Биекция, алеф-нуль, континуум и почему не существует ни точек, ни отрезков

Немного теории множеств "для чайников". Или много :-D
0) Что такое биекция?
1) Каких чисел больше - всех натуральных или только тех, которые делятся на 5?
2) На каком из отрезков точек больше - длиной 2 см или длиной 3 см?
3) Почему не существует точек и отрезков?
4) Каких чисел больше - натуральных или рациональных?
5) Каких чисел больше - рациональных или действительных?
6) Что такое "алеф нуль" и "континуум"?
7) Что такое континуум-гипотеза?
Ролик о том, что 0,9999... = 1: • Про то, что 0,9999...=...

[@skyscraper8572]

Чем отличается талант от мудака? Тем, что талант объяснит сложные вещи простыми словами и доступно для понимания непосвященных, а мудак будет ещё больше умничать и блудняк наводить, даже простые вещи будет усложнять. БРАВО, АВТОР! ОДНОЗНАЧНО ТАЛАНТ!

[@Aleksaan]

Тема плотности точек в математике конечно очень удобно опускается. Длина у отрезка есть, а составляющих эту длину как бы и нет. С другой стороны мы всегда пытаемся представить 1 как 1/2 + 1/2. Стремление математики объяснить всё до конца приводит её в конце концов к понятиям бесконечно малых и больших, которые успешно "прикрывают" собой невозможность полноты "дискретных" объяснений.

[@Aleksaan]

Кроме того, под бесконечностью можно понимать, что ряд продолжается и логика сохраняется, при этом НА ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОТСЕЧКЕ ряд действительных будет явно плотнее ряда натуральных. А можно понимать, что и там и там они уходят в равные бесконечности и везде находится соответствие. Если сравнивать соответствие (биекцию), то да, одно другому соответствует, но если сравнивать плотность, то она конечно РАЗНАЯ. А нам ведь нужны соотношения между множествами, мы же не хотим потерять смысл заложенный в действительные числа (что действительные числа это другой уровень МАСШТАБА или ПЛОТНОСТИ на числовой прямой)?

[@Prozrevshiy73]

@@Aleksaan, представьте: есть полоска бумаги, которая будет нашим отрезком, теперь порежьте ножницами на любое удобное для Вас кол-во раз и если сложить их вместе, то длинна порезанной полоски увеличится? так вот, ответ будет зависеть от правила, то есть закона склейки полоски😉 какие-то у математиков бесконечности конечные, никогда не догонял этого, как Ахилес черепаху))))))))

[@vit1251]

Автор толково объясняет! Молодец!

[@usernamer519]

отличный ролик, спасибо!!

[@denispedin493]

Круто круто. Наверное может что угодно быть так как эти числа в голове у нас , как бы фантазия. И тут уде может быть что угодно.

[@AskarTelpekbayev]

Спасибо! Понятно и интересно.

[@mirchavgust4015]

Супер

[@MrZaku12]

Спасибо! Отличное видео!

[@ramzanchikbratanchik4519]

Здравствуйте, Максим, прекрасный ролик. Хотелось бы узнать об афинных преобразованиях. Заранее спасибо.

[@Olegovich2009]

Про Сто Здравствуйте! Пока в планах такого нет, но как только, так и сразу

[@omniverse681]

​@@Olegovich2009 сверхразмерный существование > теории множеств = бесконечность разного размера.

[@antonxxx3171]

Отличный материал, спасибо большое!

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@genghiskhan8835]

14:40 - а как мы можем говорить, что иррациональные числа расположены плотнее рациональных? И те, и другие числа являются всюду плотными в пространстве действительных чисел. Между любыми двумя рациональными или иррациональными числами найдётся как рациональное, так и иррациональное число. Есть у вас другие измерители плотности, чтобы делать такие утверждения?

[@Olegovich2009]

Есть. Это называется "диагональный метод Кантора" - доказательство того, что трансцендентных иррациональных чисел больше, чем рациональных. Загуглите

[@genghiskhan8835]

@@Olegovich2009 эй, мы говорим о плотности, а не о количестве. То, что иррациональных чисел больше рациональных - без сомнений (но только если понимать "больше-меньше" в контексте мощности множеств). Но на основании этого утверждать, что они на числовой прямой расположены намного плотнее так же ошибочно, как говорить, что натуральных чисел меньше чем рациональных.

