Как найти определённый интеграл от функции (x-1)/(x^2-2)/(x^2-2x+2) на промежутке от 0 до 1?

Найти определённый интеграл от функции (x-1)/(x^2-2)/(x^2-2x+2) на промежутке от 0 до 1.
Оказалось, что решить задачу можно даже без разложения подынтегральной функции на простейшие дроби, а также без использования формулы Ньютона-Лейбница. Всего лишь достаточно использовать несколько подстановок, в том числе, тригонометрическую, после чего выразить интеграл через себя.
Видеоролик на канале @Hmath: • Число Пи: вывод формул...

[@FrolovSergei]

Когда я говорил о корректности подстановки t=tg(φ) на промежутке [0,𝝅/2] (тайм-код 5:22), то забыл отметить, что функция tg(φ) на этом промежутке не просто дифференцируема, а непрерывно дифференцируема, т. е. имеет непрерывную производную. Выполнение этого условия требуется в соответствующей теореме о замене переменной в определённом интеграле. Впрочем, когда мы имеем дело с элементарными функциями, как в нашем случае, мы можем позволить себе не беспокоиться о непрерывности производных, поскольку она всегда будет иметь место. Другими словами, производная элементарной функции, дифференцируемой на некотором промежутке, непрерывна на этом промежутке.

[@ВиталийКуранов-ю8я]

красивое решение, когда до тригонометрии дошло я стал догадываться что там где-то пи горизонте.

[@lovepeace-sw6zj]

Интересное наблюдение. В преобразованном интеграле с тригонометрическими функциями числитель можно представить в таком виде: cos(2t)=A*знаменатель + B * производная от знаменателя Тогда первообразная будет Ax+B*ln|знаменатель| + С причем знаменатель(0)=знаменатель(π/4)=1 , ну значит ln|знаменатель| = 0 после применения Ньютона-Лейбница

[@Hmath]

Хорошо получилось! :)

[@FrolovSergei]

Мне тоже понравилось! 🙂

[@andreybyl]

Добавлю, что если подынтегральная функция непрерывна, то достаточно лишь непрерывной дифференцируемости замены и формула замены переменной в определенном интеграле останется верна. Подобным способом нередко вычисляют интегралы из конкурса MIT Integration bee, какой-нибудь ужасный определенный интеграл после пары замен и использования элементарных свойств определенного интеграла приводится к линейному уравнению

[@FrolovSergei]

Да, при замене x=g(t) требуется непрерывная дифференцируемость g(t). В нашем случае производная тангенса непрерывна на [0,𝝅/4], так что это условие выполняется. И, раз уж я взялся обосновывать корректность подстановки, следовало бы это в ролике упомянуть. Что касается монотонности g(t), то она гарантирует, что после замены переменной аргумент "старой" функции не выйдет за пределы "старого" промежутка интегрирования. В случае отсутствия монотонности это не гарантировано. Вот пример. Рассмотрим интеграл от функции sqrt(x) на промежутке [0,1]. Подстановка x=sin(t), где t ∈ [0,𝝅/2] корректна (синус на этом промежутке возрастает). А та же самая подстановка, но на промежутке [0,5𝝅/2] - уже нет (синус на этом промежутке не является монотонной функцией). Как видите, непрерывность подынтегральной функции и непрерывная дифференцируемость подстановки ещё не гарантируют корректности замены.

[@andreybyl]

@@FrolovSergei Ну да, разумеется надо чтобы замена отображала новый отрезок интегрирования В старый отрезок интегрирования. Но кстати этот вариант теоремы о замене переменной, где монотонность не требуется, но требуется «в качестве компенсации» не просто интегрируемость,но непрерывность подынтегральный функции, доказывается как раз через формулу Ньютона-Лейбница, так что вы все правильно сделали, что оговорились насчет монотонности, избежали даже неявного использования Н-Л :)

[@romank.6813]

А формула Ньютона-Лейбница таки была, когда вычислялся интеграл от дэ-фи на промежутке от нуля до пи-на-4. Вообще, метод составления уравнения для значения определенного интеграла является достаточно стандартным. Ярчайший пример - интеграл от гауссовой функции от минус до плюс бесконечности.

[@FrolovSergei]

Возможно, Вы до конца ролик не досмотрели. Я говорю в нём о том, что мог задействовать формулу Ньютона-Лейбница для вычисления данного интеграла, но вместо этого воспользовался свойством определённого интеграла (интеграл от 1 равен длине промежутка интегрирования, если нижний предел меньше верхнего). Это свойство мгновенно следует из определения определённого интеграла; для его установления никакая формула Ньютона-Лейбница не нужна. Кстати, в “Курсе математического анализа” Кудрявцева это свойство стоит под номером один и оно доказывается за несколько параграфов до вывода формулы Ньютона-Лейбница. Да, разумеется, метод составления уравнения относительно интеграла стандартный, тут не о чем спорить.

[@sacredabdulla5698]

это колдовство в чистом виде.