ЗАВАЛИЛИ НА ОЛИМПИАДЕ!

[@gikasmith5511]

Подобие треугольников BAD & MOD. Отсюда диагональ получается 6/х, ну и потом по Пифагору биквадратное уравнение для х, откуда х=sqrt(3)

[@alesiosky1100]

Выражаем половину диагонали через теорему Пифагора, а также через подобие 2х треугольников. Получаем биквадратное уравнение, имеющее решением корень из 3.

[@OlyOrly]

Вроде можно решить и так. Продлить MO до пересечения с ВС, скажем, в точке E. Треугольники BOE и MOD равны по всем признакам, а значит MD и ВE равны, но главное, что равны и AM с EC. Затем опустить из точки E перпендикуляр на AD с пересечением в точке N. Рассмотреть подобие прямоугольных треугольников MEN и MOD, из которого следует, что МD вдвое длиннее MN, т.е AD поделен на 3 равные части да и угол 30 градусов.

[@DmitriyFinozhenok]

Можно продлить МО до пересечения со стороной ВС (точка P) и провести вертикали из М и Р. Прямоугольник с диагональю MP = 2 подобен исходному. Из подобия получаем, что 3/x = sqrt(3^2 + x^2)/2. Решая биквадратное уравнение, получаем x=sqrt(3).

[@ВладимирН-й5к]

А еще можно из О опустить перпендикуляр к AD до точки P и рассматривать подобие BAD и MOP

[@boriskurenkov4977]

Вообще говоря, решение обратной задачи даёт ключ к решению прямой задачи. Если угол скажем больше 30 гр., то из тех же рассуждений отрезок будет больше 1. То есть можно доказывать утверждение, противоположное обратному.

[@dtrvno]

Продолжим MO до пересечения с BC. Получим К.Тогда BKDM ромб. Диагональ MK равна стороне. Но тогда углы ромба 60 и 120.Угол KDC -30. В KCD KC=1. Вот и все x=CD=3**1/2

[@closer_to_the_unknown]

Рассмотрим треугольники BCD и DOM. Очевидно, что они подобны по 2 углам (DOM = BCD = pi/2, CBD = MDO как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD). Сторону BD обозначим как 2y, сторону MD как z. Запишем подобие сторон у вышеупомянутых треугольников: OM/CD = OD/BC = MD/BD. Подставляем наши обозначения и числа: 1/x = y/3 = z/2y. Из равенства y/3 = z/2y следует, что y = sqrt(3z/2), тогда 2y = sqrt(6z), а из равенства 1/x = y/3 следует, что x = sqrt(6/z). Теперь распишем теорему Пифагора для треугольника BCD: BC^2 + CD^2 = BD^2. Подставляя числа, получим уравнение: 9 + 6/z = 6z. Решая относительно z получим лишь один положительный корень: z = 2. Подставим его в тождество x = sqrt(6/z) и получим x = sqrt(3). Ответ: sqrt(3)

[@FastStyx]

Решил через подобие треугольников и теорему Пифагора.

[@toffixplayTFX]

Заметил подобие маленького треугольника с треугольником являющийся половиной прямоугольника, взял пропорции, и в пропорции вывел икс в одну сторону, в другой стороне в знаменателе была половина диагонали, нашел саму диагональ по теорема пифагора относительно большого трегольника (повловины прямоугольника), подставил значения, получил квадратное уравнение, решил дискриминантом и получил ответ √3. Получит ли такое решение баллы?

[@Валерия-ы8х5р]

Спасибо!

[@dmitrymindrya4293]

1. Пропорция из подобия катетов: x/3=1/(✓(3²+x²))/2 2. Возводим в квадрат: x²/9=4/(9+x²) x²(x²+9)=36 3. Пусть x²=t t²+9t-36=0 D=81+144=225; ✓D=15 t=(-9+15)/2=3 4. x=✓t=✓3 Ответ; ✓3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, что привели полное алгебраическое решение через подобие.

