Matrice inversa - Calcolo della matrice inversa

Nel presente tutorial si illustra passo passo come calcolare rapidamente l'inversa di una matrice quadrata .
Come giusto compromesso (in termini di difficoltà) ho selezionato una matrice quadrata di ordine 3 , ma il concetto si estende a qualsiasi matrice quadrata di ordine n.
Prima di svolgere l'esercizio e calcolare l'inversa sono state date alcune informazioni basilari di teoria per quanto riguarda le condizioni di invertibilità di una matrice e si spiega anche cosa è effettivamente una matrice inversa .
Buona visione
#salvoromeo #matrici #calcolomatriceinversa

[@salvoromeo]

AVVISO IMPORTANTE : Diversi utenti hanno riportato diversi errori di calcolo sia riguardo gli elementi della matrice inversa , sia su alcuni elementi della matrice dei complementi algebrici . Ringrazio sempre chi riporta qualche errore di calcolo (anche presunto ) ma "ufficialmente " dichiaro che i calcoli riportati nel presente video sono CORRETTI e non vi è alcun errore nel calcolo dei vari elementi della matrice inversa .

[@LambdaPsi]

Salve professore, volevo chiederle per sempre riguardante la matrice inversa. Inanzittutto come dice lei il determinante qualora sia diverso da zero è possibile la sua inversa. Sia A composti da (a11=4,a12=1,a21=2,a22=-1) matrice in R^2x2 messo a prodotto con A^-1 ovviamente abbiamo difronte una matrice d'identità la quale è (a11 = 1, a12=0, a21=0, a22=1). Per A^-1=(a11=a,a12=b,a21=c,a22=d) faccio il prodotto con A ottengo = AA^-1= (a11=4a,a12=(1)b,a21=2c,a22=(-1)d). Metterlo a sistema ottengo 4a=1,b=0,2c=0,-d=1 --> a=1/4,b=0,c=0,d=-1. Dunque questo procedimento è per caso possibile? Grazie per l'aiuto

[@caterinaabrami9642]

Buongiorno Prof, a me però risulta che A x A^-1 non corrisponde alla matrice di identità... mi può per caso confermare o correggere? grazie in anticipo

[@salvoromeo]

@caterinaabrami9642 buongiorno ha fatto bene a scrivere , ma come ho specificato nel commento in evidenza la matrice è corretta .Provi a rifare il prodotto tra le due matrici (in questo caso può fare anche A-1*A ) e vedrà che la matrice prodotto è la matrice identitá. Qual è l'elemento che non risulta dopo aver fatto il prodotto ? Magari la posso aiutare a capire il dubbio .

[@caterinaabrami9642]

@@salvoromeo grazie mille Prof, era un semplice errore di segno mannaggia a me 😅

[@filipporacingarage8935]

@@caterinaabrami9642 Ciao anche io ho provato e in a3,3 risulta -2 e non +-1

[@viandante.j]

tutti i miei compagni di corso si stanno salvando grazie a lei, davvero gentilissimo! p.s. potrebbe aggiungere anche questo video nella playlist di algebra lineare grazie.

[@salvoromeo]

La ringrazio per il gradimento .Accolgo volentieri la richiesta di inserire il presente video nella playlist di algebra lineare .

[@simonevacca40]

.

[@antonioliguori1614]

Gentilissimo, grazie per aver speso del tempo per noi! Saluti.

[@salvoromeo]

È un piacere .Grazie per l'apprezzamento .

[@user-od6gi4lz8t]

Top! Veramente chiaro prof. grazie infinite! Appena finisco Algebra passo alla playlist per dare l'esame di Analisi... Derivate e Integrali mi spaventano un pò ma sono certo che ce la farò con le sue spiegazioni!

[@pierosollai]

questa è una lezione perfetta. grazie professore

[@salvoromeo]

Grazie a te lieto che la lezione sia stata utile .

[@AdrianoCorliti]

la ringrazio fortemente per questa fantastica spiegazione!!

