【文系数学のプラチカ】実数条件を攻略せよ(立教大)

Рет қаралды 121,215

MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）

Күн бұрын

Пікірлер: 108

@mathlabo 3 жыл бұрын

ぜひ最小値のパターンも考えてみてください！(同じ手法ですが難易度はこちらの方が高めです)

@user-naaaaaaaaax 4 ай бұрын

6:55からの式、例として出してるのになんで問題に使えんの？

@IdentityV_addict 7 сағат бұрын

二次方程式の係数は実数じゃなきゃダメだから。逆にx、yが複素数だと考えると(X-x)(X-y)=0は成り立たない。 D≧0が成り立つならx、yは解になり得る→x、yは実数

@まるまる-p5c2v 3 жыл бұрын

二次関数で1番怖いのって解の配置でも最大最小でもなく存在条件なんだよな…。

@over-all-p4d 9 ай бұрын

実数解の存在条件あるいは単に実数条件と呼ぶ方が理解が深まります。複数数への拡張の布石になるので。

@Vtuber_kenty Жыл бұрын

あー半年前だったらすぐ飛ばしてたのに1分で解けた。成長を感じる…。

@ファースト-o1d 9 ай бұрын

実数存在条件は忘れないようにしたい。「実数」と「対称式」はx+yとxyを文字で置いて判別式で範囲を絞る。覚えておきたい。

@zasty0816yo 3 жыл бұрын

今回の問題は実数条件を調べなくても、s=1となるx,yを具体的に導き、それが前提条件を満たすことを確かめればOKです

@とど-q7h Жыл бұрын

u=-(s-1)^2+1≦1 等号成立はs=1で、このときx,yが実数解を持てば題意を満たす。実際、t=0なのでX^2-X=0の解は{0,1} 判別式の話は省略して、実数(x,y)の存在証明をすればよい

@太郎太郎-w4r 3 жыл бұрын

普通は実数条件で先に範囲絞っとくのが定石だけど、この問題に限ってはs=1、t=0の時に x,yが存在する事を書くだけでもいいよねたぶん

@TAKUTO-wu2uy 3 жыл бұрын

たしかにそんな気がします。

@社会基礎 2 жыл бұрын

どういうことてすか？

@live_true_to_amane 2 жыл бұрын

@@社会基礎実数条件を求めなくても s=1 t=0 となる実数x、yを求めちゃえば存在するんだから実数条件いらないよねってことだと思う(語彙力)

@m.s.9023 Жыл бұрын

「普通は実数条件で先に範囲絞っとくのが定石」おっしゃる通りです。採点する側からすると、x+y = s, xy = tと置いた時点で存在条件をまず記載しているかどうか、で頭の中身（注意力とかroutine workをちゃんとこなすとかの「知恵」の部分）を推し量るわけです。

@wonder3-m8e 11 ай бұрын

p=(x-y)/√2, q=(x+y)/√2 とおく

@gatolife7 4 ай бұрын

楕円の回転でしょうか

@wonder3-m8e 4 ай бұрын

xy座標軸を-45度回転したものがpq座標軸になっています。対称式で表される図形は直線y=xに関して対称なので、この変換で簡単になることが多いです。

@gatolife7 4 ай бұрын

@@wonder3-m8e そうですよね！最近この手の問題の図形的解法として楕円の回転に出会ったところ、丁度貴方のコメントを見かけたので、つい嬉しくなってコメントさせていただきました笑

