Matrice associata applicazione lineare rispetto a basi canoniche e non canoniche. Esercizio svolto

Matrice associata di un 'applicazione lineare sia rispetto alle basi canoniche che a basi diverse dalla canonica .
Dopo aver visto il concetto di base di uno spazio vettoriale , e aver introdotto il concetto di applicazione lineare , è il momento di introdurre un ente matematico di fondamentale importanza : la matrice associata di un' 'applicazione lineare rispetto a delle basi nel dominio e nel codominio .
Inizialmente ho considerato un esempio in cui le basi del dominio e codominio siano le basi canoniche , e successivamente (sempre per la stessa applicazione ) sono state scelte delle basi diverse dalla canonica .
Non limitatevi a visionare solo l'esempio ma cercate di capire anche la parte preliminare in cui si spiega il significato di matrice associata e cosa rappresentano le colonne della matrice stessa .
00:00 Introduzione teorica matrice associata
15:23 Esercizio su come trovare la matrice associata rispetto la base canonica
28:57 Esercizio matrice associata rispetto a basi non canoniche
#salvoromeo #algebralineare #matriceassociata

[@greezygreen842]

Credo che questi video, oltre a noi studenti, li dovrebbero guardare anche parecchi prof. universitari. Già solo usare i colori per trasmettere meglio un'informazione non è da tutti. Grazie mille e continui così.

[@angelicapasqui1962]

Dalla mia professoressa non capivo nulla e prendevo appunti senza sapere cosa stessi scrivendo, lei spiega tutto in maniera chiara e se passerò l’esame sarà anche grazie a lei ❤❤

[@krisk_29]

Tra un paio di settimane dovrò fare l'esame di algebra lineare e questi video mi salveranno, grazie prof

[@salvoromeo]

Onorato che i video siano utili .Mi fa molto piacere

[@estivate2031]

Come ti é andata?

[@krisk_29]

@@estivate2031 promosso!!

[@Lollozerotre]

Prof una parola: fantastico. Ho cercato di capire per diverse ore questo argomento sulle slide e le registrazioni del mio prof. Con lei nel giro di 40 minuti ho risolto tutti i miei dubbi, grazie!

[@arnascan4190]

Mi aggiungo anche io a tutti i ringraziamenti e i complimenti. Eccelsa qualità e fluidità di spiegazione e anche il ritmo lo trovo perfetto per comprendere al meglio. 3760 iscritti sono assolutamente pochi per un contenuto di tale qualità. Ora ce ne saranno 3761. Grazie ancora.

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio Arnas , con piacere Le scrivo il mio commento per ringraziarLa dal momento che ogni messaggio di apprezzamento merita un mio ringraziamento senza voler essere ripetitivo . Cerco di fare del mio meglio e trasmettere i contenuti di matematica al fine di renderle fruibili anche a chi considera matematica ostile . Ancora grazie per il commento e buona permanenza nel mio canale

[@filippo6401]

salvo sei il mio salvatore :-) grazie per questi contenuti. L'unico in italia a portare argomenti trattati all'uni in modo chiaro.

[@lucaagneni4933]

Da appassionato di questi argomenti le dico che lei, prof, è bravissimo, chiarissimo e anche simpatico. Grazie!

[@lucacarbone6110]

Grande, lei è bravissimo a spiegare, è la salvezza del mio percorso universitario

[@giovannigomiero3570]

Sei veramente un grande, pazzesco l'impegno che ci metti....meriteresti una statua!!

[@salvoromeo]

La ringrazio Giovanni , ma la statua mi sembra esagerata per così poco 😄 Commenti di gradimento come il Suo sono più soddisfacenti di una statua .

[@giovannigomiero3570]

@@salvoromeo Ci tengo molto a dare soddisfazione a chi ci mette impegno e riesce a far capire un concetto a primo impatto complicato♥️

[@TonyPianoSheets]

Super utile e chiaro! È difficile trovare qualcuno che spieghi tutto facendo continui reminder su concetti più basici quali il cambio di base. Grazie!

[@salvoromeo]

La ringrazio Tony , mi fa piacere che tali contenuti si stiano rivelando utili .

[@mattia2377]

Hai un grande talento nel trasmettere i concetti, davvero grazie e complimenti

[@salvoromeo]

Grazie Mattia .Se lo dite voi (uso il plurale visto che in molti mi dite la stessa cosa ) ci credo e la cosa mi può fare solo piacere . Personalmente non mi accorgo di tale caratteristica e non mi reputo nemmeno un bravo oratore con ricchezza di vocaboli e di linguaggio . Tuttavia se trovate i miei contenuti gradevoli , continuerò sempre a realizzarli e rilasciarli . Questo grazie a te e tutti gli utenti che come te trovano di grande utilità i miei contenuti didattici .

[@andreaamatulliroma]

Trattazione e spiegazione magistrali veramente 🔝💯👍🏻🆙👏 Ho visto un altro video simile a questo poco fa in cui si concludeva l'esercizio calcolando pure l'immagine e il kernel dell'applicazione lineare. Suppongo che in un esercizio d'esame venga sempre chiesto anche.

[@salvoromeo]

Buongiorno, certamente . Determinare il nucleo e l'immagine è un altro punto importante .Ecco il video inerente nucleo e immagine m.kzbin.info/www/bejne/gKjIqp95j5iCd7s&pp=ygUsbnVjbGVvIGUgaW1tYWdpbmUgZGkgdW4nYXBwbGljYXppb25lIGxpbmVhcmU%3D

[@samueleregolini6681]

Spiegato perfettamente. Grazie prof!

