Integrale improprio svolto con il metodo dei residui

[@salvoromeo]

CORREZIONE al tempo 06:52 .L'argomento di z è compreso tra -π/2 e 3π/2 e non tra π/2 e 3π/2 . Ho dimenticato a mettere il "meno" davanti π/2 .

[@anyelo2026]

@salvoromeo All’inizio del video lei dice che nonostante uno studente abbia superato l’esame di Analisi 1, non saprà affrontare l'integrale improprio da lei proposto e subito dopo, per giustificare questa sua affermazione, inizia a elencare i metodi che l’Analisi 1 mette a disposizione per il calcolo degli integrali sottolineando che nessuno di essi può funzionare. Non è affatto vero che disponendo degli strumenti forniti dall’Analisi 1 non è possibile calcolare l’integrale da lei proposto, infatti si può procedere nel seguente modo anche senza la necessità di ricavare una primitiva della funzione integranda. Dopo aver scritto l’integrale da lei proposto come somma di due integrali definiti (il primo avente come estremi di integrazione 0 e 1 e il secondo avente come estremi di integrazione 1 e +inf) e dopo aver verificato tramite i criteri di integrabilità che entrambi gli integrali esistono e sono numeri reali, si può applicare il metodo di sostituzione al secondo integrale (quello avente estremi di integrazione 1 e +inf) e facilmente ottenere il valore dell’integrale da lei proposto come si evince nei seguenti passaggi : Int da 0 a +inf [ ln x / (x^2+1) ] dx = = Int da 0 a 1 [ ln x / (x^2+1) ] dx + Int da 1 a +inf [ ln x / (x^2+1) ] dx . Applicando a quest’ultimo integrale il metodo di sostituzione ( t = 1/x ), si ottiene quanto segue : Int da 0 a 1 [ ln x / (x^2+1) ] dx + Int da 1 a 0 [ - ln t / (1/t^2+1) ] (-1/t^2) dt = = Int da 0 a 1 [ ln x / (x^2+1) ] dx + Int da 1 a 0 [ ln t / (1+t^2) ] dt = = Int da 0 a 1 [ ln x / (x^2+1) ] dx - Int da 0 a 1 [ ln t / (t^2+1) ] dt = = 0 . Dato che questo integrale si può calcolare facilmente utilizzando solamente gli strumenti forniti dall’Analisi 1, non sarebbe stato meglio che lei avesse proposto un’integrale che si potesse calcolare solo tramite il metodo dei residui e non anche attraverso l’Analisi 1 allo scopo di mettere ancora più in evidenza l’efficacia e l’utilità dell’analisi complessa per il calcolo di integrali definiti altrimenti non calcolabili ?

[@ninotorre4490]

Grandissimo video Salvo! Da ex studente di ingegneria elettronica che ha seguito Analisi III nel "lontano" 2021 è stato piacevole tuffarsi in questa tipologia di esercizi, cercando di ricordare durante il video come si facessero. Spiegazione top💪💪💪

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio Nino .Mi fa piacere che il video sia stato di tuo gradimento 😊 .

[@francescociampi-zz3ln]

Complimenti prof. solo lei può far comprendere argomenti matematici così complessi.

[@valentinodrachuk5692]

Non penso hahahah

[@salvoromeo]

Grazie per l'eccessiva fiducia Francesco 😊 ma sono concetti didattici noti a ogni docente di matematica .Sembrano complessi poiché non vengono proposti tutti i giorni e riguardano una branca particolare dell'analisi matematica .Ma ti assicuro che non sono difficili se si capisce il meccanismo . Buona giornata 😊

[@luigitrovato9532]

@@salvoromeo ad esempio nell'università dove vado io analisi complessa è una materia opzionale, mi ricordo che il mio professore di analisi 1 e 2 ci ha detto che quando ha studiato lui solamente 2 studenti avevano scelto di seguire questo corso

[@francescociampi-zz3ln]

Grazie, anche a lei

[@luigitrovato9532]

L'analisi complessa è una delle branche della matematica che più preferisco, grazie al teorema dei residui è possibile risolvere integrali di analisi 1 che altrimenti non si potrebbero risolvere, oppure le trasformate di Fourier e di Laplace che permettono di risolvere equazioni differenziali in maniera molto più semplice o ancora alle distribuzioni. Una domanda, se volessi trovare una primitiva di questa funzione dovrei ricorrere al teorema di integrazione per serie?

