[EM#7] Croissances comparées (Démonstration)

[@julien1079]

Bonjour, je suis un élève de terminale cette année et il y’a une question que je me pose. Qu’est ce qui tend le plus vite entre e^n, n! et n^n ? Merci beaucoup :)

[@oljenmaths]

Salutations ! Du moins au plus rapide, dans l'ordre: e^n, n!, n^n. L'idée principale est de considérer la limite, lorsque n tend vers l'infini, du quotient de deux de ces termes afin de réaliser cette « comparaison ». Si tu as envie de comprendre exactement comment procéder, alors je te recommande de regarder, dans l'ordre: 🎥 [UT#55] Relations de comparaison - kzbin.info/www/bejne/oJWviX6Ai7ljZsU 🎥 [EM#27] Règle de d'Alembert - kzbin.info/www/bejne/o4DRf6hteMtohrc Puis, suite à ces deux vidéos d'introduction, tu pourras étudier la démonstration du résultat énoncé plus haut par Jean-Louis Rouget (pages 12/13): 📝 cutt.ly/zghDjQs Bonne route !

[@julien1079]

@@oljenmaths j’ai regardé les deux vidéos, mais la démonstration me paraît beaucoup complexe pour un élève de terminal. J’y reviendrai au cours de l’année et je finirai bien par pouvoir la comprendre ! Merci beaucoup en tout cas

[@oscarlamelo]

@@oljenmaths Bonjour, la page n'existe plus, aurais-tu un substitut ? Merci !

[@oljenmaths]

Salutations @@oscarlamelo ! En fait, le site de Jean-Louis Rouget est passé payant pour son contenu, voilà pourquoi la page a disparu… je chercherais du côté de christophebertault.fr/cours-et-exercices/ si je voulais trouver la démonstration.

[@erenksng5349]

Les démonstrations sont superbes, merci beaucoup !

[@oljenmaths]

Cher spectateur, salutations ! Si tu veux rentrer directement dans le vif du sujet, je te suggère de lire mes livres, qui sont mes produits les plus aboutis: 📘 Les principes d'une année réussie: amzn.to/33RoTUH 📗 Le petit manuel de la khôlle: amzn.to/35AeFZ9 Cette émission fait partie de mon défi personnel 100 jours, 100 émissions, entamé le 28 août 2017 [88/100]. Depuis, de l'eau a coulé sous les ponts et la qualité du contenu produit s'est considérablement améliorée. Ainsi, si tu viens d'arriver sur la chaîne, je te recommande le visionnage d'une de mes dernières émissions, qui te donnera une meilleure idée de ce que je produis, ainsi que de la vidéo d'introduction de la chaîne. 🎥 La vidéo d'introduction de la chaîne (2'30''): kzbin.info/www/bejne/barafHiphqiqpqc Enfin, si tu souhaites me contacter, voici comment le faire. 📧 Contact: [e-mail] 🌞 Bonne écoute !

[@khalidsbiti485]

UN GRAND MERCI pour vos vidéos, il me semble qu'il manque exposant b sur le facteur entre crochets, lors de la comparaison ln(x) avec x puissance a.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup ! Je vais l'indiquer dans la description et épingler ce commentaire dans le même mouvement. Effectivement, à 4:46, il manque un exposant b dans le crochet de droite :-) !

[@mevan8825]

@@oljenmaths Mais du coup, si on rajoute l'exposant b manquant, on dit que lim (ln (y)^b/y) = 0 d'après le résultat précédent, sauf que le résultat précédent c'est seulement pour b = 1 non?

[@oljenmaths]

@@mevan8825 En fait, ce qu'il faut lire à 4:46, c'est [(b/a)]^b * [ln(x^{a/b})/x^{a/b}]^b. Ainsi, dans le deuxième crochet, on retrouve du ln(y)/y, qui résulte effectivement du cas précédent. Dans la réponse que j'ai faite à Khalid, j'aurais du écrire "il manque un exposant b SUR le crochet de droite", et non pas "DANS le crochet de droite". Désolé pour la double confusion 🙃.

[@nsdmr]

5:15: dans la partie droite du tableau, dernière ligne, dernière égalité, je pense que vous avez oublié un exposant "b" sur le deuxième facteur, parce que quand je développe, je ne trouve pas la même chose. 8:28: dans la partie droite du tableau, dernière ligne, dernière égalité, c'est pas plutôt "x^b / (exp(x)^a)" ? Ou peut-être les lettres sont peut-êtrepris b=a et a=b ? Sinon, très bonne vidéo comme d'habitude. Continuez comme ça, on vous adore!

[@oljenmaths]

Pour la première objection, c'est effectivement un oubli ! Quant à la deuxième, il s'agit d'un changement de variable que j'ai omis: y = ln(x). Ces informations sont planquées dans la description de la vidéo 🙃. Lorsque j'aurai le temps, j'aimerais bien refaire ces vidéos pour éliminer les boulettes...

[@nsdmr]

@@oljenmaths Ah d'accord, je n'ai pas lu la description :) Merci de m'avoir répondu! Bon courage!

