✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной

[@konstantinkozlov7691]

Хорошее доказательство, старый анекдот напомнило - Изя, где вы берёте деньги? - В тумбочке. - А кто их туда кладёт? - Жена моя, Сара. - А Сара где берёт деньги? - Я ей даю. - А вы где берёте деньги? - Я же вам говорю: в тумбочке!

[@giorgiocopchini7318]

Путь с работы до дома всегда короче чем если заезжать в магазин за продуктами. (Треугольник: работа, дом, магазин)

[@alxsam505]

Это лучшее доказательство, представленное на данный момент в комментариях :-))

[@Zlobny-Kotyara]

@@alxsam505 А главное, практическое.

[@AxanX]

А если магазин по пути? 🤣🤣🤣

[@Zlobny-Kotyara]

@@AxanX Чисто геометрически - это случай из ряда вон выходящий. Но, позвольте, мы же в магазин заходим, тратим там шаги и время.

[@giorgiocopchini7318]

@@AxanX тогда треугольник вырождается, все точки на одной прямой. Но сумма 2х сторон всё равно не меньше третьей. (орфографию подправил)

[@КириллКириллович]

04:50 Кольцевое, оно же циркулярное доказательство: Трушин крутой, потому что знает всё. Трушин знает всё, потому что он крут

[@MrGrig]

Может цикличное?) или даже рекурсивное

[@КириллКириллович]

@@MrGrig оно именно что рекурсивное, поэтому циркулярное, а не циклическое

[@-wx-78-]

Может две равносильные теоремы? Доказав одну из них независимым способом, получаем вторую в подарок.

[@pauljet.]

@@-wx-78- ага 2 по цене 1...

[@sdf0as9f0a9sda0s]

не хватает третьего утверждения.... а третье утверждение.... трушин крут и знает всё потому что хорошо учился ))

[@Творческаяматематика]

Показывая такие "Фокусы" своим студентам на лекциях по матану, я называла их " математический вечный двигатель".

[@ИванИванов-ж6й2з]

Лучший математик ever. Обожал тебя смотреть, ещё когда к ЕГЭ готовился

[@Investrum.Gaming]

Спасибо большое. Один из... а может и единственный канал, где подробно разбираются простые вещи на понятном языке. 👏

[@Epsilonic1987]

В моем детстве неравенство треугольника доказывали методом от противного: допустим, что это не так, тогда построим такой треугольник с помощью циркуля и линейки.... И оказывается, что две окружности могут пересечься только если сумма их радиусов меньше, чем расстояние между центрами) Спасибо за видео.

[@Zlobny-Kotyara]

@Epsilonic1987 Хотел бы я посмотреть на это. Наверное, сумма их радиусов должна быть больше?

[@Epsilonic1987]

@@Zlobny-Kotyara Да

[@q_lm2571]

- Что такое интеграл? - Интеграл - это площадь. - А что такое площадь? - Площадь - это интеграл. Так и в этом случае. Доказательства ссылаются друг на друга, и в итоге таким образом нельзя честно доказать оба этих утверждения. Нужно еще одно доказательство.

[@fullfungo]

Не доказательство, а определение

[@q_lm2571]

@@fullfungo в случае с интегралом действительно нужно определение, а в случае с этими двумя утверждениями - ещё одно доказательство.

[@ЮраНазаров-э9с]

Интеграл это предел сумм Дарбу, чел

[@dibehemoth401]

Помню, препод сказал, что если услышит на экзе, что интеграл - это площадь, выше трёх в самом лучшем случае не светит. хД

[@AcTpaxaHeu]

определённый интеграл. и его геометрический смысл.

[@alexd2632]

Борис, доброго времени суток! Меня зовут Александр. Прежде всего хочу сказать, что Вы делаете очень важное, полезное и нужное дело! Огромное Вам спасибо! 🙏 Я давно не учусь в школе, и очень жаль, что в мою бытность школьником не было такого канала. Но, несмотря на возраст, люблю порешать задачки для разминки ума :) Недавно моей племяннице в школе задали задачу по геометрии. Бился над решением несколько дней. В конечном счете решил, благодаря этому видео и некоторым другим про треугольники, которые натолкнули на идею решения. А задача такова: дан произвольный треугольник АВС. Угол В равен 30 градусам. Основание АС в 2 раза меньше стороны АВ. Найти угол С? Сложность состояла в крайне ограниченном инструментарии, который сводился к знанию суммы углов треугольника, внешнего угла треугольника, свойств высот, медиан и биссектрис треугольника. Про прямоугольные треугольники и их свойства моя племянница знает только, что они существуют! Следовательно, использовать теорему о катете напротив угла 30 градусов нельзя (если ее знать, задача решается в 1 действие). Решить мне ее удалось через дополнительное построение еще одного треугольника с углом при вершине В 30 градусов и проведением высоты из вершины А к стороне ВС и ее продлением до стороны ВD нового треугольника. В результате пришел к противоречию, что треугольник между высотой и основанием АС не может существовать, и высота совпадает с основанием АС. Мое решение меня устраивает и даже вполне симпатично, однако, инструментария Заранее спасибо!

[@СвободныйМатематик]

А нам в школе доказывали теорему про неравенство сторон чисто арифметически Ну есть если бо́льшая сторона равна 10, а две другие в сумме равны 10, то они просто образуют прямую, ну очевидно, что если сумма

[@ДимаЧерников-в9з]

А пока вы отвернетесь, возьмут и дотянутся!

