Доказать неравенство: (1/2)∙(3/4)∙(5/6)∙…∙(99/100)≤1/10

Рет қаралды 23,409

Күн бұрын

Пікірлер: 115

@1saofu 4 жыл бұрын

Это самое гениальное решение, которое я когда либо видел, если вы и в правду до него дошли сами, то могу смело назвать вас гением

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

Ха-ха-ха! Знайшли генія. Сама ідея давно відома, і навіть учні розв'язують цю задачу краще. Наприклад, у коментарі від🙂 Привет, я Дима: "Если возвести в квадрат левую часть, то потребуется доказать утверждение, что квадрат левой части < 1/100. Мы возьмем похожую дробь, каждый член которой немного больше исходной - (2/3)*(4/5)*(6/7) * ... * (100/101) - стоит ли доказывать, что эта дробь больше исходной? Умножим эту дробь на исходную и потребуем нестрогого неравенства 1/100. Получаем (1/2)*(2/3)*(3/4)*...*(99/100)*(100/101). Как видим, все сокращается, кроме 1/101. 1/101 < 1/100. ЧТД." А методом математичної індукції для добутку n таких дробів, замість отриманої цим способом оцінки зверху 1/sqrt(2n+1), методом математичної індукції можна обґрунтувати точнішу оцінку 1/sqrt(3n+1).

@sama1dobrota 11 ай бұрын

@@ІванФедак-й9ъ усраина? дальше можно не продолжать. комментарий , полный желчи .

@rejeporazmetow3930 4 жыл бұрын

Здравствуйте Увожаемый Валерий Волков. Я очень рад вновь слышать и видеть Ваш ролик. Я стал беспокоиться. Так как Вас не было некоторое время. Слава богу , что с Вами всё хорошо. А на счёт Вашего ролика , решение просто супер. Ваше не стандартное мышление это просто дар божий. Не у каждого такое есть. Вам большое спасибо. Очень полезно, познавательно и интересно. Увожаемый Валерий Волков, Вы наверно очень заняты, Вас теперь редко можно видеть. Я благодарен Вам. Берегите себя. С большим уважением к Вам Реджепбай. Вам большой привет из Туркмении.

@ВикторИванов-ю7ю 4 жыл бұрын

Слава Богу. дар Божий. уважаемый.

@AlexeyEvpalov Жыл бұрын

Спасибо за подробное решение сложного задания.

@katerinayakibchuk5314 4 жыл бұрын

Совершенно не представляю, как можна было до такого додуматься. Вы гений!

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

@Ghronograph 4 жыл бұрын

Все Ваши ролики очень полезны для развития нестандартного мышления. Но ещё полезней было бы, на мой взгляд, помогать нам найти верный путь самостоятельно. Например, объявлять в видео паузы, расположенные в местах логических переходов. Может быть, даже с намёками или подсказочками, наводящими на следующий шаг. Зритель мог бы останавливать видео, чтобы пораскинуть мозгами. Таким образом, каждый ролик давал бы нам "удочку", а не "рыбу".

@professor-y1w 4 жыл бұрын

Сам иногда делаю паузы в местах логических переходов

@Gosha-U 4 жыл бұрын

Как будто последнюю страницу детектива прочитал). 👍👍👍

@jeandetalois7832 4 жыл бұрын

Очень интересное упражнение.

@ВадимСтепанов-л4ь 4 жыл бұрын

описка, должно быть a< b в строке "Обозначим, y =(1/2)*(3/4)*(5/6)*(7/8)*b = (1/2)*(3/4)*(5/6)*(7/8)*(3/10) "

@danrold 4 жыл бұрын

Немного прикинул, даже начал писать объемный комментарий, но потом понял, что мне не хватает каких-то дополнительных действий, для того, чтобы прийти к ответу. Идея была такова. Сначала сократить половину числителей с знаменателями в виде 2n, где n - нечетное число. Например 3/6, 5/10 и т.д. Тогда в числителе оставалось бы только половина этого произведения. А в знаменателе я получил произведение большой степени двойки на 25!. И вот интуитивно я чувствую, что в итоге знаменатель ощутимо больше числителя, но если еще степень двойки я могу посчитать с помощью грубой прикидки 2^10 ~ 10^3, то оценить без калькулятора 25! и произведение в числителе сложновато. Буду смотреть ваше решение.

