Дотянуться до континуума | Ботай со мной

#БотайСоМной #041
Дотянуться до континуума
Целых, рациональных и даже алгебраических чисел (нулей многочленов с целыми коэффициентами) счётное количество, то есть их "столько же", сколько и натуральных. Действительных же чисел больше, -- их континуум. В этом видео поговорим о том, можно ли "пощупать" этот континуум.
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Это кусок недавнего стрима: • Действительные числа, ...
Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: foxford.ru/library/courses?re...
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
foxford.ru/courses/940/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
foxford.ru/courses/939/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
foxford.ru/courses/938/landin...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:
foxford.ru/courses/937/landin...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
KZbin-канал: / trushinbv

[@1188067]

супер. просто молодец! Слушать несколько раз. Там очень классная философия заложена. Глубочаший анализ Спасибо

[@vic88tor]

Довольно-таки интересно )

[@suglobovkirill]

Сразу лайк)

[@Philip-yu6wq]

Заметно улучшилось качество картинки, или кажется? Смотреть стало сильно приятнее

[@trushinbv]

Это новая вебинарка. Там свет чуть лучше )

[@Qraizer]

Спустя год, думаю, имеет смысл упомянуть множества мощности ℵ₂ Ну просто чтоб крышу совсем снесло.

[@Nikita_Shustrov]

Алеф 2 Да ты совсем мазохист))

[@that-guy210]

@@Nikita_Shustrov А есть алеф 3, а есть алеф 4, а есть алеф алеф нуль. А есть алеф алеф алеф... А есть булеан этих множеств. А есть недостижимый кардинал. . У vsauce есть хорошее видео на эту тему.

[@user-sd6pk6mw1t]

@@that-guy210 скинь ссылку пожалуйста

[@that-guy210]

@@user-sd6pk6mw1t kzbin.info/www/bejne/rJ2scmOrn9xroqs&ab_channel=%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%D0%9C%D0%B0%D1%84%D1%84%D0%B8%D0%BD

[@yahton309]

@@user-sd6pk6mw1t kzbin.info/www/bejne/rJ2scmOrn9xroqs

[@allex6829]

Боженька Борис

[@tvb1951]

круто

[@kda5581]

Круть

[@LazorFriend]

Друг, ты спас мой мозг при подготовке к экзамену! Спасибо большое!

[@isackcorn_vl]

Да, красиво :)

[@user-cf6xj5ck2t]

Расскажите про теорему тангенсов пожалуйста

[@amegatron07]

Хм, озвучил очень интересную мысль, что кол-во всевозможных алгоритмов - счетное кол-во... И я задумался сначала - а ведь вроде действительно так (правда, я бы заменил заменил здесь "текст", на "набор инструкций", который можно отобразить в текст - но это уже скорее так, ненужный сейчас формализм). Но что я подумал дальше: а ведь это не факт, что именно так. Ведь счетным множество алгоритмов может быть только, если мы говорим о конечных алгоритмах) Но ведь могут быть и бесконечные алгоритмы. Строить которые мы можем по такому же принципу, как и иррациональные числа. В итоге исходный алгоритм построения такого алгоритма будет по-прежнему конечным. Но сам выстраиваемый им алгоритм будет бесконечным) Но это будет по-прежнему алгоритм. Но "пощупать" который, тем не менее, мы по-прежнему не сможем, потому что множество таких бесконечных алгоритмов несчетно. Вот такая вот загагулина получается)

[@alexandrvoevodsky4247]

Нет. Множество таких алгоритмов тоже счетное. Потому что счетным является множество конечных алгоритмов составления этих бесконечных алгоритмов. Если пойти дальше и заметить, что и алгоритм составления алгоритма может быть сделан бесконечным, за счет описания того, как его делать в виде отдельного алгоритма, то и это не изменит картины - их тоже счетное. И так далее на любую глубину построения алгоритма для построения алгоритма для построения алгоритма... На самом деле, нетрудно заметить, что и эти рассуждения неважны. Потому что, если взять конечный текст того алгоритма, который упомянут в "...В итоге исходный алгоритм построения такого алгоритма будет по-прежнему конечным..." и к этому конечному тексту добавить строку "применив этот алгоритм, построим тот алгоритм, воспользовавшись которым, получим число", то получим текст (конечный!), описывающий непосредственно алгоритм получения числа. Т.е. мы для любого бесконечного алгоритма (из тех, которые можно описать, конечно) нашли его конечный аналог. А таких не более, чем счетное кол-во.

