Интеграл от бесконечного произведения

В этом видео будем находить интеграл от бесконечного произведения дробей. Эта забавная задача позволит использовать сразу несколько разных инструментов: комплексные числа, разложение в ряд, интегрирование по частям и т.п.
здесь получено разложение в бесконечное произведение для синуса: • Бесконечное произведен...
Здесь еще один интеграл от другого бесконечного произведения: • Определенный интеграл ...
В этом плейлисте собраны видео с различными способами нахождения суммы ряда 1/n^2: • Сумма ряда 1/n^2. Базе...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911

[@barackobama2910]

Впечатлил последний трюк с добавлением суммы. Ловко!

[@robertmonroe9728]

Эстетику получил, спасибо

[@AlexeyEvpalov]

Красивое, подробное решение. Спасибо за видео.

[@user-cn5lu3nc2t]

Давно хотел выразить вам огромную благодарность за ваши важные, увлекательные и красивые, как с точки зрения содержания, так и с технической стороны, видео! Вы сделали это лето лучшим в моей жизни! Такого духа исследования, такого азарта от математики я не испытывал никогда! Потратить несколько дней или недель из-за небольшого вопроса или идеи, внезапно шёлкнувшей у тебя после вашего ролика в голове посреди ночи - бесценно. Я учусь в десятом классе, и вы можете представить, насколько я проспонсировал производителей тетрадей на 96 листов, строя длинную цепь, последовательно соединяющую мои знания и нечто до того непостижимое, пока смотрел практически каждое ваше видео по несколько раз. Единственное, что расстраивает, дак это то, что некоторые вещи, ввиду своего интеллекта, я понять не могу, и их приходиться постулировать. К примеру, откуда взялся ряд Фурье - загадка для меня. Я могу доказать, что формула работает, но, я думаю объяснять не стоит, что такой подход не даёт никакого представления о природе вещей. Но подобные проблемы постепенно закрываются. Прямо перед выходом этого видео я закрыл главный для себя вопрос: откуда взялась формула коэффициента перехода от прямоугольных ск к другим в виде определителя какой-то непонятной матрицы, свалившейся с Луны. Такого математического приключения без вас бы не было! В общем, буду краток: СПАСИБО! P.s. у меня ЕГЭ по русскому скоро, а прочитав этот текст, можно оценить мои шансы...

[@Hmath]

рад, что кого-то мои видео так вдохновляют! :) удачи с ЕГЭ!

[@user-nt7cg6ok6f]

Друг, не переживай) С такой мотивацией все нужные тебе знания ты обязательно получишь) Кто ищет, тот всегда найдёт) Насчёт ряда фурье могу посоветовать объяснение от 3b1b, мне очень помогло, когда я этим занимался. Насчёт якобиана поищи видео про геометрический смысл якобиана криволинейного преобразования координат. Но чтобы его понять, нужно понимать минимальную базу линейной алгебры

[@user-nt7cg6ok6f]

Я тоже начинал интересоваться математикой с роликов на ютубе, узнаю эти эмоции) Успехов тебе!)

[@robertmonroe9728]

Мое уважение. Ты - исключение, а не школота, играющая в Майнкрафт. У тебя все получится. Но чтобы реализовать себя - уже сейчас думай как свалить из России. Мой тебе искренний совет. У тебя слишком мало времени осталось, чтобы найти подходящий западный колледж. И над языком работай, не над русским, а английским. Жаль будет, если такие сильные молодые мозги пропадут в этой тоталитарной системе

[@jokerman7614]

@@robertmonroe9728 балбес

[@user-nt7cg6ok6f]

Обожаю интересные разложения тригонометрических функций в ряды и беск. произведения) А одно из самых прикольных, это разложение ln(2sin x) в виде: Σ[n=1, oo] cos(2nx)/n

[@user-fr3xf9gj7p]

Красивая задача и потрясающей красоты решение! Получил удовольствие!

[@zlodevil426]

Прекрасные видео, это просто русскоязычный Майкл Пенн

[@SergeyUstinenkov]

Обожал математику в школе и высшую математику в институте. Но после ВУЗа пошел в другую сферу. С удовольствием смотрю такие ролики, некоторые задачи до сих решаю самостоятельно.

[@user-fr3xf9gj7p]

А я перед сном решаю или разбираю задачи.)))