@和田-w2f 3 жыл бұрын

1対1で実数条件の説明だけ長々と書かれてるから覚えてる

@sdgrebjt8598 9 ай бұрын

そのようなs,t(x,y)があればいいんだから(十分性の確認)、この問題では実数条件を導出するのはマストではないですね

@ゴロゴロ素人 3 жыл бұрын

高一の僕みたいなマスラボ視聴者にもわかるように、解と係数の関係って言葉を使わずに、わざわざ展開してくださってるのがお優しいです。

@bear7035 10 ай бұрын

判別式のところって＝含むのですか？

@ラマヌジャン-i4s 10 ай бұрын

実数解を持てばいいので含みますね

@Hyuzion89 5 ай бұрын

とてもすんなり頭に入ってきたので、感動しました。

@user-gdybctdddkb 2 жыл бұрын

実数条件の使い方がいまいちわかってなかったけど、u=x^2+y^2が与式と交点を持つような条件と考えると納得

@SP_komopehido 2 жыл бұрын

xyが入ってるからねぇ

@特務機関タクミ Жыл бұрын

良問だ

@タマタマ晒し Жыл бұрын

x=rcosθ y=rsinθでいけそう

@ジョン永遠 Жыл бұрын

実数条件が実際効いてくるように，等式条件のxyの係数の符号を＋ではなく，－にしたらよかったですね．自明な最小値にならないように等式条件に定数を入れるとなおいいかも． (改題案)　x²－xy＋y²－x－y＝1のとき，u:＝x²＋y²の最大値と最小値を求めよ．

@IdentityV_addict 6 сағат бұрын

Max:18+12√2、min:-11/15ですか

@ry589 10 ай бұрын

神戸大の良問やな

@nogiekeyakie5824 3 жыл бұрын

x,yの値を求めよってあるせいで最大値を与えるsを満たす実数x,yがあることが自然と示されちゃうから、x,yの値を求めよは無い方がいいね。

@user-px3wy6lf6c 3 жыл бұрын

x+y=s xy=t は悪魔の置き換えほんとに忘れてしまう悪魔

@ゴンフリークス-c1l 3 жыл бұрын

範囲の確認が必要って伝えたいんだったら、頂点が最大値にならない例を持ってくるべきなんだよなぁ…

@たらこぱすた-q8d 3 жыл бұрын

大学数学を少し舐めたレベルのわしが昔調子に乗っててラグランジュの未定乗数法で解いてたのはいい思い出

@tmacchant 3 жыл бұрын

あれは強力ですね。

@michan1615 4 ай бұрын

O変換（Xから引用）使えそう

@アンソニーデイビス-s5h 11 ай бұрын

2変数関数は大数がおすすめ

@kk-vf3rt 4 ай бұрын

線形計画法でできる？

@gy__________.000 3 жыл бұрын

最近似た問題やったから復習によかったです。ありがとうございます。

@bee9011 3 жыл бұрын

1年生の時は、青チャート解いててなんで実数条件とるのか分からなかった

@dele1942 3 жыл бұрын

この問題はたまたま対称式だったけど、例えばx+2y=s , xy = tの場合でも実数条件が出てこないとまずい。

@baba_619 3 жыл бұрын

この問題自体が「100%実数条件が必要」という主張の反例になってしまっている。最小値にした方がむしろ判別式が必要になる。U≧0は明らかで等号が（x, y) = (0, 0)の重解で成立するのも自明なので、それはそれで判別式とか持ち出す必要も無く問題の難易度は下がってしまうが・・・ U≦1は実数存在条件と無関係に成立するので、等号が(s, t)=(1, 0)で成立してそれを満たす(x, y)が実数で存在することも解答で示すことになるから、今回の場合に限れば存在条件：0≦s≦4/3は導出しなくてもいいよね。もちろん、もしも(x, y)の導出の段階になって虚数解と分かったら判別式の出番になって二度手間になるから、最初から実数条件は考慮した方が確実だけど。（というか直観的に(x, y)が導出できないようなケースは解の公式≒判別式を導出過程で自然と使うことになる）

@konamonwalotemauer1172 3 жыл бұрын

まずy=xの場合を考えると0か2/3のときで、このときの平方和は0と8/9。 y≠xの場合、与えられた条件にy-xを掛けて移項すればx^3-x^2=y^3-y^2とすることができる。したがって、関数f(t)=t^3-t^2について、実数kに対してtについての方程式f(t)=kを満たす解のうち2つの平方和を最大にすることを考えればよいが、解をα、β、γとしたときに解と係数の関係からα+β+γ＝１、αβ+βγ+γα＝０なので、 α^2+β^2+γ^2=1であり、そのため解の1つの平方を、つまりその絶対値を最小にすることを考えればよい。それは明らかにk=0のときのα=β=0,γ=1とした場合（解の絶対値を0にできるのならそれが最小なのは確定）なので、 β^2+γ^2=1で最大となる。（この時確かにβとγは異なる）つまり、(x,y)=(0,1),(1,0)のときのx^2+y^2=1が最大を与えます。この解法が出現していないのが意外ですが、左辺の形をみたら、立方の差を作りたくなりますよね。