@QweRty-py9vb 4 жыл бұрын

Достаточно знать тот факт , что t < 1/sqrt(2n+1) . Он доказывается по индукции. Дальше t< 1/sqrt(201) < 1/sqrt(100) =1/10

@infas0tka693 4 жыл бұрын

@Adam Romanov Из Демидовича. Я тоже его помню, ибо полезный порой =).

@shpigelmaned 3 жыл бұрын

В примере n=50. Поэтому не t < 1/sqrt(201), а t < 1/sqrt(101) < 1/sqrt(100) =1/10.

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

У Вас помилка. Замість 201 має бути 101. А за індукцію доводиться і значно сильніша нерівність t

@ТынчтыкбекНурланбеков-ю4я 4 жыл бұрын

Сөз жок, азаматсыз. (нет слов, вы молодец)

@nikbeznik4892 4 жыл бұрын

Спасибо, Валерий Викторович)

@V1tal1t1 4 жыл бұрын

Интересный факт: значение произведения (2n-1)/2n от 1 до x как функция от x в пределе при x стремящемся к бесконечности стремится к 1/квкор(пи*x). На практике уже при x >=4 ошибка не превосходит 0,01. Так например начиная с x=[100/пи]=32 это произведение меньше 0,1 ( т.е уже при последней дроби 63/64 ).

@ЕгорПономарёв-х7ф 4 жыл бұрын

Спасибо. Интересно.

@ТимурДаргелис Жыл бұрын

Это самое красивое решение из тех что я видел

@stvcia 4 жыл бұрын

Я, например, сразу ввел дополнительное произведение s=(2/3)(4/5)...(100/101) с очевидными свойствами: s*t=1/101 (это главная фишка) и s>t (тут доказывается как у автора). Откуда следует, что t^2

@ВладимирГаркуша-о4л 4 жыл бұрын

Ничего,что это решение я уже выложил?

@stvcia 4 жыл бұрын

@@ВладимирГаркуша-о4л чесслово ни у кого не подсматривал! 🙉

@ВладимирГаркуша-о4л 4 жыл бұрын

@@stvcia Верю!Но я всегда просматриваю комментарии,что-бы не попадать в неловкую ситуацию.А к такому решению могли и должны самостоятельно прийти многие,неравнодушные к математике люди!

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

@@ВладимирГаркуша-о4л Таке розв'язання уже давно відоме, тільки Волков, здається, про нього не чув і став по-своєму фантазувати.

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

@@ВладимирГаркуша-о4л За індукцію для добутку n таких множників можна довести значно сильнішу нерівність П

@СенСимон-т7х 4 жыл бұрын

Действительнт остроумное решение. Спасибо.

@highground3111 4 жыл бұрын

Это должно быть озарение и дар

@stepan-klyukin 4 жыл бұрын

Очень интересная задача спасибо большое

@Georgiy_Tsyfarkin 3 жыл бұрын

сильно

@schitanstefan2696 4 жыл бұрын

Спасибо вам за решение. Очень интересно. Подскажите каким софтом пользуетесь.

@ХаткиЧиль 3 жыл бұрын

Отважные математики всегда идут в обход!

@feteliqurbanov6007 4 жыл бұрын

Спасибо за ясное обяснение Прошу обясният етоаюво тригонометричний уровнения если етово уровнения другой корн кромо пк/3?

