Неравенство о средних | Ботай со мной

#БотайСоМной #048
Неравенство о средних (неравенство Коши)
- среднее арифметическое
- среднее геометрическое
- среднее гармоническое
Поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
/ trushinbv
Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: foxford.ru/library/courses?re...
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
foxford.ru/courses/940/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
foxford.ru/courses/939/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
foxford.ru/courses/938/landin...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:
foxford.ru/courses/937/landin...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
KZbin-канал: / trushinbv

[@user-yd1bj3hn8d]

Это восхитительно! Бальзам для мозга))

[@dynastywarriorsuniverse858]

Как же это красиво!!!

[@lexisp.5637]

Запрещённая магия вне Хогвартса

[@animaaad]

Прекрасное объяснение, спасибо.

[@user-tu3wk5zq1m]

Шедевр

[@user-oq7kh7fg5c]

Спасибо за уроки, супер !

[@ilyavostretsov]

Какое же это удовольствие, когда сначала непонятное начинаешь осознавать в понятное)

[@alinasvystun8485]

Вы лучший! Спасибо большое! 💃🏼💃🏼💃🏼

[@user-jm2dn6dc1x]

Борис Викторович, давайте еще какую-нибудь задачку по планиметрии, которую можно решить 5-ю способами?))

[@Alexandergorilla]

Круто! Спасибо!

[@azizbeksherjanov5582]

Здравствуйте. Очень Круто.

[@arsenmingo62]

БРАВО!

[@brain_lord]

Очень здорово! Лайк, хотелось бы ещё увидеть доказательство общего неравенство, про которое говорили. Где неравенство k-ой степень больше если k больше. И про среднее геометрическое там

[@trushinbv]

Да, все будет )

[@user-yk1yx2wp4h]

Супер!

[@mn4840]

очень хорошо )

[@mrdimon2734]

Спасибо!

[@russianfishich113]

круто, спасибо

[@user-gn9jx6pw4o]

Спасибо!!!

[@amangeldysuyendykov3806]

Супер

[@nobrainnogain7255]

БВ, а расскажите как-нибудь, про нер-во о средних, только док-во через теорему Йенсена с центром масс, там тоже очень круто.

[@trushinbv]

Да-да. Это следующий этап. Но если честно делать, то нужно использовать выпуклость функции, а для этого нужно сначала рассказать про производную.

[@IgorGusev28]

Круто.

[@vladimirmanukyan1978]

Красота

[@mykolagirnyi9030]

Только недавно, решая олимпиаду, впервые наткнулся на использование неравенств о средних. И сразу Ваше видео тут как тут. Не канал, а просто чудо! Ещё мне интересно как можно запомнить или вывести тринометрические тождества, или как решать тригонометрические равенства и неравенства. Короче не дается мне тригонометрия...)

[@trushinbv]

Вы видели эти видео? kzbin.info/www/bejne/pXWlfX13Yrd3mZo

[@mykolagirnyi9030]

@@trushinbv Нет. Большое спасибо, уже иду смотреть.

[@alexandergretskiy5595]

У Волкова тоже хорошее доказательство с помощью мат. индукции, но ваше изысканнее! (у слова "халява" много значений, поэтому я его не употребляю). Спасибо.

[@victornovik4025]

Борис, большое спасибо за математические ликбезы! Можно, подкину пару тем для будущих роликов 1. А как доказывается, что любое среднее степенное степени N ≤ среднего степенного степени M, если N < M 2. Как доказать, что среднее степенное степени 0 сводится к формуле среднего геометрического? 3. Как доказать, что среднее степенное степени -1 сводится к формуле среднего гармонического?

[@denisangel9820]

Я гуманитарий и то все понял 👍

[@wishmaster85]

по методу мат индукции так сказать и всё

[@n_amanbaev]

Zo'r👍👍

[@imreallymodestguy]

Борис Викторович, получается это неравенство о средних для большего числа множетсва чисел, стоящих в числителе верно, если последнее из этих чисел будет средним арифметическим или средним геометрическим?

[@selviever]

Аналогичный вопрос у меня. Кажется, что подразумевается справедливость неравенства всегда, а не только когда последнее слагаемое есть среднее арифм. предыдущих. Однако неясно, почему это так

[@user-qx7mp3ne4l]

Борис сен өте мықтысың анық әрі нақты тамаша рахмет

[@zxcghoul8837]

Про маму лишнее было

[@user-qx7mp3ne4l]

@@zxcghoul8837 причем тут мама

[@zxcghoul8837]

@@user-qx7mp3ne4l сама ты тамаша рахмет, ты не тот канал выбрала для использования этого языка, ищи людей из своего племени дальше

[@user-qx7mp3ne4l]

@@zxcghoul8837 Мен қазақпын өзімінің ана тілімде ойымды білдірдім, оқығың келмесе оқыма менің пікірімді.