[@yurchickvasil2532]

Обожаю ваш контент, узнал много всего нового и просто полюбил математику из-за ваших видео. (P.S очень бы хотелось побольше видео о диффурах)

[@maksimexuzyan]

Поддерживаю. Хотелось бы нелинейных диффур, а для эстетики - в частных производных

[@alvaro_sann-2328]

Hmath, спасибо за твой контент. Я и не думал, что ещё до поступления в ВУЗ смогу брать даже такие интегралы.

[@saramkrtchyan4959]

Красиво, захватывает.Спасибо.

[@NikitaBotnakov]

Красиво и понятно. Как всегда. Спасибо!

[@pinpad5956]

Красота, получил эстетическое удовольствие от просмотра! А есть у вас что-нибудь про интегрирование по параметру? В машинном обучении встречаются такие задачи.

[@user-mp5rt3hl7z]

Восхитительно... Даже не знаю что более прекрасно: реление или такой лаконичный ответ

[@slavinojunepri7648]

This is a very satisfying result indeed. Thank you for sharing.

[@user-jl5sw5yb9i]

Блестящая работа! Благодарю

[@georgen9755]

only the battery doesn't last for even one hour ,

[@igorratnik2357]

Спасибо. Проверил в маткаде))) точно п/4 :)

[@-chessmatics]

Очень интересно. С удовольствием подписался и поставил лайк. Кстати, я ваш 9 914-ый подписчик. Удачи и успехов.

[@user-jg7du8bs2k]

Как всегда, красота и мощь математики)

[@maksimexuzyan]

По поводу сходимости 1/f(x) при комплексном аргументе можно ссылаться на теорему Вейштрасса о целых функциях, тогда честно все посчитав получим гиперболический синус

[@alfazero1423]

Ваш канал, как элитный и дорогой ресторан с несколькими мишленовскими звёздами. Как всегда всё со вкусом и дорого 👍

[@masternhl]

как все ласково и приятно )

[@user-nt7cg6ok6f]

Смог не смотря догадаться до идентичного решения😄 Слишком много вас смотрю, наверное😅

[@user-hc7dc6eb1k]

Колдун однако! 😊

[@nikko2505]

Красиво ❤

[@TurboGamasek228]

это круто!

[@dtihert]

А в кпкой программе Вы редактируете математические записи для видео?

[@Hmath]

формулы в MathType, дальше вставляю и делаю картинки для каждого кадра видео в Photoshop, а дальше из кучи картинок уже собираю ролик в видеоредакторе (я пользуюсь movavi - простенькая прога, быстро можно сделать простую анимацию из картинок) и записываю звук.

[@dtihert]

@@Hmath тоже им пользуюсь, просто думал, что что-то удобнее имеется в Вашем распоряжении)

[@user-lb2xz4ce5j]

Крутое видео! Только почему не обосновал вследствие чего можно переставлять знак суммы и интеграла?

[@t_mm_r]

ряды равномерно сходятся

[@tmpsnt3322]

КРАСИВСК

[@james88683]

Есть идея для задачи, попробуйте решить: ∞ Σ n=1 = n/³√2n^4+1. Нужно доказать сходимость ряда.

[@Hmath]

предельный признак сравнения, сравнить с 1/n^(1/3) (если я правильно разобрал, что тут написано). ряд расходится. www.wolframalpha.com/input?i=sum+n%2F%282n%5E4%2B1%29%5E%281%2F3%29+n+from+1+to+inf

[@james88683]

@@Hmath Все верно, я ее решал через интегральный признак Коши, как по мне это самый надежный метод. Спасибо за ответ.

[@DEmoN-er5ct]

Здравствуйте, как думаете, можно ли оценить корень уравнения cos(x)=x с помощью ряда, скажем, с точностью до 10 знака? А то я попробовал и в ряды Фурье функции раскладывать и с интегральчиками баловался и т.п, но ничего не получается. Здесь можно обойтись какими-то около стандартными методами или же нужно придумать что-то гениальное?