[@Olegovich2009]

@@genghiskhan8835 честно говоря, мне казалось, что если на одно иррациональное приходится не одно рациональное (и даже бесконечно много - алеф нуль или континуум рациональных, не знаю, "сколько" именно), то и "плотность" иррациональных будет выше. Задумался.

[@genghiskhan8835]

@@Olegovich2009 на каждое рациональное приходиться континуум иррациональных. Достаточно разделить числовую прямую на отрезки длинной 1. Таких отрезков счётное количество (как и рациональных чисел), но в каждом отрезке континуум иррациональных чисел. Но да, о плотности в математике принято говорить в другом ракурсе. Как вы уже сказали, рациональные числа расположены плотнее натуральных, хотя мощность обоих множеств одинаковая.

[@GMDRusty]

ух ёмаё... сложно, но я всё понял))

[@Science-Reality]

Отлично, только на было о теории гёделя росказать

[@user-rf9ur3kh3k]

Только если часть которую вы берете тоже бесконечна. Вот это более точная формулировка.

[@charliedjin7202]

ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА ЧТО ЭТО?

[@Pain__chan]

Это то что идёт после алеф нуль, начинается с омега, дальше омега + 1 и т.д. при этом омега не значит больше алеф нуль, это порядок в котором стоит что-то.

[@user-kc2fy9hq3i]

Молодцы. И Кантор и автор. А Пол Коэн - засранец, всю интригу убил с подачи Геделя.

[@Syllogist]

05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: kzbin.info/www/bejne/q5mbmmhojZxsmpI

[@Avgur_Smile]

Процедура, которая никогда не заканчивается, не доказывает ничего. Потому можно до морковкиного заговенья сопоставлять натуральным числам натуральные числа кратные пяти, но тем самым вы покажете лишь то, что эти множества бесконечны (что было очевидно с самого начала), но никак не то, что эти два множества равномощны, т.е. между ними существует биективное отображение. И да... Множество мальчиков и девочек не равны. Равны ПОРЯДКИ, т.е. количество элементов, множеств мальчиков и девочек. А равными называются множества, состоящие из одних и тех же элементов.

[@epsilon.sw_]

Ну так мы не говорим ничего про какие-либо процедуры. Существуют два множества. Множество натуральных и например четных чисел. Далее имеем функцию f(n) = 2n В такую функцию свободно подставляется любое натуральное число, а не только полученное по порядку, а на выходе имеем соответствующее ему четное. На каком моменте возникает несостыковка?

[@Avgur_Smile]

@@epsilon.sw_ А что делает функция? Сопоставляет каждому n значение 2n. А разве сопоставление не является процедурой? По сути это и есть процедура. Не нравится слово процедура? Используйте слово алгоритм, процесс, сопоставление и все, что сможете придумать. Суть от этого не меняется.

[@damir6546]

Наверное в попытке доказать эту теорию он и сошел с ума.

[@Olegovich2009]

Если вы про Кантора, то да. Среди математиков даже существует поверье, что тот, кто занимается бесконечностями (в смысле делает открытия), рано или поздно окажется в психушке

[@user-bv1ld3kn3z]

Что?

[@user-vy3fm3nw8u]