[@amegatron07]

@@alexandrvoevodsky4247 но тут есть важный нюанс. Может, мой начальный пример не совсем корректный. Если говорить о бесконечных алгоритмах, которые строятся другими конечными алгоритмами, то их будет действительно счётное количество. Но мысль изначально была про вообще все бесконечные алгоритмы. Это по-прежнему несчётное множество. А те, что можно построить другими конечными алгоритмами - лишь подмножество. P. S. Хотя что-то я уже сам запутался с примером алгоритма, строящего другие алгоритмы) Ведь так то можно сделать простой, короткий и конечный алгоритм построения всех возможных иррациональных чисел, хоть он никогда и не завершится, а равно как будет требовать ещё и бесконечной памяти) Но так или иначе, именно алгоритмически (или функционально) он покроет все числа, но от этого множество этих чисел всё равно не станет счётным.

[@alexandrvoevodsky4247]

@@amegatron07 Идея этого ролика в том, что множество всех сущностей, каждую из которых человечество может описать, и неважно о каких именно сущностях идет речь (числа, алгоритмы для построения чего угодно [конечные или бесконечные], множества[само множество может и не быть счетным, но в этом перечне оно выступает как "одна сущность"]) - вот всё это множество описываемых сущностей счётно. Потому что описанием одной такой сущности (раз она описываемая) является текст (возможно, этот текст включает в себя все тома Фихтенгольца, "Теорию функции вещественной переменной" Натансона и все тома Бурбаки, Ван дер Вардена и т.д. только для описания каких-нибудь элементов, из которых эта сущность и будет сконструирована). А всего разных конечных текстов - счётное количество.

[@amegatron07]

@@alexandrvoevodsky4247 ну тогда мы немного о разных вещах говорим. Описать какое-то несчётное множество конечным текстом - это одно. Но само множество от этого счётным не станет. Я об этом. И в данном случае речь о том, что счётным мы можем считать только множество конечных алгоритмов. А бесконечных - нет, даже если мы их все можем как-то описать.

[@alexandrvoevodsky4247]

@@amegatron07 Но мы не можем их описать! Точнее, мы можем описать множество этих алгоритмов, но не их самих. Некоторые из них - да, можем. Но не более, чем счетное подмножество.

[@user-cf6xj5ck2t]

И про формулу Пика

[@diogeneslaertius3365]

На одном стуле пики точены. На другом - ... На какой сядешь?

[@user-py1gv3kd5l]

Философский подход, а как этот метод называется подсчета рациональных чисел (вроде что то вязаное с именем Р. Дедекинд), расскажите когда нибудь пожалуйста о Канторовом множестве оно вроде не счетно но так и не понял его устройства. Зарание спасибо!

[@user-iCuaebtAi926]

получается, что нет алгоритма, который на входе получает счетную последовательность, а на выходе дает континуум ??

[@user-uy6es8nu9h]

Здравствуйте, можете делать выпуск про дискриминант(почему он работает, как нам самим прийти к этим заученным формулам)

[@trushinbv]

Все уже есть: kzbin.info/www/bejne/bKi4lIKed6h5otk

[@user-ze3ez3iy6c]

Я уже месяц пытаюсь однозначно сопоставить точки плоскости (вещественые) и числовой прямой. Прошу, помогите. А ролики потрясающие! (Никак не могу доказать, что вещественных чисел столько-же, сколько комплексных)

[@fullfungo4476]