[@prandrex1066]

sei un grande ti ringrazio tantissimo salvo romeo, scusa se ti do del tu ma da come parli sei come un padre che spiega le cose ai suoi figli. Il mio professore di Algebra Lineare è tipo un robot che copia definizioni dal libro alla velocità della luce e non spiega nulla nel dettaglio, quindi i ragazzi nel mio corso (informatica) sono tutti spaesati e non sanno nemmeno da dove cominciare. Fortunatamente io e altri ragazzi (si contano nelle dita di una mano) siamo stati più furbi ed abbiamo approfondito tutti gli argomenti passo dopo passo. Ma da quando ha cominciato a parlare delle applicazioni lineari, i video su youtube sono diventati sempre meno. Fortuna che ti ho scoperto e adesso l'algebra lineare è un gioco da ragazzi... !!! Grazie ancora

[@salvoromeo]

Buonasera Andrea , La ringrazio per gli elici nei mie confronti . All'università quasi sicuramente il docente deve correre per questioni di tempo .Con le videolezioni è diverso e non ci sono limiti di tempo tanto che spesso impiego anche 40 minuti per spiegare qualcosa che in aula si è "costretti" a spiegare (anche senza esempi ) in pochi minuti . Seguire la didattica ufficiale è importante , e i canali KZbin devono essere considerati sempre come entitá complementari e di potenziamento . In ogni caso mi fa piacere che con la mia didattica ti stai trovando bene e la cosa mi fa molto piacere . Ringrazio te e tutti gli utenri che hanno riposto fiducia nei miei contenuti . Buona continuazione nel mio canale . Buona serata .

[@emanuelenatalia2449]

Grazie di cuore! Iscritta con due account diversi, perché è tutto meritato. Se passerò Analisi matematica e Geometria I sarà solo grazie a lei.

[@salvoromeo]

La ringrazio tanto , troppo gentile da parte sua , ma non doveva . Le auguro il meglio per i suoi esami di analisi e geometria e mi fa piacere che i miei contenuti siano stati (anche parzialmente ) utili per la comprensione delle due discipline .Mi dispiace che ancora mancano diversi argomenti , ma ho ripreso il canale ad aprile e spero che entro la fine del 2022 riuscirò a coprire tutti gli argomenti mancanti di analisi 1 e 2 .Per algebra lineare benché ci siano parecchi argomenti ancora mancanti che pubblicherò nelle prossime settimane (es Teorema spettrale ) . Ancora grazie per il Suo messaggio . Buona serata .

[@emanuelenatalia2449]

@@salvoromeo Grazie a lei e non si preoccupi, la seguirò anche per Analisi Matematica e Geometria 2 l'anno prossimo!

[@AlessioVragnaz98]

Ottimo ripasso che mi ha permesso di rivedere in maniera eccelsa questo concetto, è stato illuminante per me che avevo già studiato questi concetti, immagino che per chi li studia la prima volta questo deve essere oro. :) Farà per caso dei video anche sulle matrici di base con un approccio così teorico? Su internet si trovano molti esercizi ma spesso non passano il concetto

[@salvoromeo]

Buongiorno Alessio ,intanto la ringrazio per aver trovato i contenuti utili e soddisfacenti . Per il futuro ci saranno ulteriori contenuti certamente , ma per adesso sulle matrici ho dato solo le nozioni fondamentali per poter affrontare gli argomenti di algebra lineare . Con il tempo affronterò molto altro . Buona giornata .

[@vvivil]

Grazie mille Prof per questi video, davvero chiarissimi e dritti al punto, bravo! Sto preparando l'esame di matematica del discreto con lei :D

[@salvoromeo]

Buonasera , La ringrazio per il gradimento e mi fa piacere che i contenuti sia utili per affrontare lo studio .Buona permanenza nel mio canale . Buona serata .

[@BIA_JOE]

sto guardando quasto video da 9 minuti e già voglio bene al professor Romeo. Grazie infinite

[@salvoromeo]

Grazie per l'apprezzamento e spero che il video sia stato utile .

[@CammaProjects]

Chiaro ed esaustivo. Grazie mille!

[@lucaanzaldi1526]

Complimenti spiegazione fantastica! Dopo 1 mese che ci sono su ho finalmente capito come si fa😄

[@salvoromeo]

Mi fa molto piacere Luca . Spero che altro contenuti possano essere altrettanto utili .

[@mactucrus8782]

Professore, volevo ringraziarla veramente di cuore per tutto l'impegno e la passione che ci sta mettendo nella creazione di questi contenuti. È abbastanza ovvio il fatto che lei ha veramente molto talento per questa professione. I richiami ad argomenti precedenti, i continui chiarimenti, la spiegazione nei minimi dettagli di ogni singolo argomento...lei ha le carte in regola per diventare uno dei migliori professori di matemarica di italia. A breve avrò l'esame di algebra lineare, e grazie ai suoi video sto riuscendo a capire molti argomenti a 360 gradi. Volevo porle una domanda, ovvero se fosse completa la playlist di algebra per quanto riguarda il programma di un'eventuale esame. Comunque la ringrazio ancora infinitamente, buona serata.

[@salvoromeo]

Buongiorno intanto un grande grazie per il suo contributo a sostegno al canale . La ringrazio anche per l'apprezzamento verso i miei contenuti . Si può dire che in linea generale la playlist è completa per affrontare un esame di algebra lineare dal momento che sono presenti tutti gli argomenti .Seguendo in sequenza tutte le 40 (circa lezioni ) si ha un quadro completo della situazione . Ovviamente mese dopo mese inserisco sempre qualche lezione migliorativa , per rendere tutto ancora più fruibile . Ancora grazie e tanti auguri per il Suo esame .