[@trigeminalneuralgia9889]

хуевое доказательство это когда используется слово "очевидно", нет, не очевидно епт

[@СвободныйМатематик]

@@trigeminalneuralgia9889 я сам ненавижу, когда что то доказывают этим словом Но в данном случае если они впритык друг другу, а если взять короче разве не само собой они не дотянутся друг до друга?

[@АрктическийЗаяц-л9ы]

то, что вы привели - это даже не доказательство, а просто какое-то взмахивание руками. Легче было просто сказать "очевидно"))

[@СвободныйМатематик]

@@АрктическийЗаяц-л9ы как не доказательство? Если три отрезка физически треугольник не могут составить, разве это не доказывает, что такого не бывает?

[@АнатолийАнтипенко]

Очень интересно узнать доказательство признаков равенства треугольников по - честному, с использованием аксиом. Ведь во всех школьных учебниках список аксиом разный (некоторые факты берутся за аксиомы для простоты) и доказательства не строгие. И вообще интересно было бы увидеть список аксиом (5 штук?) и с их помощью по - честному доказать базовые теоремы 7 класса. Те же признаки равенства, существование и единственность перпендикуляра, признак параллельности итд.

[@vasily_maths]

Если хотите совсем строго, то читайте Гильберта. И там будет значительно больше, чем пять аксиом.

[@eduardtsuranov712]

Удивился, когда увидел, что не подписан... :) Спасибо!!!

[@Zejgar]

Напоминает доказательство о равенстве площади круга произведению квадрата его радиуса и числа пи, с которым тоже можно оказаться в цикле, только несколько более длинном. Спасибо!

[@vasily_maths]

А как кстати вы это доказываете, если число пи определяется как отношение длины окружности к диаметру?

[@хулахуд]

Борис, здравствуйте! Ждëм новых интересных роликов!

[@sdf0as9f0a9sda0s]

на скорости 2x мой мозх не успевал следить в этом видео за вашими рассуждениями, пришлось сделать помедленнее )))

[@servenserov]

📏📐 Даже такие, казалось бы элементарные вещи в изложении Бориса Трушина выглядят академично и красиво и почему-то мне, весьма пожилому человеку приносят несказа́нное удовольствие. Видимо, учителя были хорошие. *Спасибо!*

[@Progressor1027]

Таким образом. Из всего здесь сказанного вытекает следующая методика современного преподавания геометрии. 1) Выставляется некое положение как правильное (неправильное) и не очевидное. Его называют теоремой. 2) Предлагается "доказать" верность (неверность) этой теоремы. Но что, собственно, означает доказать? На деле это означает найти способ и пути получения данного положения как чего-то неизвестного ранее из известных предпосылок, т.е. выяснить вопрос, из чего, как именно и какими путями это положение было (могло быть) получено первооткрывателем данного положения и пройти этот путь первооткрывателя заново и самостоятельно, а тем самым и почувствовать себя первооткрывателем. Ведь ясно, что сами теоремы не могут являться в готовом в виде в "юпитеровы головы". Так, напр., соотношение сторон в прямоугольном треугольнике не явилось в готовом виде Пифагору во сне, как "теорема Пифагора", а было им получено из отношения подобия прямоугольных треугольников, отношения, созданного им путем разбиения прямоугольного треугольника высотой. Сегодня, исходя их этой предпосылки, любой школьник может почувствовать себя Пифагором, если ему поставить задачу не доказывать "теорему Пифагора", а найти соотношение сторон в любом прямоугольном треугольнике. Тогда всякое доказывание сразу и решительно уйдет на задний план, а сама логика обнаружит себя тем, чем она является в действительности: прежде всего путем движения от известного к неизвестному, чему-то новому, верному.

[@ІванДзенісюк]

Ну да, такое в логике называется "порочным кругом". К последнему доказательству: нужно знать факт о внешнем угле (доказывается через сумму углов) => нужно знать факт о сумме углов (доказывается через равенство накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей) => нужно знать последний факт (который тоже нужно доказать). И в итоге нам придётся некоторые утверждения признать не требующими доказательства, т. е. аксимомами.

[@AbaCaba-jh7ty]

Особенность (проблема или преимущество) школьной математики состоит в том, что она рассчитана на школьников. Основы алгебры/геометрии даются в 7 классе (13 лет), когда ещё очень сложно работать и с определениями, и с доказательствами. Да и в принципе сложно все это. Дать корректные определения для числа, функции или множества, как мне кажется, не смогут подавляющее большинство учителей. Вообще, нормальная геометрия (а не выучивание типов задач из учебника) - это для школьников практически неподъёмно.

[@МайвандАмири-х5у]

+

[@humaniora_for_all]

Тут есть предмет для разговора.

[@КириллКириллович]

О, годнота наступила Трушин пилит годноту!

[@wietoxill]

Это аксиома

[@Investrum.Gaming]

Ваши "Почему?" мне очень нравятся! 👍

[@ewgeniypanarin1434]

Шевелюра супер ! Давно Ваши видео не смотрел. Лайк .

[@ilyatoporgilka]

Дискриминант выводится,когда из ax^2+bx+c выделяете полный квадрат.С кубическим уравнением не выходит,так как посередине не одно,а два слагаемых.

