Rango di una matrice .Come calcolare il rango rapidamente .Teoria ed esempi .

Calcolare il rango di una matrice qualsiasi con un metodo veloce .
Uno dei concetti fondamentali nella teoria delle matrici è quello di rango , importantissimo per studiare molti concetti presenti in algebra lineare e geometria analitica .Indispensabile per lo studio della risolubilità dei sistemi lineari come avremo modo di vedere .
Si potrebbe calcolare il rango utilizzando il metodo dei minori , tuttavia ho preferito utilizzare il metodo di riduzione per righe o colonne che per certi aspetti presenta notevoli vantaggi in termini di calcoli .
Oltre a spiegare come calcolare il rango di qualsiasi matrice quadrata , si spiega cosa rappresenta il rango a livello concettuale facendo notare le caratteristiche sia di quelle che possiedono matrici che mantengono il rango pieno e sia delle matrici che presentano un rango inferiore a quello massimo previsto .
Gli esempi saranno esaustivi , e per comprendere tale lezione è indispensabile aver capito il concetto di vettori linearmente indipendenti e di determinante .
Il rango di una matrice viene anche chiamato caratteristica della matrice .
ERRATA CORRIGE : al minuto 32:43 il determinante della sottomatrice 2x2 vale 3 e NON 5 come ho scritto per errore di distrazione. Per gentile segnalazione di un utente (vedi commenti )
#salvoromeo #matrici #rangomatrice

[@salvoromeo]

Al minuto 33 :15 vi è un piccolo errore sul calcolo del determinante .Tuttavia ciò non ha compromesso il rango della matrice .

[@nicolo1620]

Ecco perchè mi usciva -6, ho utilizzato sarrus

[@carlofalcone9407]

sei quello che sei

[@nicolo1620]

@@carlofalcone9407 ?

[@simoneaversano513]

Il professore ha sempre suggerito di ottenere il rango sempre dal calcolo del determinante. Mai sentito parlare di elemento speciale. Va bene lo stesso, se appunto, calcolo il determinante ?

[@salvoromeo]

Se il professore non ha parlato mai di elementi speciali va benissimo e si deve attenere alle istruzioni del docente . Per quanto mi riguarda agli studenti lascio la libertà di utilizzare qualsiasi metodo .Se si ha la fortuna di avere una matrice 3x4 e in ogni riga si ha la fortuna di avere un elemento speciale , il rango è uguale a tre senza fare calcoli laboriosi .

[@ireneborghini7112]

Grazie a Lei ho presto 27 all'esame di Algebra Lineare. Adesso faccio ripetizioni di matematica e consiglio sempre i suoi video ai miei studenti

[@salvoromeo]

Onorato per quello che hai detto .Mi fa piacere che solo tramite i miei video hai raggiunto un risultato eccellente . Reciprocamente ti dico grazie per la fiducia riposta verso i miei contenuti didattici .

[@alessiocicilano1995]

Prof, piu chiaro di cosi non si può. Ottima spiegazione, complimenti per il suo modo di spiegare. 📚

[@salvoromeo]

La ringrazio Alessio .Mi fa piacere che la spiegazione sia stata di Suo gradimento

[@gabrieleprestifilippo8267]

Sinceri complimenti, sono le migliori, e più' chiare, spiegazioni presenti sul web.

[@ldp1993]

Professore lei è il migliore! Grazie di cuore!

[@robertasaliani1638]

Caro Salvo ,grazie per quello che fai !! Ti seguo sempre, sei la mia salvezza e sicuramente quella di molti altri studenti che come me hanno bisogno di vedere molti esercizi svolti passo per passo! Sei sempre chiarissimo, ti adoro !!

[@salvoromeo]

Salve Roberta , grazie per le belle parole . Onorato che i miei contenuti siano apprezzati e da parte mia ringrazio te e tutti gli utenti che trovano utili le mie videolezioni . Una buona giornata .

[@alfonsobuonaiuto2383]

@@salvoromeo salvo perchenon fate esercizi piu lunghi e commentati ?

[@salvoromeo]

@@alfonsobuonaiuto2383 buongiorno Alfonso , i video che realizzo sono già abbastanza lunghi e tutti gli esercizi che svolgo li commento passo passo .Realizzare video di oltre 60 minuti (a parte rare eccezioni ) potrebbero stancare gli utenti al contrario di una lezione in aula o in privato dove non scendo mai al di sotto dei 120 minuti . Il tempo che posso concedere a KZbin si limita solo a tre /due rilasci a settimana . Se il canale avesse 100 Mila scritti (cosa impossibile per canali che trattano matematica a livello nazionale ) allora rilascerei senza alcun problema anche una videolezione al giorno , ma i canali di matematica non sono quelli che emergono ed è anche normale e onestamente mi aspettavo al massimo 1000 iscritti ,che con sorpresa e stupore ho invece superato (fortuna ) Comunque come ho ribadito diverse volte (e con piacere torno a ripetere ) entro due anni il canale sarà completo e conterà tantissimi argomento didattici .È questione di aspettare . Consideri che tutte le videolezioni che rilascio adesso sono stare realizzate 3/4 mesi prima ed è molto raro che un video realizzato adesso venga rilasciato domani .Artualmente sto realizzando le riprese delle videolezioni che saranno pubblicate a maggio/ giugno . A causa del lavoro e del tempo libero che mi devo riservare ,non posso dedicarmi al canale più tempo e ci si deve accontentare dei due /tre rilasci a settimana .Se rilasciando tutti i video che ho pronti adesso e non rilasciati (custoditi nel mio hard disk ) sarei costretto a dedicarmi alle riprese giorno e per tale ragione non pubblico più di due tre volte a settimana . Spero che quel poco che ho rilasciato sia stato di aiuto in ogni caso 🙂 . Buona giornata .