@НурайКалиясова-м6р 7 ай бұрын

А можно ли как нибудь доказать ученику 7 классов?Была бы очень благодарна если поможете

@jeandetalois7832 4 жыл бұрын

Можно доказать по индукцией неравенство (1.3.5....99)/(2.4. ... 100) < 1/10. 1) Так как 10= S(100) (здесь S значит квадратный корень), можно думать о формуле (1.3.5....(2n-1))/(2.4. ... (2n)) < 1/S(2n). Это правда для n=1, n=2, n=3. Индукция n -> n+1 пишется (2n +1)/((2n+2)S(2n)) < 1/S(2n+2), то есть 2n+1 < S(2n)S(2n+2) = S((2n+1)^2 -1). Конечно это не правда. Надо найти более строгую индукцию. 2) Естественно думать о формуле (1.3.5....(2п-1))/(2.4. ... (2п)) < 1/S(2n+1). Это правда для n=1, n=2, n=3. Индукция n -> n+1 сейчас пишется (2n +1)/((2n+2)S(2n+1)) < 1/S(2n+3), то есть S(2n+1)S(2n+3) = S((2n+2)^2-1) < 2n+2. Сейчас это правда. 3) Заключение. Для n = 50: (1.3.5....99)/(2.4. ... 100) < 1/(101) < 1/10.

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

За індукцією також (1.3.5....(2n-1))/(2.4. ... (2n))

@ЗахарЗахаров-я5г 4 жыл бұрын

Насколько я понял, ряд ограничен. Так что там доказывать? p=1 For i=1 to 100 step 2 p=p*(i/(i+1)) Next i MessageBox(p) Результат: 0.079589237387179000 < 0.1 :) Другое дело, поискать при каких значениях "i" результат становится < 0.1. Или чему равен предел ряда при "i" стремящемся к бесконечности.

@TGrod 4 жыл бұрын

Ну конечно можно написать программу, которая будет считать за вас, но тогда пропадает смысл решения задачи. Вы её написали за минут 5, при чём особых знаний а этом не требуется, а вот решить эту задачу самому будет посложнее

@ЗахарЗахаров-я5г 4 жыл бұрын

@@TGrod Абсолютно согласен. Просто задача как раз для компьютера. Гораздо интереснее доказать, что данный ряд стремится к нулю при "i" стремящемся к бесконечности (я попробовал не 100, а 100 000 000 - результат 0.00007978...). Или вывести функцию f(x), где х - как раз тот предел, когда произведение становится меньше него. Этого как раз комьютер решить не может. :)

@maxm33 4 жыл бұрын

Adam Romanov вы не правы в том, что произведение бесконечного числа дробей, каждая из которых < 1, всегда равно 0. Как насчет, например, произведения дробей вида 2^n / (2^n + 1) или каких-нибудь еще быстрее стремящихся к 1?

@maxm33 4 жыл бұрын

Adam Romanov и что дальше? Я не спорю, что будет уменьшаться.

@maxm33 4 жыл бұрын

Adam Romanov не знаю, сколько вам лет, но совершенно очевидно, что в моём примере нуля не достигается.

@Елена-щ7щ3о 4 жыл бұрын

Валерий, здравствуйте! Извините, что пишу вопрос не по данному видео, просто очень нужно пояснение. Подскажите, пожалуйста, как 0,1 мм выразить в см, м, мкм, нм? Прошу именно пояснить, как это сделать (сам алгоритм). Буду благодарна, если поможете!

@ValeryVolkov 4 жыл бұрын

Здравствуйте, Елена, на канале есть видео о простом способе перехода от одних единиц измерения к другим: kzbin.info/www/bejne/b2e5YqVuhsp9rNE

@leticiademole8888 4 жыл бұрын

Здравствуйте! Помогите решить задачу: Покажите что число а = 3 + 2√2 + 1 / 3+2√2 натуральное верно решение? 1) 3 + 2√2 +( 1 / 3+2√2 ) (домножаем вторую дробь на сопряженный множитель) получаем: 2) 3 + 2√2 + ( 3 - 2√2 / 1 ) (корни взаимноуничтожаются) 3) в итоге получаем 3+3=6 это натуральное число, ч.т.д.

