AFINAL, POR QUE a Raiz Quadrada de 2 é IRRACIONAL?

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Ай бұрын

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A matemática é a arte de provas coisas. Neste vídeo, vamos falar como funcionam as provas matemáticas em geral, incluindo as provas por absurdo / contradição, e mostrar de uma vez por todos por que a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Essa é primeira prova que todo matemático aprende a fazer.
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Пікірлер: 133

Ай бұрын

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@alunojoga5797 Ай бұрын

Essa maneira de provar me lembrou de eu fazendo a minha prova de matemática, pq se o resultado na questão der errado, mas os cálculos juntamente com a lógica estiverem certos ( os alelos), então é a questão que está errada( algo improvável, 99% das vezes é erro meu 😂)

@Gogetarious Ай бұрын

Faz o de animation vs física porfavor❤

@Gogetarious Ай бұрын

Eu adoro como o senhor explica❤

@Gogetarious Ай бұрын

Porfavor

@Fernando_S Ай бұрын

Muito bom! Sou engenheiro civil e fiz a graduação em uma universidade pública federal, no final dos anos 1990. Lá, os alunos de qualquer curso que compartilhavam uma mesma disciplina tinham aula na mesma turma, não importando o curso. Por exemplo, Cálculo 1 é comum para muitos cursos: todas as engenharias, física, matemática, farmácia, computação, etc. Então na minha turma de Cálculo 1 eu tinha colegas de muitos outros cursos, além da Engenharia Civil. Eram turmas grandes, de 60 alunos. Isso fazia com que o professor tivesse que ensinar o conteúdo de forma bastante generalista a fim de contemplar as necessidades de todos os alunos. E como havia alunos do curso de Matemática, era inevitável que o professor ensinasse demonstrações e inclusive as cobrasse em provas. Eu, como aluno de Engenharia, ODIAVA aquilo com todas as forças, mas, com o decorrer da graduação, fui aprendendo a gostar. E as questões de prova eram do tipo: prove que a série harmônica é divergente. Ou na disciplina de equações diferenciais: deduza a equação diferencial para o movimento de um pêndulo simples.

@Leo-lk1bt Ай бұрын

a verdadeira raiz de 2 são os amigos que fizemos ao longo do caminho

@iantino Ай бұрын

Diferente da noção popular, a ciência busca se afastar da falsidade, e não se aproximar da verdade.

@mkillzx Ай бұрын

E isso não é a mesma coisa?

@oswaldoalcino9205 Ай бұрын

@@mkillzxpara a ciência a verdade é algo quase inatingível, porque o único jeito de provar q algo é verdadeiro é verificando todos os casos e se certificando de que nenhum deles contradiz essa verdade. O problema disso tudo é q a ciência costuma trabalhar com coisas em que verificar todos os casos é humanamente impossível

@iantino Ай бұрын

@@mkillzx Metodologicamente não é, porque você tenta desprovar as coisas não provar, ou seja, a verdade é definida pelo que ela não é: Ao invés de buscar a veracidade da hipótese H, busca saber se ela tem falhas, ao contrário se veria o que ela tem de correto, e para o segundo seria necessário uma verificação em todos os casos, o que geralmente é impossível, ou construir alguma forma de generalização, mas essa generalização também pode ser imprecisa.

@mkillzx Ай бұрын

@@oswaldoalcino9205 sim, a verdade absoluta é inatingível pra ciência (melhor dizendo, é impossível verificar se nossas teorias são a verdade absoluta, "A própria" interpretação da realidade), é uma coisa comum ao método científico. A ciência trabalha com aproximações da verdade, ou como falado no vídeo, com plausibilidade/razoabilidade baseada em empirismo, teorias e extrapolações. Nesse sentido, se aproximar da verdade e se afastar da falsidade são praticamente equivalentes.

