Geometrische & Algebraische Vielfachheit

/ mathematiqua

[@maxjbg]

Wenn man keine Lust hat die mathematische Definition aus dem Skript zu lesen kann man das Video super in höherer Geschwindigkeit gucken und hat es super drin und versteht alle folgenden Sätze ohne nochmal nachzuschauen wie sich eins der beiden erklärten Dinge zusammensetzt. Super Video!

[@bokaJDe]

wenn ich auf youtube nach dem unterschied zwischen geometrischer und algebraischer vielfachheit suche bringt es mir nichts ein problem zu sehen bei dem beide werte gleich sind.

[@loveya2586]

Sehr gutes und informatives Video. Vielen Dank!

[@oeki9437]

Ich verstehe nicht,wie du für lambda1=5 zwei Vektoren bekommst. ich hätte jetzt nur für x3=0 raus bei dem linearen gleichungssystem

[@karlheifisch]

+Oeki Du hast dann eine Matrix dessen letzte Spalte (1,3,-3) ist und damit ist x3 = 0 (wie du bereits gesagt hast). Danach kannst du, ähnlich wie bei Berechnung des Kerns, x1 und x2 frei wählen, also z.B. x1 = s und x2 = r. Dann hast du als Ergebnis (x1,x2,x3) = s*(1,0,0) + r*(0,1,0). Die Dimension des Eigenraums ist damit 2, was damit auch gleichzeitig die geometrische Vielfachheit ist.

[@phip1611]

Kann das bitte nochmal jemand ausführlich erklären? ICh verstehe nicht wie man aus einem Eigenwert zwei Eigenvektoren bekommt.

[@4w0ken]

am einfachsten kann man sichs so merken. wenn du die matrix mit dem eigesetzen wert durch gaußt, sind die anzahl der nullzeilen = die gemoetrische vielfachheit des eigenwerts oder nocheinfacher die dimension des kerns der matrix die entsteht wenn du den eigenwert einsetzt ist = gemoetrische vielfachheit

[@maximiliann710]

also ist die geometrische vielfachheit einer matrix die keine 0-Zeile nach einsetzen haben würde 0?

[@amateurphysiker2310]

Ist das nicht unnötig umständlich? Das c.P. ergibt sich doch aus det(A-L)=(5-L)(5-L)(2-L), wieso also erst ausmultiplizieren und dann wieder durch P.D. faktorisieren?

[@raphaelroth5593]

Super vielen Dank, sehr hilfreich. Nur eine Frage hätte ich: warum multiplizierst du das charakteristische Polynom aus, wenn man es nachher eh wieder faktorisieren muss?

[@TheZiegler91]

Herzlichen Dank für die gut verständliche Erklärung!

[@alexanderpoth9995]

Wie kommt man darauf, dass es für den Eigentwert 5 zwei Eigenvektoren gibt? Ich habe versucht, es nach dem Schema Matrix * x = 0, wobei x der gesuchte Eigenvektor sein soll, bin jedoch auf kein Ergebnis gekommen.

[@athariei3444]

Herzlichen Dank für die gut verständliche Erklärung!! könntest du vielleicht ein video über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix machen?

[@MasterSheep117]

Da wir die Eigenwerte aus dieser oberen Dreicksmatrix ablesen können, lässt sich doch auch das charakteristische Polynom in Linearfaktoren ablesen. Es wäre hier (5-λ)*(5-λ)*(2-λ). In diesem Spezialfall könnte man sich die Umrechnung mit Polynomdivsion sparen oder? Aber vielen Dank für die Erklärung :))

[@dcngn_]

Das sagt sie doch auch am Ende des Videos

[@meemdt7455]

Zu den Mathebros, wie kann ich aus einer dreiecksmatrix die algebraische und geometrische vielfachheit ablesen? Und wie kommt man auf zwei eigenvektoren bei lamda1 = 5

[@mohayammout4362]

Vielen Dank, das hat mir viel geholfen ''als ausländer Student'' :) :)

[@classicsound90]

Eine allgemeine Frage: Ab 10:30 schreibst du die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte hin. -> mit e1 = 1 und e2 = 2. Hat dieses "e" auch etwas mit der Fundamentalmatrix zu tun?

[@GoldFighters15]

Hier nein

[@ExtractOfPinealGland]

Danke. Hat mir geholfen!

[@Mathematiqua]

+ExtractOfPinealGland Das freut mich zu hören :)

[@Jaultaub]

super video! danke!