[@Alexandra_Marchenkova]

Обозначим 1) углы прямоугольника - A, В, С, D (слева направо от нижнего левого угла по часовой стрелке😂) 2) центр диагонали BD - K 3) точку пересечения перпендикуляра из точки К с AD - F 4) BK=KD=a 5)продлим вниз сторону АВ и перпендикуляр FK. Точку их пересечения назовем А1 ------ ∆-к ВА1D равнобедренный, т.к. А1К - его высота и медиана. Опустим из угла В перпендикуляр на А1D. Точку пересечения с А1D назовем М. ВМ - высота ∆-ка ВА1D. Поскольку ∆-к BA1D равнобедренный и ВА1=А1D, а АD высота на ВА1, то и BM=АD=3 ∆-ки ВМD и ВDC равны (^BMD=^BCD=90°, BD - общая гипотинуза, BM=BC=3), поэтому МD=CD=x ∆-ки ВМD и BFK подобные (^BMD=^BKF=90°, угол ^В - общий, ➡️ и ^BDM=^BFK, учитывая, что сумма углов ∆-ка равна 180°). Поэтому мы сможем записать MD/KF=BM/BK или х/1=3/а ➡️ а=3/х По теореме Пифагора для ∆-ка BMD BM^2+MD^2=BD^2 или 3^2+х^2=(2а) ^2 Ранее из соотношения для подобных ∆-ков мы выяснили, что а=3/х, поэтому уравнение 3^2+х^2=(2а) ^2 запишем в виде 9+х^2=4×9/х^2 или х^4+9х^2-36=0 Решая это уравнение и отбрасывая отрицательные корни, получим х=√3 💐

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо за подробное решение.

[@БайрамовАрзуман]

Из подобия треугольников BCD и MOD можно решать. Х=sqrt(3)

[@ruzannakasparova5895]

Продолжим МО до пересечения с ВС (М1), получаем ромб МВМ1D; AM=y, тогда сторона ромба 3-y; из тр-ка ABM: AB^2=(3-y)^2 - y^2 (1) Из вершины ромба М1 опустим перпендикуляр M1H=AB; из тр-ка MM1H M1H^2= M1M^2-HD^2, /MM1=2; MH=3-2y/ т.е. AB^2= 2^2-(3-2y)^2 (2), приравнивая (1) и (2), получаем y=1, AB=sqrt(3)

[@БилИкени-Ониу]

не понятно про 30 градусов, но можно решить ещё опустив перпендикуляр вниз( он равен половине х) тогда придётся решить уравнение х⁴+9х²-36=0, где единственное, что подойдёт- это ✓3

[@Diph64]

CD=x, OD=y. Треугольники BCD и MOD подобны по 2 углам, поэтому BC/CD=OD/OM => y=3/x. По т. Пифагора 3^2+x^2=4y^2. Пусть x^2=t, получаем квадратное уравнение t^2+9t-36=0. По обратной т. Виета t=3, второй корень отрицательный (-12). x^2=3; x=sqrt(3)

[@plamenpenchev262]

I did the same and made comment because had not seen yours.

[@КонстантинВинников-р6б]

Не нужно здесь никакого Виета, достаточно Пифагора, просто нужно продлить отрезок равный 1, до пересечения с верхним основанием прямоугольника, и из точки пересечения, опустить перпендикуляр на нижнее основание. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 2, и катетами, равными х и х/2, так как площадь этого треугольника равна 1/6 площади прямоугольника. Для этого не нужно никакого Фалеса!

[@plamenpenchev262]

​@КонстантинВинников-р6б 1. Why x/2 2. Why 1/6 3. from 2, x and x/2 you obtain x = 4/sqrt5 not x = sqrt3

[@Diph64]

@@КонстантинВинников-р6б Я просто решал без дополнительных построений

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

Точка М равноудалена от концов отрезка D, B. MB=DМ=3-X - гипотенуза равных прямоугольных треугольников BAM, BOM по первому признаку. Х=1 меньшие катеты. По т. Пифагора: АВ=✓[(3-2)^2-1]=✓3.

[@ncrean66]

Осталось всё же доказать равенство треугольников BAM и BOM, а так 0 баллов тоже.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

@ncrean66 Спасибо за вопрос. Так как

[@ncrean66]

​@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2уОткуда известно, что BM - биссектриса? Если бы это было известно, то и никакая окружность не нужна, и так понятно(было бы), что треугольники равны.