Есть один «простой» способ. Сначала сопоставим единичный квадрат с вершинами (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) с отрезком [0;1]. Для каждого числа на отрезке разделим его на четные и нечетные цифры и получим точку в квадрате. А для точек квадрата, наоборот, соединим. Например: 0,39562048101… -> (0,352411…; 0,96080…) (0,00291…; 0,10403…) -> 0,0100249013… То есть в общем виде: 0,abcdef… -> (0,ace…; 0,bdf…) (0,stuv…; 0,wxyz…) -> 0,swtxuyvz… А для плоскости просто разделим всё на квадраты 1x1 и пронумеруем их как-нибудь. Например, возьмём у каждого квадрата левую нижнюю точку. (0,0) -> 0 (1,0) -> 1 (1,1) -> -1 (0,1) -> 2 (-1, 1) -> -2 (-1, 0) -> 3 (-1,-1) -> -3 (0, -1) -> 4 (1, -1) -> -4 (2, -1) -> 5 И т.д. по «спирали» перечисляем квадраты и нумеруем 0,1,-1,2,-2,3,-3… Тогда точке (1,543…; -0,987…) соответствует квадрат (1,-1) то есть -4 и точка (0,543…; 0,012…) от левого нижнего угла, то есть 0,504132… В сумме получается число -3,495867… В общем виде для точки (n,abc…; m,def) мы берём номер квадрата с углом (n, m) или n-1 и m-1 соответственно, если число отрицательное и округляется вниз к меньшему (как -1,5 вниз округляется к -2). Пускай этот номер N. В этом квадрате вычисляем значение для точки (0,abc…; 0,def…) ну или 1-0,abc и 1-0,def если числа были отрицательные (так как сдвиг от угла положительный). Пускай полученное значение 0,xyz… Тогда мы исходной точке (n,abc…; m,def…) сопоставим число N+0,xyz… P.S. Там есть небольшие проблемы с числами заканчивающимся на 9999… но можно просто их запретить (то есть записывать только в виде 0000…) Например, вместо 4,3279999… будем писать 4,3280000…

[@fullfungo4476]

Есть ещё вариант со Space-filling curves en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve?wprov=sfti1 То есть кривыми заполняющими плоскость. ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%9F%D0%B5%D0%B0%D0%BD%D0%BE?wprov=sfti1

[@user-iCuaebtAi926]

@@fullfungo4476 есть интересный вывод из этого --- размерность не имеет значения, -- отрезок можно натянуть на квадрат без остатка. Ну и любой континуум гомеоморфен интервалу.

[@fullfungo4476]

@@user-iCuaebtAi926 не совсем. Гомеоморфизм обычно означает «преобразование, сохраняющее некоторое свойство или связь между элементами» Преобразование квадрата в отрезок сохраняет только размер множества, но не соотношение между точками. То есть, например, длины, углы и окрестности не сохраняются при таком преобразовании.

[@user-iCuaebtAi926]

@@fullfungo4476 ну в общем можно найти соответствие и доказать равномощность

[@orpheus3803]

А логарифм? Почему про него не сказано? Там очевидно,ято счетное количество, но мб стоило упомянуть?

[@timurpryadilin8830]

у логарифма тоже есть алгоритм, поэтому относится к последней категории

[@user-vy7ds7pd8m]

А почему девять в периоде запрещено? На 8 минуте

[@trushinbv]

kzbin.info/www/bejne/jHXbiIiunMaAi68

[@user-ko8ne8lr7p]

Можно видео с пояснением понятия факториал?

[@trushinbv]

1! = 1 2! = 1 * 2 = 2 3! = 1 * 2 * 3 = 6 и т.д. (n + 1)! = (n + 1) * n! Все )

[@user-ko8ne8lr7p]

Борис Трушин ахах, а вообще факториал-это количество комбинаций с числом? (Сколькими способами можно разложить число)

[@trushinbv]

​@@user-ko8ne8lr7p, количество различных перестановок n элементов -- это n!

[@excommunicado2932]

@@user-ko8ne8lr7p n!=Г(n+1) :D

[@IraklyGagua]

0! = 1

[@amegatron07]

Вот, мне, если честно, до сих пор не нравится терминология, которая часто употребляется. Ну то есть, мне в целом понятны счетность/несчетность, мощность. Но, например, мне принципиально не нравится употребление в этом контексте "их столько же". Равномощные - да, как конкретная характеристика множеств, которая одинакова для разных множеств. Но вот "столько же" как минимум просто сбивает с толку, входя как раз таки в противоречие с интуитивным восприятием. Точно также слово "пересчитать", поскольку чисто в силу языка этот глагол означает законченное действие, как "пересчитать все". В то время как в контексте бесконечного множества мы можем говорить только о продолжительном действии. То есть мы можем "считать", или "перебирать", на худой конец "пересчитывать". На худой конец, если все же использовать совершенный глагол, то "пронумеровать", то есть сопоставить каждому числу из одного множества номер. А вот "пересчитать" до сих пор не вяжется в голове)

[@liudmilaalekseeva3278]

Что же измеряется континуумом?

