Как найти уравнение и длину циклоиды, используя комплексные числа?

В этом видео будем находить уравнение и длину циклоиды - кривой, получаемой движением точки на ободе колеса при его качении без проскальзывания по прямой. В этом нам помогут комплексные числа.
В этом видео более подробно про нахождение формул для длины дуги кривой: • Длина параболы и спира...
В этом видео длина эллипса: • Длина эллипса и разлож...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath

[@ЮсуповИльяс]

Помню на олимпиаде эту циклоиду . Задача была что-то по типу : Найдите радиус кривизны в самой верхней точке циклоиды

[@nickolaymerkin248]

Ну это какая-то детская задача на смекалку. Поскольку в верхней точке происходит вращение вокруг нижней точки обода, то радиус кривизны там - 2R. Или нет?

[@Евгений-б2в3з]

-4, вот подумай в чем ошибка мышления

[@ЮсуповИльяс]

@@nickolaymerkin248 ошибаешся, выходит задача действительнотна смекалку

[@ЛеонидГр]

Даже интересно решение

[@Anti_During]

Уффф. Рекурсивно посмотрел видео ролики про двойные интегралы в полярных координатах и про эллипсы. Теперь я вернулся и готов посмотреть этот материал ))

[@YanShtunder-p7u]

Это кайф, все четко и понятно. И метод интересный. Жаль, что в школах так не рассказывают 😢

[@Observer1973]

Браво! Очень красивое решение. Я получил эстетическое удовольствие при просмотре этого ролика.

[@GeorgiiPrashcharuk]

Спасибо за знания. Ловите копеечку

[@Hmath]

большое спасибо!

[@Arsenniy]

любимый канал

[@RezerdPrime]

Очень занимательный способ решения задачи, еще и пользу комплексных чисел демонстрирует)

[@KOTYARA_231]

Ничего не понятно, но ооочень интересно, жду не дождусь когда будем интегралы проходить😊

[@Qurmanbaev]

Крутая задача

[@surenot-ky6sy]

Отличное видео. Ко́мплексные числа, правда, режут слух. Как говорят, ко́мплексными бывают обеды, а числа всё таки копле́ксные.

[@capitaineserge_9747]

Ко́мплексными бывают не только обеды, а в случае чисел в русском языке допускаются оба варианта ударения. Мне больше нравится на первый слог, так привычнее и так в английском, а "режет слух" когда на второй если говорят не на французском, где ударение всегда на последний слог.

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

Согласен! Кто-нибудь! Ну придумайте фильтр-нейросеть для ютуба, чтобы он менял ударение в слове кОмплексное на комплЕксное! Я думаю, автор видео в детстве был вундеркиндом, и освоил комплексные числа сам по учебникам ещё в раннем возрасте. Понятно, что тогда он не знал, как правильно ставить ударение, и привык ставить так, как его ставят, используя это слово для обозначения других понятий. Причём освоил он их достаточно глубоко, и к такому произношению успел привыкнуть на столько, что потом, когда ему стали преподавать их в ВУЗе, уже не смогли переучить. Я вот школьником с ними познакомился только поверхностно, и меня потом легко переучили.

[@Hmath]

Странно, что вы не можете смириться, что мир не заканчивается вашим вузом, и в нём люди, оказываются, могут и не использовать ваше исковерканное ударение :) С чего вы вообще решили, что ваш вариант вдруг "правильный"? Посмотрите в словарь :) вот откройте, например, википедию и там сразу вам даны ссылки на словари: "Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам. Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа. Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число. Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа. В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ Архивная копия от 2 июля 2019 на Wayback Machine (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка). Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.)."

[@surenot-ky6sy]

Кометнаторам МОЕГО слуха: это мое личное восприятие, отправлено автору видео. Поучения со словарем оставьте себе пожалуйста.

[@Pikuto]

​@surenot-ky6sy Вам сам автор написал, а не комментатор всякий.

[@alexfrozen8987]

Спасибо, интересные видео.Да, я в комментарии к одному из видео предлагал кардиоиду рассмотреть, но очевидно, что нужно с движения по прямой колеса (окружности, круга)- циклоиды рассмотреть сперва, это тоже труднопонимаемая тема.

[@PoweredUP_]

Класс! Не думал, что ответ будет столь простой

[@derschwarzerabe9848]

... немножко комплексного анализа плюс воображение - и задача решена. Спасибо.