[@cricode9432]

@@salvoromeo Prof non riesco a capire al minuto 36:22 perché lei nel sistema mette a1-a2, non ho capito questa cosa, perché negli esempi di prima sembravano tutte addizioni

[@salvoromeo]

@@cricode9432 Dipende dal tipo di componenti .Il segno meno è dovuto al fatto che ho moltiplicato a2 per (-1) e quindi si ha la sottrazione

[@gaiapinelli8614]

giuro che questo video è stata la cosa più utile che abbia mai visto

[@salvoromeo]

Buongiorno , molto lieto che il video sia stato utile .Ho preferito insistere e dilungarmi sulla durata del video poiché il concetto di matrice associata è il cuore dell'algebra lineare . Buona continuazione con altri (eventuali ) contenuti didattici .

[@user-wv9hj1mk5m]

molto bravo, affianchi ad ogni argomento teorico un esercizio

[@salvoromeo]

Buonasera mi fa piacere che abbia notato tale aspetto . Non è da me realizzare video (magari brevi ) volti solo a svolgere un esercizio meccanicamente che non renderà mai giustizia alla didattica .Preferisco sempre dare un cenno di teoria (non troppo pesante ) e affrontare in seguito l'esercizio del tema in questione . La ringrazio per l'apprezzamento . Buona serata .

[@brianp9630]

lei è un salvavita!!! la teoria la sto capendo benissimo anche grazie a lei... il problema per me sono gli esercizi (speriamo) per ora

[@salvoromeo]

La ringrazio per l'apprezzamento .Intanto inizi dai concerti di base che sto rilasciando e vedrà che capiti questi , riuscirà a capire esercizi di complessità via via più alta . La cosa importante è non imparare tecniche risolutive a memoria ma capire il significato di ogni singolo passaggio .

[@user-eb5dj9xk2r]

Video incredibile, mi ha chiarito tanti dubbi, complimenti!

[@salvoromeo]

La ringrazio , lieto che il video sia stato utile .

[@bella-rp2rw]

dopo 2 ore che mi vedevo e rivedevo la lezione dal sito dell'università non ero ancora riuscito a capirlo,apro yt e trovo questo video,sono quasi commosso🤣

[@salvoromeo]

Buongiorno , mi fa piacere che il contenuto sia stato utile per comprendere tale concetto .

[@effe9987]

Grazie ai suoi video sono riuscita a prendere un bel 28. Grazie!

[@salvoromeo]

Grazie per la testimonianza .Onorato che tramite i miei contenuti siano stati ottenuti questo risultati . Il merito rimane prevalentemente tuo comunque .

[@nicolodalzovo9356]

grazie mille! chiarissimo; è un piacere ascoltarla.

[@salvoromeo]

La ringrazio di Cuore per il sostegno al canale .

[@epicdami9933]

io lo dico, Salvo Romeo è il Next Elia Bombardelli

[@donnie3334]

Davvero non so come ringraziarla, lei è veramente un signore competente

[@salvoromeo]

Io ringrazio Lei per aver avuto fiducia nei confronti del mio contenuto didattico .Senza la fiducia degli utenti (che ringrazio ad uno ad uno ) non potrei realizzare video . Grazie per il bel commento .

[@BrownVon]

Grazie prof lei è come un padre

[@alezama3657]

Concetti chiarissimi grazie mille 👍

[@salvoromeo]

Grazie a te per aver scelto e visionato la videolezione .

[@lorenzo-forti]

Al minuto 18 le sono partiti 5 “praticamente “😂 , grazie mille, video molto chiaro

[@GiuseppeMucci]

Molto chiaro, complimenti!

[@salvoromeo]

La ringrazio

[@elenadelonge3987]

bravissimo Professore!

[@michelebuggea8602]

grandissimo, complimeti per la spiegazione!!

[@salvoromeo]

Grazie :-)

[@Robinhood-cr9zt]

UNA PAROLA : MAGNIFICO!!

[@Marie-vf6yc]

Argomento ben spiegato. Le ringrazio !

[@salvoromeo]

Grazie a Lei per il feedback .

[@giovannifortin6255]

sei un fenomeno🙏🙏

[@luigidiiorio2447]

Grazie mille!

[@Lupo-wx3fs]

io la notte prima dell'esame di algebra buonasera

[@BiancaFelis]

ti amo grazie di esistere

[@alessandrolomonaco6989]

bravo, veramente molto bravo. Ho capito subito grazie

[@salvoromeo]

Grazie a te per aver visionato e gradito il video .

[@ceciliacomini5148]

grazie mille

[@marco-yr9cv]

Grazie maestro 🦥

[@veliaf]

grazie mille, con lei penso di aver capito veramente l'argomento. E fra 4gg avrò l'esame

[@salvoromeo]

Lieto che il video sia stato di utilità .Auguri per l'esame .

[@veliaf]

@@salvoromeo alla fine è andata bene con un bel 26

[@salvoromeo]

@@veliaf ottimo risultato , al di fuori del bel voto mi fa piacere che siano stati capiti i concerti . Buon proseguimento per il tuo piano di studi e grazie per il messaggio riguardo l'esito dell'esame .

[@veliaf]

@@salvoromeo devo ringraziare anche lei ;)

[@massy0016]

Grazie grazie grazie.

[@alezioneconpisuporcoddi]

Numero 1!

