Какой трюк использовать для этого интеграла с логарифмами?

Рет қаралды 5,642

Күн бұрын

В этом видео будем находить сложный несобственный интеграл с произведением логарифмов, к которому не применимы стандартные методы.
В этом видео доказано, что можно интеграл от f(sin x) равен интегралу от f(cos x): • Два определенных интег...
В этом видео найдены значения интегралов от ln(sin x) и ln(cos x): • Три классических интег...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911

Пікірлер: 27

@AlexeyEvpalov Жыл бұрын

Красивое, необычное решение. Большое Спасибо за видео.

@chagkruzart7695 Жыл бұрын

Как говорил препод по матану, взятие производных - это ремесло, взятие интегралов - это искусство

@ИльхамАбдуллаев-ь6й Жыл бұрын

Какая Красота .Гениальное И Как Всегда Лаконичное Решение

@gerinos Жыл бұрын

Как всегда красиво и неожиданно!

@ЗаираЛабазанова-ь1ю Жыл бұрын

Канал супер. Вспомнил вузовские годы

@БунёдШаюнусов-б7х Жыл бұрын

классно!

@ІгорСапунов Жыл бұрын

Решил через трактовку ln(x) как производной x^n по n в точке n=0. Интеграл от x^n*ln((b^2+x^2)/(a^2+x^2)) берется "не до конца", но через линейную замену выражается через интеграл от t^n*dt/(1+t^2). Продифференцировав концевое выражение по n и подставив n=0, получаем тот же ответ (один интеграл даст арктангенс, а второй от ln(t)/(1+t^2)=0). Пол-листа А4 всего-навсего

@Valter25096 Жыл бұрын

Красивое решение! Но исходя из чего должен быть очевиден выбор именно таких всмомогательных интегралов и соответствующих замен в них? Кроме как на опыт, интуицию и т.п. вещи - на что-то более рациональное можно опереться?

@Hmath Жыл бұрын

есть какие-то стандартные приемы, которые применяются в той или иной ситуации. Если есть логарифм, например: можно попробовать избавиться от него методом интегрирования по частям или заменой. А так, много же разных приемов, они же не укладываются все в один единый универсальный алгоритм, который можно было бы в комментариях описать.

@nikko2505 Жыл бұрын

Красиво, но не совсем понял законность перехода от найденных интегралов к искомому

@Hmath Жыл бұрын

законность в изменении порядка интегрирования. Нужно отдельно доказывать, что это возможно для несобственного интеграла. Но я как всегда не стал в 3 раза длиннее видео делать :) Статистически сложнее найти такой пример, когда бы нельзя было без последствий менять порядок интегрирования в двойном интеграле (чтобы это прямо к ошибке приводило, которую трудно сразу заметить) :)

@nikko2505 Жыл бұрын

@@Hmath подзабылось все.. 23 года прошло

@КисаВоробьянинов-ш2д Жыл бұрын

@@Hmath а разве это не просто потому, что у и х становятся независимыми переменными друг относительно друга, и это как бы сразу видно?

@КисаВоробьянинов-ш2д Жыл бұрын

@@Hmath я просто всегда на это опираюсь

@Hmath Жыл бұрын

если пределы в интеграле конечны и функция непрерывна по обоим переменным в области интегрирования, тогда можно изменять порядок интегрирования в двойном интеграле смело. С несобственными интегралами посложнее: равномерная сходимость и т.п :) Но обычно самое страшное, что может случится при "неправомерном" изменении порядка интегрирования - это изначально сходящийся интеграл вдруг оказывается расходящимся, а это сразу видно :) Но хитрые случаи всё-таки бывают: видел примеры, где 2 "разных" конечных ответа получается, в зависимости от того по какой переменной из 2х сначала интегрировать :) Но такие примеры сложнее найти. вот довольно хороший пример, кстати: kzbin.info/www/bejne/Y2emZ2d5oZeoiaM

@IvanYakovlev-m8e Жыл бұрын

Неочевидное решение. Ну если только в голове не хранить тысячи формул😉

@shizanytilemon 9 ай бұрын

А можно ли через вычеты ФКП как-нибудь пробится к ответу на данный интеграл или тут неразумно использовать их?

@Hmath 9 ай бұрын

я не пробовал. Это ж еще придумать нужно, как именно это сделать.

@Вшахматы Жыл бұрын

Не связано с видео, но я хотел с вами как-то связаться, а доступа к ВК нету. У меня появилась гипотеза: если n - натуральное - то 36n²+12n+1 - квадрат простого числа. После неочень старательной попытки разыскать информацию в интернете, я выложил пост в сообщество.Ответов нету.

@Hmath Жыл бұрын

как можно заметить, у меня на канале нет ни одного видео по теории чисел: это потому, что я вообще ничего из этого раздела никогда не изучал и не знаю.

@Х.М-ы1в Жыл бұрын

36n^2+12n+1=(6n+1)^2. Выберем такое n, чтобы 6n+1 не было простым. Например, n=4. Так что гипотеза не верна

@Math_is_my_lady Жыл бұрын

Почему вы не доказываете, что порядок интегрирования можно менять? В несобственном интеграле для этого требуется равномерная сходимость интеграла и непрерывность внутренней функции

@Hmath Жыл бұрын

потому что я лентяй :) оставил это вам!

@Sensibler2019 Жыл бұрын

@@Hmath Можно просто апеллировать к теореме Фубини.

@Hmath Жыл бұрын

всё равно ж никакие условия не проверял в видео :)