[@tommasoborrelli9470]

Il migliore fino ad ora, grazie

[@elii198]

Lei mi ha salvato la vita! Grazie milleeeeee

[@matteomedda4617]

Grazie per la spiegazione.Complimenti per la chiarezza.

[@giorgiag6490]

Bravissimo!!!!!!!!! ho ripreso ingegneria per chiuderla dopo tantissimi anni, grazie infinite spiegazione ottima!

[@salvoromeo]

Di nulla .Molto lieto di essere di aiuto con i miei contenuti didattici .

[@danylombardojpg]

Grazie prof per la spiegazione rapida e semplice, oggi ho l’esame per l’ennesima volta, speriamo bene

[@salvoromeo]

Spero sia andata bene 😊

[@danylombardojpg]

Domani ci riproviamo 😂

[@astro.lewennhart6452]

@@danylombardojpg come e' andato?

[@pietrovirdis1073]

Sei un grande🙏

[@giuseppesica5878]

Tra 3 giorni ho l'esame, se lo passerò sarà solo grazie a lei

[@ci180]

gbuona fortunaa io forse lo do tra 9 giorni

[@salvoromeo]

Buona fortuna a tutti per l:esame allora 🙂 . Il merito non sarà affatto mio , ma solo tuo .Ti ringrazio per la scelta dei miei contenuti .

[@gianlucaroca9025]

Buonasera Professore, purtroppo non mi torna un calcolo, ossia durante i calcoli per trovare il determinante nel minuto 4:40, quindi facendo: +1 (1*1) -(-2*-1) = +1 (1) - ( +2) = +1 (1 -2) = (+1) (-1) (+1* -1) = -1, a questo punto non sarebbe un valore negativo? Oppure trovandosi il segno assoluto |A|, risulta necessario convertirlo in positivo perché non accetta un determinante, cioé un valore assoluto negativo?

[@salvoromeo]

Buonasera Gianluca .Attenzione il valore assoluto non ha nulla a che fare con il determinante .Provi ad applicare o Sarrus oppure il metodo di Laplace per calcolare il valore del determinante . In breve deve fare 2-1 =+1 .Se ha bisogno del link in cui parlo di determinante me lo faccia sapere e Le invio il link della relativa lezione .

[@katelorusso1870]

Può postarlo qui prof . Grazie

[@fedemancosu2060]

Grazie per questo video, mi ha aiutato tanto

[@elonmusk7164]

Federico Pierino dice che sei un grande! Continua cosi

[@emanuelestanghini1144]

scusi prof vorrei un chiarimento, al minuto 5:09 il determinante della A è risultato 1 perché con laplace il numero 1 della matrice A sta in 3,2 e quindi bisogna cambiarlo di segno giusto?

[@salvoromeo]

Buonasera Emanuele .Esattamente .Il complemento algebrico dell'elemento 3,2 cambia di segno poiché classe dispari .

[@AndreaPancia1]

Buongiorno professore una domanda che mi assilla da un po' anche se non direttamente collegata alla matrice inversa. Se ho una matrice nxn con colonne ortogonali fra loro ( non ortonormali come nel caso delle matrici ortogonali) allora automaticamente le righe ti tale matrice sono ortogonali fra loro??

[@gloriaanastasi8013]

Grande professionalità!

[@salvoromeo]

La ringrazio . Faccio il possibile per dare il meglio 🙂 . Mi fa piacere che il video sia stato di gradimento .

[@stefanoasprone3588]

Salve Prof. Romeo, ancora grazie per i suoi video. Le volevo domandare una precisazione: se quando vado a calcolare il complemento algebrico di ogni elemento mi trovo davanti ad una matrice quadrata non 3 x 3 ma per esempio 4 x 4 come mi devo comportare? Grazie.

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio Stefano .La procedura è analoga , solo che le varie sottomatrici anziché essere di ordine 2 (come nel caso del mio visto ) saranno di ordine 3 .Ma la logica di procedere non cambia .

[@Irene-s5b7z]

Ciao Salvo, una curiosità come fai a scrivere non specchiato?

