ОЛИМПИАДА КАЛИФОРНИИ! НАЙДИ СВОЙ ПУТЬ! This is the Way!

Дан прямоугольный тр-к ABC с гипотенузой AB=35. Окружность радиуса 12 с центром O на гипотенузе каcается катетов (AС в т. M, BС в т. K). Найти площадь тр-ка ABC.

[@user-ru7zk7kl6y]

Уважаю преподов, которые исправляют собственные ошибки без паники.

[@rabotaakk-nw9nm]

НЕДОисправил: t²-2•12²•t-35²•12²=0

[@GeometriaValeriyKazakov]

все норм.

[@AlexeyEvpalov]

Задача свелась к решению системы. Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@Григоров_Алексей]

Очень круто!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Тут я согласен.

[@Snuryus]

Окружность просто для отвлечения внимания :) Сводится к задаче о прямоугольном треугольнике и вписанном квадрате.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Можно также сказать, если дан квадрат, что квадрат для отвлечения, это окружность с центром на гипортенузе. На самом деле, отличная переформулировка задачи. Однако, это не меняет решения. Или я не прав?

[@Snuryus]

@@GeometriaValeriyKazakov Ну задача о квадрате вписанном в треугольник - можно сказать классическая. О которой написано немало книг и научных статей. А такая переформулировка добавляет лишний геометрический шаг, к чисто алгебраической задаче. Хотя вам виднее, я не составитель задач, я тот кто любит их решать :))

[@user-wj5vx7og4h]

Систему я составил выражая площадь через радиус, она ав=12(а+в). А находил я не ав. Я нашел а+в. Так уравнение проще немного.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, можно и так. Кстати, найдя (a+b) можно S=pr=0,5(a+b+35)*(a+b-35)/2=

[@user-wj5vx7og4h]

@@GeometriaValeriyKazakov Тут проще можно. Мы же имеем ав=12(а+в). Т.е. S=12(a+b)/2

[@user-qi7gn7go5b]

Супер, спасибо!

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам спасибо.

[@-wx-78-]

Если построить симметричную C относительно AB точку D, прямоугольный дельтоид ACBD будет бицентрическим (то есть вписанно-описанным), а для таких четырёхугольников d₁d₂/d² − D²/(d₁d₂) = 1, где d₁ и d₂ - диагонали, а d и D - диаметры вписанной и описанной окружностей. 2S = S[ACBD] = ½d₁d₂, тогда d₁d₂ = 4S. 4S/24² − 35²/(4S) = 1 [домножим на 24²·4S] 16S² − 24²·4S − 24²·35² = 0 [разделим на 16] S² − 144S − 6²·35² = 0. Сумма 144, произведение -5²·6²·7² - это -150 и 294 (на самом деле я схитрил, просто 144 = 6·24 = 6·(7²−5²) 😉). В общем случае получается S = ½R(R+√[AB²+R²]).

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@user-vm4sz1qn2s]

Пусть АМ=х; КВ=144/х из подобия. АС=12+х; СВ=12+(144/х) Применяем теорему Пифагора для тр. АВС Решаем уравнение с помощью замены t= x+(144/x) t^2+24t-1225=0 x+(144/x)=25, два решения х=9 и х=16 Катеты тр. АВС 21 и 28.

[@GeometriaValeriyKazakov]

ОТлично.

[@user-zo8zo3cg9b]

Вот пара задач интересных: 1) Есть две окружности с диаметрами 1 и 3. Окружность Ф1 катится по окружности Ф3. Сколько Ф1 сделает оборотов вокруг своей оси, вернувшись в начальную точку? 2) На поверхности шара случайным образом отметили 4 точки. Из этих точек построили тетраэдр. Какова вероятность того, что центр шара принадлежит тетраэдру?

[@user-zo8zo3cg9b]

Ещё из огэ. Две окр Ф16 и Ф48 касаются внешним образом, вписаны в угол А. общая касательная пересекает его стороны в точках В и С. Найти радиус окружности, описанной вокруг АВС.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ну 2-я у нас не покатит. А 1-я отличная! Может рассмотрю. У меня другая есть: 12-00 ч, через сколько секунд секундная вновь догонит минутную?

[@user-yr2jg7cm5r]

Проведем перпендикуляры на АС и ВС ОМ и ОК , обозначим ВС=Х , АС=У , ОМ=СК=ОК=СМ=12 . Из подобия тр-ков АМО и ВКО ( по двум углам ) АМ/ОМ=ВК/ОК , (Х-12)/12=12/(у-12) , ХУ=12(Х+У) , по теореме Пифагора АВ*2=ВС*2+АС*2 , Х*2+У*2=35*2 (1), с уравнения (Х+У)*2=Х*2+2ХУ+У*2 , подставляя ранее полученные результаты имеем (Х+У)*2=2х12(Х+У)+35*2 , (Х+У)*2-24(Х+У)-35*2 , Х+У=р , р*2-24р-1225=0 , .р12=12+-\/12*2+1225=12+-37 , р=Х+У=12+37=49 , второй корень - отрицательное число и не может удовлетворять условиям задачи . Подставляя У=49-Х в уравнение (1) получаем Х*2-49Х+49х12=0 . Х12=49/2+-\/(49/2)*2-49х12=49/2+-7/2 , первый корень Х1=49/2+7/2= 28 , второй Х2=49/2-7/2=21 , соответствует АС=У=21 (49-28=21) . S=(ХУ)/2=(28х21)/2=294 . Не обидно , что сложнее чем у Вас -решал сам , а этот нюанс возьму на вооружение . Спасибо !

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@Andrej_rybak]

Благодарю.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Наконец, вы появились!

[@Andrej_rybak]

@@GeometriaValeriyKazakov 🙂.

[@user-uw3qx3ok4k]

корень из 35 в квадрате +1 никак не 37, да, и вообще 35 в квадрате +1 заканчивается на 6

[@user-uw3qx3ok4k]

А, там 12 в четвертой

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спакуха, все верно, не пугайте мастера! 12^2+35 = ...9

[@user-uw3qx3ok4k]

@@GeometriaValeriyKazakov да, там не видно нифига, с телефона если смотреть, т к мастер использует фломастер) другие математики, кто от руки на доске или на листах пишет конечно имеют преимущество, а тут несколько глазоломно + все-таки алгебра в геометрии не так интересна как чистая геометрия, ну, а так удачи, я пока подписался.

[@pojuellavid]

Не торопился с ответом -- уж больно алгебраически и окружность лишь для того, чтобы СМОК был вписанным квадратом-12. Блинн, а у аффтара -- так же ... МЫсль такая. Нам нужны АМ и ВК. Значит нам нужно промежуточно найти два значения из 3-х ; а*b ; а/b ; a*t+b*u=v/ Из подобия находим а*b=12, а из пифагоры -- (a+b)=25. Задача решена

[@user-yq4jh7sw1y]

12/sinα + 12/cosα = 35, через tgα/2, sinα = 3/5, cosα = 4/5, ∆АВС египетский, S = 21*28/2=294.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@Григоров_Алексей]

Бомба! Респект!

[@user-sc1zy5yl6o]

АМ= х, КВ=y. Из подобия АМО и ОКВ хy=144, по т. Пифагора ( х+12)^2+(y+12)^2=35^2. Устно нашла подходящие делители числа 144: 9 и 16, (12+9)^2+(12+16)^2=35^2. АС=21, ВС=28, S=294

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Но устно - это опасно. А вдруг есть еще пара или две?

[@user-sc1zy5yl6o]

Эта система уравнений имеет 4 решения, два из них отрицательные (-6;-9) и (-9;-6), остаются (6;9) и(9;6), что не влияет на ответ задачи.​@@GeometriaValeriyKazakov

[@user-sc1zy5yl6o]

У меня косяки: в 1 четверти 2 решения: (9;16) и (16;9), а в 3 четверти ответы дала такие, как если центр окружности находится в начале координат, а не в точке (-12;-12) . Прошу прощения 😢😢😢