@mkillzx Ай бұрын

@@iantino entendo, mas insisto, considerando que a realidade não muda de tempos em tempos, se "eliminadas as falsidades, o que sobra, ainda que improvável, é a verdade". Nunca conseguiremos fazer isso (eliminar todas opções até sobrar uma única), porém, é razoável dizer que, no campo das definições, são coisas equivalentes. Dizer o que algo não é, é a mesma coisa que se aproximar do que ele é. Claro, pressupondo que o objeto seja imutável e absoluto.

@nivaldobrasil Ай бұрын

A questão é que, como foi dito no vídeo, a matemática é um conhecimento abstrato e não é fácil ensinar algo abstrato para crianças por isso a gente é exposto ao uso prático de algo abstrato na infância. O maior problema é que a maioria das pessoas não passa do conhecimento infantil, levam para a vida adulta aquela gambiarra da infância e se alguém não avisar o que é a matemática de verdade elas podem chegar no absurdo de achar que existe algo místico com a matemática. A matemática é uma ferramenta, uma linguagem, um auxiliar.

@gabrielduarte1092 Ай бұрын

Mestre, faz um vídeo sobre polinômios simétricos e como eles são úteis.

@lucas0_03 Ай бұрын

Você explica tão bem. Queria que todo professor fosse igual você, que falasse cada ponto e se aprofundasse nos assuntos devidamente. Melhor canal de matemática do KZbin

Ай бұрын

Muito obrigado! ✌️😎

@wallaceferreira4739 Ай бұрын

Mestre. Algo que sempre tive dificuldade pra entender é o expoente fracionário. Tentei visualizar de forma geométrica, mas não faz sentido no mundo real. Pode trazer esse tema? Obrigado!

@GuilhermeJoseFrancaTurne-sp3xt Ай бұрын

Adoro demonstrações. Gosto de provar tudo que aprendo. Como um exemplo, assim que vi seu vídeo sobre a verdadeira natureza dos logaritmos peguei um papel e uma caneta e tentei sozinho demonstrar o que foi ensinado por você.

Ай бұрын

Esse é o espírito!

@antoniovitor643 Ай бұрын

Bom vídeo. Você poderia fazer um vídeo sobre lógica matemática mostrando as ferramentas mais comuns no arsenal de um matemático, prova direta, indireta, por contraposição por absurdo e etc.

@coringasete7063 Ай бұрын

Ótima sugestão!!!

@JoaoVictor-xv3tl Ай бұрын

Mt boa ideia

@airtonfabian2765 Ай бұрын

Bom relembrar, fiz ciência da computação e tinha muito cálculo. Uma interessante era a tautologia ou lógica proposicional, usa bem esse conceito do absurdo. Me dei muito bem nessa matéria porque vim da área de eletrônica digital e precisa realmente de lógica para entender eletrônica digital.

@supernv2386 Ай бұрын

Cheguei cedo kkk acabei de ver outro vídeo e me deparo com este. Excelente conteúdo desde já! Aprecio muito o seu trabalho, de verdade. Seu canal é único

@Tutu-qf3cr Ай бұрын

Eu tive a intuição que números irracionais não exitiam porque não dava pra representar direito, aí eu pensei, a gente não vê o número 1 andando por aí, a gente não vê um meio café, aí eu percebi, só é esquisito usar uma expansão infinita de dígitos porque a gente nunca vai conseguir representar, seja em qualquer base, a não ser uma base π, ai eu percebi que eu tô tendo uns pensamentos meio torto

@luanneto8566 Ай бұрын

Amei vídeo assim. Traga mais! Abraços.

@mkillzx Ай бұрын

Mestre, traz um vídeo sobre indução finita, ou sobre as formas de demonstração matemática. Seu canal é brabo!

@vi_nisso Ай бұрын

Mestre não, doutor. Kkk

@tvprime4801 Ай бұрын

A primeira vez que obtive contato e aprendizado com raízes, a primeira coisa que veio em minha mente foi justamente isso; qual é a raiz quadrada de 2? Qual é a raiz quadrada de 1? E por ai fui fazendo perguntas.. kkk tinha raízes que demorava muito tempo para descobrir e olhe lá, as vezes eu precisava de uma ajudinha..