[@closer_to_the_unknown]

Нер-во треугольника можно очень легко доказать при помощи нер-ва ломаной. Пусть есть точки A и B. Построим между ними прямую - это будет кратчайшее расстояние между точками. Построим точку C и проведем отрезки BC и AC. Тогда нер-во ломаной выглядит так BC + AC >= AB Случай равенства будет достигнут в том случае, если A, B и C колинеарны. Иначе нер-во выглядит так BC + AC > AB Ч. т. д

[@pirojouk]

А неравенство ломаной как вы доказываете?=)

[@ЛевНосков-р3з]

Это как в Википедии, одна статья ссылается на другую и так до бесконечности

[@yakovlichevau]

Большое спасибо за видео! Хочу предложить идею для нового видео: кратко обсудить порядок теорем 7-ого класса (чтобы было понятно, что сначала, ссылаясь на аксиомы, доказывают признаки равенства, затем признаки и свойства равнобедренного треугольника, а только затем "против большей стороны лежит больший угол" и неравенство треугольника). Возможно, такое упорядочивание позволит лучше понять основы, на которых дальше доказываются теоремы 8-9 классов.

[@sergeypetrov5446]

Возьмите задачник Шеня по геометрии.

[@yakovlichevau]

@Sergey Petrov спасибо за рекомендацию! 👍

[@DmitryNetsev]

Отвечать будет господин товарищ Атанасян!

[@z4777]

Непривычно видеть Бориса с новой причёской 😏

[@ovidmanov]

К неравенству треугольника, как по мне, проще придти через ситуацию, когда допустить что А+В=С и нарисовать такой случай. Получим отрезок С, а не треугольник. Иначе, если А+ВС хотя бы на бесконечно малую величину, у нас получится "поднять" вершыну с (противолежащую стороне С) над самой стороной.

[@ilgizilgiz5960]

самое простое док. неравества треугольника это аксеома, самое короткое расстояние между двумя точками это прямая соединяющая их.

[@alxsam505]

Тут знающие люди говорят, что это не аксиома. Хорошо, пусть не аксиома. Но это определение прямой? Пусть будет "По определению".

[@alxsam505]

Все пропало. У прямой нет даже определения.

[@Zlobny-Kotyara]

@@alxsam505 ага, рАвно как и у точки

[@warrobotsa3391]

Это берётся из аксиомы, в которой точка лежит на отрезке и сумма этих двух маленьких отрезков, на которые разбила их точка, равна данному отрезку. На отрезке АВ написали точку С, АС+СВ=АВ

[@doctormaddyson]

Теорема о том, что против большей стороны лежит больший угол, следует из теоремы синусов, а неравенство треугольника следует из теоремы косинусов. А теоремы синусов и косинусов легко доказываются, если мы определяем плоскость как аффинное пространство, ассоциированное с двумерным линейным пространством над полем вещественных чисел. Тогда и теорема синусов, и теорема косинусов доказываются, грубо говоря, с помощью координат.

[@alxsam505]

Хмм...разве не достаточно того, что кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая? Это к доказательству утверждения, что любая сторона треугольника не больше суммы двух других сторон. И это работает и в неевклидовой геометрии - т.е. у нас нет необходимости в том, чтобы сумма углов треугольника равнялась 180 градусам.

[@benismann]

Это интересная идея, надо запомнить

[@alxsam505]

@@benismann К сожалению, это утверждение не является аксиомой. И даже не определением прямой. Т.е. данное утверждение нуждается в доказательстве. Для меня это неожиданная новость, никогда не задумывался о том, почему кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая. Очевидно жеж :-))

[@ГлебЗайцев-э3г]

Так утверждение что кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая, по сути просто переформулировка неравенства треугольника

[@СвободныйМатематик]

А вот на счет неевеклидовой вы не правы, там кратчайшим расстоянием может быть и не прямая

[@ЮраНазаров-э9с]

@@alxsam505 можно векторами доказать

[@purpleraccon]

Поставил видео на стоп и доказал неравенство треугольника методом от противного. Предположим, что большая сторона равняется сумме двух меньших. Тогда проведём круг с радиусом равным одной из меньших сторон. Точку пересечения соединим с вершиной, общей для меньших сторон. Получаем два равнобедренных треугольника, которые имеют общую основу. Выходит, что у большого треугольника, который мы рассматривали изначально, один из углов равен сумме смежных, тоесть 180° => сумма углов большого треугольника больше 180° => такого быть не может, значит наше предположение неверно. Подобным образом доказываем то, что большая сторона треугольника не может иметь длину большую, чем сумма двух других.

[@АндрійЛещук-я1т]

Добрый вечер, Борис Викторович. Буквально пару дней назад состоялся региональный этап всеукраинской олимпиады школьников по математике. Хотелось бы увидеть на канале разбор задачи 4.1 из 10 класса (про лампочки и выключатели), если у вас конечно же будет время и интерес к этому. Задача показалась мне довольно симпатичной.

[@SorokinAU]

большое спасибо за ваш труд)

[@grandmovie7034]

Задача: Найдите остаток от деления многочлена P(x)=(x+1)^100+(x-1)^100 на многочлен Q(x)=x^2+x.