[@huxi8070]

Zur algebraischen Vielfachheit: 1, Als Ergebnis haben wir diese für Lambda 1 und 2. Was ist mit Lambda 3? 2, Woher weiß ich, dass - ( l-2) Lambda 1 ist und (l-5) Lambda 2 und nicht umgekehrt? Danke

[@PatsyXVII]

+Zuzana Dee Hy, also zu 1.: Lambda 3 ist auch 5. Man hätte theoretisch L1=L3=5 scheiben können. zu 2.: -(L-2) gehört zu Lambda 2 und (L-5)^2 zu Lambda 1. Kannst du ganz simpel aus den eingesetzten Eigenwerten ablesen (also 2 und 5). Zu deiner anderen Frage wegen der Anzahl der Lambdas: Jede n X n Matrix hat genau n Eigenwerte -> n Lambda. Also 3x3 -> 3 Lambdas ; 4x4 -> 4 Lambdas etc... Bitte

[@papalagoona]

an der oberen Dreiecksmatrix kann man nicht immer die Nullstellen ablesen. 2 0 0 -1 3 1 -1 1 3 wenn man diese matrix nach zeilenstufenform umstellt ergibt nicht das obere dreiecksmatrix die nullstellen!

[@papalagoona]

Nst. sind 2 und 4

[@maxjbg]

+papalagoona Hast du die Regeln zur Berechnung der Determinante beachtet? D.h. hast du drauf geachtet det *-1 zu rechnen bei einer Zeilenvertauschung und mit dem Kehrwert malzunehmen bei einer Zeilenmultiplikation?

[@LordTpol]

Viel zu kompleziert gerechnet. Man kann hier einfach über die untere Zeile entwickeln und hat beim char. Polynom direkt die faktorisierte Darstellung: (l -2)(l - 5)^2. Man brauch dadurch keine Polynomdivisionen zu berechen und ist viel schneller.

[@timucindal]

+LordTpol hast wohl das video nicht bis zum ende geschaut

[@broda680]

Ich habe da eine Frage, wieso ist der Eigenvektor von lambda 2 = 1,3,-3. Mir kommt dieser Eigenvektor wenn ich für Lambda 5 einsetze.

[@Mathematiqua]

+Viktor Tut mir leid, aber ich habe deine Frage nicht ganz verstanden (insbesondere den zweiten Satz)

[@broda680]

Das hat sich erledigt, danke. Aber ich hätte eine weitere Frage. Bei Lambda 1 = 5 sind x und y ja frei wählbar also entweder 1 o. 0. Wieso gibt es dazu keinen dritten Eigenvektor (1,1,0)?

[@julianhoelz8736]

Weil dieser schließlich linear abhängig von v_1 und v_2 ist :|. D. h. der Vektor (1,1,0) bereits im Eigenraum von lambda_1 liegt.

[@olex991]

Du erklärst leider nicht was die beiden Vielfachheiten aussagen, wie sie miteinander zusammenhängen und welche Schlüsse man daraus ziehen kann (diagonalisierbarkeit).

[@Mathematiqua]

Diagonalisierbarkeit kommt als extra Video, daher wollte ich weder darauf, noch auf die JNF eingehen. :-)

[@Scepstrika]

+Mathematiqua Wann kommt das denn?

[@jonathanhengst5547]

funktioniert der trick mit der dreicksform immer oder nur bei regulären matrizen? angenommen eine 4x4 matrix hat rang 3, man bringt die mit dem gauß in dreiecksform und bekommt eine Nullzeile...kann man dann die eigenwerte trotzdem ablesen?

[@unknownn.Userrrrrr]

bitte heirate mich, ich habe mich verliebt $__$

[@metadata5760]

she ded :(

[@xXMrHahnXx]

"Welcome to Mission LoLz.."

[@huxi8070]

1, Wie bestimmt man, wie viele Lambdas es gibt? 2, Wie erkennt man, wie viele Eigenvektoren jedes Lambda hat? Ich habe auch schon die vorherigen Videos angeschaut, trotzdem ist es mir nicht ganz klar. Danke

[@ican7767]

In den vorherigen Videos wird das relativ ausführlich erklärt. Schau es dir noch mal an!! Lies in deinem Skript! Frag deine Komilitonen

[@MaxHanf11]

Sorry, aber ich hab jetzt nicht wirklich verstanden WAS algebraische/geometrische Vielfachheiten sind. Ich hab verstanden wie ich die berechne, aber was sagen diese Werte aus?

[@Mathematiqua]

Also geometrische Vielfachheit ist eben die Dimension des Eigenraums und algebraische Vielfachheit die Vielfachheit der Nullstelle. Der "Sinn" hinter algebraischer und geometrischer Vielfachheit liegt vor allem darin, eine Jordan-Normalform erstellen zu können. Bzw. später, wenn du Spektraltheorie hast, kannst du da noch mehr Sachen mit machen, aber ich denke im Moment müsste es vor allem um die JNF gehen.