@Gogetarious Ай бұрын

Faz o de animação vs física porfavor❤

@canalpapodoporco1535 Ай бұрын

Acho que essas demonstrações são exemplos de sintéticos a priori kantianos. Abs.

@PedroSilva-od6bf Ай бұрын

Ótimo vídeo. Excelente didática!

@MariadoCarmoRibeiro-kv1ec Ай бұрын

Eu estava estudando matemática pra um CP. Tive que parar! Tava tendo crise de ansiedade!!

@ferb4204 Ай бұрын

lógica proposicional é umas das primeiras na graduação em matemática é fundamental nas demonstrações

@josiel3410 Ай бұрын

C = 5(A+B)/7 C = 5.raizde(AB/12) São duas equações de Kanglopstuger para calcular os lados de um triângulo retângulo pitagórico perfeito, isto é, múltiplos de 3, 4 e 5. Pode-se deduzir equações para calcular isso usando as 4 operações e ainda mais.

@estudarelegal8473 Ай бұрын

Que maravilha de canal!

@valerioleuthauser6371 Ай бұрын

Só um adendo:Sei que ñ se trata de uma demonstração rigorosa,mas tem q partir da hipótese de q se ele ñ é racional e ñ pertence a outro conjunto,então ele é irracional. Tese:raíz de 2 é irracional.Vídeo top,explica com uma facilidade❤

@paulosagiorato Ай бұрын

Minha mente explodiu. Fantástico.

@SGuerra 20 күн бұрын

Gostei da demonstração utilizando a ideia de número primo. Eu costumo fazer a mesma demonstração de outra maneira, mas o final é exatamente igual ao final d que foi demonstrado: uma contradição!

@pedrojose392 Ай бұрын

A demonstração que mas me atrai é essa Raiz(2)=p/q e p,q E Z, sem a restrição de mdc. p^2=2q^2, mas todo quadrado perfeito tem o expoente da fatoração par. logo ou o expoente de q^2 é impar ou o expoente de p^2 é ímpar. Absurdo. Fico triste de não ter sido eu que a fiz.

@FranciscodasChagasJrCarvalho Ай бұрын

Sou professor de matemática e esse vídeo fez eu me inscrever no seu canal.

@lucs5616 Ай бұрын

Show de bola

@marcelorainha Ай бұрын

Engraçado vc dizer que está é a promeira prova que nos aprendemos! Na minha esperiencia, a primeira prova efetiva que tenho ideia, foram as que são conseguencia semelhança de triangulos, lenbro do professor falar sobre a prova do teorema de tales tambem, mas a prova do teorema de pitagoras, foi de fato a primeira prova que me marcou. Mas acho que essa foi a primeira prova por absurdo que eu vi, de fato. Mais uma vez parabens pelo trabalho

@rhaonyalvarenga5232 Ай бұрын

Melhor canal do youtube.

@alexandrefelipemuller Ай бұрын

isso me lembra do começo do semestre de álgebra.. prove que raíz de 2 é irracional... eu era bom em provas e desmonstrações.. eu gostava dessa parada, mas no fundo é prática

@MatematicaVerdadeira-li8cl Ай бұрын

Bela arte ❤

@cosmemtirelli9239 Ай бұрын

Teria como provar a conjectura de goldback por esse método mestre?