[@salvoromeo]

Buongiorno Luigi mi fa piacere che tali argomenti siano di tuo gradimento .In teoria come avrà visto in una precedente lezione pubblicata qualche tempo fa si ricorre all'integrazione per serie .Il problema è che in questo contesto a causa del logaritmo non è il metodo ideale e il teorema dei residui è il metodo più adatto e un buon compromesso a portata di mano per qualsiasi studente .

[@luigitrovato9532]

@@salvoromeo però il teorema dei residui ci dice solo quanto vale quell'integrale, quindi mi chiedevo come trovare una primitiva di questa funzione

[@CristianGMetauro]

Salve professore, questo sarà un commento non correlato alla spiegazione del video, ma è un semplice ringraziamento perché è solo grazie ai suoi video se sono riuscito a superare matematica generale all'università. Se non fosse stato per lei e per il modo in cui spiega gli argomenti che tratta non so quanto ulteriore tempo ed energie avrei speso. La ringrazio dal profondo del cuore e spero che continui con quello che sta facendo, perché sono sicuro che in futuro aiuterà altri ragazzi come me. P.S. Mi spiace per il lungo messaggio😂, ma avevo intenzione di scrivere tutto ciò che avevo da dire. Grazie ancora.

[@salvoromeo]

Buonasera Cristian , grazie per il bel messaggio .Buon proseguimento con il Suo piano di studi 😊

[@sergiocavuti5670]

Grandissimo Salvo come stai?video molto bello amico mio,gli integrali impropri mi piacciono tantissimo,bellissimo argomento,sei proprio bravo amico mio collega💪💪💪🔝🔝

[@salvoromeo]

Grazie mille Sergio .Al solito tutto bene 😊

[@AntoninoParisi-matematica]

Che ricordi, l'avevo studiato il teorema dei residui più di vent'anni fa e non me lo ricordavo più... 😮😮

[@salvoromeo]

Per chi l'ha studiato basta un breve ripasso per farlo riemergere dal dimenticatoio .Anche nel mio caso ci sono argomenti di altre discipline che ho dimenticato , ma a volte basta un semplice ripasso e torna (quasi ) tutto chiaro 😊 .

[@AntoninoParisi-matematica]

6:53 Perché teta è compreso tra pi/2 e 3pi/2? 🤔

[@salvoromeo]

Buongiorno Antonio grazie per aver notato l'imprecisione .Metterò un commento di correzione .Intendevo dire -π/2 . Provvedo subito grazie a Lei .

[@AntoninoParisi-matematica]

@@salvoromeo Non ho capito però perché -pi/2 🤔 Mi sarei aspettato tra 0 e pi greco

[@salvoromeo]

@@AntoninoParisi-matematica certamente ho capito il dubbio .Al di là del dominio regolare che ha ampiezza π , ho scelto quella determinazione del logaritmo poiché nel campo complesso il logaritmo si definisce a meno di un "taglio " nel piano complesso come ho già spiegato nella lezione di questa playlist .Poiché il dominio regolare si trova nel primo e secondo quadrante il taglio viene fatto dalla parte opposta "sacrificando " l'asse y negativo .Questo perché per definire il logaritmo si deve per forza scegliere una determinazione (eseguendo un taglio) e in questo caso ho scelto proprio il semiasse immaginario (negativo ) . Se avessi considerato il dominio regolare nel terzo e quattro quadrate , avrei dovuto eseguire il taglio nella parte superiore quindi come determinazione avrei scelto π/2

[@AntoninoParisi-matematica]

@@salvoromeo Ok, la guarderò, grazie... 👍

[@francescocontalbi1222]

Visto solo ora. Lezione superba. Ricordo ancora il lemma di Jordan su quale semipiano chiudere il percorso. Nell'esercizio però perché cambiare segno all'integrale sulla semicirconferenza -epsilon. + epsilon? Il percorso è ancora antiorario (dominio lasciato a sinista)

[@salvoromeo]

Buongiorno .Grazie per l'intervento .Attenzione che il percorso lascia il dominio alla sinistra ma in quel caso il verso di percorrenza è orario e ciò fa cambiare il segno all'integrale fi linea 😊 .Ottima osservazione comunque .

[@francescocontalbi1222]

Grazie per la sua sollecita risposta. Le auguro una buona giornata, e anche un buon Natale e nuovo anno. Con tanta stima da parte mia

[@matteofiorillo9599]

Propongo una soluzione alternativa molto breve. Si divida l'integrale originale in due componenti, uno nell'intervallo (0,1) e l'altro nell'intervallo (1,+inf); se si agisce sul secondo integrale e si opera la sostituzione x=1/t si ottiene esattamente l'opposto della prima componente. In questo modo le due componenti dell'integrale originale si sommano dando 0 come risultato. Bel video come sempre, buona giornata professore.