[@lucaferrara4380]

scrive da dietro il vetro e poi nel montaggio specchia il video

[@Tinuzzo]

il prof più chad del web

[@sadale4877]

scusi prof La mia prof di algebra lineare non ha ancora introdotto il determinante e di conseguenza per calcolare la matrice inversa, scriviamo e1,e2,e3 base canonica come combinazione lineare delle colonne della matrice. Escono quindi un determinato numero di sistemi e dai valori dei coefficenti che trovo riesco a trovare le colonne della matrice inversa... Quale dei due metodi è il più efficace ? Io ho risolto la matrice che ha scritto lei con il metodo scritto sopra e mi è sembrato abbastanza chiaro e semplice come procedimento Grazie per la spiegazione

[@salvoromeo]

Buonasera , grazie per la domanda interessante .Ho capito a cosa si riferisce .Personalmente non lo gradisco , ma se la docente impone e consiglia di utilizzare il metodo suddetto , è bene attenersi . Io preferisco il metodo con la matrice aggiunta solo per una questione personale .

[@sadale4877]

@@salvoromeo grazie mille per la risposta Abbiamo iniziato a parlare del determinante oggi 👍

[@filipporacingarage8935]

Buongiorno professore, scusi è possbile invertire una matrice non quadrata, quindi una rettangolare?

[@salvoromeo]

certamente Filippo , ne parlerò in un video dedicato , anche se ci sono delle restrizioni 😊 .

[@carlofalcone9407]

grazie maestro

[@DevilSeT94]

mi scusi professore, ho una piccola confusione. dai testi mi sembra di capire che quando prendiamo un elemento della matrice se di classe pari allora si cambia di segno soltanto se abbiamo il meno davanti perchè sarebbe il complemento algebrico elevato alla n+m, dove n+m è la classificazione. di conseguenza se prendiamo un elemento -1 di classe dispari 2+1 allora rimane -1.... è corretto?

[@salvoromeo]

Buonasera , se l'elemento è di classe dispari (i+j =dispari) si cambia in ogni caso il segno .Quindi se originariamente abbiano +7 diventerà -7 e viceversa ...un -6 diventa +6 .

[@francescogiuseppefrisone7525]

Salve professore, il mio professore modifica un po’ questo procedimento. Lui trova prima la trasposta della matrice per poi sostituire ogni elemento con il suo complemento algebrico, e dopodiché moltiplicare tutta la matrice trovata per lo scalare 1/Determinante di A. Volevo chiederle è la stessa cosa?

[@salvoromeo]

Buongiorno .Certamente .È un procedimento equivalente .Può anche svolgere li stesso mio esercizio con il metodo suggerito dal Suo docente e vedrà che otterrà la stessa matrice inversa .

[@lucreziaercole9345]

spiegazioni chiarissime! Creerà una playlist anche per Analisi II?

[@salvoromeo]

Buonasera , La ringrazio .Per Analisi 2 sto pubblicando alcune nozioni di base , ma ancora la strada è lunga per poter completare tutti gli argomenti (passerà circa un anno intero , come successo per algebra lineare ) .

[@nicoladepascale8801]

Grazie prof

[@fabiod.674]

Prof, è possibile che abbia sbagliato il determinante della matrice? Lei avrebbe calcolato solo un termine del determinante, mentre andavano sommati tutti i termini di riga di Laplace? Almeno ricordo che ogni coefficiente diverso da zero genera un determinante parziale, infatti svolgendo correttamente i calcoli il determinate resta 1, ma solo per coincidenza. Svolgendo Laplace sulla prima riga sarebbe stato detA= -1+0+2 =1. Corretto?

[@salvoromeo]

Buonasera Fabio ho controllato e il determinante della matrice A risulta uguale a +1 , indipendentemente dal metodo utilizzato .

[@albertoi8256]

In questo caso essendoci due zeri nella colonna centrale usare Laplace anche a mente risulta sicuramente la strada più veloce e pratica.