[@ncrean66]

​@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2уОткуда известно, что BM - биссектриса? Если бы это было известно, то и никакая окружность была бы не нужна, и так понятно (было бы), что треугольники равны.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

@@ncrean66 Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°( 90 + 90), то около него можно описать окружность. Радиус этой окружности лежит на биссектрисе угла АВО. ВМ=МС=3-Х, Х=МО=1,

[@pojuellavid]

Олимпиадную идею пока не нашел. Пока мысль такая: смыкаем АВ и ОМ в точке К. Получаем три подобных с двумя неизвестными -- боковушка и половина диагонали. Опыт подсказывает, что это решается. upd. Достаточно двух треугольников. ВСД и ВОК. Пусть ОВ=у. В тр ВСД катет =х, гипотенуза =2*у. В тр ВОК катет=у, а гипотенуза =2*х. Имеем х=у и ВД=2*х. Угол СВД=30° Ответ:√3

[@plamenpenchev262]

MDO is similar to BCD. Then BC/OD = 3/OD = x/1 Put 2×OD in Pytagorean eq. in BCD (2OD)^2 = 3^2 + x^2, (2×3/x)^2 = 9 + x^2 This biquadratic eq. is easily solved to x = sqrt(3)

[@GeometriaValeriyKazakov]

super!

[@ВерцинГеториг-ч5ь]

Не могла девочка , решившая все задачи на олимпиаде , предположить ( угадывать ) угол в 30 . По крайней мере она бы из двух подобных тр-ков определила бы ( что наиболее очевидно и не для олимпиадника ) половинку диагонали и из тр-ка АВД вышла бы на биквадратное уравнение , из которого определила , что Х*2=3 , а Х=\/3 .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Зуб даю!

[@БилИкени-Ониу]

сбои в мышлении бывают очень забавные

[@владимирбагров-с3м]

Теорема Пифагора и тут же из подобия треугольников находится "х". А показанное решение наводит на мысль, что на олимпиаде надо решать посложнее, попутно показав, что и про какого-нибудь Фалеса слыхал. Это так?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Нормальное алгебраическое решение через биквадртаное. Правда, никак не "тут же", а с решением иррационального (а это 10 кл). (Справка: Олимпиада. Город, 8 кл. Сложность 6 баллов. Подобие еще не пройдено.)

[@АнатолийВикторов-х9л]

AB=CD=x; BC=AD=3; B ⊿ ABD, BD²=AB²+AD²; BD=√(x²+9); BO=DO (по условию); DO=(1/2)*BD; DO=(√(x²+9))/2. ⊿ ABD∾⊿ DMO (∠BAD=90◦, ∠DOM=90◦, ∠ADB--общий угол); AB/MO=AD/DO; x/1=3/(√(x²+9))/2); x*√(x²+9)=6; x⁴+9x²-36-0; x²=(-9+_√(81+4*36))/2=(-9+_√225)/2=(-9+_15)/2; x²=(15-9)/2; x²=3; x=√3. AB=CD=√3. Ответ: СD=√3.

[@pojuellavid]

Люди !!!!! Кто-нибудь знает приложения для смартфона по геометрии для детей 6-8 лет? Очень нужно!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Был раньше какой-то Пифагор Сейчас не знаю.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

Посмотрите кубокот математика.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

Только что набрала: кубокот геометрия. Получилось.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

@@pojuellavid Вы нашли кубокот геометрия?

[@pojuellavid]

@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у спасибо, нашел, но он платный И геометрии нету

[@КонстантинВинников-р6б]

Этого не может быть. Задача простенькая и решается устно. х=√3.

[@GeometriaValeriyKazakov]

8 кл, город, подобия нет, иррациональных нет. Напишите свое решение, мы разберем.

[@Vadim-h7f]

Вундеркинд

[@AlexDavidchik]

И поделом

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

А Лена ещё эти темы не изучала в 8 классе.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, но я ей рассказал на кружке.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

​ @GeometriaValeriyKazakov Добрый день. Почему мое решение без сердечка. Что - то неверно?

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у У меня ваше решение не высветилось.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

@@GeometriaValeriyKazakov Мое решение в другом комментарии. Спасибо.

[@ТАТЬЯНАФРИДЛЯНД-щ2у]

Спасибо.

[@igorrromanov]

3:х=х:1 х=√3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Но откуда такая пропоция? = х:1

[@oguzhanbenli]

AM = 1

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. К нас тоже так. А как вы нашли?

[@oguzhanbenli]

2-2x^2 = 3x => x = 1/2 => cos a = 1/2 => a = 60 =>

[@oguzhanbenli]

[@oguzhanbenli]

[@oguzhanbenli]

@@GeometriaValeriyKazakov