[@nicologambino4120]

grazie sei stato ottimo con la spiegazione.......questa cosa che parli lentamente aiuta molto a capire bravo bravo bravo

[@user-lg8xi1lw5b]

L'insegnamento è un arte e Lei è un artista❤❤👌👌💫💫💫

[@MauroC74]

grazie mille mi ha aperto un mondo, in mezz'ora ho capito più che in giorni passati a sbattere la testa

[@bdb-music1608]

Un applauso anche solo per il fatto di scrivere al contrario per realizzare un prodotto ancora più comprensibile. Grazie 🙂

[@Fabler21]

ma secondo te scrive al contrario ahahahhahahahah basta specchiare il video

[@nicologambino4120]

hahahahaha@@Fabler21

[@fra2025]

Ahahahahah come Leonardo da Vinci

[@andrycal1969]

Al minuto 35:40 si poteva dedurre che la colonna 1meno la colonna 2 dava la colonna 3 (colonna 3 come combinazione lineare delle altre 2), da ciò si evinceva un rango 2 della matrice. Complimenti per le sue spiegazioni sempre esaustive e molto chiare che ci permettono di assimilare una materia a volte non molto intuitiva.

[@youngtoken6235]

È la Somma delle colonne, comunque si è giusto ,è la terza colonna quella non linearmente indipendente

[@tullionicolussi3963]

Molto chiaro. Sei bravo a spiegare!

[@salvoromeo]

La ringrazio tantissimo per l'apprezzamento .Faccio solo il mio lavoro che faccio ogni giorno , ma divulgato tramite qualche video su KZbin 😊

[@ilpensatoreleopardiano6451]

Come suggerito sto guardando il suo video per capire il rango...Grazie infinite ☺

[@salvoromeo]

Ottimo .Se dovessero esserci dubbi commenti pure , e risponderò il prima possibile .Le ricordo che esistono diversi metodi per calcolare il rango .Per le matrici rettangolari preferisco (suggerisco ) di utilizzare il metodo delle riduzioni al fine di ottenere elementi speciali . Per le quadrate (soprattutto se 3x3) va benissimo io metodo che ho utilizzato nell'ultimo esempio , utilizzando il determinante . NB come segnalato (gentilmente ) da un utente , nell'ultimo esempio ho commesso un piccolo errore di calcolo che tutta via non ha indicato nulla .In descrizione è riportato l'esatto momento dell'imprecisione .

[@alessiopasquini2183]

se riesco a passare l'esame di algebra lineare sarà solo grazie ai suoi video (il mio professore spiega da cani). Grazie!

[@carlofalcone9407]

grazie ancora maestro

[@raffsls]

grande prof.!

[@vicenzolorenzetti4301]

come si chiama il teorema che lei usa quando parla di elementi speciali?

[@etherealprince3849]

26:00 perchè non èè possibile addizionare alla 3 riga la prima per esempio?

[@pietrogiacalone8581]

Per quanto riguarda il rango di matrici rettangolari, questo è sempre uguale al numero dei pivot non nulli? Perché, dato che è sempre possibile ridurre a scalini una matrice, se ho un pivot non nullo a qualsiasi riga, quello diventa un "elemento speciale", per cui mi fa "acquisire punti" per il rango. Giusto?

[@danielatraverso9955]

Bravo👍

[@dimo2k413]

salve una domanda, per cercare il rango si può anche ridurre a scala la matrice e dal risultato che ne esce fuori appunto ricavarci il rango tramite il numero di pivot?

[@salvoromeo]

Buonasera si può benissimo ridurre a scala , molto utile per i sistemi lineari .Anzi , la riduzione a scala rappresenta una tecnica elegantissima per la determinazione del rango (sebbene non sia necessaria )

[@roccorosa2080]

Salve professore, in primis volevo ringraziarla e congrtularmi con lei per tutto ciò che fa. Volevo chiedere, se potesse portare la discussione di un sistema parametrico utilizzando il principio dei minori orlati. Sarebbe fantastico. Sperando che la risposta sia affermativa, le auguro buona serata!

[@salvoromeo]

Salve Rocco .Ringrazio te per l'apprezzamento dei miei contenuti e ciò mi fa onore . Rilascerò di sicuro una lezione del genere , ma non prima di gennaio visto che già la programmazione delle videolezioni di Dicembre e Gennaio è stata fatta .Ho addirittura caricato tutti i video . Il metodo degli orlati benché sia un metodo validissimo lo utilizzo pochissimi dal momento che con le riduzioni (per righe o colonne) è molto più immediato .Con gli orlati , finché la matrice è piccola (3x3 ad esempio ) si può fare tranquillamente . Ma quando ho matrici 5x5 è meglio evitare gli orlati per via dei calcoli che vengono richiesti . Scusami se mi sono dilungato molto e magari sono andato fuori tema. In ogni caso una videolezione sarà rilasciata di sicuro al fine di divulgare un metodo alternativo e altrettanto valido . Ti ringrazio per la domanda .

[@riccardocontini1930]

anch'io ho parecchi dubbi su quell' argomento

[@simone0306]

attorno al minuto 18:25... io ho moltiplicato per -2 la terza riga che poi ho sommato con la prima ottenendo quindi (-1, 0, 3, -5) sulla terza... poi per ottenere 0 al posto di -1 ho semplicemente sommato questa ultima riga con la prima che era (1, 2, 1, 1) ottenendo quindi (0, 2 , 4, -4) ... è un ragionamento corretto?

[@als6791]

Mi scusi ma al minuto 32:43 il determinante non sarebbe 3? (2x2)-(-1x-1)= 4-1=3. Il determinante della matrice quadrata verrebbe -6 quindi va bene comunque.

[@salvoromeo]

La ringrazio tantissimo.Si esattamente , ho fatto un errore di calcolo .La seconda matrice ha come determinate 3 e quindi 3-6-3 =-6 ..Provvederò a sc scrivere nella descrizione tale svista . La ringrazio davvero tanto per la segnalazione .

[@als6791]

@@salvoromeo Di nulla, anzi grazie a lei per i suoi video molto chiari

[@stefanoasprone3588]

Buongiorno Prof. Romeo ancora complimenti e grazie per il suo lavoro didattico reso semplice e chiaro a tutti. Una curiosità: questo metodo del calcolo del rango attraverso l'elemento speciale è davvero utile e semplice. Ha un nome particolare? Ho notato che non tutti i Prof. nei corsi universitari ne parlano preferendo altre metodologie. Per esempio utilizzando il procedimento di eliminazione di Gauss doveil numero del rango è uguale a quello dei pivot della matrice. Grazie.

[@salvoromeo]

Buongiorno Stefano il metodo di Gauss è un caso particolare in cui gli elementi speciali fanno di da avere una matrice a "scala " da sinistra verso destra .Il metodo di Gauss ha il vincolo di essere costretti a scegliere l'elemento speciale per forza in una posizione prefissata , mentre con il metodo che ho esposto nel video si può avere molta più libertà di scegliere l'elemento speciale , velocizzando il procedimento .

