Биссектрисы трапеции | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

[@trushinbv]

Осторожно, спойлер! Биссектрисы трапеции Если вы хотели, но ещё не успели посмотреть шестое занятие курса по подготовке к заданиям 12-19 ЕГЭ по математике -- foxford.ru/courses/940/landing?ref=p308_yt& -- не смотрите это видео!

[@arsenmejlumyan4731]

Здравствуйте Борис! Где и когда можно скинуть задачу, чтобы попала в видео? Задача связано с биссектрисами трапеции и диагоналями.

[@humaniora_for_all]

Как же здорово! Даже школьная геометрия завораживает...)

[@alextitov-]

Я решал другим способом. Обозначим требуемое расстояние между левой и правой точками пересечения биссектрис через х. Используем тот факт, что любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Это значит, что левая точка пересечения биссектрис равноудалена от левой боковой стороны и от верхнего основания, а с другой стороны она равноудалена от левой боковой стороны и от нижнего основания, а значит, она равноудалена от верхнего и от нижнего основания, т.е. отрезки, соединяющие эту точку с основаниями трапеции равны по половине высоты трапеции каждый равны расстоянию от этой точки до левой боковой стороны трапеции. По той же причине правая точка пересечения биссектрис равноудалена от оснований трапеций и от правой боковой стороны трапеции, и эти отрезки равны тоже по половине высоты трапеции каждый. А это значит, что все шесть отрезков (расстояния от левой точки пересечения биссектрис с основаниями и с левой боковой стороной и расстояния от правой точки пересечения биссектрис с основаниями и правой боковой стороной) равны между собой и равны половине высоты трапеции. Обозначим это расстояние через y. Теперь соединим левую точку пересечения биссектрис с вершинами углов при левой боковой стороне и правую точку пересечения биссектрис с вершинами углов при правой боковой стороне, а также левую и правую точки пересечения биссектрис. Получим, что трапеция состоит из двух треугольников и двух трапеций, значит, сумма площадей всех этих фигур равна площади исходной трапеции. У левого образованного треугольника одна из сторон равна с - левой боковой стороне исходной трапеции, а высота, проведённая к этой стороне, равна y. Значит, его площадь равна S1 = (1/2)cy. По той же причине площадь правого треугольника равна (1/2)сy. У верхней маленькой трапеции основания равны a и x, а высота - y. Значит её площадь равна (1/2)(a + x)y. По той же причине площадь нижней маленькой трапеции равна (1/2)(b + x)y. Поскольку высота исходной трапеции равна 2y, то площадь исходной трапеции равна (a + b)y. Если составить уравнение, связывающее площади всех фигур, то в нём y сократится, а из оставшегося линейного относительно х уравнения лего найти x = ((a + b) - (c + d))/2.

[@AnarNasirov]

Все на высшем уровне. Было бы неплохо на самом деле разобрать сложные задачи из ЕГЭ,прям запас смертника

[@ИванЕвдокимов-л6ь]

Он разбирает их.

[@trushinbv]

foxford.ru/courses/940/landing?ref=p308_yt& -- здесь мы каждую неделю решаем задачи из ЕГЭ. По 5-10 за раз, всего около 200.

[@tatarin7320]

Как все просто и красиво получается! Получила удовольствие от просмотренного видео! Спасибо, Борис, что делитесь такими понятными и простыми объяснениями!!!!

[@vzmaxoff]

Шикарно! Спасибо большое!

[@BrawlStars-sm1el]

Решал задачу про трапецию. Открываю видео, вижу Трушина и задача решена. Хотел вспомнить факты про трапецию.

[@servenserov]

Глядя на мир, нельзя не удивляться. Козьма Прутков. Спасибо, Борис, за доставленное удовольствие!

[@ИльяПроломов]

Весьма занимательно, что если сумма боковых сторон трапеции равна сумме ее оснований, то все биссектрисы этой трапеции пересекутся в одной точке

[@narbut_official]

Илья Проломов потому что это будет квадрат (ромб)

[@trushinbv]

Это легко объяснить. Если все биссектрисы пересекаются в одной точке, то можно вписать окружность. Поэтому суммы противоположных сторон равны. Это верно для любого четырехугольника.