@aleffelperibeirovilalba Ай бұрын

Um mestre de explicação técnico de matemática os conceitos técnicos, Além os impossível provar os modo direto os números irracionais não pode obter qualquer forma números transcendental como pi

@yuriboldt5320 Ай бұрын

Matemática é muito bela ❤

@Flowerbbx Ай бұрын

Professor você poderia fazer um vídeo explicando ou dizer aqui msm no meu comentário como se cria uma formula matemática queria saber como desenvolver uma ou até criar

@Anondev392 25 күн бұрын

O que vou escrever aqui seria dito em um e-mail pessoal, mas achei o tema do vídeo extremamente pertinente então aproveito pra fortalecer o marketing orgânico do curso rsrs. Sou profissional na área de computação há 3 anos, formado em ciências da computação. Na graduação fiz várias matérias de matemática, e fiz minha carreira na área de criptografia (que é na verdade uma área da matemática, e não da computação como costumamos pensar no início). Praticamente não frequentei a escola no ensino fundamental por problemas de bullying envolvendo agressões físicas. Essa falta da escola resultou em um aluno de cálculo que acertava a questão inteira na prova, mas a perdia por uma simples multiplicação de frações. Sempre me encantei com matemática, mas sempre sofri com a falta da base. Tentei suprir esse déficit várias vezes, mas até então nada foi uma solução matadora. Eis que me torno aluno do dominando o cálculo. Desde o início do curso já fiquei espantado com a didática, principalmente nas demonstrações. Na graduação você vai ter que sofrer um pouquinho se quiser entender uma prova/demonstração ao invés de só aceitar o que está no livro. Conforme estou avançando no curso minha cabeça está abrindo para as demonstrações, me sinto cada vez mais capaz de provar e entender outras provas. Vale ressaltar que estamos falando de um aluno que passou bons anos na graduação e mais alguns no mercado de trabalho, sempre em contato com alguma matemática, e normalmente algo mais avançado. Mesmo com quase 1 década nisso tudo, esse curso parece estar colocando alguns tijolinhos em minha fundação, um atrás do outro. E olha que ainda estou no pré-cálculo! Senhores, para quem está na dúvida de comprar ou não o curso, se faz ou não o investimento, eu recomendo sem pensar duas vezes. É leve, extremamente didático, e vai tirar déficits de conhecimento que vocês carregam há anos! Esse foi provavelmente meu melhor investimento no ano. Daniel, parabéns por seu trabalho, e obrigado. Gratidão pela existência de pessoas como você, entregando um trabalho lindo. Desejo todo o sucesso!

25 күн бұрын

Que depoimento bacana! É muito legal saber que estou ajudando na sua evolução. Bons estudos!! ✌️😎

@gabrielcoelho4090 Ай бұрын

Faça um vídeo sobre quais inconsistências o Gobel descobriu na constituição americana, ao ter que estudar para se tornar um cidadão americano e fazer parte do Projeto Manhattan.

@nennogabriel Ай бұрын

se eu puder sugerir um video. Faça um sobre a prova que Platão chega para a medida dobrada da lateral de um quadrado de lado 2. Ele chega ao número irracional sem ter as definições que temos hoje. Essa prova da medida do quadrado com o dobro da área está no diálogo Menon de Platão.

@EnzoDias1601 Ай бұрын

12:15 é mais fácil provar que não existe um quadrado perfeito que é o dobro de outro

@jeiversonchristian6403 Ай бұрын

Excelente vídeo, parabéns! Posso fazer uma pergunta que me surgiu quando estava cursando cálculo na faculdade de matemática e que ainda não consegui responder? Se o domínio da função X^X (X elevado a X) é o conjunto dos Reais maiores do que zero, por que a conta (-2)^(-2) está bem definida?

@pedrojose392 Ай бұрын

(-2)^(1/2) não existe nos |R Ficaria bizarro, a função ser contínua de um lado e do outro ser descontínua e tendo de se fazer restrição só vale para racionais que em sua forma reduzida tenha o denominador ímpar e não vale para irracionais. Como você faria um gráfico. Você consegue tirar as restrições da reta dos reais? A funçao não está definida para x=-2, mas operação de exponenciação sim. Sendo |R C |C, por que raiz(4)=2 nós Reais e nos complexos -2 ou 2? Não há funçao que defina raiz(x) nos |C e ela está bem definida?

@momentgeek1542 Ай бұрын

Por isso afirmo que a Ciência da Computação é bem mais próxima à Matemática que a Física.