Основатель теории множеств. - это ГЕОРГ КАНТОР и эти ребята говорят - теперь это наше всё! Само слово «КАНТОР» означает певец в синагоге, поющий псалмы. Кантор главный запевала в синагоге теории множеств. Его псалмы в теории множеств называют теоремами, но ВСЕ теоремы Кантора лживы. Центральная теорема Кантор о том, что множество всех действительных чисел на отрезке 0-1 имеет ЯКОБЫ несчётную мощность. Кантор строит таблицу всех действительных чисел на отрезке 0-1 1 - 0, a1, a2, a3, a4, a5 … 2 - 0, b1, b2, b3, b4, b5 … 3 - 0, c1, c2, c3, c4, c5 … 4 - 0, d1, d2, d3, d4, d5 … 5 - 0, e1, e2, e3, e4, e5… ………………………………… И далее по диагональному методу Кантор строит новое действительное число НДЧ, которого в этой таблице ЯКОБЫ нет. Как он строит НДЧ? Очень чётко, конструктивно и просто. НДЧ = 0, не a1, не b2, не c3, не d4, не e5 … (1) И далее Кантор доказывает, что это НДЧ в данной таблице отсутствует. Потому, что оно отличается от всех чисел данной таблицы: от первого числа в первой цифре, после запятой, от второго числа во второй цифре, от N-го числа в N-й цифре и так до безконечности. Вот и всё доказательство. Бурные продолжительные аплодисменты! И вроде не видно никаких дыр. А не видно потому, что структуру таблицы никто не обсуждал. Опровержение Мельника А.Д. из книги «Что такое параллельная математика?». Но давайте мы посмотрим внимательно на диагональную процедуру и раскопаем наконец особенности структуры Таблицы Кантора. Легко видеть, что диагональная процедура работает только на квадратных таблицах. Но Таблица всех действительных чисел совсем не такова - она не квадратная, а прямоугольная и в ней диагональная процедура всю таблицу не охватывает. И никакими манипуляциями невозможно построить в этой таблице НДЧ, которого там нет. Для простоты и сокращения примера будем писать числа не в десятичном, а в двоичном коде. Рассмотрим вначале Таблицу Кантора в конечном виде. Пусть она будет конечной из чисел, с 2-мя цифрами после запятой. Тогда ширина таблицы ВОС (количество столбцов) будет 2, а глубина (количество строк) будет 4: 1 - 0, 0 0. 2 - 0, 0 1. 3 - 0, 1 0. 4 - 0, 1 1. Строки можно переставлять, ничего не изменится. Запустим по ней диагональную процедуру Кантора и построим его любимое новое число НДЧ = 0,10. Диагональная процедура закончена. НДЧ построено по диагональному методу Кантора. Это НДЧ = 0,10 от первого числа отличается в первой цифре, от второго - во второй. Из этого Кантор делает вывод, что НДЧ ЯКОБЫ вообще не существует в таблице. Но это явная ложь. НДЧ отсутствует только в квадратной части таблицы, а таблица ВОС на самом деле не квадратная, а прямоугольная. НДЧ отсутствует только в первых 2-х строках квадратной части таблицы, но прекрасно существует в этой же таблице - ниже квадратной части, в прямоугольной части. Если мы возьмём таблицу, где есть n цифр после запятой, то ширина таблицы будет n, а глубина 2 в степени n, для двоичной системы и 10 в степени n, для десятичной. Ничего в структуре таблицы не меняется, всё то же самое, она прямоугольная. Кстати растёт вниз гораздо быстрее, чем по строкам. По индукции перейдём от n к безконечности - ничего не меняется. Ширина таблицы будет ∞, а глубина 10 в степени ∞. Таблица не квадратная и в ней диагональная процедура Кантора всю таблицу не охватывает и ничего не доказывает. А в НАСТОЯЩЕЙ (прямоугольной) таблице есть ВСЕ НДЧ Кантора и вообще все действительные числа - тема полностью закрыта. Вот и лопнуло доказательство центральной теоремы Кантора о континууме действительных чисел. Вывод - множество действительных числе СЧЁТНО. Кстати ВСЕ множества счётны - других нет.

[@Olegovich2009]

Ну так в том-то как раз и дело, что таблица "прямоугольная". Значит, если длина таблицы n (цифр после запятой) - счётное множество, то глубина (при переходе от n к бесконечности) должна расти быстрее длины, то есть, она "больше", чем счётное множество, нет?

[@user-rx9tf9xf2f]

@@Olegovich2009 Нет конечно. Не путайте разницу в КОЛИЧЕСТВЕ безконечных множеств с так называемой МОЖНОСТЬЮ множеств. Например, количестве всех целых числе БОЛЬШЕ, чем количество из квадратов, но и то и другое множество СЧЁТНО. Никаких несчётных множеств вообще не существует. А теория множеств господина сиониста Кантора - грядное надувательство.