[@xlenchik]

Получается, мы (человечество) видим ничтожно малую часть математики. Аналогично как в космосе мы видим или регистрируем приборами звезды, планеты и другие тела, которые составляют ничтожную часть Вселенной - а между ними пустота. В связи с чем интересно, что там, в невидимой части математики - пустота или содержательная математика, принципиально непостижимая человеческим сознанием?

[@hypercosmologyexplanations5178]

Гораздо более сложная и содержательная чем та которую мы когда либо конкретно изучем

[@nobodyisperfect4937]

а почему это 9-ка в периоде стала запрещённой ?.... это что-то новое и я долго в запое был ?.... когда её и кто запретил ?

[@nobodyisperfect4937]

@Milamber HD на самом деле получилось хорошее обоснование нехорошему факту неточности, нехарактерному математике в целом. но в связи с этим возникает вопрос, с какого момента дробь 1/n в цифровой записи становится периодической ? сколько нужно повторений ? т.е. 0.333333333 - это уже период ? а если 0.333 - это как ?....

[@nobodyisperfect4937]

@Milamber HD а тогда ещё вопрос возникает -- 2/3 это 0.7 ??....

[@boykissermaths]

@@nobodyisperfect4937 нет, между 0,7 и 0,(6) можно вставить бесконечное количество действительных чисел. А вот между 0,(9) и 1 вставить ничего больше нельзя, значит, 0,(9) = 1

[@user-97tf47k4]

Каждое действительное число можно можно представить в виде последовательности нулей и единиц. Но все действительные числа можно разбить на два класса. Первый класс, это числа, что любую цифру после запятой можно определить с помощью алгоритма, т.е. зная конечную информацию. Всех цифр бесконечно много, но любую можно узнать, применяя алгоритм, т. е. с помощью конечной информации. Второй класс составляют действительные числа, что любую цифру после запятой уже невозможно определить, владея только конечной информацией. С помощью алгоритма уже любую цифру после запятой узнать нельзя. Числа e, пи относятся к первой категории, т. е. существует алгоритм, что любую цифру после запятой, можно определить, владея только конечной информацией. Чисел первого класса счетно. Второго класса континуум.

[@Nfsbelka]

Бред

[@olgapolka168]

4:01

[@olgapolka168]

14:25

[@user-vd9fu5ib8q]

Поэтому архимедовость - дело вкуса. В самом деле, раз все равно не дотянуться, то почему именно к R? С тем же успехом можно не дотянуться и к Q_p )

[@user-wk6ek3iz3k]

А почему змейка такая интересная ? Откуда ?

[@trushinbv]

Мы сами выбираем как "пересчитать" множество. Посмотрите ещё это видео: kzbin.info/www/bejne/q5ClZGmlebWnmJY

[@allbirths]

@@trushinbv кроме 1/2 и 2/1 или 1/3 и 3/1, есть: 1/1, 2/3, 3/2 ... везде всего бесконечно, но в динамике чего-то больше, а чего-то меньше, часто зависит от того , что идет первым и на какие части делить

[@allbirths]

@@trushinbv бесконечная десятичная дробь из-за пятерки в десятке. Не делится эта хрень пополам, сложно вот так описывать мир, мне проще половинками и двойками, формулой или числом и остатком. Единица и ее пара опишет все. В двоичной системе, понятно, что двойка на простые числа не будет делиться нацело, но записывать удобнее. А уж если делить на простое число, то и понимать нужно, что делаешь сравнение в новой системе измерения, поэтому вариант записи дробей я для себя избрал основным, так как в программировании есть проблема округление. Но такие проблемы появляются лишь тогда, когда за единицу сравнения взят не тот параметр, а должен быть взять наименьший, который и станет единицей

[@allbirths]

