Как найти определённый интеграл от функции (sin(nx)/sin(x))^4, где n ∈ ℕ, на промежутке от 0 до π/2?

Найти определённый интеграл от функции (sin(nx)/sin(x))^4, где n ∈ ℕ, на промежутке от 0 до π/2.
Для решения задачи нам понадобятся формулы для сумм синусов и косинусов, аргументы которых образуют арифметическую прогрессию. Используя одну из этих формул, получаем выражение функции sin((2n-1)x) через сумму косинусов, что позволяет найти определённый интеграл от этой функции на промежутке от 0 до π/2. Используя другую формулу, выражаем функцию (sin(nx)/sin(x))^2 через сумму синусов. С помощью ранее найденного интеграла находим интеграл от этой функции на промежутке от 0 до π/2.
Зная, как функция (sin(nx)/sin(x))^2 выражается через синусы, несложно получить выражение для функции (sin(nx)/sin(x))^4, что даёт нам возможность проинтегрировать её, используя ранее найденный интеграл от функции (sin(nx)/sin(x))^2.
Ссылки на ролики:
Вывод формул сумм синусов и косинусов: • Как найти сумму с общи...
"Новогодний интеграл" (последний ролик 2022-го года): • Как найти определённый...
Вывод формулы суммы квадратов первых n натуральных чисел (первый ролик на канале): • Чему равна сумма квадр...

[@user-dr3vv2bt8m]

Здравствуйте Сергей .Спасибо За Понятное и Обоснованное решение этого интеграла.Я хотел задать вопрос а как вы перешли к повторной сумме на 9:23 я запутался в данной части ..можете более подробно объяснить эту часть заранее спасибо

[@FrolovSergei]

Здравствуйте, Ильхам! Спасибо за просмотр и за отзыв! Давайте, для простоты, считать, что нам нужно записать в виде повторной суммы сумму попарных произведний чисел a_1, a_2, ..., a_n, которую мы обозначим буквой S. Удваивать ничего не будем, т. к. множитель 2 мы, при необходимости, всегда сможем приписать. Запишем каждое произведение так, чтобы индекс первого сомножителя был больше второго. Разобьём все произведения на группы так, чтобы каждая группа содержала все произведения с одним и тем же первым сомножителем и только их. Элементы каждой группы упорядочим по возрастанию индекса второго сомножителя, а сами группы упорядочим по возрастанию индекса первого. Суммы элементов каждой группы заключим в скобки и просуммируем полученные выражения в скобках. Продолжение смотрите по ссылке: oktotrop.narod.ru/sum.png. Я там всё подробно расписал.

[@user-dr3vv2bt8m]

@@FrolovSergei Спасибо Огромное Вам.Все стало Понятно.Надеюсь Узнать Много Интересного с Вашего Канала .Удачи Вам .

[@FrolovSergei]

@@user-dr3vv2bt8m На здоровье! И Вам тоже удачи!

[@andreybyl]

Наличие разрывов подынтегральной функции( в конечном или счетном числе), если функция ограничена и не означает, что интеграл несобственный, это же критерий Лебега интегрируемости по Риману) так что можно и не делать оговорок и ничего не доопределять )

[@FrolovSergei]

Тогда нужна оговорка о том, что функция ограничена 🙂. А доопределяю я функции в точках устранимых разрывов не для интегралов, а для рассматриваемых и получаемых формул, в которых интегралы не участвуют.

[@andreybyl]

@@FrolovSergei я просто на тот момент ещё н досмотрел до конца.. там у вас тонкий момент, где вы поняли, что интегралы расходятся, там где разность интегралов, как вы это поняли? Это же ловушка

[@FrolovSergei]

@@andreybyl Вы имеете в виду тот момент, в котором я говорю, что, если перейдём к разности интегралов "в лоб", то получим разность двух расходящихся несобственных интегралов? Там всё просто: в обоих случаях подынтегральные функции при x→+0 эквивалентны 1/x^2.

[@andreybyl]

@@FrolovSergeiА ну да, подынтегральные функции же неотрицательны.. если эквиваленты, то одного порядка, а раз одного порядка и неотрицательны, то интегралы сходятся или расходятся одновременно.. А может и в лоб можно, без строго обоснования, похоже что расходимости могут друг-друга скомпенсировать, ведь функции очень «похожи»

[@FrolovSergei]

​@@andreybyl Конечно компенсируют, мы же, в итоге, получили выражение, которое конечно при любых значениях параметров. Но дело в том, что разность расходящихся несобственных интегралов - это заведомо некорректное математическое выражение, не имеющее смысла.

[@dushkin_will_explain]

А вот каково прикладное значение таких задач?

[@FrolovSergei]

Ну, определённые интегралы используются, например, в физике и электротехнике, а прикладное значение этих наук сложно переоценить. Но, конечно, привести пример какого-нибудь конкретного интеграла, который использовался бы при разработке конкретного прибора, я не смогу. А так-то мой канал посвящён "чистой" математике, и прикладным значением рассматриваемых задач я не особо интересуюсь.

[@dushkin_will_explain]

@@FrolovSergei, про определённые интегралы наслышан, спасибо :). Вопрос у меня был конкретно про такие вот «странные» функции под интегралом - вряд ли они когда-нибудь встретятся на практике в наблюдениях или экспериментах. То есть такие штуки - это чисто потренировать мозг в формальном выводе?

[@FrolovSergei]

@@dushkin_will_explain Полагаю, что именно так и есть. Сам я к решению таких задач так и отношусь - как к тренировке мозга.

[@dushkin_will_explain]

@@FrolovSergei, понял, благодарю.

[@FrolovSergei]

@@dushkin_will_explain Всегда пожалуйста! 🙂