[@stefanoasprone3588]

@@salvoromeo Grazie Prof. Romeo.

[@elisabettafabretti3992]

Buongiorno, la ringrazio per le preziose spiegazioni, avrei una domanda. Scrivere un sistema a partire dalle soluzioni equivale a trovare le equazioni cartesiane di un sistema a partire dai vettori che lo generano? Un video riguardo a queste tipologie sarebbe molto utile. Grazie ancora, un caro saluto

[@salvoromeo]

Buongiorno Elisabetta . Esiste una lezione che a partire da una base (le soluzioni indipendenti di un sistema lineare ) permettono di ricostruire le equazioni (dette equazioni cartesiane ) . Se non dovesse trovare la lezione in questione , scriva pure un conto e incollo il link . Grazie per la domanda interessante .

[@StefanoNappisistemivideo]

Buon giorno Salvo, una domanda, quando dice che la prima riga va nascosta, intende dire che non si puo' piu' utilizzare per eventuali combinazioni lineari ? Ho questo dubbio, nel senso che potrei utilizzarla quando ho ottenuto tutti gli zeri sotto o va idealmente congelata in tutti i sensi ? ) spero di essermi spiegato grazie per quello che fa. Esiste un metodo meno laborioso da poterci consigliare ?

[@salvoromeo]

Buongiorno Stefano , ha inteso perfettamente .Una volta trovato (dopo le opportune orazioni) un elemento speciale nella prima riga , questa deve esere nascosta e non deve essere utilizzata per ottenere altri elementi speciali nelle righe sottostanti .Se si fa altrimenti si rischia di rovinare tutto il lavoro fatto prima e "rovinare" l'elemento speciale " trovato in precedenza .. Se non desidera utilizzare il metodo di riduzione per righe (colonne ) può utilizzare il metodo dei minori tramite i determinanti delle sottomatrici , ma è altrettanto laborioso dal momento che si tratta di calcolare determinanti di matrici di ordine 3 o addirittura superiore .. Spero di aver chiarito il dubbio .

[@pasqualenicolo4760]

Buongiorno, se in una colonna della matrice i valori sono (1,2,0) per rendere l'1 elemento speciale posso moltiplicare il 2 per 1/2 e poi sottrarlo ad 1? Grazie

[@salvoromeo]

Buongiorno .Certamente che può farlo .Anzi sarebbe meglio moltiplicare per 2 il numero 1 (nella seconda riga ) e fare la sottrazione con il 2 della prima .Eviterà delle frazioni che a visto possono essere ostili .In ogni caso è correttissimo .

[@patascottytm5581]

Ottima spiegazione. Vorrei ,se possibile, un chiarimento sulla parte finale del video. Quando va a considerare la matrice 2x2 se ho capito bene, quando il determinante risulta uguale a 0 allora bisogna provare tutte le possibili combinazioni delle matrici 2x2 in questo esempio. Se il determinante di tutte queste singole combinazioni risulta 0 allora il rango della matrice è 1. Se il determinante di almeno una di tutte queste singole combinazioni risulta diverso da 0 allora il rango della matrice è 2. E' così oppure ho capito qualcosa di sbagliato io? Grazie per la risposta.

[@salvoromeo]

Buonasera .Si esattamente ...ha capito perfettamente . Se il determinante di una matrice di ordine tre è nullo , allora bisogna provare tutti i minori di ordine 2 e se uno di questi è non nullo il rango è due .In caso contrario vale per forza 1 . Quando le matrici sono di ordine superiore a tre (mi capita di lavorare anche con matrici di ordine 5 o 6 ) non utilizzo mai il metodo dei minori in quanto calcolare i determinanti è laborioso .In quei casi meglio eseguire le riduzioni . Nei casi in cui si decide di utilizzare i determinanti non sempre si devono selezionare tutte le sottomatrici .Mi spiego meglio. Se parto da una 4x4 e il determinate è nullo devo provare tutte le matrici di ordine tre .In effetti ci sono delle tecniche che permettono di selezionare solo alcune di queste matrici di ordine tre , evitando di utilizzarle tutte e svolgere tanti determinati e perdite di tempo . Volutamente non ne ho voluto parlarne per non appesantire troppo la lezione , ma un domani non escludo che pubblicherò ulteriori approfondimenti .

[@monicapalu2352]

Grazie mille

[@salvoromeo]

Grazie a te .

[@user-mf1sh8vh8k]

@salvoromeo scusi prof, riguardo il metodo del determinante, in quali casi il rango di una matrice potrebbe essere 1?, siccome se il determinante è diverso da 0 il rango è automaticamente 3, se invece il det=0, con il metodo finale abbiamo visto che scegliendo una sottmatrice 2x2, se il risultato è diverso da 0 allora il rango è automaticamente 2, esistono dunque casi in cui potrebbe risultare Rango 1? (esclusi ovviamente i casi in cui abbiamo solo un elemento speciale)

[@salvoromeo]

Buonasera .Certamente .Se in una matrice tutti i determinanti delle sottomatrici sono uguali a zero allora per esclusione il rango è 1 . Pensi ad una matrice di ordine 3 (non nulla ) tutta costituita da 5 .Il rango della matrice in questo caso è 1 .

[@youngtoken6235]

​@@salvoromeoma una matrice per essere di rango 1 deve avere tutte le linee e colonne linearmente dipendenti tra loro(tipo il caso con la matrice con tutti 5 che ha fatto) oppure no?

[@davidelentini8929]

prof salvo io l'adoro

[@marcoperazzini7927]

Consiglio però nell'ultimo esempio sarebbe stato utile che avesse parlato del Teorema degli Orlati, è complicato ma sono sicuro che lo avrebbe spiegato in maniera molto chiara.

[@salvoromeo]

Buonasera Marco ottima osservazione .Ho voluto evitare di parlare del teorema degli orlati per non allungare ulteriormente il video .Mi sono concentrato su come determinare il rango di una matrice e fare capire anche a livello intuitivo il concetto di tango .

[@julianotorio3316]

salve professore :) potrebbe fare un video in cui spiega come si applica il metodo di Cramer?