[@giannidelillo5103]

Curiosità: ma se il vettore di R^2 anziché scritto come vettore riga fosse scritto come vettore colonna, la matrice dell'applicazione cambierebbe oppure rimarrebbe uguale? Mi riferisco al primo esercizio di esempio. Grazie.

[@salvoromeo]

Buonasera Gianni . Assolutamente no . I vettori devono essere scritti sempre in colonna nella matrice associata .

[@giannidelillo5103]

@@salvoromeo Grazie. E la dimensione della matrice associata è sempre m*n, dove m è la dim dello spazio di arrivo, e la n la dim dello spazio di partenza?

[@salvoromeo]

@@giannidelillo5103 esatto , come riportato nel video .

[@user-zd9qt3ur6m]

buonasera professore, La ringrazio per i magnifici contenuti che ci offre. Avrei una domanda: perchè non scegliere sempre una base canonica per facilitare il procedimento?

[@salvoromeo]

Buonasera , non sempre è possibile scegliere una base canonica .Ad esempio se considera una applicazione lineare da un sottospazio a un secondo sottospazio non è possibile scegliere la base canonica , ma come base deve scegliere quella data dalle equazioni cartesiane .Ad esempio se considero l'equazione cartesiana x-y-z= 0 una base deve essere per forza ((1,1,0) (1,0,1)) che non è la canonica .Anzi in questo caso la base canonica non funziona infatti in R¾ i vettori della base canonica non soddisfano.l'equazione cartesiana .

[@user-zd9qt3ur6m]

@@salvoromeo perfetto prof. grazie mille della risposta

[@ste6813]

Complimenti davvero bravo bravo !!! Ho capito tutto

[@salvoromeo]

La ringrazio Ste , mi fa piacere che il contenuto sia stato utile . Buona permanenza nel canale .

[@matteorinaldi7763]

Il mio rimpianto è che l'ho scoperta troppo tardi. Lei è veramente in gamba!

[@salvoromeo]

La ringrazio per l'apprezzamento verso la mia didattica 🙂

[@espelett]

Fantastico.

[@salvoromeo]

Grazie

[@jhonnypixel6752]

Eccelsa spiegazione lei é molto bravo complimenti

[@salvoromeo]

Grazie per il gradimento della lezione .

[@nicolodalzovo9356]

Grazie.

[@feliciadagostino8792]

Bravissimo

[@andreapontrandolfi7772]

Buongiorno professore, video molto chiaro, ma volevo chiarirmi un dubbio. Quando si tratta di fare matrici rispetto a basi canoniche posso andare a mettere in colonna direttamente i vettori trovati, mentre se sono basi diverse da quelle canoniche devo impostare i sistemi e le soluzioni di quei sistemi saranno le colonne della mia matrice giusto?

[@salvoromeo]

Buonasera , esattamente .Se in arrivo vi è la base canonica (primo esercizio ) allora per direttissima mettiamo i vettori immagine .In caso contrario devo mettere le componenti del vettore immagine date dal sistema lineare .

[@danielearisco6006]

Sei un fenomeno...è giusto mettersi nei panni degli studenti che non hanno mai visto queste cose!! Bravissimo..ma per caso hai fatto video su equazioni differenziali?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio Daniele . Nella playlist di analisi 2 ci sono alcune lezioni su equazioni differenziali del primo ordine e del secondo ordine , qualche problema di Cauchy , e sistemi di equazioni differenziali .

[@danielearisco6006]

​@@salvoromeook grazie mille buona serata

[@pillopasta462]

Scusi Salvo, ma al minuto 37:01 quando dice che è una coincidenza che i coefficienti siano 0, non dovrebbe invece essere sempre così visto che una base è linearmente indipendente e quindi una loro combinazione lineare uguale al vettore nullo ha sempre e solo i coefficienti uguali a 0?

[@salvoromeo]

Buongiorno , grazie per la domanda a cui rispondo con piacere . Quando dico che la colonna (nella matrice ) è costituita da zeri non mi riferisco al fatto che l'immagine è (0,0 ) indicata dal vettore di colore verde , ma dipende dal fatto che i coefficienti a1 e A2 sono entrambi nulli .Poi come dice lei è correttissimo dire che sono nulli dal momento che i vettori sono l.i e quindi i coefficienti nulli . Quando dico coincidenza mi riferisco al fatto che lo studente non deve lasciarsi ingannare e mettere in colonna il vettore immagine (verde ) ma le componenti a1 a2 b1 b2 ecc ecc che derivano dal sistema . Molti studenti alle prime armi potrebbero credere che al minuto da Lei.indicsto io abbia messo le componenti del vettore immagine (vettore verde ) mentre in realtà mi riferisco ai coefficienti a1 e A2 . Per la seconda colonna se ci fa caso non ho messo in colonna i valori del vettore immagine (sempre in verde ) ma le componenti b1 e B2 che ne derivano dal calcolo che in questo caso sono diverse dal vettore verde . Spero di aver chiarito .Per qualsiasi cosa resto a disposizione .

[@pillopasta462]

@@salvoromeo Chiarito grazie mille, avevo interpretato male io la frase. Buona giornata

[@sergiogalli1265]

bravissimo complimenti

[@salvoromeo]

Grazie a Lei per l'apprezzamento .

[@elisapenna828]

Buona sera professore, grandi complimenti per la spiegazione chiarissima!! Ho solamente un dubbio: noi sappiamo che se scriviamo la matrice associata ad una applicazione lineare tramite le basi canoniche, allora il Ker della matrice associata è il Ker della mia applicazione lineare. Ma se scrivo la matrice associata a F applicazione lineare rispetto a due basi le quali non sono canoniche, il Ker della matrice associata sarà equivalente al ker dell’applicazione lineare?