[@daniilvolfengaut8838]

3:10 ну мне кажется, это можно доказать гораздо проще и нагляднее: Предположим, что есть сторона, которая длиннее чем сумма двух других. Тогда вокруг каждого ее конца проводим окружность с радиусом равным длине прилежащей к этому концу стороны треугольника. Эти две окружности не пересекаются, поскольку их центры находятся дальше друг от друга, чем сумма их радиусов. Ну и значит не существует такой точки, где мог бы лежать третий угол треугольника, то есть, такой треугольник невозможен. Вот как бы и все :)

[@opschpiglung]

Я хоть и не школьник давно, а даже на 1 день старше Бориса, но уверен, что нельзя тезис Б вывести из тезиса А после того, как вывел тезис А из тезиса Б. А сейчас внимание на экран, послушаем, как оно на самом деле!

[@opschpiglung]

Блин, даже буквы А и Б как у меня, ну что ты будешь делать! А если серьёзно, хотелось бы видео вот про что. Есть аксиомы и правила логики. Из утверждения А выводим с помощью их утверждение Б. Хотелось бы умные слова про аксиомы послушать, откуда мы их взяли и как это вообще работает? Т.е., мы говорим, что вся геометрия работает при условии, что работает определённый набор аксиом? В конечном итоге, всё на вере зиждется? Или как?

[@nnr75]

@@opschpiglung Вся геометрия держится на нескольких аксиомах, из которых уже доказываются теоремы.

[@opschpiglung]

@@nnr75 Именно об этом я и говорю. А верность аксиом откуда берётся? Как по мне, этот вопрос куда глубже геометрии как таковой и уже куда-то в сторону позитивизма отправляет вдумчивого подписчика.) Но Борис это сможет объяснить, думаю, лучше, чем я.

[@bulka_c_koriceu8723]

@@opschpiglung, по поводу аксиом есть хороший ролик у веритасиум, который Vert Dider на русский перевели. Рекомендую посмотреть

[@bulka_c_koriceu8723]

@@opschpiglung, "слабое место математики" называется

[@maslinomyot]

Я доказываю неравенство треугольника через теорему косинусов, там выйдет, что a^2 меньше чем (b+c)^2, в свою очередь она доказывается через теорему Пифагора, самое простое доказательство теоремы Пифагора через площадь квадрата, площадь квадрата доказывается из того, что мы приняли, что квадрат 1*1 имеет площадь 1, ну вроде цикла нет

[@МайвандАмири-х5у]

К сожалению, цикл есть. Он обязан быть, если у Вас получается на первый взгляд принципиально разными способами доказать какое-то утверждение. Если разные доказательства приводят к одному и тому же утверждению, то факты, использовавшиеся в доказательстве А должны быть взаимосвязаны с фактами из доказательства B, просто, скорее всего, Вы не замечаете эту связь. Её заметить можно, если копнуть глубоко, просто где-то это легко заметить, как в примере, который привёл Борис Викторович, а где-то это сложно заметить. Ваш случай очень глубокий, нужно копнуть в понятие площади многоугольника (уже это очень глубокая вещь), копнуть в понятие синуса и косинуса. Крч, надо посмотреть самые истоки возникновения той или иной теоремы, определения, использованных в доказательстве, потом уже будет видно, что одно определение, понятие невозможно без другого, а значит, что доказательство может содержать круг как раз в этом. Надеюсь, смог хотя бы как-то пояснить

[@МайвандАмири-х5у]

Поэтому должно получиться, что Ваше какое-то доказательство не может быть до конца честным, так как оно само частично как-то состоит из фактов, теорем, построение которых зависит от фактов и теорем из другого доказательства, если другое доказательство само является честным

[@dima_math]

неравенство треугольника можно вывести из того что кратчайший путь между двумя точками по прямой

[@qBinom]

Спасибо, я как раз веду кружок у 7 класса и им будет полезно подумать об этом после соответствующих тем

[@hectopmaxho6475]

Я наоборот, сначала брал равносторонний треугольник, а потом увеличивал один из углов. Так наглядно видно как одна сторона стала самой маленькой, из за того что две другие увеличились. А угол между увеличившимися сторонами (который как раз против меньшей стороны) уменьшился, за счёт увеличения другого угла. Любая сторона короче двух других. Берём равнобедренный (не обязательно) треугольник, у которого основание равно сумме двух боковых сторон. Делаем построение с помощью циркуля.и получаем треугольник с вершиной в 180 лежащей на основании и углами при основании по нулям. Что там ещё доказывать?

[@sportik292]

ТОП!

[@ДмитрийЖуравель-я4ю]

Конечно же это нормальные доказательства. Это догозательство что оба факта либо выполняются одновременно, либо не выполняются, и то же одновременно...

[@ДмитрийКолесников-о8к]

Борис а можно попросить разобрать задачу про 100 заключенных которую недавно показали в vert dider. Там на теорию вероятности и комбинаторику. Посмотрите может заинтересует.

[@maths.for.homies]

Дякую, гарно

[@aakh3500]

Любое доказательство строится от аксиом, если вы при доказательстве одного утверждения используете второе как лемму то доказательство леммы не может опираться на доказываемое утверждение.

[@vasily_maths]

Верно) Правда геометрию в седьмом классе редко кто строит из аксиом. И в вузе даже на математических предметах теория даётся строже, но всё равно почти везде не на аксиоматическом уровне (сужу по МФТИ).