[@salvoromeo]

Salve Julia , la lezione ci sarà ed è già programmata , ma deve aspettare il turno di rilascio della lezione dal momento che a turno rilascio sia analisi , geometria (per università ) algebra lineare e matematica di base. Stay tuned

[@antonelladecandia8126]

buongiorno professore, ho un dubbio sul calcolo del determinante: quando calcoliamo il complemento algebrico di (-2), l'operazione è (2*2)-((-1)*(-1)) = 4 - 1 = 3. In questo modo il determinante risulta -6. Provando a calcolare il determinante sulla terza riga si riconferma il risultato -6. E' corretto il mio calcolo oppure ho perso dei dettagli da considerare? Grazie in anticipo, le sue lezioni mi stanno letteralmente salvando!

[@salvoromeo]

Buongiorno Antonella ha fatto bene a scrivere .Di riferisce al punto in prossimità del minuto 33 dove c'è un errore di calcolo da parte mia . Se legge i commenti ho messo in primo piano un commento in cui riporto l'errore (segnalato gentilmente da altri utenti tempo fa ) . Tuttavia ha fatto bene a scrivere il commento .Con piacere confermo che quel determinante risulta - 6 .

[@antonelladecandia8126]

@@salvoromeo Mi scusi professore, non avevo notato il commento, inoltre ero convinta di sbagliare io in qualcosa. Grazie mille🌻

[@salvoromeo]

@@antonelladecandia8126 non devi scusarti assolutamente , anzi mi dispiace per l'errore .Se me ne fossi accorto in fase di editing , avrei messo un commento scritto in sovraimpressione . Hai fatto bene a postare il commento . Buona continuazione con altri contenuti video nella speranza che possano essere di ulteriore aiuto .

[@ifive111]

Salve Professore...se dovessi calcolare il rango di una matrice quadrata 4×4, come dovrei procedere?

[@salvoromeo]

Buonasera il procedimento è uguale cambiano solo le dimensioni della matrice .Nelle varie lezioni della playlist (matrice diagonalizzabile ) vi è un esempio in cui si calcola io rango di una matrice di ordine 4 .

[@filipporacingarage8935]

Buongiorno professore, mi scusi nell'ultimo esempio se i 4 determinanti delle sottomatrici risultano tutti 0 il rango è 1?

[@salvoromeo]

Certamente se tutti i minori di ordine due sono nulli allora il rango vale uno . Tuttavia non è il metodo migliore per determinare il rango . Se ha tempo visioni questo video (anche la parte finale selezionando l'apposito capitolo) e vi è un metodo molto piú mirato evitando di calcolare i determinanti di tutte le sottomatrici . Ecco il video m.kzbin.info/www/bejne/hZ-um4R4pcuNrqc

[@filipporacingarage8935]

@@salvoromeo grazie mille professore è stato di grande aiuto, speriamo dipassare l'esame..

[@Spongepoop]

Salve professore, per caso la soluzione era che la terza colonna è il risultato della somma della prima e della seconda colonna?

[@salvoromeo]

Buonasera Luca , a quale istante si riferisce ? Purtroppo quando realizzo i video preparo gli esercizi al momento e a distanza di mesi non ricordo più cosa ho realizzato e quando mi rivedo a distanza di mesi non mi riconosco neanche io 😄. Mi dica il minuto /secondo esatto e Le risponderò con molto piacere .

[@Spongepoop]

@@salvoromeo Grazie per la disponibilità professore, mi riferivo all'ultimissima matrice presente nel video comunque.

[@marcoperazzini7927]

Vicino al comodino San Salvo Romeo per la Matematica.

[@mattia2377]

Salve prof, quando il det di una matrice quadrata viene uguale a 0, dobbiamo calcolarlo per una sottomatrice. Lei nel video dice che la sottomatrice è 2 x 2, ma è 2 x 2 perché la matrice iniziale era 3 x 3 oppure è sempre 2 x 2 anche se la matrice iniziale fosse ad esempio 5 x 5?

[@salvoromeo]

Buongiorno ,se la matrice è 5x5 in questo caso le sottomatrici sono 4x4 🙂

[@mattia2377]

@@salvoromeo grazie mille

[@francescociampi-zz3ln]

Salve prof, nella sua seconda matrice D avrei potuto trasformare in elemento speciale l'elemento -1 della seconda riga (cioè quello che sta sotto l"ultimo zero della prima riga) invece di trasformare in 0 l'elemento 2 della medesima seconda riga? Grazie in anticipo

[@salvoromeo]

Buonasera Francesco devo rivedere il video poiché non ricordo quale esercizio ho proposto .Spesso invento esercizi al momento e dopo un minuto dimentico ciò che ho proposto . Se mi dici il tempo esatto ti posso dare più informazioni .In ogni caso puoi scegliere come elemento speciale qualsiasi elemento a te conveniente

[@francescociampi-zz3ln]

@@salvoromeo si tratta del minuto 25 e circa 4 secondi . Però io penso che forse non avrei potuto trasformare il -1 in elemento speciale perché immediatamente al di sopra di -1 (cioè nella stessa colonna) c'è uno zero.

[@Simone-zu7rh]

buonasera, intanto grazie, mi è stato essenziale per comprendere l'argomento! volevo domandare se posso moltiplicare la matrice anche per un numero negativo e se posso invertire colonne e righe. grazie

[@salvoromeo]

Buonasera Simone , se per moltiplicazione intende dire la moltiplicazione di una riga (o colonna) per un numero reale , la risposta è "si" . Può benissimo moltiplicare una riga anche per un numero negativo . Posso scambiare righe o colonne ? Lo può fare solo se si scambiano righe con righe oppure colonne con colonne .Mai scambiare righe con colonne ..

[@Simone-zu7rh]

@@salvoromeo grazie mille, apprezzo molto i suoi contenuti, perché spiegati con calma e non dà per scontato passaggi e ragionamenti per noi principianti😊

[@enricoraneri794]

Professore ma se ho una matrice 4x4 le sotto matrici che prendo devono essere comunque 2x2 o 3x3?

[@salvoromeo]

Si sempre matrici quadrate devono essere .

[@enricoraneri794]

@@salvoromeo grazie mille!

[@mariototaro9247]

Il rango dell'esempio dell'ultima matrice è uguale a 2 perché la terza colonna è uguale alla somma della prima e della seconda colonna, giusto?