@iammusic- Ай бұрын

entrei achando que era sobre matemática, saí sabendo sobre direito e matemática

@ale2000z 27 күн бұрын

show!!!!❤

@Tirei10 Ай бұрын

parei de assistir em p' (Plinha). poderia ter feito o video completo ou ter feito alguma referencial que possibilite a continuidade dos estudos

@josedavidfilho9176 Ай бұрын

Uma coisa que eu conjecturo: raiz enésima de um número inteiro positivo só pode ser ou número inteiro ou número irracional. Jamais um número no formato de fração irredutível com numerador maior ou igual a um e denominador maior que 1. Se alguém tem prova que esta minha hipótese está errada, mostre- me a prova, ou prove que estou certo.

@MESTREDOFIMD22 Ай бұрын

Vai dormir

@fucandonamatematica6207 Ай бұрын

Oi, você está certo. A demonstração exige conhecimento de Teoria dos Números. nVa=raiz n-ésima de a. suponhamos nVk=a/b e a e b não tem fatores em comum. Elevando a n k=a^n/b^n => k.b^n=a^n se b=1 está provado que nVk é inteira, se b>1 tem pelo menos um fator p primo. Se p é um fator de b então também é um fator de (a^n) e se p é um fator (a^n) também é um fator de "a" Isso é absurdo pois a e b não têm fatores em comum logo nVk ou é inteira ou irracional. Abraço.

@josedavidfilho9176 Ай бұрын

@@fucandonamatematica6207 Grato!

@josedavidfilho9176 Ай бұрын

@@fucandonamatematica6207 Grato!

@brenocabral5924 16 күн бұрын

Uma dúvida, o mesmo raciocínio serve para a raiz de qualquer primo? Toda raiz quadrada de um número primo é irracional? Alias só vale para raizes quadradas ou para qualquer raiz?

@alemao4984 Ай бұрын

SÉRGIO MORO PRECISAVA VER ESTE VÍDEO PARA APRENDER UM POUCO A RESPEITO DE PROVAS.

@braziliantsar Ай бұрын

Grita mais alto, quem sabe papai Lule te dê um pedalinho pro lago também

@MrLucaspingret 27 күн бұрын

Parabéns pela lógica irrefutável

@celsomartinezrodrigues2042 Ай бұрын

Só que o cálculo foi utilizado largamente antes de ser demonstrado. Depois Godel., demonstrar virou assunto só para matemáticos. Leiam Contra o Método. Sem falar que demonstração por absurdo não é aceita por intuicionistas

@BrontopsBaruq Ай бұрын

Sugestão: falar de Lógica Paraconsistente.

@douglasmedeirosdemoraes9118 28 күн бұрын

Essa é demonstração básica no Elon.

@itacir7835 Ай бұрын

Ótimo vídeo Só lembro que tanto matemática quanto a física são edificadas em premissas supostas. A matemática constrói idéias; a física tenta explicar o mundo. As premissas supostas podem estar enganadas em ambos a ciências. A diferença é que na matemática esse engano é teórico, mas na física é arrasador.

@disonaroaurelo Ай бұрын

Raizes estão proporcionalmente nos números. Embora uma sequência de raíz não pertença a um só número, mas a infinitos vários.

@linecker94 25 күн бұрын

Uma prova que acho mais simples e elegante eu vi no livro de análise 1 do Elon. (a/b)² = 2 ⇒ a² / b² = 2 ⇒ a² = 2b² Aqui temos um absurdo. Do lado esquerdo da última igualdade o fator 2 aparece um número par de vezes. Do lado direito o fator 2 aparece um número ímpar de vezes. Simples assim. Assim, a igualdade inicial não é possível e portanto √2 não pode ser racional. Pra quem não entendeu a conclusão final: O número natural "a" tem uma decomposição em fatores primos. Cada fator primo tem um expoente. O expoente seria a quantidade de vezes que cada fator primo aparece. Então suponha que n seja o expoente do 2. Assim a = k2ⁿ em que k é formado pelos outros fatores primos que não são 2. Assim a² = (k2ⁿ)² = k²(2ⁿ)² e portanto o fator 2 tem expoente 2n que é par. Ou seja, todo número natural elevado ao quadrado tem expoente par em todos seus fatores primos. Isso é óbvio já que todos os fatores vão aparece duas vezes.