@tt-ho6iw Жыл бұрын

ぱっと見、そうかそうじょう平均かと思ったがちがうんかな。

@おやまやま125 3 жыл бұрын

おはようございます！44日目！見事に範囲絞らずにやっちゃいました💦これからは絶対間違えないようにしたい…！

@poteton 3 жыл бұрын

max u = M ⇔ 常にu≦M かつ　u=Mなる実数xyが存在最大値に限らず定義きちんとを抑えることが大切ですね👍

@吉田秀介-j3t 4 ай бұрын

ラグランジュの未定係数か

@ppplite 2 жыл бұрын

判別式を s のみで表して x,y の実数存在条件を調べましたアホな疑問かもしれませんが、t については調べなくて大丈夫なのでしょうか？なんか、なんとなく大丈夫なんだろうなと思いつつも、モヤモヤしてしまいます笑

@式-i5z Жыл бұрын

偏微分（定期）、、

@閲覧用-g3w 3 жыл бұрын

この手の問題の解法で、なんでいつも解と係数の関係から判別式が出てくるか不思議だったんだけど、やっと意味がわかった。実数解をもつ範囲を出すことで実数になるx yの範囲を出すんだね。

@陰テグラル 3 жыл бұрын

未知数の範囲を気にするのはもう解答用紙に名前を書くことくらい当たり前にしたいですね

@沖田さん大勝利-p6c Жыл бұрын

スタサプで類題を解きました！いきなり出会えて良かったです！

@user-shuuta 3 жыл бұрын

解いている時、sとtの式は明らかに関係があるのに、全く別の文字に置いちゃってなんか腑に落ちないなぁとおもっていたんですが、そんな実数条件があったんですね…知らなかった…！

@ltu_ltu_shoe Жыл бұрын

あかん。意味わからん。終わった。

@青りんご社会 Жыл бұрын

理科大で出てた

@ナポレオンボナパルト-c9v 3 жыл бұрын

見た瞬間、対称式と実数条件が頭にうかんだ。

@たけしサブ-g4e 3 жыл бұрын

すげぇ、対称式は出てきたけど、実数条件出てこなかった

@Mr.kasugai 3 жыл бұрын

マジで数学弱いので対称式って言われると相加相乗しか知識が無いです…

@とんかつ-z2j 5 ай бұрын

10:42 のところについて質問です。 Xの解が0または1ってところまではなんとかいけるんですが、その後がよくわかりません。 X=x,yだから、 0=x,y 1=x,y で、どちらも 1,1 0,0にしてしまいそうです。どういう思考を経てるのでしょうか？？？

@グリーンレモン 4 ай бұрын

Xの２解が0と1です。ところで、そもそもx,yもXの方程式の2解でした。よって、集合として｛x,y｝=｛0,1｝のように等しいことから、(x,y)=(0,1)または(x,y)=(1,0)が従います。二解のうち一方が0,もう一方が1ということがわかったわけなのでx=yとはなりえません。

@お茶漬け-x6y 4 ай бұрын

@@グリーンレモンなぜ8:58の範囲が0以上なのかわかりますか？

@グリーンレモン 4 ай бұрын

@@お茶漬け-x6y 3s^2-4s≦0の解が0≦s≦4/3というだけでは

@あみ-k6q9j 3 жыл бұрын

教えるのが上手な人って本当に頭いいんだなーって思いますね✨すごい😳

@LeeLee-te6td 3 жыл бұрын

数学力向上チャンネルをよく見てるからすぐに分かった！でも、理系でこの問題は出にくいんだよな...