[@DanieleLombardo]

Salve prof, é possibile in una matrice determinare il rango in parte con un metodo ed in parte con un altro? Ad esempio inizio con Laplace e poi quando la matrice mi si rimpicciolisce e mi diventa una 3x3 passo a sarrus? O sono obbligato ad usare Laplace se inizio con lui? Grazie in anticipo!

[@salvoromeo]

Buongiorno Daniele , certamente che è possibile .L'importante è utilizzare Laplace per le 4x4 o superiori .

[@DanieleLombardo]

grazie mille prof ☺️

[@MATTEORENZI-s9x]

scusi quando al ,minuto 7:40 calcola il complemento algebrico perché le esce -2 (parlo del complemento A21) 0 x(-3) fa 0 ma 1 x(-2) fa -2 che poi cambiando segno diventa +2, forse ho capito male qualcosa, perché a lei esce -2, grazie in anticipo

[@salvoromeo]

Buonasera Matteo , il determinante risulta 0-(+2)=+2 e cambiato di segno -2 poiché elemento di classe dispari .

[@giuliamonsurro3689]

grazie ❤

[@fufudank9502]

Sei fantastico

[@vanessahbanzouzi]

È una meraviglia questo video. Spiega molto bene con tutti i dettagli. Ma solo una curiosità 😄 che dispositivo usa per scrivere ✍🏾???????

[@salvoromeo]

Grazie per l'apprezzamento .Uso una glassboard che mi consente di scrivere direttamente senza voltare le spalle all'utente .

[@riccardosellitri4312]

@@salvoromeo Scusi la domanda, ma lei scrive al contrario per permettere a noi di leggere nel verso giusto?😅

[@jeffkaplan7635]

@@riccardosellitri4312 penso che metta il video specchiato sai😂😀

[@andr4eq168]

🤣 ho passato analisi matematica... ed ora sono qui per analisi numerica xD

[@maurobeneduce2938]

professore salve, è possibile che al minuto 6:17 A11 sia uguale a 1 invece che -1? Perché i+j e in questo caso 1+1 ci da 2 che è numero pari e quindi non cambia di segno. La ringrazio vivamente per tutto il lavoro che fa per noi studenti e le auguro una buona giornata.

[@salvoromeo]

Buonasera e la ringrazio per il commento . A11 risulta comunque - 1 .Il fatto che i+j sia pari (nel nostro caso 1+1=2) comporta che il determinante della sottomatrice non cambia segno e quindi rimane -1 .

[@maurobeneduce2938]

@@salvoromeo va bene prof, la ringrazio per il chiarimento

[@gabbo9813]

mi scusi professore, ma non capisco perchè utilizzando il metodo di sarrus per ricavarsi il determinante, che lei ha calcolato con il metodo di laplace , mi viene 0 al posto di 1. eppure ho fatto i calcoli ripetutamente...

[@salvoromeo]

Buonasera avrà sbagliato qualche calcolo .O utilizza Sarrus o utilizza Laplace il determinate viene sempre 1 . Zero non può mai essere per il semplice fatto che il rango della matrice è tre . Ricontrolli i calcoli .

[@eliogabalo_00]

Salve, ma per trovare l'inversa non bastava utilizzare l'eliminazione di gauss?

[@salvoromeo]

Buongiorno ho capito a quale metodo allude .Quello è un metodo secondario .Ho preferito concentrarmi sul metodo ufficiale per approfittare di spiegare la matrice aggiunta .In ogni caso ben vengano altri metodi purché si sappia cosa sia la matrice inversa .

[@eliogabalo_00]

@@salvoromeo perfetto grazie mille

[@nicola8505]

Salve prof, io ho provato a moltiplicare la matrice inversa ottenuta con la matrice di partenza, ma non ottengo subito la matrice identità. è necessario fare ulteriori calcoli o è possibile che ci sia qualche errore durante il procedimento?

[@salvoromeo]

Buongiorno Nicola La ringrazio per la segnalazione .Ho controllato di nuovo le matrici svolgendo il prodotto e non ho rilevato problemi .Piano piano con calma faccia i relativi prodotti riga per colonna e Le assicuro che risulta la matrice identità di ordine tre .Se il problema persiste non esiti a contattarmi .