[@elisapenna828]

Se non é lo stesso , come trovo il ker della mia applicazione lineare , conoscendo solo il ker della matrice associata ( trovata tramite due basi non canoniche )?

[@salvoromeo]

Buonasera Elisa (si chiama come mia figlia ) . Allora credo di aver capito il suo quesito . Se la matrice associata è rispetto la base canonica (in partenza e in arrivo ) allora quando risolvo il sistema troverò un vettore di base (che genera il nucleo ) e quello sarà il vettore definitivo .Potrebbero essere anche più vettori a secondo la dimensione del nucleo . Ma se in partenza NON abbiamo una base canonica ma una base B costituita da 3 vettori (è un esempio ) come ci dobbiamo comportare ? Come al solito dobbiamo risolvere sempre il nostro sistema lineare a partire dalla nostra matrice associata (che ricordiamo non essere rispetto la base canonica ) e troveremo i valori delle componenti come ad esempio (1,2,3) .Ma questi non sono i vettori originali che generano il nucleo , ma sono solo le componenti dei vettori della base B scritta prima , quindi devo scrivere 1v1+2v2+3v3 e dopo aver fatto qualche calcoletto si ottiene il vettore (o i vettori ) che generano il nucleo . Tutto questo vale solo quando l:applicazione non è un isomorfismo, infatti in caso di isomorfismo il ker ha dimensione zero e quindi il nucleo è costituito solo dal vettore nullo . Consiglio di visionare un video della presente playlist che si trova più avanti . Si tratta di una videolezione che riguarda lo svolgimento di un esercizio di un compito d'esame in cui capita proprio questa situazione particolare . Sia in partenza che in arrivo non si considera la base canonica e quindi la matrice associata non essendo scritta rispetto la base canonica fa si che risolvendo il sistema non otteniamo i vettori (quelli originali ) del nucleo ma solo le componenti . Se non riesce a trovare il video in questione mi scriva un commento e provvederò a "linkare " il video in questione . Spero di aver inteso bene la Sua richiesta

[@elisapenna828]

@@salvoromeo grazie mille professore prima di tutto per la sua gentilezza e disponibilità ,tutto chiarissimo . Sono andata a visionare il video. Le volevo però fare un'ulteriore domanda : se mi trovo nella situazione esplicitata nel commento precedente e quindi per fare la matrice associata ''uso'' basi non canoniche , l'immagine che trovo della matrice associata è considerabile come immagine della mia applicazione lineare, oppure come per il ker ho bisogno di svolgere ulteriori calcoli? in secondo luogo : l immagine dell applicazione lineare sappiamo essere la combinazione lineare delle colonne della matrice associata. Come immagine posso considerare sia le colonne della matrice associata prima della sua riduzione per righe (che svolgo per calcolare il rango) e sia le sue colonne venute fuori da una riduzione ? sono entrambe ''immagini'' della nostra applicazione lineare ?

[@dinochiari3647]

Nell'ultimo esempio la matrice rettangolare orizzontale sarebbe una quadrata 2×2. Motivo che la prima colonna ha tutti i valori nulli. Di norma e regola righe o colonne a valori nulli non andrebbero scartate?

[@salvoromeo]

Ciao Dino , no le righe nulle vanno mantenute al fine di conservare la dimensione .Per il calcolo del rango invece le cose cambiano e hai ragione .

[@corax_03]

grazie Salvo, sei il mio eroe 👻

[@josephmarelli5405]

Salve Prof. volevo chiederle se c'è un video dove spiega la definizione di base CANONICA. Grazie.

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio , deve visionare le lezioni precedenti della presente playlist. dove parlo di "base di uno spazio vettoriale " .

[@pinomugo8960]

la matrice ottenuta poi come si usa? ad esempio l'ultima Matrice 2x3 , la posso applicare ad un vettore di R^3 e ottengo un vettore di R^2 ? Però non mi coincide il risultato. Esempio f(1,2,3) = (4,-1) , ma se applico M al vettore colonna (1,2,3) ottengo (-1/2 , 5/2 ) . Grazie

[@salvoromeo]

Buongiorno Pino domanda molto bella ed istruttiva che cercherò di spiegare , anche se a parole la spiegazione non renderà giustizia .A tal proposito tale questione la tratterò un un video dedicato ad una esercitazione già realizzata ma è in coda per essere rilasciata entro un mese . Quando utilizziamo la matrice associata alla base canonica di ha il caso più trasparente nel senso che se in R³ scegli un vettore come (1,2,3) in arrivo ottieni il relativo vettore a due componenti dato dal prodotto della matrice associata M (badi canoniche ) per il vettore.(1,2,3 ) e in arrivo già ottieni il vettore a due componenti bello pronto . Quando invece utilizzi la seconda matrice che in partenza è in arrivo non sono espressi rispetto le basi canoniche , NON puoi utilizzare il vettore (1,2,3) perché in partenza non si parla più la lingua della base canonica , bensì quella della base A .In questo caso devi mettere a moltiplicare non tanto (1,2,3,) ma le COMPONENTI di (1,2,3) rispetto la base A che solitamente chiamo alpha ,beta ,gamma . Fatto il prodotto in arrivo otterrai un vettore con due componenti , ma Attenzione !!! Poiché in arrivo non si parla la lingua della base canonica ma quella della base B, se vuoi ottenere il vettore vero rispetto la base canonica , devi moltiplicare ciascuna componente del vettore che hai trovato per i vettori della base B e dalla combinazione lineare ottieni il vettore quello vero (permettimi questi termini poco tecnici ) . So che spiegato a parole non è il massimo e io stesso ci soffro , ma quando uscirà un video (una video esercitazione ,) si incontrerà un caso analogo in cui dovrò applicare tali regole . Purtroppo non avendo l'esercizio a mente che ho spiegato non so darti al momento informazioni ,(sono fuori casa) ma prova a fare quello che ti ho detto con il tuo esempio e se ci sono problemi scrivi pure . Più tardi quando sono seduto con carta e penna rilascio un commento (in risposta al tuo post ) con un esempio . Grazie per la domanda molto interessante e di estrema utilità .