[@Ihor_Semenenko]

Мммм, брахистратона. График циклоиды по своей сути - есть графики движения точек колеса (но не только!), что очень интересно, с точки зрения изучения этого движения. И получается интересная зависимость, хотя само колесо совершило один оборот, который 2πR ≈ 6,28R, но при этом точка колеса прошла 8R расстояние, т.е. на 27% большее расстояние. Этот же факт, обосновывает причину наличия крыльев у транспорта - иначе грязь и вода с колес летели бы на крышу или на голову велосипедиста (вот кстати хорошая задача для исследования).

[@nobugsnohugs6040]

4:26 Как приятно услышать правильное произношение :)

[@andreyfom-zv3gp]

одааа

[@konstantinbaturin6651]

а мне режет слух

[@andreyfom-zv3gp]

@@konstantinbaturin6651 молчать ((

[@Pikuto]

4:30

[@konstantinbaturin6651]

конечно же на 4:30

[@yurchickvasil2532]

Легенда

[@vic7871]

Круто. Спасибо.

[@romank.6813]

С переходом к комплексным числам прикольно получилось. Но задачка написать уравнение циклоиды довольно простенькая. Я вот тут набрёл на такую задачку. Даны n положительных чисел. Их среднее арифметическое Mn, геометрическое Gn, гармоничнское Hn. Надо доказать, что отношение (Mn+Hn)/Gn ограничено снизу. Это отношение больше или равно интересному числу ((n-1)^2+1)/(n-1)^(2-2/n), а равенство достигается на наборе чисел 1, (n-1)^2, (n-1)^2, ..., (n-1)^2. Лично я справился только для случая n=3.

[@maligosssaron3416]

Спасибо за Ваши видео!) Я в них нахожу некое вдохновение самому решать. Смог даже решить на своём уровне базельскую проблему, без разложения синуса и без рядов Фурье. Хотя, похоже, как я читал, я не зная использовал преобразование Фурье, но дискретное, и ещё вроде над полем. Я хотелось бы узнать по побольше о таком методе, а то в интернете не очень нахожу( Но видел такой метод на многочленах. А также нашёл решение для ряда Σ1/(kn)! при натуральных k, которое совпало с мои (а именно суммирование e^(ζʳx), где ζʳ - корень k-той степени из 1)

[@viktor-kolyadenko]

Что получим интеграл от модуля dz - это очевидно.

[@АнтонИцкович-х7у]

ааауууф как круто)

[@Nikolai.Nidvorai]

Есть такой вопрос на засыпку. Какая точка в поезде в любой момент времени движется в обратную сторону от самого поезда. В этом видео ответ показан наглядно )

[@Pikuto]

А будут красивые пределы от двух переменных, например,(a;b) -> c?

[@ken1b]

Можно легче, зная физику (берём произвольную точку находим ее скорость через мцс, после рассматриваем промежуток dS, выводя скорость через угол интегрируем и получаем зависимость длины циклоиды от угла поворота.

[@АндрейОстапенко-ж6м]

Давайте про эвольвенту)))

[@boderaner]

Контринтуитивно, конечно, что длина кривой, описываемой точкой на окружности, не равна длине самой этой окружности. Но учитывая, что точка поднимается во второе измерение аж на высоту диаметра окружности, отношение этих длин составляет всего 4/π, то есть ≈ 1,273.

[@barackobama2910]

Что же это мне напоминает? Босоногое детство. У меня консервная банка привязанная к хвосту кота как раз вызывала мысли о циклоидах классе в 7-м. А потом надо ловить кота и отвязывать банку. Кот смотрел очень недовольным взглядом. Люди циклоиды в математических кружках изучают а ты на моем хвосте.

[@indigoseeds5842]

Если ответ такой простой, то это должно быть законом или теоремой, или аксиомой

[@Anti_During]

я Ваш голос не сразу признал :D

[@lifer_x]

Можно площадь лунулы и треугольника Рело(пересечение двух и трёх окружностей)?

[@Hmath]

площадь треугольника рело - это ж просто треугольник+3 сегмента круга. Слишком просто по сравнению со другими видео на канале. Я всё-таки стараюсь, чтобы видео были примерно одного уровня.

[@lifer_x]

@@Hmath а лунула?

[@lifer_x]

@@Hmath или площадь фигуры, образуемой при пересечении n окружностей

[@romank.6813]

А почему плоскость комплЕксная, а числа кОмплексные?