@jbastos6778 28 күн бұрын

Guisoli fez em umas 7 linhas

@nathangiovanni_Vegano Ай бұрын

Eu ainda não entendi o que é algo ser consistente. Vou revisitar o vídeo de incompletude de Godel.

@ThomasSamalaca Ай бұрын

Será que o infinito é um número?

@Gabriel-rc9yd Ай бұрын

👏👏👏👏👏👏

@dombox7644 Ай бұрын

Up❤

@mcampos4115 Ай бұрын

calma aí, dei pausa. como não da para ir num caminho direto? e um n° tem que ser multiplicado por ele mesmo para dar o resultado da raiz quadrada, obviamente nenhum n° maior que o n° analizada poderá ser a sua raiz. ou ha algum número maior que o número analizado que seja a raiz deste em questão?

@fucandonamatematica6207 Ай бұрын

Oi, veja: 0,5>0,25 e 0,5 x 0,5=0,25, então a raiz quadrada de 0,25 é maior que 0,25 pois é 0,5. Isso engana a gente! Abraço.

@antoniovitor643 Ай бұрын

Pra que a prova indireta é a mais simples.

@mcampos4115 Ай бұрын

@@fucandonamatematica6207 🤔 como assim? O.O eu vi, eu refiz na calculadora, mas não consigo compreender!!! que maluquice, eu estou muito longe de entender matemática... 🥲 Entendi seu ponto. obrigado por bagunçar muito mais a minha cabeça. huahuahuahuahua 🥰

@tallysom713 Ай бұрын

@@fucandonamatematica6207legal

@ricardofilho6466 Ай бұрын

Ué, matemática não é ciência? Não sabia kajshsuhsusha

@AntonioSouza Ай бұрын

Que absurdo!!! Kkkk

@ernannid.vieira3780 Ай бұрын

Esse vídeo tem 14min, eu acho que o professor poderia reduzir o tempo desse vídeo pela metade!

@ricardojuliao84 5 күн бұрын

2:25

@ferb4204 Ай бұрын

metodo da contrapositiva

@antoniovitor643 Ай бұрын

Na verdade ele provou por absurdo, contraposição e absurdo são ambos provas indiretas mas não são a mesma coisa.

@DaviXG7Nao7 26 күн бұрын

Talvez seja pq a raiz quadrada de 2 n tem vida

@dombox7644 Ай бұрын

🥰😎👏👏👏👏

@CesarGrossmann Ай бұрын

Por que sempre que vão provar que um número é irracional ou racional, usam como fração hipotética a fração "p/q"? Por que não "b/c"?Ou "d/e"?

@briansantos9803 Ай бұрын

Acredito ser só costume mesmo, mas talves exista algum motivo histórico para isso, de qualquer forma, essas duas letras poderiam srr substuídas por outras e não mudaria nada.

@mkillzx Ай бұрын

@@briansantos9803 isso é discriminação com as outras letras kkkk

@danielkohwalter5481 Ай бұрын

Ok... raiz de 4 é 2, mas, se substituirmos raiz de 2 por raiz de 4 nesse exemplo, não chegaríamos à mesma conclusão?

@klause.schweizer8861 Ай бұрын

Boa pergunta, mas isso é simples, volte o vídeo na parte que ele conclui que p²=2q², ele depende do fato de 2 ser primo, logo não é válido para raiz de 4 Não tenho certeza, mas creio que por isso, essa demonstração prova que toda raiz de um número primo é irracional

@danielkohwalter5481 Ай бұрын

@@klause.schweizer8861 12:05, né? saquei... não tinha me atentado pra esse detalhe (pra ser sincero, nem entendi a palavra "primo" no vídeo). E sua conclusão parece q faz sentido, de q isso demonstra que a raiz de qquer número primo é irracional. Show!

