【京都府立医科大学2001年】 巡回群をもとにした難問

こんにちは！マルチーズ先生です。群論を元にした問題で、高校生には分かりづらいと思います。
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師　マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。

[@54576524]

めっちゃ面白い

[@user-we9lp7lh4t]

有難うございます！

[@user-sv6ep5yh2l]

楽しい問題

[@user-we9lp7lh4t]

有難うございます！

[@mathkaleidoscope]

フェルマーの小定理(群論バージョン)ですね(^^)。

[@user-we9lp7lh4t]

巡回群がでてきますね！

[@corn-K]

皆さんの回答が難しすぎる… (1)Gの集合を｛cos(2π×k/n)+isin (2π×k/n)|kは1≦k≦nを満たす自然数｝とする。 このとき、Gの要素は複素数平面において原点を中心とした半径1の円の円周をn等分するように定める点(そのうちの一つの点が1となるように定める点)を示しているとわかる。 このときこの集合Gの要素として、z=cos(2π×k'/n)+isin (2π×k'/n)、w= cos(2π×k''/n)+isin (2π×k''/n)とおく(k'とk"は1以上n以下の自然数とおく)と、zw= cos(2π×(k'+k'')/n)+isin (2π×(k'+k'')/n)となる。ここで2π×(k'+k'')/n+2mπ(mは整数)は円をn等分する点の中でk'+k"+mn番目の点(k'+k"+mnが1以上n以下になるように定める)を示す角度であるとわかるのでGの集合｛cos(2π×k/n)+isin (2π×k/n)|kは1≦k≦nを満たす自然数｝における2π×k/nが2π×(k'+k'')/n+2mπと一致するようなmがただ一つ存在していることがわかる。 よってn個の複素数からなる集合Gの要素z,wの積zwが再びGの要素になるため、Gの要素の個数はn個に定まる。 これが求めるGの集合なので、Gの例は｛cos(2π×k/n)+isin (2π×k/n)|kは1≦k≦nを満たす自然数｝となる。

[@corn-K]

(2)ってn=3だとGの要素は1,t,1/tに出来るけど、こういうのって場合分け必要なんですかね?

[@user-dq3ht9st5h]

うーん、なんか出題の意図がよく分からん問題だな。 (2)の答案を、(1)と(2)の両方に書いたらどうなるんだ？

[@user-we9lp7lh4t]

自分も同じようなことを思いました。

[@saundersn.6147]

そもそも問われている内容が違うから減点か（少なくとも(1)は）0点だね． (1)は「条件を満たすGの存在を示せ」と問うているが，(2)は「それが存在するなら一意的であることを示せ」と問うている． (2)が設問にないなら(1)で一意性の証明まで書いても問題ないが，(2)の設問があるのに(1)でそれをやったら「数学の問題文の意味が理解できていない」と判断される可能性がかなり高い． これらをごっちゃにしているなら，論理にうるさい大学教授は当然減点以上の判断をする可能性もある．

[@eight_yomenai]

私がそうだったんですが、(1)は、パッと見で G = { e^(((2kπ)/n)i) | k = 0, …, n } が思い付いてしまう人もいると思います。 このGが条件を満たすことを示すだけでも、正解にしてもらえると思います。 候補を絞れなかった人も、思い付きさえすれば点数が貰えるようにしたのかなと思います。

[@user-we9lp7lh4t]

@@eight_yomenai なるほど、そのような考え方もありますね。

[@user-vu5kg6hf2v]

感想 (1)Gの要素である複素数の積がまたGの要素になる。じゃあ全ての要素の絶対値は1だな。違うヤツがいたらそいつの累乗で要素が無限に作れちゃうから。 要素が全部(複素数平面における)単位円上にあることが分かった。無難にn等分してみる？おっ、上手く行った♪ (2)「他に存在しないことを示せ」 背理法？取り敢えず単位円上に無い要素を仮定して…分からん！部分点取りに行こ。

[@vacuumcarexpo]

1のn乗根かな？とはすぐ思い付くけど、それのみを示せ❗と言われると困りますね。

[@user-we9lp7lh4t]

そこが難しいところですね！

[@null-rn9zx]

おもしろいけど実際自分の入試で出たらキレそう

[@user-we9lp7lh4t]

受験生は困ったでしょうね。

[@user-vx7ki9ul2o]

(1)はもっと簡単になりそうですね。 (n=0では空集合が条件を満たす) n≧1でG={z∈ℂ|zⁿ=1}とする。0∉G ∀z,w∈Gについて、zⁿ=1,wⁿ=1より、 (zw)ⁿ=zⁿwⁿ=1だから、zw∈G zⁿ=1はn次方程式なのでn個の解を持つが、もし重解aがあるとすると、 zⁿ-1=(z-a)²P(z)を満たす整式Pが存在する。両辺微分して、 nz^{n-1}=2(z-a)P(z)+(z-a)²P'(z) z=aを代入して解くとa=0で矛盾 よって重解はないので、Gはzⁿ=1のn個の異なる解からなる集合である。 (2)は群論の知識があると解きやすいかもしれないですね。 (1)のGをG_0として、これとは別にGをとる。 z∈Gに対し、z^k(kは自然数)はGの元なので、十分多くのz^kについて考えると、ある自然数a,b(a