@GeorgeGoncharovMath 4 жыл бұрын

Верно.

@jeandetalois7832 4 жыл бұрын

3 + 2√2 + ( 1 / 3+2√2 ) =3 + 2√2 + ( 3 - 2√2) /(( 3+2√2 ) 3 - 2√2 )=3 + 2√2 + (3 - 2√2)/1 = 6

@olegvlasevskiy536 4 жыл бұрын

а можно ли найти корни уравнения x^2 = 2^x ? есть три корня. два из них: 2 и 4, а вот третий - это какое-то отрицательное число между -1 и 0. Не понимаю, как его вычислить

@проокошки 2 жыл бұрын

Ничего не понятно но очень интересно

@pasahuseynov3652 4 жыл бұрын

Valeriy. Volkov pri reshenie zadac 3^√2 sravnit 2^√3 polzuetes proizvodnoy ved eto mojno reshat ocen prosto Vozvedya v √2stepeni oboix cisel polucim 3^2 i 2^√6 i √62^3>2√3 .

@pasahuseynov3652 4 жыл бұрын

Etot metod mojno polzovat v reshenie podobnix zadac bez primenemie proizvodnoy eto slojnaya i obyomnaya Cem etot prostoy metod daje dlya tex kto neznakom primenenie proizvodnoy dlya naxojdenie ekstremuma

@Motya_Internashional1 Жыл бұрын

Интересно , чему же чему равно само t

@deema1974 4 жыл бұрын

Я немного упрощу решение - можно? Если возвести в квадрат левую часть, то потребуется доказать утверждение, что квадрат левой части < 1/100. Мы возьмем похожую дробь, каждый член которой немного больше исходной - (2/3)*(4/5)*(6/7) * ... * (100/101) - стоит ли доказывать, что эта дробь больше исходной? Умножим эту дробь на исходную и потребуем нестрогого неравенства 1/100. Получаем (1/2)*(2/3)*(3/4)*...*(99/100)*(100/101). Как видим, все сокращается кроме 1/101. 1/101 < 1/100. ЧТД.

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

Молодець! А то у коментарях дехто з Волкова уже генія зробив. А зумієш довести, що добуток дробів 1/3, 4/6, 7/9, ..., 100/102 менший за 1/17 ?

@deema1974 2 жыл бұрын

@@ІванФедак-й9ъ Да точно так же. Будем возводить обе части в куб. И как в прошлый раз - умножать будем числа чуть больше исходных. Тогда если неравенство будет доказано при больших значениях левой части, то оно подавно верно при меньших. Соответственно, 1/3 умножаем на 2/4 и на 3/5, 4/6 - на 5/7 и 6/8 и так далее до 100/102 на 101/103 и 102/104. Для пущей красоты умножим и разделим левую часть на 2. В итоге в числителе 2*102!, а в знаменателе - 104! Сокращаем факториалы - в итоге в числителе 2, а в знаменателе 103*104. Сокращаем на двойку получаем 1/5356, а 1/17 в кубе - 1/4913. ЧТД

@deema1974 2 жыл бұрын

@@ІванФедак-й9ъ Но я точно не гений. А Волков - большой молодец, смотрю все его видео с огромным удовольствием.

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

@@deema1974 Правильно. Тільки я, замість множення 103 на 52, оцінив би 103*52>102*51=6*17*3*17=18*17^2>17^3.

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

Ще одне зауваження. Для n таких дробів цим способом вдасться отримати лише, що їхній добуток менший за 1/sqrt(2n+1). Насправді ж, справедлива оцінка, що такий добуток не перевищує 1/sqrt(3n+1). Попробуй довести.

@pompei2 4 жыл бұрын

круто

@jorgedeassis3318 4 жыл бұрын

Здравствуйте Valery Volkov, у меня есть задач который я не смог решить. Как я могу вам показать???