[@salvoromeo]

Ecco l'esempio relativo la domanda : la funzione calcolata in (1,2,3) risulta (4,-1) e ciò è dato dal prodotto della matrice rispetto le basi canoniche per il vettore (1,2,3) . Lo stesso risultato lo ottieni con la seconda matrice ma con il seguente procedimento .Scrivi (1,2,3) come c.l dei vettori della base A , cioè (1,2,3)=a(1,-2,-2) +b(0,1,1)+c(0,0,1) e risolvendo ottieni (facili calcoli che ometto ) a=1 b=4 c=1 .Adesso il nuovo vettore che parla la lingua della base A è appunto (1,4,1) .Moltiplica la matrice associata (la seconda per intenderci) per questo vettore e ottieni (3/2, 5/2) . A questo punto questo è un vettore in arrivo che parla la lingua della base B . Per tornare alla canonica basta che scrivi 3/2 (1,1)+5/2 (1,-1 ) e ottieni appunto (4,-1) . Se qualcosa non ti torna chiedi pure , ma non dovresti avere problemi .

[@pinomugo8960]

@@salvoromeo Quindi non si può applicare la funzione al vettore (1,4,1) per ottenere il vettore (3/2, 5/2) ? L'applicazione lineare opera solo sui vettori espressi nella base canonica? Grazie

[@salvoromeo]

@@pinomugo8960 non è errato dire che se consideriamo la seconda matrice il vettore calcolato in (1,4,1) risulti (3/2,5/2) solo che come pedice al vettore (1,4,1) il simbolo A per denotare che quelle sono le componenti del vettore (1,2,3) rispetto la base A .Mente come pedice al vettore (3/2, 5/2) si mette come pedice il simbolo B per indicare che quelle sono le componenti del vettore immagine rispetto la base B. Passare da queste in base canonica in ogni caso è semplice . Magari ci si chiede :"perché utilizzare basi diverse , quando ho la possibilità di utilizzare la base canonica, e avere tutto più trasparente ? " . La risposta sta nel semplice fatto che spesso nei compiti non viene data la legge esplicitamente come ho fatto io , ma vengono date due basi A e B (non canoniche ) e direttamente la matrice associata rispetto queste basi senza altre informazioni aggiuntive. In questi casi se si vogliono ottenere i vettori espressi in base canonica o si fa come ho fatto io nella spiegazione del messaggio precedente , oppure tramite la matrice del cambio di base , di cui ho rilasciato una videolezione recentemente . Per qualsiasi altra cosa a disposizione .

[@pinomugo8960]

@@salvoromeo ..ho capito, però io mi domandavo come mai f(1,4,1) non fa (3/2, 5/2) ma bensì fa (6,3) ? la legge data , cioè la f , si applica solo ai vettori espressi nella base canonica?

[@topa1565]

La funzione lineare alla fine del video è iniettiva e/o surriettiva? In toeria essendo dim R3 maggiore di R2 non è iniettiva, ma è surriettiva in quanto manda generatori in generatori, dico bene?

[@topa1565]

Inoltre mi chiedevo chi è (sempre riguardo alla funzione dell ultima parte del video) LA(×) ?

[@salvoromeo]

Esatto non è iniettiva poiché nucleo di dimensione non nulla , ma surgettiva poiché dim (ImF) =dim |R²

[@emanuele2542]

scusi prof ma puo accadere che facendo l'applicazione lineare sui vettori della base d partenza ci si ricavi in arrivo dei vettori linearmente dipendenti ?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio.Certamente può capire frequentemente .Quando vedrà i video successivi si renderà conto quanto sia frequente tale scenario .

[@niclanicolamarino]

Prof, ma le basi scelte solo in funzione delle caratteristiche per essere tali(2 condizioni) numeri a scelta?

[@salvoromeo]

Buonasera , le basi solitamente sono assegnate dal docente .In mancanza di indicazioni specifiche si considera la base canonica . Se richiesto si assegna una base specifica costituita da vettori che generano lo spazio vettoriale in questione e che siano linearmente indipendenti .

[@djpizzo99]

Salve, prof Grazie per questa lezione intanto! Volevo dirle che al minuto 18:45, ha scritto E3 invece di E2 in rosso

[@salvoromeo]

Buongiorno , La ringrazio tantissimo per aver evidenziato l'imprecisione che fortunatamente non compromette l'esercizio .A rigore e per coerenza la base di R2 l'avrei dovuta indicare con E2 . Grazie ancora per il commento e quanto prima scriverò un commento in primo piano per segnalare eventuali imprecisioni .