[@salvoromeo]

Certamente Stefano , in questo caso era possibile utilizzare un secondo metodo .Prova a risolvere lo stesso integrale con [ln(x)]² è molto istruttivo e si basa anche su tale integrale .In questo'ultimo caso non sarà zero .Sto introducendo wuesta tipologia di integrali utilizzando il metodo dei residui per preparare il terreno per le successive videolezioni su analisi funzionale 😊 . Ti ringrazio per il commento e l'apprezzamento verso i miei contenuti.

[@VincenzoCurcio-y1z]

Esatto. Bravo. Quello da te proposto e' un ricorrente modo di risolvere queste tipologie di integrali insieme alle sostituzioni con la tangente o quelle autosimilari (1-t/1+t) anche se si tratta di un integrale noto che si sa che e' uguale a zero.

[@anyelo2026]

@salvoromeo All’inizio del video lei dice che nonostante uno studente abbia superato l’esame di Analisi 1, non saprà affrontare l'integrale improprio da lei proposto e subito dopo, per giustificare questa sua affermazione, inizia a elencare i metodi che l’Analisi 1 mette a disposizione per il calcolo degli integrali sottolineando che nessuno di essi può funzionare. Non è affatto vero che disponendo degli strumenti forniti dall’Analisi 1 non è possibile calcolare l’integrale da lei proposto, infatti si può procedere nel seguente modo anche senza la necessità di ricavare una primitiva della funzione integranda. Dopo aver scritto l’integrale da lei proposto come somma di due integrali definiti (il primo avente come estremi di integrazione 0 e 1 e il secondo avente come estremi di integrazione 1 e +inf) e dopo aver verificato tramite i criteri di integrabilità che entrambi gli integrali esistono e sono numeri reali, si può applicare il metodo di sostituzione al secondo integrale (quello avente estremi di integrazione 1 e +inf) e facilmente ottenere il valore dell’integrale da lei proposto come si evince nei seguenti passaggi : Int da 0 a +inf [ ln x / (x^2+1) ] dx = = Int da 0 a 1 [ ln x / (x^2+1) ] dx + Int da 1 a +inf [ ln x / (x^2+1) ] dx . Applicando a quest’ultimo integrale il metodo di sostituzione ( t = 1/x ), si ottiene quanto segue : Int da 0 a 1 [ ln x / (x^2+1) ] dx + Int da 1 a 0 [ - ln t / (1/t^2+1) ] (-1/t^2) dt = = Int da 0 a 1 [ ln x / (x^2+1) ] dx + Int da 1 a 0 [ ln t / (1+t^2) ] dt = = Int da 0 a 1 [ ln x / (x^2+1) ] dx - Int da 0 a 1 [ ln t / (t^2+1) ] dt = = 0 . Dato che questo integrale si può calcolare facilmente utilizzando solamente gli strumenti forniti dall’Analisi 1, non sarebbe stato meglio che lei avesse proposto un’integrale che si potesse calcolare solo tramite il metodo dei residui e non anche attraverso l’Analisi 1 allo scopo di mettere ancora più in evidenza l’efficacia e l’utilità dell’analisi complessa per il calcolo di integrali definiti altrimenti non calcolabili ?

[@salvoromeo]

Buongiorno il Suo discorso non fa un piega . Tuttavia mi riferivo dl fatto che risolvere l'integrale utilizzando le primitive non è fattibile . Mi riferivo a tale aspetto . La ringrazio per il Sua utile (e lecita ) considerazione .

[@VincenzoCurcio-y1z]

L'integrale e' calcolabile non in maniera agevole comunque spezzandolo in due integrali. Uno da 0 a 1 e l'altro da 1 a piu' infinito. Il primo e' noto per modo di dire ai matematici ed e' uguale a meno la costante di Catalan G che vale approssimata 0.91. il secondo faccio la sostituzione per x = tangente di u. Gli estremi diventano da π\4 a π\2. Dopo qualche passaggio l'integrale diventa il log(sinx) meno il log(cosx) che sono calcolabili e pari entrambi a - π\2 ln2 che sommati tta loro fanno 0 che e' il risultato che hai trovato esclusa la costante -G.