@@trushinbv у меня возникала проблема разложения на множители и сравнения, обобщения числе. Любое число можно описать набором множителей с требуемой точностью, но в десятичной системе на 5 уже не поделишь, так как эта пятерка есть в каждом разряде, и зависимость множителей и степеней она нарушает. Поэтому про бесконечные дроби нужно просто забыть, в школах хранить данные как-то иначе. даже в виде каких-то небольших зависимостей. формул, не учат, а значит, теряется чистота

[@allbirths]

@@trushinbv ну а дальше сравнение количества действительных и натуральных описываешь. Ну надо сказать. что это на конечном отрезке. так как в бесконечности все к ней и будет стремиться. И понятно же, что объекты может различаться на бесконечное значение, даже дробь можно прихерачить или изменить на что-то близкое к бесконечности. Но самое главное, что десятичная дробь осована на деление пятерки, мы добавляем к числу 5*2, а потом его делим. А систем счисления может быть бесконечно

[@user-sk6gk9jq6r]

Хотелось бы знаете до какого континуума дотянуться? До пространственно-временного... Как-то не умом, а телом, прочувствовать вот ту самую четвёртую координату, которая присутствует в знаменитых формулах Эйнштейна... Но! Это уже физика, а не только математика...

[@samedy00]

вот как раз телом мы эту четвертую координату очень хорошо чувствуем. И с каждым годом все лучше:)

[@nik_fine]

Нам про рациональные числа говорили ещё такой факт. На интервале от 0 до 1 при попытке посчитать все дроби мы уйдём в бесконечность. А таких интервалов бесконечно много. Ну и как следствие, как только мы соберём набор из всех рациональных чисел всегда найдётся такое, которого ещё не было в нашем наборе.

[@user-ms8nw1vz5t]

Почему из того, что множество содержит бесконечно много непересекающихся бесконечных множеств, следует, что оно не является счётным?

[@user-qx8tb4bn2u]

Спасибо. Интересная подача. А текст: "множество точек на отрезке" - это алгоритм или нет? Ведь текст этот описывает континуум. ☝️😄 Вопрос, понятное дело, риторический и провокационный, ответа не требует.

[@trushinbv]

Речь же про способ задания конкретного числа

[@om_nom]

Если каждый алгоритм- это текст, а текст- это набор нулей и единиц, то, если взять множество всех текстов, мы возьмем множество всех двоичных чисел (последовательностей), а оно - несчетно(кто-то это доказывал) . Разве не так? Объясните, пожалуйста, плохо это поняла

[@trushinbv]

Все двоичные числа - это просто натуральные числа. Как их может быть несчетное множество?

[@om_nom]

@@trushinbv Это да, я согласна, но я блин запуталась( п.с. Вроде даже сама распуталась - если каждая двоичная последовательность конечна, то объединение их счетно. Если бесконечна - то несчетно. А текст конечен. в общем-то поняла, но мб снова не так

[@user-yd1bj3hn8d]

Почему вы постоянно смотрите куда-то вниз? Может быть только у меня оно, но вот есть какое-то ощущение, что будто бы вы отвлекаетесь и не для нас рассказываете( А видео очень интересное, опять-таки заставляет задуматься о смысле жизни такого крошечного существа как человек в этом огромном мире

[@trushinbv]

Это кусочек стрима. Я делал первый раз и поэтому не все продумал. "Внизу" стоял ноутбук с чатом, куда я смотрел, чтобы видеть ответы слушателей.

[@achilles386]

Честно говоря, ожидал здесь услышать, что множество всех подмножеств множества натуральных чисел - континуум. :) И что замыкание (или, что то же самое, совокупность пределов последовательностей) счётного множества рациональных чисел это R с чертой, то есть тоже континуум. И про знаменитую гипотезу континуума. Но не услышал.

[@user-jr2oh8rs7y]

любой логарифм, синус и так далее можно разложить в ряд тейлора и рассчитать число с любой точностью с помощью алгоритма... то есть их счетное количество! что за бред

[@trushinbv]

Вы от какого аргумента их хотите посчитать? ) Вам сначала нужно точно задать этот аргумент, а это уже лишь счетное количество чисел.

[@trushinbv]

Речь не о том, что тех чисел о которых вы говорите счетное количество. Речь о том, что тех которые мы в принципе можем изучать счетное число.