[@Zlobny-Kotyara]

Про неравенство треугольника я подумал так: Возьмём длинный отрезок. Из каждой его вершины построим окружности (центры - в концах отрезка) так, чтобы они касались друг друга на отрезке. Получается, R1+R2= этому отрезку. Но так треугольник не построить. Хотя бы один радиус нужно увеличить. ЧТД.

[@idioluh5838]

Да, именно так и надо показывать, что любая сторона всегда меньше суммы двух других, это самое простое и очевидное объяснение. Но вряд ли кто-то захотел бы смотреть такое видео, это слишком скучно и просто.

[@kolegg]

Это хорошо, но докажите, что радиус окружностей будет меньше соответствующих сторон. Вы опять вернулись к началу.

[@СвободныйМатематик]

@@kolegg по условию он сторит окружности из концов отрезка и они пересекаются прямо на нем

[@idioluh5838]

@@kolegg да ну, по-моему очевидно, что построить треугольник возможно тогда и только тогда, когда окружности, построенные на вершинах бОльшей стороны, пересекают друг друга. А из этого вполне очевидно, что сумма их радиусов (равных сумме меньших сторон) больше, чем длина бОльшей стороны.

[@kolegg]

@@idioluh5838 эта очевидность полностью равнозначна предположению, о неравенстве треугольника, которое и пытаемся доказать.

[@ДмитрийФомин-д4ш]

Я всегда углы заказывал либо через вписаный в окружность треугольник, а стороны через приближением одного из углов к 180, тогда а+б=с, а если меньше то просто из факта про роекции

[@vasily_maths]

Этот факт доказывается в самом начале геометрии, тогда мы ещё не знаем, что около любого треугольника можно описать окружность.

[@Alexey_Emelyanov]

Наверное, я успел это написать прежде, чем услышал ответ. Когда мы доказываем теоремы, мы можем сослаться на другие теоремы, которые в свою очередь ссылаются на данную теорему

[@Hazlarorn]

Хотелось бы увидеть доказательство формулы объема шара и площади сферы без использования интегралов

[@trushinbv]

Про объем есть kzbin.info/www/bejne/iHTNmKx8lLSraMk

[@vladimirp9566]

@@trushinbv , у меня тут на днях возникла любопытная задача с интуитивно понятным утверждением, но не самым тривиальным доказательством. Условие очень короткое: периметр треугольника, вложенного в другой треугольник, гарантированно меньше периметра объемлющего (то есть, большего) треугольника. Борис, может быть, Вы предложите красивое и короткое одновременно доказательство этого утверждения? Буду ждать :)

[@mike-stpr]

По поводу дискриминанта. Как известно, математика бывает используется и в практических целях. Так вот загадка: какая самая простая практическая задача требует составить и решить квадратное уравнение? Предположительно информация в википедии ложна -- в древности квадратное уравнение не имело реальной пользы и рассматривалось просто как гимнастика ума. В любом случае было бы интересно решение этой загадки, как автором канала, так и его подписчиками! Цель доказать, что такое решение будет самым простым! СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :-)

[@ilyakorchagin9854]

Приветствую, Борис! Давно и с большим интересом наблюдаю за Вашим творчеством - пользуюсь случаем поблагодарить за это! По предмету этого выступления: не следует ли дополнить Ваше доказательство объяснением факта равенства углов при основании равнобедренного треугольника?

[@vasily_maths]

Можно сослаться на то, что равнобедренный треугольник при симметрии переходит в себя

[@dmitryd.3333]

длина ломаной (в данном случае сумма двух сторон треугольника) всегда длиннее кратчайшего отрезка между точками. те [ab]+[bc] > [ac]

[@ДенисКоломиец-ф7й]

факт про ломаную выводится как раз мат индукцией из неравенства треугольника

[@humaniora_for_all]

@@ДенисКоломиец-ф7й из определения прямой

[@СавелийШипков]

4:43 посмеялся с замкнутости системы теорем:)

[@Demka300]

Используем 1 чтобы доказать 2 и используем 2 чтобы доказать 1. Это неправильно!

[@agilkerimov]

Circular dependence

[@timurpryadilin8830]

хорошее видео, помню, в 7 классе, кажется, именно в таком порядке мы провели доказательство. а можно ли пойти обратным ходом и вывести неравенство треугольника не ссылаясь на теорему о большем угле ?

[@Felinaro]

А вот в обратную сторону (что из меньшего угла следует что и сторона меньше) следовало бы более подробно показать. Т.к. в общем случае из прямого утверждения не следует что обратное тоже верно.

[@fullfungo]

пусть a,b,c - стороны, A,B,C - углы против них. Без потери общности a

[@ПендальфСерый-б3м]

В данном случае это не прямое и обратное утверждение, а одно и то же. Пример: если доказано, что А>B, не нужно дополнительно доказывать, что B

[@Felinaro]

@@ПендальфСерый-б3м Нет, тут доказано что из A ("угол больше") СЛЕДУЕТ B ("сторона больше"). Но обратное в общем случае не верно, и из B очень даже не обязательно будет следовать А,. Слова "ну это очевидно" плохо работают в случае как сейчас, когда и изначально доказываемое утверждение тоже в общем-то было очевидным, но его решили доказать строгим образом. Тут следовало проявить последовательность и идти до конца: ничто не очевидно пока не будет доказано.

[@ПендальфСерый-б3м]

@@Felinaro А, извиняюсь, не правильно понял комментарий.