[@salvoromeo]

Esatto , questo è un metodo molto veloce per determinare il rango , ma bisogna avere un po' di occhio clinico nei casi in cui la combinazione delle rigne o colonne sia più articolata .

[@lludovica]

Buonasera professore, non ho capito quando il rango della matrice quadrata è 1 ? Il rango è 1 nel caso in cui tutti i determinanti delle possibili sotto matrici M dovessero essere zero ?

[@salvoromeo]

Buonasera Ludovica , non ricordo esattamente l'esempio che ho proposto nel video (invento gli esercizi al momento ) Comunque quando tutte le sottomatrici (quadrate ) estratte dalla matrice originale hanno tutte il determinante uguale a zero , allora il rango è 1 .Solitamente è raro che si debbano testare tutte le sottomatrici di ordine due ...solitamente si eseguono riduzioni per righe/colonne .

[@lludovica]

@@salvoromeo Perfetto professore, grazie mille

[@andreana3531]

Ciao se scalino una matrice 4×5 e trovo rango 3 con questo metodo posso dedurre che anche la matrice senza termini noti e anche esso 3?

[@salvoromeo]

Buongiorno ,una matrice 3 x5 può avere massimo rango 3 .Se qualche riga élroporzionsle o combinazione lineare di altre il rango di abbassa. Cos intendepertermininoti di una matrice?Si sta riferendo a qualche matrice parametrica in cui certgsrmini non sono noti ? Non ho capito osa intendeper termini noti di una matrice in questo intesto. Magari se mi indica il minuto esatto del video controllore sarò più preciso.

[@andreana3531]

@@salvoromeo {x+y-2z-1t=1 {1+y-3z+2t=4 {2x-2y+4z=4 {4x-1z+3t=9 Voglio verificare la compatibilità del sistema con rouche capelli allora creò la matrice inserendo oltre ai coefficienti anche la colonna dei termini noti . Poi scalino la matrice e osservo in numero di righe non nulle determinando così il rango della matrice A' in questo caso 3. Ora rouche capelli dice che il sistema è compatibile se il rango di A' e uguale ad A Ma essendo A ( cioè matrice senza termini noti ) contenuto in A' posso dedurre che anche il rango di A sarà 3 oppure no e devo necessariamente calcolare il rango pure per A?

[@salvoromeo]

@@andreana3531 ho capito l'argomento riguarda i sistemi lineari .Riduca a scala la matrice completa . A questo punto ottiene un sistema equivalente .Coprendo (provvisoriamente ) l'ultima colonna ottiene la matrice incompleta di cui calcolerà il rango che potrebbe essere 4 , 3 ,2,1 . A questo punto inserisca la colonna dei termini noti e controlli di nuovi il nuovo rango . No. Posso svolgere i calcoli poiché via messaggi é impossibile , ma il senso é quello . Di sicuro il rango della completa o é maggiore della incompleta o uguale .

[@andreana3531]

@@salvoromeo ok grazie

[@mirko66]

vorrei fare una piccola parentesi, io per la 3x3 il set lo faccio con sarrus e ho notato che viene diverso il risultato, la matrice B alla fine per esempio a me il determinante viene -3 con sarrus quindi rango 3(il massimo). Vorrei capire come mai questa differenza tra Laplace e Sarrus per la 3x3. A me la mia insegnante di algebra lineare e geometria per le 3x3 ci ha spiegato sarrus e il metodo a stella mentre Laplace per matrici di ordine superiore.

[@salvoromeo]

Buongiorno per le matrici 3x3 per "gentile concessione " ci è permesso utilizzare Sarrus che rappresenta una regola pratica (mnemonica) che ci porta al valore del determinante . La regola di Laplace invece è universale e si adatta a qualsiasi tipo di matrice quadrata, sia di ordine maggiore o uguale a 4, sua per matrici di ordine 3 . La professoressa di Algebra Lineare correttamente ha detto che per matrici di ordine maggiore o uguale a 4 si deve usare (obbligatoriamente ) Laplace mentre per le matrici di ordine 3 sebbene Laplace funzioni lo stesso si può optare per la regola di Sarrus che è molto pratica .Nulla vieta di utilizzare Laplace e i risultati (mi creda ) devono coincidere . Ci sono casi particolari in cui anche per matrici 3x3 o 4x4 non si usa nè l'uno e nè l'altro poiché il determinante si calcola in modo molto veloce .Veda la lezione nel mio canale rilasciata da recente (gennaio 2024 ) inerente le "proprietà dei determinanti" che in molti contesti sono un "salvavita " evitando calcoli inutili e lunghi (sia con Sarrus che con Laplace )

[@niktheory1283]

Salve Professor Romeo, una piccola precisazione/domanda per capire se ho compreso bene il funzionamento e il discorso riguardo il trovare il Rango, al 2° esempio che ha fatto (la matrice D che come prima riga ha 1 -1 2 0) facendo la 3a riga meno la 1a riga, troverei il rango in una sola "mossa", perché la terza riga diventerebbe 0 0 1 -1, eseguendo questa trasformazione, troverei con un solo passaggio i 3 punti di rango della matrice, mi confermi che il mio procedimento potrebbe essere esatto e mi scusi davvero per il papiro, spero che la mia spiegazione le è chiara, e grazie mille per il video e la sua cortesia, un abbraccio

[@salvoromeo]

Buonasera , in definitiva le riduzioni per righe finiranno quando in ogni riga si troverà almeno un " elemento speciale" .Ci sono casi in cui già la matrice è "pronta" e in ogni riga è già presente almeno un elemento speciale , in caso contrario eseguendo delle riduzioni si arriverà al risultato in ogni caso .