[@ogsen7872]

Тогда диагональ будет и биссектрисой?

[@АндрейПахотных-ц1м]

Спасибо, а я не так решил. п. 1. Пусть дана трапеция ABCD, построим биссектрисы углов A и D, пусть точка их пересечения F, так как любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла то точка F равноудалена от сторон угла BAD, но в тоже самое время точка F равноудалена и от сторон угла ADC из чего, в свою очередь, следует что точка F равноудалена от оснований трапеции AB, CD и её боковой стороны AD, а так же принадлежит её средней линии MN. Аналогичными размышлениями доказываем факт и для точки G, в которой пересекутся биссектрисы углов B и C. п. 2. В процессе доказательства п. 1. мы уже построили расстояния от точек F и G к основаниям трапеции. Так как основания являются параллельными прямыми то мы получили некоторый прямоугольник, в котором нам требуется найти отличную от высоты трапеции сторону, назовем её х. Переместим все элементы треугольника GBC, параллельно MN таким образом что бы F совпала с G (на величину отрезка х). Тогда мы получим некоторую трапецию AB_1C_1D, в которой C_1D=СD параллельны, а основания равны AB_1=AB-x, C_1D=CD-x, но, так как в получившейся трапеции все 4 биссектрисы пересекаются в 1 точке, то она описана и суммы противоположных сторон равны друг другу: DA+BC=AB-x+CD-x => x=[(AB+CD)-(DA+BC)]/2. Касательно модуля, с одной стороны я с Вами согласен, но отрицательное значение полученного отрезка показывает нам что треугольники образованные биссектрисами пересекаются, а положительное, что нет. То есть, в данной конкретной формуле, помимо числового значения заложен дополнительный смысл, потому в ответе модуль должен быть однозначно, так как требуется найти величину отрезка, а вот в самой формуле я бы модуль не добавлял. Спасибо за задачу.

[@yakovlichevau]

Шикарно, спасибо!

[@РамзанЭльдаров-н7в]

Борис - красссссавчик!!!

[@gadjik_youtube]

Спасибо , интересная задача !

[@РустемМухаметшин]

Биссектриса проходит через центр вписанной в угол окружности. И это значит что ее центр находится на средней линии трапеции

[@musallimhummatov9192]

Спасибо, господин Трушин

[@СергейИванович-о9п]

Спасибо, Борис Викторович, классненько

[@ninavoron12]

Просто вариант: продолжить верхние биссектрисы до пересечения с b , получатся равнобедренные треугольники со сторонами с и d, еще более все очевидно.

[@trushinbv]

А как это поможет расстояние между точками найти?

[@ninavoron12]

Про среднюю линию и биссектрисы трапеции есть теорема.Далее ,если продолжить верхние биссектрисы, то на основании b отсекутся отрезки с слева и d справа и образуются равнобедренные треугольники, среднии линии которых лежат на той же , что и (a+b)/2. Отнимаем их ,, то есть с/2 и d/2, остается серединка.

[@trushinbv]

@@ninavoron12 да, понял! Здорово )

[@ninavoron12]

@@trushinbv Спасибо за оценку). Простая хорошая теорема: Биссектриса трапеции отсекает от основания ( или продолжения) отрезок, равный боковой стороне (ближайшей)

[@КириллКозлов-я3е]

Здравствуйте, Борис Викторович, не могли бы вы посоветовать какое-нибудь хорошее пособие для подготовки к 19 задаче ЕГЭ?

[@trushinbv]

Нет какого-то пособия, которое бы подготовил к ней. Нужно просто порешать задачи прошлый лет и понять, что ничего принципиально сложного в них нет. Мы на курсе тратим на нее 8 занятий по 3 часа, и этого, для большинства достаточно.