@Yuki-hz2yq 3 жыл бұрын

及川先生のおかげですぐできた僕も

@AT-er1gn 3 жыл бұрын

x+y=s, xy=tと置換することは一丁前に使えるのに、実数存在条件を付与してないってのはおかしい。s,tを自由に設定するとx,yが複素数になる可能性があるということは認識しておきましょう。それとは別件でこの問題では雑にやってもs=1,t=0で最大値をとる可能性があると早々わかるので、それが本当に最大値たりうるかを確認すればおわります。やっぱり最小値も聞くべきだったのでは？

@unknown-xz7qz 3 жыл бұрын

最小値も聞くべきです。ちゃんと分かってれば手間もそんなに変わらないしその確認のためにも最小値も含めた問題にするべきだと思います。

@no_darts_no_life 3 жыл бұрын

良問でした。実数条件といえば、十数年前の東大の文系大問１を思い出します。

@ehime-bl3jw 4 ай бұрын

大学数学やると、高校の2変数関数の問題全部簡単になって草

@mmmmm3581 2 жыл бұрын

三角関数でおくのだめなの？

@戦車-m6o 2 жыл бұрын

x^2+y^2=k k>0 とおいて　x=√kcosθ y=√ksinθとおいてkの範囲を脳死で求めることしか出来んかったww 対称性ほんとに忘れる

@あんげ-p7u 3 жыл бұрын

最小値を求めさせないあたりがエロい問題だな

@とど-q7h 3 жыл бұрын

s=1のときx,yが実数であることを示せば良い。判別式の話は不要。問題の「x,yを求めよ」がない方が面白い。

@taiyou7022 3 жыл бұрын

大学入ったから最初に浮かんだ解法がラグランジュ乗数法でした笑笑

@tmacchant 3 жыл бұрын

範囲か。考えなかった。

@kensei3388 3 жыл бұрын

sとtの範囲を示さないと減点される理由ってなんでなんだっけ？この問題の目的はuの最大値とその時のx,yを求めることなんだから sの存在範囲を意識しなくても、s=1を満たす実数のx,yが求められた時点で、目的は達成してないか？

@ぜっと-o7h 3 жыл бұрын

この問題に限っては実数条件要らなくて草

@rmiastatkyoa-daisuki 3 жыл бұрын

解と係数の関係から式使うのかな〜と思ってたけど、判別式使うのか〜笑

@haruna8193 3 жыл бұрын

別解として三角関数がありますね

@ああ-p1g9w 3 жыл бұрын

詳しく聞きたいです

@ぽいふるだに 3 жыл бұрын

私も教えてほし子です

@overcapacitywhale 3 жыл бұрын

@@ああ-p1g9w x=y=0のときは1行目の条件を満たし、u=0 それ以外の場合について、x=r･cosθ,y=r･sinθによりr,θを定める。(r＞0,-π≦θ＜π) x²+xy+y²=(x+y/2)²+3y²/4＞0よりx+y＞0,cosθ+sinθ＞0が保証される条件式より r²(cos²θ+cosθsinθ+sin²θ)=r(cosθ+sinθ) ⇔1/r = (1+cosθsinθ)/(cosθ+sinθ)…(#) 1/r＞0より(#)の両辺が正であることは保証されているので (#) ⇔ 1/r² = (1+cosθsinθ)²/(1+2sinθcosθ) ここでcosθsinθ=sin2θ/2, -2π≦2θ＜2π, 1+2sinθcosθ＞0 より -1/2＜cosθsinθ≦1/2 cosθsinθ=tとおいて、-1/2＜t≦1/2 1/r² = (1+t)²/(1+2t) ⇔4/r² = 4(1+t)²/(1+2t)=2+(1+2t)+1/(1+2t)≧2+2=4 途中で1+2t＞0に注意してAMGMを用いた。等号成立はt=0⇔cosθsinθ=0のとき。 4/r²≧4より、0＜r²≦1 u=r²であり、あとはu=1となるようなx,yの存在確認をすれば良い。 u=1ならばcosθsinθ=0なので、xかyのうち1つのみが0であると言える。たとえばx=0なら条件式に代入してy²=yよりy=1(∵y≠0) 条件式はx,yについて対称なのでu=1となるのは(x,y)=(0,1)(1,0)のときのみ。そしてこれが最大値である。▪ 最後の2段落は変わった論証をしているので難しいかもしれませんが、穴はないと思います。