[@Simone-zu7rh]

Buongiorno volevo chiedere se la prima riga va resa 0 se possibile o se devo iniziare a semplificare dalla seconda compresa in giu.. Perché non ho capito dagli esempi svolti se la prima riga non si considera, perché già sotto ha degli zeri o sei in generale non si considera.. grazie mille 😊

[@salvoromeo]

Buonasera Simone .Se per fortuna la prima riga dovesse avere un elemento speciale poiché sotto ha tutti gli elementi nulli allora già la prima riga è pronta e si procede dalla seconda . Se invece la prima riga non ha alcun elemento speciale , bisogna obbligatoriamente eseguire operazioni sulle righe al fine di avere nella prima riga un elemento speciale . Fatto ciò , si nasconde la prima riga e si vede se nella seconda riga vi è al almeno un elemento speciale .Se si siamo stati fortunati e si procede con le righe successive .Se invece nella seconda riga non vi è alcun elemento speciale , si eseguono altre operazioni sulle righe (senza MAI coinvolgere la prima riga ).al fine di far comparire almeno un elemento speciale anche bella seconda riga .Trovato un elemento speciale nella seconda riga si procede con le righe sotto . Riveda di nuovo gli esempi passo passo con carta e penna davanti e se è il caso fermi il video o lo rallenti . Capendo il meccanismo Le assicuro che tutto sarà semplice . Resto comunque a disposizione per qualsiasi dubbio inerente il video

[@Simone-zu7rh]

@@salvoromeo grazie mille, mi sta aiutando molto per l'esame che devo preparare. Grazie ancora proverò nuovamente gli esercizi

[@eros5610]

Una domanda: supponendo di avere una radice di ordine 4 e supponendo che cercando tra le sottomatrici di ordine 3 non trovo determinanti diversi da 0 devo cercare tra le sottomatrici di ordine 2?

[@salvoromeo]

Buonasera .Esattamente .Ma il mio consiglio è di evitare di utilizzare tale metodo (soprattutto quando le matrici cominciano ad essere di ordine superiore a 4 ) . Utilizzi il metodo delle riduzioni e con passaggi più leggeri e veloci troverà il rango quasi immediatamente .Andare a calcolare tutti i minori di ordine 3 in certe circostanze è molto laborioso .

[@eros5610]

@@salvoromeo Quindi in caso di sottomatrici (nel caso proposto del mio commento) di ordine 3 con determinanti diverso da 0 procedo subito ad effettuare le riduzioni su una delle sottomatrici di ordine 3?Spero di avere capito bene

[@salvoromeo]

Partiamo da principio e con piacere spiego cosa deve fare per determinare il rango .Se ha una matrice 4x4 con numeri abbastanza pesanti , sconsiglio di determinate il determinante stesso e procedere subito alla riduzione per righe .Se in ogni riga trova almeno un elemento speciale allora il rango è quattro . Se invece dopo le riduzioni una riga diventa tutta nulla e le altre tre hanno almeno un elemento speciale il rango è 3 e così via .Se invece il rango è due delle quattro righe due di esse diventeranno tutte nulle . Andare a calcolare tutti i determinanti è un metodo che sconsiglio ai miei studenti soprattutto quando la matrice è molto "caricata " com numeri pesanti . Se dovessi preparare una matrice con rango due (lo so solo io ma non lo studente ) , lo studente che non vuole utilizzare la riduzione per righe (va bene anche per colonne ).comincia a calcolare il determinante della matrice 4x4 , ma troverà la brutta sorpresa che sarà singolare , quindi inizierà a calcolare tutti i determinanti delle sottomatrici di ordine tre .Se magari vuole evitare qualche determinante si premurerà a calcolare i minori di ordine tre che contengono una sottomatrice di ordine due il cui determinante è diverso da zero (concetto che non ho spiegato ) .Al di fuori del piccolo dettaglio detto nelle ultime righe lo studente dopo aver calcolato i determinanti di tutte le sottomatrici di ordine tre troverà che sono tutti nulli .A questo punto di procede con i determinanti di delle matrici di ordine due e almeno uno di questi sarà diverso da zero da cui deduce che il rango è due per definizione di rango stesso . Come vede la cosa migliore è evitare i determinanti e procedere sin da subito alla riduzione per righe o colonne . Se poi la matrice 4x4 ha una struttura particolare (triangolare superiore , inferiore ,diagonale a blocchi ...) allora posso capire l'utilizzo del calcolo del Determinante .Ma negli altri casi proceda con le riduzione alla ricerca degli elementi speciali .

[@eros5610]

@@salvoromeo Quindi salvo strutture particolari di matrici conviene quasi sempre andare per riduzione?In effetti é il metodo che trovo più "familiare" mentre per il metodo del calcolo del determinante non é che mi venga difficile, ma é una cosa in più da ricordare per le matrici quadrate, se posso evitare ovviamente é un punto a mio favore

[@ilpensatoreleopardiano6451]

Se dovessimo avere tra gli elementi di una matrice 3x3 un'incognita come si procede?🙄Grazie infinite, sei un professore formidabile 😉

[@salvoromeo]

Per una 3x3 calcola il determinante portandoti con te il parametro (quello che chiami incognita ) .L'espressione del determinante ponila sempre uguale a zero e trova le soluzioni risolvendo l'equazione .I valori che annullano L'espressione del determinante sono quelli che riducono il Rango . Ti facci un esempio .Se il determinante risulta 2 k - 18 , lo poni uguale a zero e quindi 2 k -18=0 e risolvendo ottieni k=9 . A questo punto se k è DIVERSO da 9 allora il rango della matrice si conserva ed è tre (non viene intaccato ) , mentre per k= 9 , metti questo valore al posto di ogni k della matrice e di sicuro io rango non sarà tre , ma ma potrebbe essere o 2 , o nel caso peggiore 2 .Per controllare se è 2 o 1 puoi puoi usare un qualsiasi metodo dal momento che hai una matrice in cui non contiene più parametri (o incognite ) dal momento che al posto di ogni k hai sostituito il 9 . Ovviamente è un esempio . Se qualcosa non è chiara chieda pure e non si faccia problemi a chiedere .Per me è un piacere .

[@ilpensatoreleopardiano6451]

Grazie di cuore credo sia tutto chiaro ora, è evidente quanta passione ci mette nel suo lavoro. È un esempio per tutti. ☺😗

[@dinochiari3647]

Ho preparato una matrice di rango 5. Sono 5 righe e 5 colonne: V1 (0;-1;0;0;0) V2 (0;0;0;0;-1) V3 (0;0;8;0;0) V4 (5;0;0;0;0) V5 (0;0;0;5;0) Anche qui gli elementi speciali sono pronti. Il bello da vedere è che 8 è supersoeciale perché si trova al centro e non si ripete in altre righe o colonne mentre -1 e 5 hanno molteplicità 2. Ma poi invece di stare posizionati in diagonale principale o secondaria ho fatto sì che gli elementi speciali non si tocchino fra loro né di punta né di lato e nemmeno sotto i piedi o sopra la testa. Praticamente sono posizionati ad "elica".