[@jak4596]

Потому всем похуй

[@kelliss2381]

Мне кажется тут длина зависит от того сколько движется тело, а не как, поэтому пи не учитывается, мы же ищем длину, а не формулу траектории (которая была выведена).

[@andreyafanasyev1015]

Нагородил автор кучу всего в задаче для начала 9 класса. Решается через мгновенный центр вращения в одно действие по сути: V=2R*w*sin(fi/2), интеграл брать тоже не нужно- мы знаем, что подъем по вертикали описывается Vy= R*w*sin(fi). График половинного аргумента растянут в 2 раза. Подъем на 2R. Ответ по длине циклоиды:2R*2*2=8R. PS Да, я тренер абсолютных победителей всеросов и золотых международников. )) Не МФТИ.

[@Hmath]

можно ничего не городить и сразу посмотреть ответ в википедии, например. Самое простое, а не вот это вот всё!

[@andreyafanasyev1015]

@@Hmath у меня строгое решение, а не просмотр Википедии.

[@Hmath]

@andreyafanasyev1015 у меня тоже. Но мы же не про это, а про то, чтобы быстрее было и ничего не городить. Вы просто вываливаете кучу фактов, для меня вот они вообще не имеют связи. Чтобы эти связи появились, нужно сделать сильно больше объяснений. А так я тоже могу просто записать ответ и сказать: "он был очевиден девятикласснику". Про это я говорю.

[@timurzhakeyev5149]

На 10.58 мин. I вместе с R вносится за скобки?

[@Hmath]

x - действительная часть числа y - мнимая часть числа ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число

[@timurzhakeyev5149]

Так и вопрос а где i?​@@Hmath

[@Hmath]

посмотрите первый абзац в статье, ссылку на которою я дал. В нем написано, что такое действительная и что такое мнимая часть числа. И то и другое без i

[@timurzhakeyev5149]

@@Hmath хорошо

[@olegdobritsa7764]

С интегралами у меня полный провал.

[@Gretanit]

Комплексные числа смешали геометрию и арифметику

[@MrDiktor]

3:47 , 3:58 , 4:02 , 4:07 , 4:29 , 4:42 , 4:53 , 5:04 , 7:37 , 10:09 , 12:12 , 14:00 , 14:04 КомплЕксные, а не кОмплексные.

[@Hmath]

хаха, кОмплексные - в русском языке уже есть такое ударение, а это всё - "математическое" франкофильство! :)

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

@@Hmath Для нас это не франкофильство, мы вообще на тему этимологии и каких-то франков не в курсАх. Может, когда-то так и было, но теперь для нас это два разных слова из русского языка. И это хорошо, потому что это обогащает язык. КомплЕксные - только числа, всё остальное - кОмплексное.

[@Hmath]

отлично, но это ваше мнение. Я вам свое не навязываю, как хотите, так и говорите. Я считаю, что это не "обогащение" языка, а просто "коверканье" с одной лишь целью - подчеркнуть свою принадлежность к какой-то касте "математиков". Давайте у каждого слова тогда ударения менять, если эти слова к математике относятся. Вот есть слово "целый". Пусть, если это относится к предмету, то ударение на первый слог: "цЕлый стол", а если к числам, то давайте ударение переставим и будем говорить: "целОе число"? :) Можно так еще кучу слов поменять, просто потому, что хочется, чтобы в математике они бы как-то иначе звучали. Но зачем это? Кстати, заметьте, я даже специально на разные слога ставил ударение в видео, чтобы уже наконец показать эту бессмысленность в спорах с ударениями. Но, видимо, уже нужно просто ставить ударение везде на первый слог - всё равно же под каждым видео будут писать про это :)

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

@@Hmath Я заметил. А идея отличная, но только подходит для новых понятий. Старые лучше не трогать.

[@ВикторКонтуров]

Опять кОмплексные числа на комплЕксной плоскости?

[@Razure28]

Потому что без разницы, куда ударение ставить

[@Qraizer]

Ну ты ж поставил дизак, как я?

[@ВикторКонтуров]

@@Qraizer Нет

[@aastapchik8991]

Не комплексные, а комплексные

[@ЛевЯрков-е1ж]

Кто тоже за "комлЕксные"?

[@OMMO-b2l]

...а цель какая?...

[@mr.pumpkinn]

Просто интересно стало