[@СвободныйМатематик]

@@Felinaro ну в данном случае с меньшей стороной нет смысла доказывать т.к. оно просто аналогично с большей Есть тре-к возьмем меньшую сторону и продлим ее пока она не станет равна боковой, ну а далее так же через суммы углов доказываем, что на против нее наименьший угрол

[@becalelbecalelew7262]

А разве при док-ве про неравенство нельзя упомянать, что если одна сторона длинней другой, то две остальные стороны, даже если они будут лежать на одной и той же прямой вместе с длинной этой, всё равно не будут дотягивать до конца? Будет не треугольник, а отрезок, причём два, но лежащих на одной прямой

[@alexandergertovskiy2126]

Еще одно подтверждения, что школьной геометрии я не знаю. И скорее всего никогда не знал. При этом задачи по геометри решать умел. Печально.

[@МИХАИЛБЕБРОЧКИН]

Здравствуйте, Борис! Возникло недоразумение с моим другом, хотел бы задать вопрос, можно ли установить биекцию между плоскостью и прямой?

[@trushinbv]

Можно

[@ИльяАнтипенко-я8с]

Можете привести доказательство основанное на факте, что при сумме двух сторон, меньше чем третья не существует угла при котором могут пересечься два отрезка на концах этого мнимого треугольника. Мне это кажется очевидным, но с точки зрения математики как это выглядит.

[@EvgeniyZhurov]

Борис, добрый день. Если Вам не сложно, не могли бы Вы ответить на вопрос. Когда учился давно в НГУ и ФМШ мы пользовались аббревиатурой "что и требовалось доказать" закрашивая волнистой линией квадрат. Сейчас готовлю к ЕГЭ и не встречаю эту аббревиатуру - поймет ли проверяющий такую аббревиатуру?

[@trushinbv]

«ч.т.д.» - поймет, закрашенный квадрат - не общепринятое обозначение, мне кажется

[@EvgeniyZhurov]

@@trushinbv спасибо

[@Spirin_Pavel]

Я, всегда, считал необходимым предварять изучение предмета, изучением его истории - только так можно получить, по-настоящему, фундаментальные знания.

[@romanbykov5922]

Доказательство методом пристального вглядывания в картинку, по-моему, проще.

[@vasily_maths]

То что сумма двух других сторон больше третьей и вправду очевидно, а вот факт про углы уже не так очевиден. Кстати, попробуйте методом пристального взгляда решить задачку из последнего видео на моем канале.

[@ЯшаСагалович]

Самый простой способ доказать неравенство треугольников по сторонам - сказать, что самое короткое расстояние между двумя точками - отрезок

[@gigapluton]

Вопрос, а можно ли использовать соображения непрерывности для доказательства теоремы Штейнера-Лемуса? Спасибо!

[@ll-zf3tj]

а как доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180?

[@levmihailov7586]

Можно просто высоту провести и ясно,что гипотинузы будут больше,чем основания этих двух маленьких треугольников, соответственно и основание большого меньше суммы этих двух гипотинуз,если охото прям вообще по простому

[@janovewaldner9762]

А почему гипотенуза больше катета?

[@fullfungo]

@@janovewaldner9762 из теоремы пифагора доказывается. Пусть a^2+b^2=c^2. Заметим, что b^2>0. Тогда a^2

[@всеволодфилиппов-ж3ж]

на момент прохождения этой теорема школьники еще ничего не знают про теорему пифагора, она проходится позже

[@МайвандАмири-х5у]

@@fullfungo, один из способов доказать теорему Пифагора -- через площади. Если Вы копнёте в понятие площади многоугольника, попытаясь разобраться в каждом моменте на уровне "а почему?", то заметите, что Ваше доказательство содержит частично замкнутый круг. Такие доказательства очень тонкие, так как они используют более мощные средства, а не такие простые, как отложение сторон, углов. Просто может получиться так, что теорема Пифагора, доказываемая с помощью понятия площади многоугольника использует в себе скрыто те самые отложения сторон, углов или чего-нибудь другого, что является простым средством. Но тогда зачем Вам такое доказательство, оно становится бесполезным, если для него самого нужны простые средства, которыми можно сразу доказать исходную теорему в видео

[@sergeypolyakov9312]

Почему нельзя доказывать так: 1) По определению прямой - это наименьше расстояние между любыми двумя точками. 2) меду двумя точками можно провести единственную прямую (аксиома евклидовой геометрии). Отсюда следует, что если треугольник - это геометрическая фигура с тремя вершинами, соединенными прямыми, значит, любая кривая, а также ломаная, соединяющая две вершины будет иметь длину всегда большую или равную, длине отрезка, части прямой, соединяющей вершины. Но если длина кривой будет равна отрезку, части прямой, она будет принадлежать прямой, т.к. через две точки можно провести единственную прямую (т.е. кривую с наименьшей длиной). Поэтому, сумма двух сторон (кривая в этом сблучае ломаная) не принадлежащая третьей стороне всегда будет иметь большую длину!