[@salvoromeo]

Esatto non per forza devono essere disposti a scala . Io termine ad elica mi piace 😄

[@andreagalante9439]

la colonna 1 + la colonna 2 = colonna 3 dovrebbe essere giusto vero? (ultimo esempio)

[@salvoromeo]

Esatto è una combinazione lineare e quindi il rango di abbassa .

[@emanuelestanghini1144]

a 38:33 la prima colonna è la differenza tra la terza colonna e la seconda quindi la prima colonna è proporzionale giusto?

[@salvoromeo]

Esatto , infatti l'esercizio è stato preparato apposta .Addirittura che tu abbia individuato la combinazione lineare tra le colonne è ancora meglio in quanto hai individuato la causa che rende il determinante uguale a zero .

[@nicolo1620]

non ho capito come funziona con l'ultimo esempio con la matrice B (ultimi minuti del video), saprebbe spiegarmi?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio . Certamente cercherò di essere più chiaro possibile .La matrice 3x3 al massimo può avere rango 3 .Tuttavia ciò non accade poiché il determinante è zero , quindi il rango o è 2 o nel caso peggiore 1 . Proviamo a vedere se il rango è due ? Certamente ! Per fare ciò cominciamo a selezionare qualche sottomatrice 2x2 a partire dalla matrice B .Prendendo quella indicata nel video (2x2 ) ho notato che il determinante è diverso la zero .Avendo trovato una sottomatrice 2x2 il cui determinante è diverso da zero ci permette di affermare che il rango è 2 . Se invece tutte (ripeto tutte ) le sottomatrice 2x2 estratte da B avessero avuto determinante uguale a zero (non è questo il nostro caso ) potevamo affermare che il rango non era nemmeno 2 e per esclusione sarebbe stato 1 . Rango uguale a zero non può ovviamente essere .

[@nicolo1620]

@@salvoromeo è stato molto più chiaro ora

[@massimilianohu]

Buongiorn, professore, il calcolo del 32:37 è sbagliato, sarebbe -2x3 perché è -2x[2x2-(-1x-1)]=-6, e non -2 x 5=-10. Ci sono ben 3 segni -, troppi - fanno sempre confusione😂, pure ai professori. Quindi il determinante finale sarebbe -6 invece di -10. Però, per fortuna entrambi fanno det diverso a 0, quindi rango è sempre 3. Comunque ottimo video, molto utile.😃 Ah, solo adesso ho visto la correzione del esercizio che si trova nella descrizione. OPS

[@salvoromeo]

Buonasera Massimiliano , si esatto .Tale svista è stata segnalata parecchio tempo fa da un altro utente .Metterò un post in evidenza con una "errata corrige " .Fortunatamente il calcolo di tale determinante non ha inficiato il rango della matrice . Ha fatto bene a ricordare tale errore di calcolo .Spero invece che il concetto di "rango" e come calcolarlo sia chiaro .

[@astro.lewennhart6452]

Quindi sostanzialmente vanno ridotte per righe prima di calcolare il rango?

[@salvoromeo]

La riduzione per righe è indispensabile al fine di determinare il rango .Senza riduzione per righe (va bene anche la riduzione per colonne ) determinare il rango è molto più complesso .

[@camillojimmyfiorito9660]

Gentilissimo professore, è tutto più che chiaro per il puro calcolo del rango, però non riesco a capire qual è la base teorica che permette di calcolare il rango di una matrice mxn semplicemente vedendo se su ogni riga (o colonna) esiste almeno 1 elemento speciale.

[@salvoromeo]

Quando hai un elemento diverso da zero sopra uno zero come (1;1:1) e (0;4:5) a causa di quello zero i due vettori (o righe di una matrice) non saranno di sicuro proporzionale e di conseguenza puoi tirare le conclusioni sul rango .Spero di esserti stato utile , in caso contrario chiedi pure .

[@camillojimmyfiorito9660]

@@salvoromeo forse ho capito: il vettore colonna della matrice se ha, tutti zeri sotto un termine diverso da zero, allora vuol dire che è un vettore colonna linearmente indipendente e quindi "assegniamo un punto" di rango, e così via.

[@MUHAMMEDWAIGA]

Se tu fossi di Pavia mi piacerebbe trovarti in persona solo per stringere le tue mani per quello che fai:) grazie infinite!!!

[@salvoromeo]

Ti ringrazio molto , sarebbe un piacere . Non devi ringraziarmi .La matematica oltre ad essere il mio lavoro è anche la mia passione . Buona permanenza nel mio canale

[@MUHAMMEDWAIGA]

@@salvoromeo il piacere sarà tutto mio. Anche perché non sono riuscito a capire quasi niente al l'università ma grazie ai tuoi video che riesco a capire in pochi minuti. I tuoi metodi di insegnamento è assolutamente il migliore per quanto mi riguarda!!!

[@marcogir86]

Non mi è chiara una cosa, il rango rappresenta il numero di righe o colonne linearmente indipendenti: immagino righe o colonne in base a come dispongo i parametri del vettore, i calcoli che svolgo per generare una matrice a scala sono gli stessi per righe e colonne o se i vettori sono posti in riga adotto un metodo mentre se sono in colonna ne adotto un altro?

[@salvoromeo]

Le operazioni di riduzione di possono fare o per righe o per colonne .Il metodo è sempre uguale . Se una matrice ha dimensione 3x5 conviene fare una riduzione per righe , mentre se è una 7x4 conviene fare una riduzione per colonne . Se è di ordine n invece è indifferente .Si può agire o per righe o per colonne .

[@marcogir86]

@@salvoromeo Grazie

[@dinochiari3647]

Ho provato a calcolare il determinante di una matrice 3*3, con tutti i valori distinti e non nulli. Il tipo di matrice e questo: prima riga (1;2;3), seconda (4;5;6) terza e ultima (7;8;9). Scusa se vado riga per riga. Applicando Sarrus il determinante mi e venuto pari a 0. Quindi il rango non e 3 ma dovrebbe essere 2, se dovessi prendere una sottomatrice. Un esempio di matrice rango 4 potrebbe essere questa: prima riga (-7;0;0;0) seconda (0;11;0;0) terza (0;0;-18;0) quarta e ultima (0;0;0;2). Praticamente sarabbe la diagonale di tutti gli elementi speciali circondata da zeri.