[@Hmath]

для численного решения уравнений существует метод Ньютона (по этому названию и можно нагуглить). Где-то всего 5-6 итераций метода дают значение корня с точностью до 19-20 знака. Только при этом как-то нужно "уметь" вычислить значения косинуса и синуса с не меньшей точностью. :)

[@DEmoN-er5ct]

@@HmathДа, это правда. Но я увидел на mathstackexchange страничку, что-то типо: «Оценить корень без метода Ньютона». С этим сейчас и борюсь)

[@user-nt7cg6ok6f]

Можно по теореме Лагранжа об обращении рядов получить ряд обратной функции для f(x) = cos x - x

[@DEmoN-er5ct]

@@user-nt7cg6ok6f Это не особо сильно поможет в вычислении корня

[@user-nt7cg6ok6f]

en.m.wikipedia.org/wiki/Dottie_number Первое, что вспомнилось...

[@iofpkfs31]

хотелось бы рассмотрение доказательств формул Рамануджана, было бы интересно

[@user-uj5jt9fx7e]

Обожаю Чехова!

[@HighlanderMcLeod]

Я [censored] ничего не понял! Но очень интересно!

[@mike-stpr]

Чем-то этот весь матанализ похож на топологию. Ответ содержится уже в задаче, но задача запутана и чтобы его найти надо дергать за кончики, вязать, переплетать веревочки, чтобы в конце концов все узелки расплелись и веревочка приняла свою наиболее понятную форму. Интересно, какие задачи решают настоящие математики? Есть ли такой канал на ютубе? СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 🙂

[@yarolev7505]

Я не очень понимаю почему именно в данном случае мы можем поменять порядок интегрирования и суммирования. Объясните пожалуйста. (Не уверен, но вроде здесь мы можем как-то ограничить функцией 2t*e^(-t) или ей подобной...)

[@bekjanberik5489]

Потому что операция интегрирования дистрибьютивно. Это тоже самое как сначала умножаешь потом суммируешь, или суммируешь потом умножаешь.

[@Hmath]

это если с конечными суммами, а с рядами не совсем так :) поэтому и спрашивают. Но тут "оправдание перестановок" займет больше времени, чем все остальное решение :)

[@user-tv7td9ih5k]

Без обоснования таких неочевидных переходов математика превращается в шаманство. Извините.

[@Hmath]

необоснованные переходы не привели к неправильному ответу. Вы сильно преувеличиваете значимость "строгости" обоснований, тем более предъявляя их к бесплатному развлекательному контенту на ютьюбе. Если вы видите, что "нет обоснований", значит у вас достаточно знаний, чтобы прекрасно представлять, что достижение той строгости, которая вам желательна, потребовало бы увеличить длину ролика (и количество работы над ним) в 3 раза и тем самым только уменьшило бы аудиторию.

[@yarolev7505]

@@Hmath Вы правы. В этом есть некоторая проблема научпопа. Тогда постараюсь доказать это сам и если получится, выложу обоснование здесь)

[@user-zy6gn8vz2x]

Не доказали равномерную сходимость для изменения порядка суммирования и интегрирования. Даже об обычной сходимости не упоминается. Об этом всегда забывают. Даже сам факт добавления к обеим частям бесконечных сумм нужно было пояснить. К тому же не слишком хорошо говорить, что формулы, верные над полем вещественных чисел, верны и над полем комплексных. Это убеждение иногда может послужить причиной серьезных ошибок. Например, та же формула расстояния скалярного произведения. Комплексный анализ красив, но отличий от вещественного у него достаточно. P.s. Вы также не уточнили по поводу трюка с переворачиванием бесконечного ряда даже с условием его сходимости.

[@Hmath]

если уж вы за точность, тогда и точно цитируйте то, что я говорил в видео. Я сказал: "чаще всего те формулы, которые работают с действительными числами, оказываются верны и для комплексных". Я не говорил, что это абсолютно всегда так! Непонятно, что за трюк с "переворачивание ряда". Я там только бесконечное произведение "переворачивал". Об "обычной сходимости" упоминается: 3:46 а также: 6:00 и еще: 6:13 Давайте еще сделаем такой челлендж: придумайте тогда такой пример интеграла, чтобы он сам изначально сходился, а после того, как разложили функцию в ряд и потом почленно проинтегрировали получился бы опять сходящийся ряд, но при этом этот ряд в итоге сходился бы к абсолютно другому числу, чем изначальный интеграл.

[@MinecraftForever_l]

Последнюю сумму можно было вычислить, используя теорему о вычетах.