[@chiaraambrosino4344]

lei è il top!!!!!❤️ ma perché chiude ogni volta i pennarelli?😂😂

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio .La ringrazio per gli eccessivi elogi , ma faccio solo il mio dovere (anche se congiuntamente è una passione ). I pennarelli li devo chiudere poiché se li lascio aperti per molto tempo si asciugano 😄

[@Simone-zu7rh]

buonasera prof, scusi l'ignoranza, perché i vettori delle basi devono essere linearmente indipendenti? cosa succede se non fosse cosi? grazie mille

[@salvoromeo]

Buonasera Simone non sarebbe una base . Le suggerisco (se vuole ovviamente ) di visionare le prime lezioni di questa playlist visionando le lezioni : -generatori di spazi vettoriali -vettori linearmente indipendenti -base di uno spazio vettoriale . Sono ordinate in sequenza e avrà modo di capire meglio tale concetto 😊 .

[@Simone-zu7rh]

@@salvoromeo grazie mille lo farò sicuramente 😊

[@user-gw9kx4pt2x]

Professore ho una domanda, qual'è la prima lezione, quella introduttiva delle applicazioni lineari ? Grazie mille

[@salvoromeo]

Buongiorno , se va nella playlist algebra lineare , trova le lezioni ordinate e vi è proprio la lezione intitolata "applicazioni lineari e verifica " . Ovviamente si da come scontato che tutti gli altri argomenti delle lezioni precedenti siano consolidati .

[@kelashmungrah1934]

Tutto spiegato alla perfezione

[@petercristobal6962]

per la seconda matrice associata, se faccio il prodotto riga per colonna con per esempio il vettore (1,-2,-2) non ottengo (0,0), perchè?

[@salvoromeo]

Buonasera .È normale che con la matrice associata rispetto alle basi non canoniche non si ottiene (0,0) . In questo caso deve scrivere il vettore considerato in componenti rispetto alla base di partenza A e vedrai che con il nuovo riferimento si ottiene (0,0)

[@lucaarrigo1004]

Grazie mille per il contenuto. Mi permetto... Tenga i pennarelli aperti

[@salvoromeo]

La ringrazio Luca , Per i pennarelli Le do ragione .Il problema è solo uno :se lo lasciassi aperti a lungo si asciugano molto prima .Quando dimentico un pennarello aperto per sbaglio l'indomani lo posso andare a buttare 😄

[@alessandroalessandro3216]

Buongiorno professore, grazie mille per l'ottimo video.Stavo cercando di risolvere un esercizio che dice: sia f:R^3 --> R^2 l'applicazione lineare data da f(x ( x -2y + 2z y = y-z) z) calcolare f (2 3 3). significa che al posto di ogni x devo mettere 2,al posto di ogni y devo mettere 3 e al posto di ogni z devo mettere 3? Quindi la matrice associata sarebbe ( 2 -6 6 0 3 -3)?

[@salvoromeo]

Buonasera se al posto di x y z mette i valori indicati trova l'immagine del vettore .La matrice associata è una cosa diversa .

[@Salvoo38]

se non avessimo la legge ma avessimo l immagine e il vettore dove è valutata si puo costruire la matrice associata?

[@salvoromeo]

Buongiorno , ottima domanda . Per questo ho realizzato un video apposta .Dovrebbe essere il video successivo a questo della presente playlist .Se non riesce a trovarlo mi faccia sapere con un commento .Sarà mio dovere fornire il link della relativa lezione .

[@emilbulancea9836]

assolutamente fantastico gtrazie proofff

[@salvoromeo]

Grazie a te e lieto di esserti stato utile .

[@ionatan_moraru_]

Buonasera prof, in questo video ha mostrato come calcolare la matrice associata rispetto a due basi (una in partenza e una in arrivo), le volevo chiedere come bisogna agire se ci viene richiesto di calcolare la matrice associata rispetto ad un'unica base data (in partenza)

[@salvoromeo]

Buonasera , forse mi sta chiedendo se viene data una sola base sia per lo spazio di arrivo e in partenza ? In questi casi si agisce sempre alla stessa maniera , solo che la base A (di partenza ) e la base B (di arrivo ) coincidono . Questo avviene quando ad esempio si ha una applicazione lineare da R³ a R³ e sia in partenza che in arrivo utilizzo la base canonica . Spero di aver capito la domanda . Eventualmente resto a disposizione .

[@ionatan_moraru_]

@@salvoromeo l'esercizio chiede di calcolare la matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto alla base B (che mi dà l'esercizio) su dominio e condominio. Quindi considero la medesima base sia in partenza che in arrivo?

[@salvoromeo]

@@ionatan_moraru_ esatto deve considerare la stessa base .Molto meglio e meno burocrazia 😊 .

[@ionatan_moraru_]

@@salvoromeo perfetto, grazie mille :)

[@matteopedoni5738]

Buonasera professore, non ho ben capito i risultati dei sistemi b e c, quel 1/2 non mi torna, sarà sicuramente molto banale ma non riesco a capire. Grazie mille in anticipo

[@salvoromeo]

Buongiorno ho semplicemente risolto il sistema lineare di due incognite a due componenti con il risultato della coppia ordinata (1/2,1/2)

[@gabrielearmandomiele737]

Si può tornare indietro? Cioè dalla matrice in due qualsiasi basi all'espressione esplicita dell'applicazione?

[@salvoromeo]

Buongiorno.Certamente che si può risalire alla legge .Solitamente quando si ha la matrice associata si ha tutto (è il livello più alto in altre parole ) , tuttavia fate le basi in arrivo e in partenza è possibile certamente ricavare le legge esplicita .

[@pinomugo8960]

minuto 4:30 cosa si intende per sottospazi con restrizioni ?