[@Arik_Averok]

Как я понимаю, у прямой нет определения (это как "точка" и "лежать между" - неопределяемое понятие)

[@sergeypolyakov9312]

@@Arik_Averok у прямой должно быть определение и свойства в виде аксиом (или определений), чтобы отличать её от других кривых

[@humaniora_for_all]

@@Arik_Averok смешно

[@Arik_Averok]

@@humaniora_for_all а какое определение прямой предложите вы? Если про то, что любая часть прямой - отрезок, то это не так, потому что отрезок - это часть прямой. Если про то, что длина отрезка меньше длины любой другой кривой, соединяющей две точки, то сначала надо разобраться, что такое длина. И с тем, что у прямой нет ширины надо разобраться. Кажется, Евклид предлагал определить, что прямая - это то, у чего есть длина но нет ширины (но это по очевидным причинам не правильно). Предложите свое определение (а заодно и определение точки)

[@humaniora_for_all]

@@Arik_Averok Прямая - пересечение двух плоскостей, точка - пересечение двух прямых.

[@bulka_c_koriceu8723]

Ещë в седьмом классе понимал, что неравенство треугольника доказывается просто через рассмотрение всех трëх ситуаций. Если третья сторона больше суммы двух других, то стороны просто не сойдутся (по крайней мере, на нашей плоскости). Если равна - треугольник превратится в прямую. Если меньше - всë хорошо

[@trushinbv]

А почему «не сойдутся»?

[@bulka_c_koriceu8723]

@@trushinbv, ну никак же не пересечь окружности с центрами в концах отрезка, если сумма радиусов этих окружностей меньше длины отрезка. Использование окружностей в данном случае довольно симпатично, поскольку радиус представляется как сторона треугольника и его возможно "вращать" вокруг "вершины", что помогает наглядностью при рисовании картинки в уме

[@trushinbv]

@@bulka_c_koriceu8723 они «никак не пересекаются» именно из-за неравенства треугольника. Как без него вы будете это доказывать? )

[@notstudio2]

Когда евклидово пространство и всё вытекающее)))

[@timothymattnew]

А теперь истинное испытание: доказать неравенство треугольника используя математическую индукцию.

[@vasily_maths]

Вы собираетесь вести индукцию по континуальному множеству?) Тут даже трансфинитная индукция не поможет)

[@timothymattnew]

@@vasily_maths потому и истинное испытание! Признаться, мне самому интересно, существует ли вообще способ провести индукцию по подобным множествам. Я могу представить чтоб она была возможна для рациональный чисел например, и каких-то других математических структурах. Думаю найду ответы когда буду знакомиться с вещественным анализом и топологией)

[@маратаминев-в6з]

Недавно купил себе новый планшет xiaomi mi. Хожу на вышку! Предпочитаю решать методом tic tac toe. Хотел узнать какое приложение для быстрого набора посоветуете, Борис? Люблю цветной графический интерфейс в приятной цветовой гамме, ну и чтоб удобно было сразу в паблик скинуть?

[@foxy1515]

Привет, Борь. Я тут смотрел недавно видео про производные... Как для ученика 8 класса не очень понятно откуда из функции берётся что ты там дальше пишешь... Можешь разобрать на пальцах для не очень сильных математиков производные...

[@vasily_maths]

Ну на пальцах производная функции - это её скорость роста. Вот едет машина. Расстояние от времени - это исходная функция, а скорость от времени - это её производная.

[@foxy1515]

@@vasily_maths , спасибо

[@gexrqlol]

Очень хотелось бы знать следующее!!!! В решении кубических уравнений способом Кардано нужно вводить подстановку x = y - a/3, а откуда она взялась? Расскажите пожалуйста

[@АндрейДыльков-в6е]

это есть уже kzbin.info/www/bejne/m5TWhKCjd75obLM

[@vasily_maths]

Чтобы избавиться от x^2

[@MrDjanbul]

Доброе день у меня есть вопрос k=(h1-h2) (s1-s2) -1 mod n у меня есть h1 и h2 и s1 и s2 я не понемаю -1 mod n как получить k можете обяснить как вопше mod работать

[@angelinaa_xoxo]

👍🏻👍🏻👍🏻

[@savliimaks9347]

Не проще просто померить

[@alexd2632]

Что-то пошло не так! Часть концовки комментария выпало. А хотелось мне узнать, возможно, существует более лаконичное или, если угодно, изящное/элегантное решение, исходя из обозначенного инструментария?

[@andreyadamovich6885]

Встретилась задача: "Выписаны 3 последовательных нечетных числа. Сложили их остатки при делении на 2022. Может ли получиться простое число. Подходит ли ответ -1, 1, 3?

[@vasily_maths]

Нет, этот ответ не подходит, потому что остатки равны 2021, 1, 3, в сумме дают 2025 - не простое.

[@andriich.]

Добрий день, я з України, нещодавно писав обласну олімпіаду, в якій зробив 1.5-2 завдання з 5, та хотів би побачити, як ви би розібрали її на своєму каналі. Хотів би дізнатись:куди можна вам надіслати її умову?

[@EvgenyKnoblokh]

А нельзя доказать опираясь на то, что при сумме сторон равной третьей стороне это будет отрезок, а не треугольник (по сути углы при большей стороне равны нулю). Ну а если сумма меньше третьей, то вершины треугольника не стыкуются даже на прямой?)

[@nalnal9608]

Это интуитивное рассуждение, на основе здравого смысла и опыта. Но не доказательство в математическом смысле:) . На математическое доказательство есть определённые ограничения

[@EvgenyKnoblokh]

@@nalnal9608 возможно, я потому и спросил)

[@alxsam505]

Вы сейчас сложно пересказали аксиому: кратчайшее расстояние между двумя точками это прямая. Одной этой аксиомы достаточно для доказательства.