@ВадимСтепанов-л4ь 4 жыл бұрын

Представим исходное число в виде: x = (1/2) *(3/4) * (5/6) * (7/8) * a, где а= (9/10) * (11/12)* ...*(99/100). Заметим, что (9/10)*(11/10) = (9*11)/(10*10) = 99/100 - очень близко к 1. В общем виде (n-1)(n+1)/n^2 =(n^2-1)/n^2 тем ближе к 1, чем больше n. Возведем а в квадрат: a^2 = (9*9/10*10)*(11*11/12*12)...(99*99/100*100) и запишем в виде a^2 = (9/1)*{(9/10)*(11/10)}*{(11/12)*(13/12)}...{(97/98)*(99*98)}*(99/100)*(1/100)= (9/100)*{(99/100)}*{(143/144)}*...*{(97*98)*(99/98)}*{(99/100)} обозначим в^2 число, которое получится из а^2, если в последнем все выражения в фигурных скобках заменить на 1: b^2 = (9/100)*1*1...*1, следовательно, b = 3/10. Очевидно, a^2 y, т. к. (35/48) < (3/4). Итак, по определению, x < y < z = (1/2)* (3/4)*(3/4)*(3/10). Дальше легко посчитать в уме: z = (1/2)*(9/16)*(3/10) = (9/32)*(3/10) = (27/320) < 1/10. Поскольку z < 1/10, то и x < 1/10.

@trolltrollskiy 4 жыл бұрын

Да, трудно

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

Довести, що добуток дробів 1/3, 4/6, 7/9, ..., 100/102 менший за 1/17.

@olgarenard67 4 жыл бұрын

👍

@Massaraksh7 4 жыл бұрын

А вот такое попробуйте: (x*x*(x-3)*(x+1))/(2-x)=14

@mathismind 4 жыл бұрын

Как всегда на высоте г. Валерий!

@ЗиядаГуламжанова-ы3р 4 жыл бұрын

Можно на пропорцию . Основные свойства🙏

@alexruzhinsky5181 4 жыл бұрын

Супер!

@usovskieekstremaly 2 жыл бұрын

Гениально

@sv5244 4 жыл бұрын

Все это, конечно, безумно ярко и дико талантливо, но почему-то хочется предложить такое уравнение: Страна в степени "Жопа"=Народ в степени "Волков" 1. При каком значении степенией обе части уравнения равны? 2. Если степени равны, то в каком соотношении находятся Страна и Народ? 3. При каком значении (или в каком диапазоне значений) степеней Народ и Страна больше 0? Спасибо.

@АлиАскеров-е5г 4 жыл бұрын

2:36 сравнивать дроби через сравнение дробей? я думаю легче просто общий знаменатель и всё

@Собачи-у2п 4 жыл бұрын

Можно вообще не доказывать и так все понятно

@ElenaElena-wh8vm 4 жыл бұрын

Браво!!!👏🏻👏🏻👏🏻👍🏻

@timurvaliyev7610 2 жыл бұрын

Благодарю за красивое решение

@slavamiskel6139 4 жыл бұрын

Так в задании больше либо равно. А вы решали чисто больше

@ValeryVolkov 4 жыл бұрын

В названии видео Ютуб не пропускает угловые скобки (знаки больше или меньше), видимо потому, что угловыми скобками выделяют теги html.

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

@@RumblesThunder За індукцію для Xn методом математичної індукції можна довести значно сильнішу нерівність Xn

@joe2193 4 жыл бұрын

Я извиняюсь,но какой это класс?

@ВикторИванов-ю7ю 4 жыл бұрын

Буржуазия. А если серьёзно, там действия - средняя школа, но кто в средней школе такое решит??? Если только задаться вопросом для детей какого возраста можно дать такое олимпиадное задание ...