[@serenaserena4387]

Bonjour , vers 4:47 pourriez-vous m'expliquer pour quelles raisons vous écrivez (b/a)^b (ln(x^a/b)//x^a/b) et j'aimerais comprendre également à 6:26 la substitution que vous faites avec y=1/x dans la 2e petite démo sur le log

[@oljenmaths]

Pour la première question, c'est une coquille (cf. description): - À 4:46, il manque un exposant b sur le crochet [ln(x^{a/b})/x^{a/b}]. Pour la deuxième question, il s'agit seulement d'utiliser le fait que ln(1/x) = -ln(x), et de remarquer que le signe - se fait croquer par la valeur absolue.

[@lenny7817]

Simple question : à 8:27, on remplace bien par esthétique le y par x mais je me demande si le changement de puissance est du à quelque chose ou est-ce également par esthétique (on a : y^b/(e^y)^a puis x^a/(e^x)^b ) ?

[@oljenmaths]

Non, c'est juste par inattention cette fois, même pas par esthétique 😏. C'était la belle époque du Øljen 1.0., où je ne réalisais pas des scripts précis et improvisais directement sur la tablette graphique. Des petites boulettes de cet ordre se glissaient parfois dans les vidéos, comme celle-ci (+ celle remarquée par Khalid Sbiti dans le commentaire épinglé). Heureusement, maintenant, c'est beaucoup plus rare.

[@mohamedsidibe2357]

merci

[@theeo1977]

Merci :-)

[@mevan8825]

A 6:45, je ne suis pas bien sûr de comprendre pourquoi on choisi x>1, et pourquoi on utilise des valeurs absolues pour ces limites :(. Et aussi : si ça tend vers 0 en valeur absolue, ça tend vers 0 sans valeur absolue ? C'est un résultat du cours ? A 8:39, j'ai beau retourner le truc dans tous les sens, j'ai vraiment du mal avec l'égalité conséquente au changement de variable y = ln (x) :( Désolé je spam la section commentaire de tes vidéos :D

[@oljenmaths]

🔹 À 6:45, j'ai choisi x>1 d'une manière assez arbitraire. Étant donné que je souhaite faire tendre x vers +\infty, il m'est possible de raisonner pour x dans n'importe quel intervalle du type (M,+\infty[. C'est assez pratique lorsqu'on étudie la nature de séries, on la convergence d'une intégrale par exemple. Si le problème est au voisinage de +\infty, ce qui se passe aux alentours de 1 n'importe pas des masses. 🔹 À 8:39, c'est encore une erreur... il faut lire [exp(y)]^a y^{-b}. J'ai oublié le signe "moins", mais c'est bien y = ln(x). Il faudrait vraiment que je refasse ces émissions "de jeunesse", je n'avais pas encore mis au point une méthode fiable pour limiter les erreurs. PS: Tu spammes les commentaires comme les papillons butinent les fleurs 🦋. Tes remarques seront utiles pour toutes les personnes qui se poseront les mêmes questions que toi !

[@mariabouftini1653]

J'ai une question s'il vous plait aidez moi, j'ai trouver une limite de : ln (x)/x avec x tand vers 0+. Normalement x importe ln(x) c'est a dire on doivent avoir +00 comme limite, j'etais choqué lorsque j'ai trouvé -00. Expliquez moi ce cas s'il vous plait Eleve du bac

[@oljenmaths]

La limite de ln(x)/x lorsque x tend vers 0+ n'est pas une forme indéterminée. Simplement, ln(x) tend vers -∞, tandis que 1/x tend vers +∞: par produit, ln(x)/x tend vers -∞.

[@mariabouftini1653]

@@oljenmaths MERCI!!

[@pagenelwilson1949]

Slt, 8:46 je ne comprends pas l'egalité

[@oljenmaths]

🔹 À 8:39, c'est une erreur... il faut lire [exp(y)]^a y^{-b}. J'ai oublié le signe "moins" dans le changement de variable y = ln(x).

[@HappinessYata]

Ça m'énerve parce que je pense jamais à avoir la bonne intuition pour trouver la solution à un exercice de maths...

[@oljenmaths]

La seule chose dont il faut être persuadé, c'est que le travail paie, et qu'il ne faut pas avoir peur de répéter les choses. Sois indulgent ;-).

[@HappinessYata]

@@oljenmaths Merci beaucoup

[@HappinessYata]

@@oljenmaths J'aurais une question à vous poser : j'aimerais réellement comprendre les maths en profondeur mais j'étudie dans une filière qui nous le permet pas. Auriez-vous des livres à me conseiller? Merci.

[@oljenmaths]

@@HappinessYata Le plus simple, dans un premier temps, consiste à prendre des manuels de classes préparatoires scientifiques (pour les deux premières années). Je recommande ici les auteurs Deschamps et Warusfel, qui publient ensemble de bons manuels. C'est ensuite que les choses se corsent, les enseignements étant plus disparates. Ici, je n'ai pas vraiment de recommandations.

[@HappinessYata]

@@oljenmaths Merci!