тогда площадь пр-ка равна нулю и отсюда делаем вывод, площадь остатка эквивалентна площади круга с неким радиусом r. Но из предельных случав видно что если одна из сторон равна нулю то другая равна 2r. Это и есть радиус эквивалентного круга, находим его из данной в задаче стороны, r=3, площадь эквивалентного круга равна πr^2=9π. Это и есть искомая площадь. А вот чтобы найти радиус начального круга надо знать вторую сторону пр-ка.

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@user-pb2sx9xq5g да, это проблема.

[@SB-7423]

@@GeometriaValeriyKazakov Особенной проблемы нет! Площадь оставшейся части ЗАВИСИТ не только от Н, но и от радиуса!! Нет проблем получить формулу. Главное, что при заданном Н площадь оставшейся части уменьшается с ростом радиуса. Так что мелькающее в ответах 9π - это ни о чем. Более того, при Н=6 площадь оставшейся части может быть равна 9π только при полном круге, без выреза. Понятно, что R>=H/2.

[@user-jk2tz2ry3q]

​@@SB-7423 Площадь оставшейся части может быть равна 9𝝅 ещё и при b=4H/𝝅, где b и Н=6 - стороны прямоугольника. "При заданном Н, площадь оставшейся части" с ростом радиуса сначала уменьшается, а затем растёт. С уважением, ЛП.

[@user-jk2tz2ry3q]

ДЗ. Легко и просто. Пусть b и a=6 - стороны прямоуг-го отверстия. Тогда S=𝝅(a²+b²)/4 - ab. Замена: b/a=x; 0⩽x⩽ထ. ➡ S=(𝝅a²/4)x² - a²x + 𝝅a²/4. ➡ График функции S(x) - парабола. При x=0 S=9𝝅≈28,3; при x=2/𝝅 Smin=36(𝝅/4-1/𝝅)≈16,8; при x=ထ S=ထ. Всем удачи.

[@user-jk2tz2ry3q]

Интересно: кто поставил лайки? Приятно, что Вам понравилось. Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Я поставил. Оцениваю любой позитивный коммент. На плокости прооблема , что нет формулы площади сегмента через h и R. Через интеграл - можно. С функцией - возможно, тоже, еще не разбирался. Поэтому большое спасибо.

[@user-jk2tz2ry3q]

​​​@@GeometriaValeriyKazakov Да, готовой формулы нет, но её несложно вывести, в том числе и через интеграл. При решении этой задачи сразу бегло рассмотрела несколько вариантов: и с 2, и с 4 сегментами в "остатке" (сначала не совсем ясно было как сделано прямоугольное отверстие: перпендикулярно плоскости эскиза или так, как в шаре). После анализа эскиза (с учётом правил черчения и начертательной геометрии, Вашего устного пояснения к нему в ролике и Вашего ответа тов. @true7781) решила показать решение только для варианта с 4 сегментами в остатке, как наиболее соответствующего эскизу. К тому же этот вариант мне показался более интересным. За лайк ещё раз спасибо. С уважением, ЛП.

[@SB-7423]

@@user-jk2tz2ry3q Вот первоисточник Вашей ошибки : "...площадь остатка равна разности площадей круга и прямоугольника.??". Это неверно. Смотрится симпатично, но ответ ошибочный. Не все так просто в формуле. Она гораздо сложней. Странно, что никто не обратил внимания на эту ошибку. Никакого минимума у ИСКОМОЙ площади нет! При заданном Н с ростом радиуса искомая площадь стремится к нулю! Вы исследовали совершенно другую, не относящуюся к задаче, функцию.

[@SB-7423]

Лень было печатать конечную формулу, но для подтверждения своих выводов приходится : S(ост) = 2∙[(R^2)∙arcsin(H/(2R)) - H/4∙√(4R^2 - H^2)].

[@AlexeyEvpalov]

Если ответ зависит только от высоты отверстия, устремив ширину отверстия к нулю, получим объём шара R=3, по формуле V=4/3×пи×RRR, V=4/3×пи×3×9=36пи.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это отличное рассуждение. Правда, после жоказанного, что не зависит. Как и площадь кольца через хорду. Вот, что по ДЗ можно сказать?

[@user-wj5vx7og4h]

Отлично!!!)))) Я решил как автор. Тут пишут, что Д.З. 9pi. Я не решал Получается, что и здесь это верно

[@capitaineserge_9747]

@@GeometriaValeriyKazakov Зачем доказывать то что напрямую следует из условия задачи? И по ДЗ аналогично: из условия следует, что площадь зависит только от высоты прямоугольника - делаем его ширину и площадь нулевыми и искомая площадь получается равной площади круга с диаметром равным высоте прямоугольника, т.е. (36/4)×π = 9π.

[@user-wj5vx7og4h]

Вот давайте я спрошу такое. Допустим, для того чтобы не было таких решений Вы задаёте так же радиус. Решая, ученик замечает, что радиус не нужен, но не отмечает это в своем решении. Зачтется ли решение правильным?

[@AlexeyEvpalov]

​@@capitaineserge_9747в ДЗ, при увеличении радиуса ширина сегмента уменьшается. Площадь зависит от радиуса.