@ЯнинаГеннадьевна 4 жыл бұрын

@@ВикторИванов-ю7ю это из книги московские математические олимпиады. 7 или 8 класс

@ВикторИванов-ю7ю 4 жыл бұрын

@@ЯнинаГеннадьевна Вот какие дети умные бывают, аж завидно.

@КотофейКотофеич-о8б 4 жыл бұрын

Да уж-математика страшная сила. Закрутить так что через корни выходить и смещение делать. Круче наверное только через интегралы.

@alextitov- 4 жыл бұрын

На калькуляторе это произведение равно примерно 0,079589.... Интересно было бы доказать, что исходное произведение меньше 2/25.

@АлександрТемный-р9н 4 жыл бұрын

А разве не очевидно, что 0,079589... меньше чем 2/25=8/100=0,08?

@alextitov- 4 жыл бұрын

А как доказать, что произведение в видео равно 0,079589...? Без калькулятора, естественно.

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

За індукцію для n таких множників можна довести нерівність t

@olgapshenitsyna152 4 жыл бұрын

Красиво

@olgarenard67 4 жыл бұрын

Красиво...

@ВладимирГаркуша-о4л 4 жыл бұрын

Повторно пишу комментарий к предыдущей системе!Делить уравнение надо на предположительно большее.Например у!,тогда получаем в левой части дробь,а в правой целое число,откуда вывод х=у.Далее вообще 2=Z!/у! и у+1=2 А если не впаривать что 0!=1(используемое в комбинаторике),а искать в натуральных числах система ВООБЩЕ не нужна!А УРАВНЕНИЕ красивое!

@ВладимирГаркуша-о4л 4 жыл бұрын

Решение у меня пришло другое в течении времени когда смотрел ролик!Ну и 5 минут на проверку! Посмотри на произведение (2/3)(4/5)(6/7)...(100/101) каждый множитель которого больше данного по условию..При умножении его на левую часть получаем 1/101,а дальше по тексту...И без t!

@ІванФедак-й9ъ 2 жыл бұрын

Із цієї ж серії. Думаю, Вас зацікавить. Довести, що добуток дробів 1/3, 4/6, 7/9, ..., 100/102 менший за 1/17.

@mrs_unicat 4 жыл бұрын

По какому принципу мы перенесли знаменатели...как это сработало,почемуу

@vahonenko 4 жыл бұрын

(a/c)*(b/d)=ab/cd=(a/d)*(b/c)

@artick5456 4 жыл бұрын

понятно почему вы долго это решали, потому что это невозможно решить, если просто взять произведение всех знаменателей и числителей , а именно кто не знает то произведение n членов арифметической прогрессии это ((a1+an)^n)/2 чтобы левая часть была меньше чем 1/10 числитель должен быть больше чем в 10 раз меньше, но если взять произведение всех числителей и знаменателей по этой простой формуле ((a1+an)^n)/2 домножив на 2 получим в числителе (1+99)^50 а в знаменателе (2+100)^50 и так теперь судя по тому что вы смогли "доказать" (1+99)^50/(2+100)^50 должно быть меньше 0.1 или (2+100)^50/(1+99)^50 > 10 путем очень сложных вычислений благодаря хорошему калькулятору мы узнаем что (1+99)^50/(2+100)^50 больше 1/10 конец.

@artick5456 4 жыл бұрын

помощью всё того же хорошего калькулятора я узнал что последний числитель должен быть >= 235 и знаменатель соответственно (числитель+1) тогда тогда левая часть была бы меньше правой

@egor_neo 4 жыл бұрын

Это все замечательно, только ваша "формула" неверна

@artick5456 4 жыл бұрын

@@egor_neo согласен , я просто тупой , даже не проверил эту "формулу" , а вы знаете "формулу" ,для вычисление произведения чисел арифметической прогрессии, я уверен должен быть способ

@egor_neo 4 жыл бұрын

@@artick5456 нет, мне неизвестна такая формула