[@zxcghoul8837]

@@user-qx7mp3ne4l Как в вашей стае дела?

[@khakimboyjabborov7440]

Гап йўқ

[@sergzelin3284]

Интересно, есть простое доказательство, что из a>b >0 и m>n >0 следует, что ((a^m+b^m)/2)^(1/m) >((a^n+b^n)/2)^(1/n)

[@user-xg8pm8me6v]

Борис Викторович, здравствуйте! Вопрос, конечно, не по теме, но все же. Сегодня ездил на апелляцию по краевому этапу Всероса (2 балла до призёра не хватало), и увидел, что в одной из задач запись a ≡2 1 мне исправили на а ≡ 1 (mod 2), но баллы, слава Богу, не сняли. Хотелось бы узнать, как вы считаете, обе ли формы записи имеют право на жизнь, и, если нет, то какая из форм записи более корректна. Заранее спасибо)

[@user-xg8pm8me6v]

Двоечка в первой записи была под знаком эквивалентности, ютуб исправил просто)

[@trushinbv]

@@user-xg8pm8me6v, я думаю, что проверяющий не сразу понял, и подписал, чтобы не забыть. Лучше, конечно, в первый раз написать так "а ≡ 1 (mod 2)", а потом можно и более короткую запись использовать.

[@user-xg8pm8me6v]

@@trushinbv спасибо за ответ. Просто увидел в Вашем видео про делимость, что Вы используете именно короткую запись, поэтому решил спросить)

[@trushinbv]

@@user-xg8pm8me6v, просто когда длинная цепочка сравнений и только в конце указано, по какому модулю, то это очень неудобно )

[@user-gm7tt5lt3i]

Борис Викторович, а можно ли это доказать через трапецию из прошлого видео на эту тему?

[@trushinbv]

Для двух чисел можно. Есть много геометрических доказательств неравенства для двух чисел, но для произвольного так не получится.

[@user-je7uh2jh7i]

Борис Викторович, а как доказать для n чисел, что равенство достигается, когда все числа равны?

[@trushinbv]

Мы же тут доказываем по индукции. И каждый раз пре переходе к новому количеству чисел у нас легко переносится тот факт, что равенство только если все числа одинаковые.

[@ikorokor]

Уважаемые Борис Викторович и зрители! 04:24 ab = cd - согласен. Но почему a = b & c = d ? Это следовало бы из того, если бы (a + b) / 2 = (a * b) ^ (1/2) & (c + d) / 2 = (c * d) ^ (1/2). Но разве мы утверждаем, что это так? Или этот факт следует из чего-то другого? Вы говорите об индукции для степеней двойки. Индукция предполагает, что утверждение верно для 2^n. А каким образом мы докажем, что из этого следует, что верно для 2^(n+1). Думается, строгое доказательство значительно сложнее. 11:01 Из рассмотрения случая d = (a + b + c) / 3 мы можем заключить лишь то, что это верно для случая, когда d зависит от (a, b, c) таким образом, что далеко не всегда так. Например, мы не сможем сопоставить (a,b,c,d) такому набору чисел: {1,1,1,10}.

[@ikorokor]

kzbin.info/www/bejne/qn3Iq4OfqL6LqJo&ab_channel=WildMathing У Wild Mathing, если кому интересна строгость, есть разбиение на случаи и такие слова "Случай (a с индексом k+1) < (S с индексом k) решается аналогично" и предложение подумать, почему во втором рассмотрении также можно использовать неравенство Бернулли. Хоть автор и не рассматривал второй случай на видео, он все рассказал подробно. У меня получилось подумать и обосновать, что все предпосылки для н-ва Бернулли во втором случае выполняются, таким образом, я нашел строгое д-во. А так на ютубе очень много видео нестрогих с допущениями, которые ломают индукцию. Будьте внимательны! Спасибо за внимание.

[@KOPOJLb_King]

Касательно первого пункта: данное видео не претендует на математически строгое доказательства, цель была показать основные идеи и откуда всё это возникает. "Мы предлагаем читателю самостоятельно доказать данное утверждение в общем виде" 😀 Что касается второго пункта, то вы не поняли идею (как и многие, что неудивительно). У нас изначально есть какие-то три числа а,b,c. Далее мы добавляем к этому набору некое число d=(a+b+c)/3. Изначально его не было, но ведь никто не запрещает вычислить d для трёх фиксированных чисел? После мы вспоминаем, что доказали неравенство о средних для четырех чисел (произвольных), используем его и получаем искомое неравенство для трёх чисел. 😀

[@altfq5237]

Через неравенство о средних можно доказать существование предела равного числу е

[@aidar2011NCh]

4:25 подскажите пожалуйста, почему из равенства ((a+b)/2) + ((c+d)/2) = sqrt(ab) + sqrt(cd) следует что a = b и c = d? Как-то не очень очевидное следствие.