[@salvoromeo]

Quando dico "spazio vettoriale con restrizione" intendo dire un sottospazio dove gli elementi non sono qualsiasi , ma sottoposti a delle restrizioni da alcune equazioni cartesiane . Ad esempio se considera R³ puó prendere qualsiasi vettore a tre componenti , ma se considera R³ con la restrizione x=y in questo caso una base non è una qualsiasi terna di vettori , ma ne devo scegliere di meno quindi lo spazio e vettoriale in cui è definita una applicazione lineare non è R³ ma un sottospazio V di R³ .Tuttavia di può sempre scrivere una matrice associata di una applicazione che va da V a W

[@TorrediPisa52]

Grande didattica

[@salvoromeo]

Grazie

[@commess18]

che patatone❤❤

[@lucacerini2915]

Ma nel caso di basi non canoniche e lo spazio di partenza e minore di quello di arrivo tipo da r^2 a a r^3 come si fa?

[@salvoromeo]

Buonasera Luca , il procedimento è uguale e molto simile al caso che ho fatto nel mio video (secondo esempio ) . Solamente che si avrà una matrice associata con tre righe e 2 colonne che si studia alla stegua di tutte le altre matrici .Si determina quindi sia l'immagine (che non può avere dimensione superiore a due ) sia il nucleo che ovviamente potrà avere o dimensione zero (se l'immagine ha dimensione 2) oppure dimensione 1 se l',immagine ha dimensione 1 .Questo indipendentemente che le basi siano canoniche o meno come ho fatto vedere nel video (secondo esempio a fine video )

[@giovannipalmieri7734]

Ma questa spiegazione coincide con il teorema di rappresentazione o è un'altra cosa?

[@salvoromeo]

Esatto Giovanni , qui ho fatto vedere come si costruisce la matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a delle basi assegnate .Un punto fondamentale presente in qualsiasi compito d'esame di algebra lineare .

[@giovannipalmieri7734]

@@salvoromeo Grazie mille!

[@safiadaoussi8115]

quale la differenza fra una base canonica e una base non canonica e inoltre come facciamo per accorgercene?

[@salvoromeo]

Buongiorno Le suggerisco il seguente video di cui allego il link a fine messaggio .Se non è chiaro il concetto di base consiglio di visionare tutti i primi video della playlist che è perfettamente ordinata .Spesso non spiego i concetti esposti poiché sono stati spiegati nelle lezioni precedenti . Ecco il video dove si spiega come trovare una base (attenzione come "trovare una base ") . Per sapere cosa sia una base vi è un video precedente nella stessa playlist .Se non lo trova mi faccia sapere e le invio il link . m.kzbin.info/www/bejne/iqSkoqFml6uXpas&pp=iAQB

[@leonardocuccaro4957]

Ciao Salvo, veramente bravo e spero un giorno di ricambiarti il favore

[@salvoromeo]

Tranquillo , è un piacere , non c'è nessun favore da ricambiare .

[@leonardocuccaro4957]

@@salvoromeo beh...stai offrendo la possibilità ad uno studentello un po' cresciuto come me (classe 66) di poter ultimare il ciclo di studi laurea triennale in ingegneria meccanica- ultimo esame *Fondamenti di Controlli Automatici* che alla fin fine è un esame di matematica 😉

[@Gelato1000]

salve prof non volevo chiederle la differenza tra base canonica e non ... purtroppo non riesco a capire!

[@salvoromeo]

Buonasera deve visionare tutte le lezioni precedenti a questa playlist .Ci deve essere la lezione in cui parlo in dettaglio del concetto di base in tutti gli aspetti . Se non la trova mi faccia sapere e in serata cerco e invio il link della videolezione .

[@Gelato1000]

@@salvoromeo se mi può mandare il link sarebbe perfetto

[@calogerolobrutto2701]

Cosa intende con endomorfismo?

[@salvoromeo]

Buongiorno Calogero , intendo applicazione che va da uno spazio V a se stesso .Quindi ad esempio da R³ ad R³ , oppure da R⁴ ad R⁴ ecc ecc , e le matrici associate in questo caso sono quadrate .

[@riccardosinisi311]

A cosa serve definire la matrice associata ad una applicazione?

[@salvoromeo]

Salve . La matrice associata è il CUORE di ogni applicazione lineare rappresenta infatti la legge stessa , ma scritta in forma matriciale se volessi calcolare la funzione nel vettore di componenti (1,3,-4 ) basta moltiplicare la matrice per questo vettore e ho l'immagine del vettore menzionato prima .Visionando tutte le lezioni della playlist avrà modo di vedere l'importanza della matrice associata .Tenga presente che in un compito di algebra lineare se si sbaglia la matrice associata ,l'esercizio (purtroppo ) non viene più corretto dal momento che tutto il resto perde di significato . Sulla matrice associata conviene starci qualche giorno in più , perché una volta chiarito il concetto tutto diventa più semplice per definire nucleo , immagine , autovalori (nei casi di endomorfismi ) ecc ecc .

[@riccardosinisi311]

La ringrazio per la risposta. PS. Può darmi del tu perché avrò circa 1/3 dei suoi anni

[@mattiapresti7295]

Se c'è una cosa che mi sta facendo venire l'orticaria e perdendo un sacco di tempo, possibile che non esiste una formula facile da memorizzare per il cambiamento di base?!?!? E=.... NO-PAROLE. Io me lo ricordo che ci si arrivava giocando con l'inversione delle matrici

[@unclematt1231]

un mito !

[@salvoromeo]

La ringrazio , mi fa onore questo commento , ma sono un semplice insegnante appassionato di matematica 🙂 . Buona permanenza nel mio canale .

[@antoniogigliotti8494]

ma come fai a scrivere

[@Andrea-fq4gh]

Grazie.

[@salvoromeo]

Grazie a mille per il contributo al canale .