[@nicola8505]

@@salvoromeo Salve prof, la ringrazio molte per la risposta. Mi scuso, l'errore è stato mio nel calcolare i singoli termini nella loro posizione e non facendo il prodotto riga per colonna. La ringrazio moltissimo per la velocità e la disponibilità ❤

[@salvoromeo]

@@nicola8505 Ringrazio te e tutti coloro che segnalano una probabile imprecisione .Grazie ad alcune segnalazioni di alcuni utenti ho l'opportunità di segnalare qualche piccolo errore di distrazione in qualche punto del video e inserire l'errore nella descrizione del relativo video (dichiarando il minuto e il secondo esatto ) . Non deve scusarsi assolutamente , anzi ha fatto bene e La ringrazio .

[@tuttomoltocasareccio4587]

salve prof,nel calcolo della matrice inversa, nella posizione C32,il calcolo mi viene -2+1+3 che fa 2,tutti gli altri calcoli mi tornano giusti con i relativi 0 e 1 nelle giuste posizioni,dubito di aver fatto un errore di calcolo peró boh

[@poisonphoenix5727]

Hit the road Jack and don't you come back No more, no more, no more, no more Hit the road Jack and don't you come back no more What you say? Hit the road Jack and don't you come back No more, no more, no more, no more Hit the road Jack and don't you come back no more Old woman, old woman, don't treat me so mean You're the meanest old woman that I've ever seen I guess if you said so I'll have to pack my things and go (that's right) Hit the road Jack and don't you come back No more, no more, no more, no more Hit the road Jack and don't you come back no more What you say? Hit the road Jack and don't you come back No more, no more, no more, no more Hit the road Jack and don't you come back no more Now baby, listen baby, don't ya treat me this way 'Cause I'll be back on my feet some day (Don't care if you do 'cause it's understood) (You ain't got no money, you just ain't no good) Well, I guess if you say so I'll have to pack my things and go (that's right) Hit the road Jack and don't you come back No more, no more, no more, no more Hit the road Jack and don't you come back no more What you say? Hit the road Jack and don't you come back No more, no more, no more, no more Hit the road Jack and don't you come back no more Well (don't you come back no more) Uh, what you say? (Don't you come back no more) I didn't understand you (don't you come back no more) You can't mean that (don't you come back no more) Oh, now baby, please (don't you come back no more) What you tryin' to do to me? (Don't you come back no more) Oh, don't treat me like that (don't you come back no more)

[@michelepiermattei1946]

salve, se la matrice è una 2 x 2 come devo fare?

[@salvoromeo]

Buonasera , il procedimento 3 identico .Anzi 3 più semplice poiché deve calcolare il determinante di una matrice 2x2 (immediato rispetto a una 3x3 o 4x4) e inoltre deve calcolare solo 4 "complementi algebrici " (cofattori ) anziché 9 . Un metodo alternativo per calcolare la matrice inversa lo trova al seguente link m.kzbin.info/www/bejne/boubnoOLm7OnY6c

[@marialucialuciettinella8883]

Salve, penso che Lei volesse dire che nel calcolo del determinante elimina la seconda colonna, invece per lapsus ha detto la terza. Grazie di tutto.

[@salvoromeo]

Sicuramente si , e La ringrazio per la segnalazione . Girando molti video durante le ore piccole ( molti oltre la mezzanotte ) la stanchezza si può far sentire :-D

[@zakaria9554]

la matrice inversa non dovrebbe essere la trasposta di quella ottenuta dal calcolo dei complementi algebrici professore ?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio .È vero che si deve ricavare la matrice ottenuta facendo la trasposta dei complementi algebrici , ma per completare ogni elemento deve essere diviso per il determinante della matrice originale (che nel nostro caso vale 1)

[@islembelkhir7003]

salve, le volevo chiedere gentilmente, MA LEI COME FA A SCRIVERE COSIIII ?? CIOE' NOI LO VEDIAMO DRITTO cuoricini

[@andr4eq168]

🤣 magia della glassboard XD

[@fabiod.674]

Non ho parole .. Che domande sono?