[@KOPOJLb_King]

Посмотрите на те записи, что находятся в левой части доски, отделённой чертой, и сравните с Вашими 😀 Там как раз и доказано, почему равенство возможно только в случае a=b и c=d 😉

[@aidar2011NCh]

​@@KOPOJLb_King в левой части доски расписано для двух переменных, а значит там априори не может идти речь о "c = d" И сравнивать мне не с чем - у меня нет никаких записей. Спасибо за попытку помочь. С уважением.

[@KOPOJLb_King]

@@aidar2011NCh, равенство в левой части доски справедливо для любого набора переменных, хоть а и b, хоть с и d 😉 Мы ведь доказали первым шагом, что, например, (a+b)/2= √(ab) только в том случае, если a=b. Аналогично, (с+d)/2=√(cd) только в том случае, если c=d. Но ведь именно это мы и можем увидеть в выведении формулы для 4 неизвестных... В самом деле, если a≠b или c≠d, то автоматически (a+b)/2>√(ab) в данных условиях задачи (для с и d - аналогично), но сумма двух неотрицательных чисел тем больше, чем больше каждое из ее слагаемых, а значит равенство возможно только в случае равенства всех переменных... (если сказать, что какая-то из пар не равна, тогда одно из слагаемых левой части описанного вами равенства строго больше, а второе не меньше соответствеющих слагаемых правой части, а потому суммы не могут оказаться равными) 😀 Да, объясняю я плохо, но надеюсь мысль уловить можно :(

[@aidar2011NCh]

@@KOPOJLb_King Спасибо за объяснение, я его понял. Теперь мне смешно почему я сам не догадался до такого

[@dmitrypetrov8491]

А если Йенсена расчехлить?)

[@trushinbv]

Будет и Йенсен )

[@antonkamushkin7668]

Здравствуйте, Борис Викторович! Я не понимаю, если мы доказали, что это верно для d, равное среднему арифметическому или среднему геометрическому, то почему это верно для произвольного d?

[@trushinbv]

Для произвольного d мы доказали раньше, а взяв такое мы смогли доказать для трёх чисел

[@antonkamushkin7668]

@@trushinbv спасибо!!!)

[@stevekpl6733]

А если для 3-х чисел неравенство не верно? Получается мы подставляем в верное неравенство из 4-х чисел неверное из 3-х. Так можно? Или если бы из 3-х было неверно, то и для 4-х решений бы не оказалось?

[@trushinbv]

Мы же не подставляем неравенство. Мы подставляем в уже доказанное неравенство некоторое выражение, преобразуем это неравенство и получаем неравенство для трех.

[@stevekpl6733]

@@trushinbv Аа, понял, спасибо!

[@LordBulbator]

каждое видео +извилина в мозгу)

[@Vordikk]

А можно пойти проще? Может даже не ради доказательства, а для понимания Например: 1) Если все числа равны, то обе стороны равны по "очевидно" - n*a/n = ^n√(a^n) 2) Увеличим одно из чисел a,b,c... на некоторое действительное число k ≠ 0, получим: (a+a+(a+k)...)/n >= ^n√(a^(n-1)*(a+k) А далее выводим, что левая часть выросла больше, чем правая независимо от значения k, т.к. она выросла на k/n, а правая на что-то там под корнем, но явно меньше.

[@trushinbv]

Но вы рассмотрели только переход от "все одинаковые" к "все одинаковые, кроме одного". Таким переходом не дойти до произвольного набора. И "явно меньше" -- это как-то нестрого )

[@Vordikk]

@@trushinbv "явно меньше" это "не смог объяснить в пределах комментария" :) Как "очевидно" в учебниках. А по первому пункту дальше индуктивно доказывается: по сути каждое а1, а2 и т.д. это а0+km, где m от 1 до n Суть в том, что любого значения к любому числу суммы изменит её больше, чем прои... Окей, кажется, тут мы возвращаемся к первоначальной задаче, к тому, что и нужно доказать xD

[@Vordikk]

@@trushinbv хм, меня немного осенило прям во сне Нам же по сути неважно, сколько членов множества A отличаются от некого значения a, один или вообще все. Главное, что за a0 принимаем число такое, что 00 т.е. члены суммы были различные, а справа получается 0) 1+k0/n >= корень степени n из m0 Вспоминаем, что такое k0 и m0 1+(k1+k2+...+kn)/n >= корня степени n из (k1*k2*...*kn), где (k1+k2+...+kn)/n всегда >= корня степени n из (k1*k2*...*kn) Но слева у нас ещё есть +1, потому неравенство обращается в строгое для значений k0>0 - доказано. Если я нигде не запоролся, конечно, то всё получается как "надо".