[@mmruvvo94]

Не всегда

[@MinecraftForever_l]

@@mmruvvo94 я говорю конкретно за этот случай.

[@Romgenas]

Махинации

[@user-tv7td9ih5k]

Почему поменяли операции интегрирования и суммирования? Где объяснение законности такой перестановочности? Всегда остаётся осадок от того, что опускаются тонкости.

[@Hmath]

объяснения нет, как вы могли заметить :) такие вот у меня нестрогие решения для инженеров, физиков и химиков: всегда остается осадок ;)

[@adokenai_me]

как я понимаю, интегрирование, по сути, есть суммирование, а от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

[@user-tv7td9ih5k]

@@adokenai_me Нет, вы не правильно понимаете. Интеграл от суммы КОНЕЧНОГО числа слагаемых равен сумме интегралов, это ясно. А вот интеграл от БЕСКОНЕЧНОЙ СУММЫ таким свойством не обладает!

[@perkyfever]

@@user-tv7td9ih5k t*e^(-t(2n+1)) сходится равномерно, а значит можно менять порядок интегрирования и суммирования.

[@user-tv7td9ih5k]

@@perkyfever Вы, наверное, хотели написать, что РЯД сходится равномерно?

[@user-hk1xh9sx6j]

Строго говоря, на 6:16 ошибка, так как предел для q строго меньше единицы, а при пределе интегрирования 0, e^(-2t)=1

[@Hmath]

а вас не смущает бесконечность на верхней пределе в интеграле? Или то, что функция t/sh t не определена в нуле, например? :) В этом случае интеграл понимается в смысле предела (т.е сначала ищем интеграл от a до b, а потом устремляем a к нулю, а b к бесконечности). Тогда 0

[@oleksandrpopov3902]

Некоторые действия сделаны без доказательства. Бесконечная сумма бесконечномалых не всегда ноль

[@ko-prometheus]

Чувак, очень интересно. А что мне даст такой интеграл?? Где я его могу применить??

[@stasessiya]

слишком часто при интегрировании по частям первое слагаемое оказывается равным нулю..

[@user-bc1kx8bw3b]

Это с бесконечными такое чаще

[@vikivanov5612]

Крысота! 😀

[@alanturing487]

Почему, разбирая такие сложные задачи, вы говорите кОмплексные числа?

[@Hmath]

А как одно с другим может быть связано? И как нужно говорить? :)

[@alanturing487]

@@Hmath дело в том, что правильно говорить не кОмплексные, а комплЕксные А сложность разбираемых задач говорит о том, что вы профессионал, а от профессионала немного странно слышать такое произношение

[@Hmath]

а почему вы решили, что "правильно" ударение на Е? В русском языке уже есть слово "кОмплексный", и так его используют большинство людей. Зачем нужно менять в нем ударение? Какой в этом смысл? В каком еще языке существует два слова "комплексный" с разными ударениями: одно для чисел, другое для всего остального? КомплЕксный - это пережиток 19 века, моды на французские слова и способ показать свою принадлежность к "касте математиков". И даже сейчас далеко не все используют "комплЕксный" в отношении чисел. Это скорее какое-то региональное явление. Так что всё это сводится к обсуждению акцентов русского языка и какой из них более "правильный".

[@alanturing487]

@@Hmath Вопрос почему решил, что правильно такое ударение, заставил задуматься) Наверное, так научили в университете, причем акцентировали на этом внимание. Сейчас почитал в интернете, пишут, что допустимы оба варианта, однако ударение на Е является чем-то вроде профессионализма. Просто мне режет слух, не принимайте близко к сердцу. Ваши видео все равно прекрасны и очень увлекательны!)

[@Hmath]

я не принимаю :) я сам раньше постоянно говорил "комплЕксные", пока не подумал, что это какое-то странное слово и его происхождение туманно :) Теперь я специально в видео использую оба варианта. Вот, например, в английском языке: 1) complex approach to a problem 2) complex number в обоих случаях ударение на первый слог. Нет никакого отдельного ударения для комплексных чисел :) Во французском языке ударение на второй слог. Опять же в обоих случаях. Но почему-то в русском пытаются сделать два отдельных слова с разными ударениями.

[@md2perpe]

Слава Украине! Остановить войну!

[@sergeyantonov5906]

Адресом ошиблись!🙂