[@salvoromeo]

Se il determinante di una matrice di ordine n è diverso da zero allora il rango è n (massimo ) Nel secondo caso (ordine 4 ) inutile procedere con il determinante poiché già gli "elementi speciali " sono pronti . Bravo .

[@salvoromeo]

La matrice 4x4 proposta da te è una triangolare superiore con tutti gli elementi della diagonale principale non nulli e quindi rango massimo .C'è ne sarebbero parecchie cose da spiegare .

[@dinochiari3647]

@@salvoromeo o la matrice quadrata 9*9 come il gioco del "SUDOKU"...dove mettiamo i numeri non nulli da 1 a 9 tutti distinti. Nessun numero ripetuto nella stessa riga o stessa colonna oppure nella stessa cella. Li il rango potrebbe essere 9 se tutto va bene.

[@salvoromeo]

I tuoi interventi sono interessanti , e a proposito di Sudoku , se ci fai caso quando applichi Sarrus ad esempio , in ogni prodotto ci stanno elementi di righe e colonne diverse .

[@dinochiari3647]

@@salvoromeo per capire il rango delle matrici 4*4 possiamo appoggiarci pure al teorema degli orlati. Intanto si prende una 2*2 e accertiamoci che sia di rango 2. A questo punto viene orlata una volta con terza riga e terza colonna. Si ripete anche con terza riga e quarta colonna, poi con quarta riga e terza colonna, infine con quarta riga e quarta colonna. Se i determinanti di tutte le sottomatrici 3*3 risultano pari a 0 l'intera 4*4 e di rango 2. Nel caso contrario e 4. Ho provato con un piccolo esempio. Ecco la seguente 4*4 che mi sono preparato. Riga 1 (-7;11;0;8) Riga 2 (0;-1;5;-2) Riga 3 (-18;-4;3;16) Riga 4 (0;-6;1;2) Sottomatrice 2*2 Riga 1(-7;11) e Riga 2(0;-1) Orlata 1 (-7;11;0),(0;-1;5),(-18;-4;3) det=-11090 Orlata 3 (-7;11;0),(0;-1;5),(0;-6;1) det=-2030. In conclusione questa matrice e di rango 4.

[@giuliamaio9492]

Mi dite per piacere dove parla di dimensione... ho visto quasi tutti i video ma non riesco a trovare questo punto

[@salvoromeo]

Buonasera Giulia ha fatto bene a scrivere . Ecco il video che potrebbe interessarLe . m.kzbin.info/www/bejne/iqSkoqFml6uXpas

[@giuliamaio9492]

@@salvoromeo La ringrazio tantissimo, ora dimensione e base mi sono molto più chiari!!!!!!!!!!

[@Salvoo38]

Nell' ultima matrice quando il rango è 1?

[@salvoromeo]

Mai può essere 1 .

[@pasqualenicolo4760]

Il rango è la caratteristica, giusto? Sono la stessa cosa?

[@salvoromeo]

Buongiorno Pasquale , ben detto .Il rango è detto anche "caratteristica " anche se non viene quasi mai usata come denominazione . Grazie per la domanda istruttiva .

[@antoon21]

ma se tutti i determinanti delle matrici 2x2 uscivano 0 vuol dire che la matrice aveva rango 1?

[@salvoromeo]

Certamente , anche se in base alla lezione successiva (teorema di Kronecher ) non è sempre necessario fare il test per tutte le matrici 2x2 . Comunque quello che ha detto è corretto .

[@rachelecacciacarne4635]

in quale video parla di immagine?

[@salvoromeo]

m.kzbin.info/www/bejne/gKjIqp95j5iCd7s

[@michelezaccagnini1157]

Quand'e che il rango e 1 in una matrice quadrata?

[@salvoromeo]

Quando abbiamo o una sola linea l.i oppure una sola linea non nulla e tutte le altre nulle .

[@youngtoken6235]

La terza colonna è la somma della prima e della seconda(1-1=0, 3-2=1,1+1=2)

[@biagiociccone85]

prof se ho una matrice fatta in questo modo 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -10 0 0 0 il rango può essere 2?

[@salvoromeo]

Si vale 2

[@biagiociccone85]

@@salvoromeo e invece in una matrice 0 1 1 -1 1 1

[@salvoromeo]

@@biagiociccone85 sempre e comunque rango due .

[@biagiociccone85]

@@salvoromeo grazie mille prof! sempre gentilissimo e chiarissimo

[@lucacerini2915]

ma la matrice non deve essere a scala per calcolare il rango?

[@salvoromeo]

Buongiorno Luca . Non per forza .La scelta di ridurre la matrice a scala (vedi lezioni successive) serve per determinare le componenti di un sistema lineare in modo agevole . La scelta a scala è uno dei metodi per determinare il rango , ma non per forza si deve usare .

[@lucacerini2915]

@@salvoromeo quindi in questa tipologia di esercizi basta che trovo gli elementi speciali in ogni riga anche se non rispettano la forma della matrice a scala?

[@salvoromeo]

@lucacerini2915 Esatto .Trovare in ogni riga un elemento speciale (indipendentemente dalla posizione ) è sufficiente per stabilire il rango .

[@lucacerini2915]

@@salvoromeo ok grazie mille prof. Grazie per tutto quello che fa

[@salvoromeo]

@@lucacerini2915 Non mi deve assolutamente ringraziare 😊 . Buona giornata .

[@marcelloraggi1601]

3 colonna è la somma delle prime due, sono linearmente dipendenti

[@salvoromeo]

Esatto ☺️

[@aohuaxiang1895]

il determinante di matrici quadratica è -6

[@salvoromeo]

Buongiorno , la ringrazio per la segnalazione dell'errore di calco intorno al minuto 32 .

[@UgoSeverino]

c3=c1+c2

[@Fili24ppo]

Il rango della prima matrice quadrata è sbagliato…. Deve tornare -6 33:17

[@salvoromeo]

Buongiorno Filippo , grazie piccolo errore che non ha compromesso il rango . La svista era già stata segnalata da qualche altro utente Precisamente vi è un errore sul determinante, ma il rango tuttavia non è stato alterato .

[@ludovicoscalia9358]

L’accento sembra proprio quello catanese

[@user-od6gi4lz8t]

40 min. per spiegare il rango sono davvero troppi 😅