[@trushinbv]

пара вопросов ) - "1+k0/n >= корень степени n из m0" -- втрое слагаемое не поделили на а0 - как в правой части m0 превратилось в k1*k2*...*kn - откуда это "(k1+k2+...+kn)/n всегда >= корня степени n из (k1*k2*...*kn)"? Мы же ровно этот факт и пытаемся доказать

[@Vordikk]

Да, точно... я чувствую, откуда-то единица взялась. Сначала пытался вычесть, а поделить забыл, что просто возвращает задачу к первоначальной. Тупи. Спасибо :)

[@user-wq6qg9gx8g]

Неравенство о средних работает только в целых числах? Или дробные тоже?

[@trushinbv]

Для любых неотрицательных

[@alexiskra1180]

А если рассмотреть случай когда d не равно (a+b+c)/3?

[@trushinbv]

Тогда мы получим какое-то другое неравенство.

[@alexiskra1180]

@@trushinbv тогда это доказательство не полное, или я чего-то не понимаю? В условии же не дано что одна из переменных должна быть средним арифметическим или средним геометрическим остальных

[@trushinbv]

@@alexiskra1180, мы взяли уже доказанное неравенство для 4 чисел, и с его помощью доказали неравенство для 3 чисел. Доказательство чего при этом не полное?

[@alexiskra1180]

@@trushinbv да, при доказательстве для 3 чисел вы сказали что d равно (a+b+c)/3, а мой вопрос заключается в том что если я подберу такие числа a b c d что ни одно из них не будет являться средним арифметическим или средним геометрическим трех остальных то будет ли это доказательство полным? P. S заранее извините за возможную мою глупость просто очень интересно)

[@trushinbv]

Смотрите. Мы доказали неравенство для 4 чисел. Так? Мы доказали его для любых 4 неотрицательных чисел. Теперь мы можем в него подставлять все что угодно и получать верное неравенство. Например, вы можете подставить числа 1, x, x^2 и x^3 и получить новое неравенство: (1 + x + x^2 + x^3)/4 >= корень 4 степень из (1*x*x^2*x^3) = x * (корень из х). Но мы решили в это доказанное нами неравенство подставить числа a, b, c, (a+b+c)/3 и получили неравенство для трех чисел.

[@user-oq4cu1qd3u]

А почему мы доказали только для чисел, равных среднему арифметическому/геометрическому, но говорим, что доказали для всех?

[@trushinbv]

Мы доказали для четырёх любых чисел. А если у нас только три числа, то четвёртое мы можем взять каким захотим. И для каждого такого четвёртого числа получается своё новое неравенство. Просто так получилось, что в этих двух случаях это новое неравенство совпадает с неравенством о средних для трёх чисел.

[@frrswdfs3452]

А что там с гипотезой Римана, как бы пол года прошло а новостей нету ?

[@trushinbv]

Похоже, что она не доказана. Недавно Атья скончался.

[@user-cp6wz1cf9m]

Рахмет Әлтайыр. Дарын 9Б. Шардара

[@orionbiz6028]

Подскажите пожалуйста, как можно решить следующую задачу. Пусть а, b, c - действительные положительные числа. Причём а² +b² +c² = 2 . Найдите наибольшее значение выражения: (a³ +b³) (b³ +c³) (c³ + a³).

[@user-oq2uw5qh3q]

а где эти средние используются?

[@user-yd1bj3hn8d]

посмотри предыдущее видео про неравенства, там тоже очень интересно и примеры в трапеции показываются

[@user-py1gv3kd5l]

В теории вероятности например, дисперсии там разные, отклонения, также при приближенных вычислениях...

[@user-ky2fb1pr7x]

Но это же только если d = среднее арифметическое для a, b, c. А какое доказательство для произвольных a, b, c, d????

[@trushinbv]

Для произвольных четырёх чисел мы доказали. А потом использовали этот факт для конкретного четвёртого числа, и получили утверждение для трёх чисел

[@insslava]

Ну а если D не среднее арифметическое, а другое число

[@trushinbv]

Мы же его любым можем взять.

[@user-ve7dc7pj6i]

Вы доказали неравенство при n=3 только для d=(a+b+c)/3 и получается, что если d != (a+b+c)/3, то неравенство не доказано. Или я что-то не поняла)

[@trushinbv]

@@user-ve7dc7pj6i, в неравенстве для трех вообще нет никакого d )

[@user-ve7dc7pj6i]

@@trushinbv дошло) Спасибо))

[@user-kt7xy5wy9w]

Кажется вы пропустили неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным...