Как найти сумму с общим членом sin(a+kh), где k изменяется от 1 до n?

В этом видеоролике найдём сумму с общим членом sin(a+kh), где k изменяется от 1 до n (здесь a и h - вещественные числа, а n - натуральное число). Другими словами, запишем эту сумму в виде выражения в замкнутой форме. И то же самое проделаем с суммой косинусов, т. е. с суммой с общим членом cos(a+kh).
Для решения поставленной задачи умножим сумму синусов на удвоенный синус h/2, после чего новый общий член суммы представим в виде разности косинусов по соответствующей тригонометрической формуле. Перейдём от суммы к разности сумм, выполним во второй сумме сдвиг по индексу суммирования. В результате придём к разности сумм с одинаковыми общими членами, но с разными пределами суммирования. В результате вычитания останется лишь разность первого члена первой суммы и последнего члена второй. Для получения искомого результата остаётся лишь разделить полученное выражение на удвоенный синус h/2 b и отдельно рассмотреть случай, когда этот синус равен нулю.
Формулу для суммы косинусов можно получить, например, дифференцированием уже полученной формулы для суммы синусов по a.
Ссылка на видеоролик с решением олимпиадной задачи, в котором используются полученные формулы: • Как найти определённый...

[@mernakk]

Можно ещё по другому. (Напишу для косинусов, так как так короче): cosx = (e^(ix) +e^(-ix))/2. Теперь нужная сумма - это сумма двух геометрических прогрессий, которые легко считаются)

[@FrolovSergei]

Да, верно! А можно даже одной прогрессией обойтись: найти сумму с общим членом e^(i(a+kh)), где k изменяется от 1 до n, после чего взять мнимые части обеих частей равенства, в результате чего получим первую формулу. Затем возьмём вещественные и получим вторую.

[@user-qq8kp5cw8x]

О, задачи с отбора ИТМО в общем виде