[@tvb1951]

@@trushinbv человек за свою жизнь может столкнуться только с конечным набором чисел, например 1 число за 1 секунду, думаю больше он сделать не в состоянии. Это имеется в ввиду.

[@trushinbv]

@@tvb1951, имеется в виду, что "список" всех числе, с которыми в принципе может столкнуться человечество не более, чем счетно.

[@Rybakog]

@@trushinbv , это очень красивое рассуждение. Правда, счётность достигается только в случае бесконечности жизни во вселенной, но мы же знаем про тепловую смерть. А стало быть, даже конечное количество чисел будет определено людьми (:

[@user-jl5ig2nm7k]

Если биекцию построить по другому, то получится другой результат. Если мы каждому натуральному чётному числу сопоставим такое же чётное число из ряда с чётными числами, то их будет явно другое Кол-во, отличное от количества натуральных чисел.

[@trushinbv]

Только это не бинация будет )

[@user-jl5ig2nm7k]

@@trushinbv биекция (не то чтобы я хорошо знаю значение этого слова, но всё же это соответствие)

[@KAVASAKY_Z]

А давайте рассматривать "континуальные алгоритмы" как "континуальные тексты" - не дискретный набор 0 и 1, а распределение "нулёвости" и "единичности" на некотором континуальном интервале. Хм... кубиты тут рядом не пробегали? Не кубитовый ли текст получится? По индукции можно нафантазировать "тексты" и большей, нежеле континуальная, мощности.

[@user-gi9qu9qw7f]

После просмотра роллика, остаётся осадочек, червь сомнения точащий изнутри, а правомерно ли при нумерации множества, использовать номера которые уже встречались в множестве? Смущает здесь следующее: при нумерации чётных чисел натуральными нумерами, встречаем число 2 в качестве номера, которое уже встречалось в качестве чётного числа, но количество шагов, необходимое, чтобы добраться до него в два раза больше, чем число шагов, необходимое, чтобы встретить его в последовательности чётных чисел, и такая же ситуация для любого чётного номера, и этот коэффициент, всегда два, этот коэффициент подтверждает интуитивное предположение о том, что чётных чисел ровно в два раза меньше, нежели всех натуральных

[@rockmaple6953]

Без вставки вначале немного неуместной кривоватой бессмысленной было бы лучше, а так замечательно очень

[@Avgur_Smile]

Хватит бредить. Натуральных чисел не столько же, сколько четных натуральных чисел. Если вы ни хрена не смыслите в элементарной логике, то подучите ее для начала. :-)

[@trushinbv]

Возьмите каждое четное натуральное, разделите на 2, получите все возможные натуральные числа )

[@Avgur_Smile]

@@trushinbv Я получу бесконечное множество натуральных чисел. А это отнюдь не то же самое, что множество всех натуральных чисел. То, что получившееся бесконечное множество равномощно множеству ВСЕХ натуральных чисел надо доказать. Но никто этого не делает. Вы, как и все те математики, с которыми мне приходилось общаться, не понимаете этой разницы. Она очевидна, если не пренебрегать элементарнейшим логическим рассуждением, с которого начинаются едва ли не все учебники по основам логики. З.Ы. Мне даже интересно, способны ли вы самостоятельно додуматься, что это за рассуждение или мне придется растолковывать его и вам, как и всем остальным. :-)

[@trushinbv]

@@Avgur_Smile Почему? Мы получим ВСЕ натуральные числа. Предположим, что какого-то числа n там не будет, но в множестве всех четных точно было 2n. Противоречие )

[@Avgur_Smile]