[@CrazyBronze]

La mia prof usa l'algoritmo di gauss jordan con la matrice idenitità. Come si chiama questo metodo?

[@salvoromeo]

Realizzerò un video a riguardo 😊

[@Salvoo38]

Scusi ma se fosse stata una matrice 4*4?

[@salvoromeo]

Buongiorno .Se la matrice fosse stata di ordine 4 o anche superiore , il concetto non cambia .È ovvio che la mole di calcolo aumenta in quanti per una matrice di ordine 4 di devono determinare ben 16 complementi algebrici (o cofattori ) .Gli stessi complementi algebrici si riferiscono a matrici di ordine tre e quindi possiamo immaginare la mole di calcoli che si deve affrontare . Al di là del calcolo la coda importante è capire il concetto poiché a meno di casi particolari nessun docente assegnerà un esercizio in cui si deve determinare l'inversa di una matrice di ordine 4 o superiore .

[@carobrunori3789]

A me non torna la matrice d’identità se calcolata come il prodotto di A x A ^-1 😢

[@salvoromeo]

Faccia i prodotti tra le matrici con calma e vedrà che tutto torno .

[@federica2250]

nella A32 perché non fa -3?

[@salvoromeo]

Perché 1-2=-1 e cambiato di segno +1

[@eliaguastini7960]

Spiegazione esemplare

[@salvoromeo]

La ringrazio Elia

[@fefar2409]

vedi che è sbagliato lil calcolo dei complementi algebrici , A32= -1 non a 1

[@melanialeonelli5154]

ma scrivi al contrario sulla lavagna?

[@PolitecnicodiMilano-ie3ct]

moltiplicando a per l'inversa non viene fuori la matrice identità

[@salvoromeo]

Se una matrice A è invertibile (basta che non sia singolare ) ammette sempre inversa che chiamo A¹ e il prodotto tra A e A¹ risulta sempre la matrice identità . Non può essere altrimenti . Nel mio esempio ho verificato inizialmente che la matrice è non singolare e quindi ammette inversa e facendo il prodotto della matrice A per la sua inversa risulta proprio la matrice identità .Basta fare i calcoli con calma .

[@simonevacca40]

.

[@andr4eq168]

mi sa che faro cmq vista qui anche per elettrotecnica per ripassare xD

[@salvoromeo]

Buongiorno Andrea , ho letto su altro post che ha superato analisi 1 e mi fa molto piacere . Per elettrotecnica (a meno di qualche applicazione matematica banale ) purtroppo il mio canale non è quello giusto . In elettrotecnica di pala di altro ef è roba che non oso immaginare. Deve fare riferimento ad altri canali e sono sicuro che su KZbin troverà quello giusto .

[@andr4eq168]

@@salvoromeo ni.. in realtà ho fatto sia la 1 che la 2. Erano accorpate in un unico esame. Sicuramente tornerò per ripassare i vari argomenti Base per altre materie che li richiedono.

[@SatchelChannel]

@@andr4eq168 Ingegnere? Anche io devo passare algebra lineare per fare elettrotecnica e fisica matematica ahahah

[@andr4eq168]

@@SatchelChannel esatto ahhahaha

[@andr4eq168]

pero a me adesso manca solo fisica :D forza💪

[@andr4eq168]

okk... quindi se ho capito .. la matrice inversa si calcola come segue : -determinante della matrice 3x3 -calcolare i complementi algebrici (metodo di laplace) ed ottenere il determinante delle sottomatrici ricavate -trasporre i determinanti ricavati delle sotto matrici -dividere ogni elemento della matrice trasposta per il determinante della matrice 3x3. fatto cio avremo la nostra matrice inversa.

[@salvoromeo]

Esatto , e se vuoi fare una prova , è sufficiente moltiplicare le due matrici e ottenere la matrice identità .