@user-xz2kr6uw6l 3 жыл бұрын

@@overcapacitywhale 正直微妙ですねもしx、yに-1以上1以下の条件設定がされているなら、つまりr=1なら三角関数を用いるのはアリだと思います文字変数減らせますからしかし解と係数から入るやり方も、このrとθのやり方も、どっちも2変数置いて考えるし、どっちも存在範囲求めてるんですよねつまりどっちも同じことやってるんですよ変数の定義を変えてるだけであんまりおもしろい、別解と言えるほど大層なものではないです

@user-wc3ve5vy4s 3 жыл бұрын

6:55から出てくる式は何を表しているのでしょうか？

@太郎太郎-w4r 3 жыл бұрын

x.,yを解にもつ二次方程式をつくっている解と係数との関係をいきなり使ってもいいと思うけど

@かみん-x4v 3 жыл бұрын

アイコンなつかしすぎ

@ぽいふるだに 3 жыл бұрын

高1なんですけど途中からわからなかったんですけど大丈夫ですか？

@user-jq1ir8ej6z 3 жыл бұрын

数こなしていけば、なぜその条件が必要かが理解できるようになるから、大丈夫

@StormRay25 3 жыл бұрын

まだ平気だよ

@kenichitatewaki2485 Жыл бұрын

おじさんです。こんにちは。もう。高校を卒業して４０年経ちます。今。高校でこんな勉強をしているのですか？これ暗算で解けませんか？「係と根の関係」で「α＋β＝－b/a　α×β＝c/a」です。「ａＸ＾２＋ｂＸ＋ｃ＝０」の「係と根の関係」でしょ。それで「二項定理（パスカルの三角形）」でしょ。だから。暗算で「１」でオシマイでは無いですか？ X＋Y＝s　X×Y＝tとおいたのですか？だったら。そこで「もう。係と根の関係」でしょ。で。結局。答えが　Xと Y が（１　０）（０　１）なのですか？だったらＸ＋Ｙ＝１でしょ。Ｘ×Ｙ＝０でしょ。で。もとの式が「Ｘ＾２＋ＸＹ＋Ｙ＾２＝Ｘ＋Ｙ」ですか？だったら「Ｘ＾２＋０＋Ｙ＾２＝１」に成りませんか？「Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１」にしかならないでしょ。これ一々。計算しますか？はじめの式で「ｔ＝ｓ＾２－ｓ」は「０＝０」でしょ。「ｔ＝０」次の「ｕ＝Ｘ＾２＋Ｙ＾２」「ｕ＝（Ｘ＋Ｙ）＾２－２Ｘ×Ｙ」でグラフを書いて居ます。「ｕ＝－（ｓ－１）＾２＋１」にしていますが。計算すると。「これよく見て下さい。ｕ＝１」でしょ。「ｕ＝１」判別式は「Ｄ＝ｓ＾２－４ｔ」これ計算すると判別式は「Ｄ＝１」でしょ。結局。これ「Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝１」でオシマイではないですか？円のグラフでオシマイではないですか？もう。私の高校時代は４０年も昔なので、今。学校で何を勉強しているのか？これ暗算でオシマイではないですか？よく式を見て下さい。１　０しかないでしょ。実数で解くとなるとこれ「１」しかないでしょ。「おじさん。」より。もう。高校を卒業して４０年経ちます。大体。ほとんどの公式を忘れましたが、これ暗算でしょ。これ解きますか？

@user-cc-cc 7 ай бұрын

だったら何？たまたま暗算できたからって類題出来るようになるわけじゃ無いからな君がやってること意味無いよ

@hhh.e_thv 7 ай бұрын

おじさんダサすぎるって