@@trushinbv >> Предположим, что какого-то числа n там не будет, но в множестве всех четных точно было 2n Это доказывает лишь то, что множество, полученное делением 2n из множества четных натуральных чисел пополам бесконечно. Но никак не доказывает, что полученное бесконечное множество натуральных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел. Мне очевидно, что вы не понимаете того, о чем я вам толкую. Можно конечно привести логическое рассуждение о смертности Сократа, которое почему-то никто из математиков не может применить к рассуждениям о бесконечных множествах, но уже лениво. Потому попрошу разъяснить мне следующее. Полагаю, вы слышали об индийском математике Рамануджане, который "доказал", что сумма натуральных чисел равна -1/12. Не буду сейчас разбирать это доказательство, в котором ошибка на ошибке. Давайте попробуем поискать эту сумму иным способом Докажем, что сумма всех натуральных чисел равна -1/8. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + ... = = 1 + (2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7) + (8 + 9 + 10) + ... = = 1 + 9 + 18 + 27 + ... = = 1 + 9 * 1 + 9 * 2 + 9 * 3 + ... = = 1 + 9 * (1 + 2 + 3 + ...) = = 1 + 9 * S' S и S' являются суммами элементов бесконечных последовательностей натуральных чисел. Следуя вашей точке зрения, эти последовательности не просто равномощны, но даже равны. "Потому что предположим, что какого-то числа n в S' не будет, но в множестве S точно была тройка чисел, которая в сумме дает 9 * n. Противоречие" (надеюсь здесь вы узнали чуть-чуть переделанное ваше высказывание) Это значит, что S = S'. Тогда S = -1/8. Согласны? Если согласны, то как быть с тем, что сумма всех натуральных чисел равна -1/15? S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + ... = = 1 + (2 + 3 + 4 + 5) + (6 + 7 + 8 + 9) + (10 + 11 + 12 + 13) + (14 + 15 + 16 + 17) + ... = = 1 + 14 + 30 + 46 + 62 + ... = = 1 + (1 * 14) + (2 * 14 + 2) + (3 * 14 + 4) + (4 * 14 + 6) + ... = = 1 + 14 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...) + 2 + 4 + 6 + ... = = 1 + 14 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...) + 2 * (1 + 2 + 3 + ...) = = 1 + 14 * S' + 2 * S" Снова будем следовать вашей логике. Из нее вытекает, что S = S' = S". Тогда S = - 1/15. Но это еще не все. Покажем, что сумма всех натуральных чисел равна 1. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + ... = = 1 + (2 + 3) + (4 + 5) + (6 + 7) + (8 + 9) + (10 + 11) + (12 + 13) + (14 + 15) + (16 + 17) + ... = = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29 + 33 + ... = = 1 + (6 - 1) + 9 + (12 + 1) + (15 + 2) + (18 + 3) + (21 + 4) + (24 + 5) + (27 + 6) + ... = = 1 + (2 * 3 - 1) + 3 * 3 + (4 * 3 + 1) + (5 * 3 + 2) + (6 * 3 + 3) + (7 * 3 + 4) + (8 * 3 + 5) + (9 * 3 + 6) + ... = = 2 * 3 + 3 * 3 + 4 * 3 + 5 * 3 + 6 * 3 + 7 * 3 + 8 * 3 + 9 * 3 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...) = = 3 * (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ...) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...) = = 3 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ...) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...) - 3 = = 3 * S' + S" - 3 Снова смотрим на ситуацию с вашей точки. Получаем S = S' = S", откуда S = 1 Ну и в качестве вишенки на торте "докажем", что сумма всех натуральных чисел равна 0. S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + ... = = (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (7 + 8) + (9 + 10) + (11 + 12) + (13 + 14) + (15 + 16) + ... = = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + ... = = 3 + (6 + 1) + (9 + 2) + (12 + 3) + (15 + 4) + (18 + 5) + (21 + 6) + (24 + 7) + ... = = (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + ...) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...) = = 3 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ...) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...) = = 3 * S' + S" Согласно вашей точке зрения S = S' = S", откуда S = 0 Полагаю, вы догадываетесь, что можно исполнить еще сколько угодно подобных танцев с бубном и получить самые разные величины для суммы всех натуральных чисел. Как, по-вашему, можно объяснить подобный разнобой в результатах?

[@trushinbv]

">> Предположим, что какого-то числа n там не будет, но в множестве всех четных точно было 2n Это доказывает лишь то, что множество, полученное делением 2n из множества четных натуральных чисел пополам бесконечно. Но никак не доказывает, что полученное бесконечное множество натуральных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел." В смысле? Мы доказали, что в этом множестве будут все натуральные числа. А сумма натурального ряда, очевидно, расходится. И вы даже это доказали. Предположив, что есть конечный предел, и получив два разных значения. Значит, конечного предела нет