[@user-we9lp7lh4t]

なるほど！分かりやすい解答有難うございます！

[@user-su8ir3mn1e]

ハイレベル数学の完全攻略にありましたね

[@user-we9lp7lh4t]

有名な問題なんですね！

[@user-zm9mr1op8v]

(2)示せてなくない？(1)では天下り的解法で十分性しか議論してないし、(2)でも必要性担保できてな異様に思うんだが

[@eight_yomenai]

(2)で、w や w₁ , …, wₙ は文字で置いただけだし、この証明で w ∈ G ⇒ wⁿ = 1 (wは任意) が示されてるから、結局 「Gの全ての要素がe^(((2kπ)/n)i)の形で表される」 が示せてて、Gの要素数がnであるという仮定と併せれば G = { e^(((2kπ)/n)i) | k = 0,…,n } が結論付けられて、必要性が示せていると思うのですがどうでしょう。 動画での最後の結論の書き方は微妙な気がしますが。

[@saundersn.6147]

(1)は題意の条件を満たすGの存在を示せばいいので, 自分が示したその一例が条件を満たしていることさえ示せればそれで正解. (2)はそれが存在すれば一意的であることを示せと言っているんだから, 「一意性」を問うている． だから, (1)はOKだが, うるさく言うなら(2)の動画の回答はツッコミどころがある. 定型の証明なら, 例えば「(1)でのGとは異なる問題の条件を満たすG'があって…」などの前置きをして, そのG'で議論を進めて動画のようにG'の各要素が1のn乗根でなくてはならないことを示し, 問題の条件から, 各要素がすべて相異なりかつちょうど過不足なくG'もn個の要素からなることから, GとG'は一致する（背理法）という論法で書くべきだろう. ただ, 高校生にそれを要求するのは酷なので動画の回答でも正答としてくれるかもしれない. そういう採点の基準で外野が争う余地があるという意味では「悪問」だろう, なぜなら, 高校生の時はこれで許されているのに大学ではいきなり「論述を明白に厳密に！」とされてそのギャップに苦しむことになろうから.

[@eight_yomenai]

@@saundersn.6147 一意性を示すなら、背理法を使わなくても、条件を満たす任意の G, G' が G = G' となることを示せばいいですよね。 動画のやり方は、G' = { 1のn乗根 } の場合だと私は解釈します。 (2)で、 「 条件を満たす任意の G に対して G = { 1のn乗根 } が成り立つ 」 が証明されています。 ここで、G' = { 1のn乗根 } と置けば、これは 「 条件を満たす任意の G に対して G = G' が成り立つ 」 という形の命題になっていることが分かるので、 一意性が示されているということになるかと思います。 今回、G が具体的に求まっていることがポイントだと思っていて、 条件を満たすどんな G も、具体的な或る集合に等しい、 ということは一意だ！、ってことになるかと思います。 （型にとらわれずに、日本語だけで考えてみれば当たり前な気もしますがどうでしょうか。） 論理式で考えてみても良いかと思います。 おっしゃられた一意性は、 ∀G, G' [ P(G)∧P(G') ⇒ G = G' ] というものかと思いますが、今回の場合、具体的に H = { 1のn乗根 } という集合があって、 ∀G [ P(G) ⇒ G = H ] が成り立つと言っています。 P(H) も真であるとは (1) で示されているので、 これもれっきとした一意性の証明であると私は思います。 もっとシンプルに、(1)で 「 G = { 略 } ⇒ 条件満たす 」 が示せていて、(2)で 「 条件満たす ⇒ G = { 略 } 」 が示せているから同値であることが分かって、 っていうことは一意だ！、ってしてしまってもよいのかなと思うのですがいかがでしょう。

[@eight_yomenai]

蛇足ですが厳密なことを言うと、 ∀G [ P(G) ⇒ G = H ] だけでも「一意性」と呼んで、 (1) P(H) も併せたものは「一意存在性」と呼ばれる。 (1)は「存在性」を問う問題で、 (2)は「一意性」を問う問題。 併せて「一意存在性」。 つまり(2)の 「 条件を満たす ⇒ G = { 略 } 」 を示すだけでも「一意性」は示されたことになる。

[@saundersn.6147]

@@eight_yomenai >∀G [ P(G) ⇒ G = H ] その書き方も略記として見かけますが, 論理学の基本に立ち返って厳密に表記するなら, ∀G ∀H [ P(G) ∧ P(H) ⇒ G = H ] で「G（あるいはH）が一意的」でしょうな. 本来GもHも束縛されていなければなりませんから. したがって, 「存在して一意」を意味する ∃!G は, ∃G P(G) ∧ ∀H ∀G [ P(G) ∧ P(H) ⇒ G = H ] となり, 短い表現なら, ∃G ∀H [ H = G ⇔ P(H) ] となります. (後者は「存在して一意」の言葉の意味に沿っています. ） ま, これこそ蛇足ですがね.

[@user-fs3kj7zb6o]

理学部数学科卒の50歳すぎのおっさんです。これ反則じゃない?代数学の群論ですよ。

[@user-we9lp7lh4t]

私も、入試問題としてふさわしいかどうかは疑問に思いました。