[@mathbyautistdimag.9330]

Здравствуй! Почитай Яковлева, есть отдельное послбие к задаче с6 (19), еще в Ткачуке есть (урок 15 или 16), найди также просто сносный учебник в котором какие то основы теории чисел, прорешай задачки на том же решу ЕГЭ, чем больше ты оешаешь, тем больше исчерпываешь множества различных разновидностей задач по теме и тебе будет легче ориентироваться при встрече с новой задачкой.

[@vikvvv333]

Класс!

[@danilrudenko1945]

Привет, можешь в каком-нибудь видео рассказать о том где ты учился и чем занимаешься? Очень интересно будет посмотреть)

[@trushinbv]

Здесь что-то про это есть: trushinbv.ru/bv

[@igormarchenko5351]

Круто

[@dexitti05]

То чувство, когда тебе в 9 классе дают такие задания решать, но в школе не объясняют

[@hjehf9094]

А после 9 класса планиметрию особо не изучают, так что у 9 и 11 примерно одинаковый уровень. Да и объяснять всё не должны, нужно учиться самому находить решения...

[@Владимир-й6о6ш]

2:50 почему эта точка находится в середине ромба?

[@trushinbv]

вы про точку пересечений диагоналей ромба спрашиваете?

[@Владимир-й6о6ш]

@@trushinbv у нас пересечение биссектрисс, я как понимаю, они лежат на диагоналях ромба (тоже не до конца понятно, почему?), и собственно, почему эта точка находится в середине ромба ? точка пересечения биссектрисс

[@ЛюдмилаЕгупец-в2у]

@@Владимир-й6о6ш, диагонали ромба взаимно перпендикулярны, являются его биссектрисами. infourok.ru/prezentaciya-po-geometrii-romb-klass-663597.html (5 слайд) На следующий вопрос сама не знала ответ, но нашла в интернете (ха-ха-ха)). В общем, диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам (т.к. ромб - параллелограм). Из-за этого, если провести отрезок, параллельный стороне ромба и через эту точку, получается средняя линия. Более подробно: 1. Нарисуй ромб; 2. Нарисуй диагонали и обозначь их точку пересечения (О); 3. Выдели черточками равные отрезки диагоналей ромба (диагонали ромба делятся точкой О пополам); 4. Рассмотри треугольник, образованный диагональю и сторонами ромба; 5. Проведи через точку О прямую, пересекающая обе стороны ромба и параллельную одной из сторон ромба (желательно нижней); 6. Рассмотри треугольник (4 пункт) и ты увидишь, что линия, проходящая через точку О является средней линией (из пунктов 3 и 5) для этого треугольника. И если ты рассмотришь треугольник, образованный другой диагональю ромба, будет аналогично, как с треугольником под пунктом 4. Ахха, надеюсь, мозг не взорвётся, но я старалась)

[@Владимир-й6о6ш]

@@ЛюдмилаЕгупец-в2у м, четко, спасибо, надеюсь не отложу это дело и действительно построю все)

[@jotaro6390]

А, это работает в обратную сторону?ну, типа: если диагонали трапеции пересекаются под прямым углом, то диагонали есть биссектрисы углов трапеции.

[@trushinbv]

Нет ) вы легко сами сможете придумать пример

[@jotaro6390]

@@trushinbv спасибо, но я это уже понял)

[@StayX.Motivated]

Почему средняя линия ромба проходит через точку пересечения биссектрис ромба?

[@ЛюдмилаЕгупец-в2у]

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Если ты сделаешь рисунок с этим фактом и проведёшь через точку пересечения диагоналей прямую, параллельную стороне ромба и пересекающие 2 другие его стороны, из треугольников, образованных диагональю и сторонами ромба ты увидишь, что для них это средняя линия, следовательно, средняя линия для ромба (смотри выше у человечка, который задал тот же вопрос, если не понятно))))

[@MohiVara]

Отвратительный звук дисклеймера.

[@АнатолийБалыка-ю6ъ]

Настоящая грловоломка..????