@mkillzx Ай бұрын

Usar √4 no lugar de √2 muda o raciocínio, veja: Assuma dois números p e q inteiros, primos entre si e q≠0. Se √4 for racional ele deve ser escrito na forma: √4 = p/q Isso significa que: √4² = (p/q)²→ 4 = p²/q² → 4q² = p² Com isso descobrimos que p² é par, e portanto, p também é par. (p = 2k , k inteiro), logo: 4q² = (2k)² → 4q² = 4k² → q² = k² → q = k Assim, se p = 2k e q = k, então p = 2q Voltando pra equação inicial: √4 = p/q →√4 = 2q/q Como q≠0, então: √4 = 2 O que é verdadeiro e, como esperado de um sistema consistente, não há contradições nesse raciocínio. Mas vou provar de maneira geral que a raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito é irracional, no próximo comentário. Edit: de maneira geral = dentro dos inteiros kkk

@mkillzx Ай бұрын

A próxima demonstração também se trata de uma redução ao absurdo. Assuma que n (pertencente aos inteiros) não é um quadrado perfeito, ou seja, não existe um inteiro k, tal que k² = n. Se √n for racional, significa que pode ser escrita na forma: √n = p/q O que implica que: √n² = p²/q² → nq² = p² O que significa que nq² é um quadrado perfeito, afinal, ele é igual a p², que é um quadrado perfeito. Porém, isso seria absurdo, pois pra que nq² seja quadrado perfeito, o n necessariamente precisa ser quadrado perfeito, o que contradiz a nossa premissa. Assim, a nossa premissa estava errada, e a raiz quadrada de um número inteiro que não é quadrado perfeito (exemplos: 2, 3, 6, 7, 23, ...) não pode ser escrita na forma p/q, o que implica que esse números são irracionais. Edit: Sim, isso implica que todos os números primos não possuem raiz quadrada racional. Afinal, acabamos de mostrar que só números quadrados perfeitos possuem raiz QUADRADA racional.

@mkillzx Ай бұрын

Pra entender por que n precisa ser quadrado perfeito é só pensar na decomposição em fatores primos desses números. Todo quadrado perfeito é um número que possui, na sua forma fatorada, a soma dos expoentes de seus fatores primos igual a 2k com k≠0, ou seja, a soma dos expoentes de um quadrado perfeito sempre será par. O que implica dizer que todo fator de um quadrado perfeito possui um expoente par. Exemplos: 4 = 2² 9 = 3² 25 = 5² 36 = 3².2² 81 = 3⁴ 324 = 3⁴.2² . . . Percebe-se visivelmente que os expoentes dos fatores de um quadrado perfeito sempre será um número par ou a soma de números pares, que resultará em um número par. (Considere os quadrados que possuem um único expoente como sendo 2k + 0) Se n não é quadrado perfeito, significa que a soma dos seus expoentes é ímpar. E, como já vimos, pra que um número seja quadrado perfeito, a soma dos expoentes de seus fatores primos tem que ser par. Então temos n (soma dos expoentes dando ímpar, pois n não é quadrado perfeito) e q² (soma dos expoentes dando par), essa multiplicação (nq²) jamais resultará em um quadrado perfeito, pois haverá ao menos um fator em n que terá expoente ímpar. Mostrando assim que todo número inteiro positivo que não é quadrado perfeito possui raiz quadrada irracional. Obs: Esse raciocínio da quantidade de expoentes dos fatores primos de um número, também é utilizado pra provar que √2 é irracional, visto que 2q² = p², já seria um absurdo por conta do teorema fundamental da aritmética, que afirma que todo número inteiro p>1 é primo ou pode ser escrito como um produto de primos (i,e, composto), logo, também é possível fatora-lo em números primos, sendo esta fatoração, única.