[@nalnal9608]

@@alxsam505 жаль только нет такой аксиомы)))

[@alxsam505]

@@nalnal9608 Да, действительно такой аксиомы нет. И даже определения прямой нет. Мы все умрём.

[@ИванПоташов-о8ю]

Порочный круг

[@RomanAnnenkov]

Борис, пожалуйста, у меня вопрос невпопад. Определено ли в математике числительное "несколько"? И чему оно тогда может быть равно? Каковы тут правила и какова практика использования этой меры?

[@trushinbv]

В математических задачах «несколько» - это любое натуральное число

[@user-xyuser-blyad]

Любой школьник знает, что неравенство треугольника - частный случай неравенства Коши-Буняковского. А его доказать - как два пальца

[@ЛевНосков-р3з]

Про 2 стороны в треугольнике больше третьей: разве надо доказывать, что прямая из точки а в точку b всегда короче кривой??? Ps. Треугольник ABC. Если предположить что AB + Bc = AC, то получиться не треугольник а отрезок просто. Хз. Все равно не понимаю нужно ли это доказывать

[@r75shell]

А мне нравится засада с обратной теоремой пифагора. Из того что A^2+B^2 = C^2 следует что треугольник прямоугольный: бывает называют "теоремой пифагора" и при этом говорят что это все доказывали 100 раз, но не замечают, что это совсем другое утверждение.

[@trushinbv]

Ну, обратная теорема мгновенно доказывается от противного. На самом деле, чаще путают прямую и обратную теорему Виета )

[@Arlan1125]

Жаңа стрижкан мықты екен

[@maksat_viper]

Здорова, есть задачи алгебры которое решится с геометрическим способом?

[@sergeypolyakov9312]

Знакомые попросили подтянуть ребёнка 7 класса по математике. Сам я не преподаватель, но вроде как в школьной математике немного понимаю (закончил МФТИ, потом аспирантура, в ЗФТШ задачки решал со школьниками). Открыл учебник геометрии и немного приболдел. Доказательство необходимого и достаточного условия параллельности прямых при пересечении третьей прямой (равенство соответствующих углов, накрестлежащих углов и суммы внутренних односторонних углов) просто дикое. Рассматривают перпендикуляр к парраллельным прямым, далле прямогугольные треугольники и т.д. Почему нельзя воспользоваться пятым постулатом Евклида? Если мы его принимаем, т.е. рассматриваем Евклидову геометрию, соответственно этот постулат становится аксиомой, тогда сумма внутренних односторонних углов может быть только суммой двух прямых (прямой угол, по определению, - это половина развернутого), иначе прямые пересекуться с одного из концов и не будут параллельными, ну а далее, всё очевидно. После этого доказываем сумму углов в треугольнике = 180.(для этого как раз и нужны признаки параллельности прямых), а после этого всё остальное. Мама ребёнка, в своё время, закончила художественное училище и решила стать дизайнером радиоэлектроники. Но в художественном училище перестроились, и не стали преподавать ни алгебру, ни геометрию 10-11 классов. Но при поступлении в иститут потребовали писменный экзамен по математике. Пришлось за месяц натаскать решать уравнения с синусами и косинусами, научить брать простые пределы и производные и немного стереометрии. Написала на три.

[@МайвандАмири-х5у]

Потому что в конце учебника написан весь список системы аксиом, в котором постулат Евклида заменён на его эквивалентное утверждение, аксиому Прокла, которая не использует в своей формулировке углы. Сама же аксиома Прокла утверждает:"Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной". Эта аксиома проще, очевиднее, да и мне кажется, она лучше, потому что не охватывает ничего про углы и можно будет доказать из него как раз утверждение Евклида

[@ВикторКонтуров]

Интересно. Вопрос: раз одно и то же утверждение можно доказать и через пятый постулат, и без него, то не будет ли это доказательством пятого постулата?

[@МайвандАмири-х5у]

@@ВикторКонтуров, так не должно получиться. Если так получилось, то, скорее всего, либо у Вас есть лишняя аксиома (то есть теорема, которая принята за аксиому по какой-то причине), либо одно из доказательств просто есть некоторое усложнение второго доказательства. То есть факты из доказательства А сами строятся на фактах из доказательства В, но по какой-то причине Вы не уловили эту связь и приняли их за принципиальное два разных доказательства. Уже много встретил примеров в комментариях доказательств теоремы из видео через более мощные средства, как теорему Пифагора и теорему косинусов. А что конкретно Вы такого видели, можете поподробнее? Не могли бы рассказать про эти доказательства?

[@ВикторКонтуров]

@@МайвандАмири-х5у Утверждение: Если при пересечении двух прямой третьей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Доказательство через постулат привели в основном комментарии. Доказательство (как мне кажется) без постулата: 1) Пусть отрезок секущей, лежащий между прямыми AB. О - его середина. Проведём перпендикуляр ОА' к той прямой, на которой лежит точка А. 2) Построим отрезок ВВ' = АА'. 3) Острый угол А = острый угол В (по условию), АО = ОВ (по построению), AA' = BB' (по построению). => треугольник AA'O = треугольник BB'O => угол AOA' = угол BOB', угол OB'B = угол OA'A = 90 градусов. 4) Угол OB'B = угол OA'A и A, O, B лежат на одной прямой => A, O, A' лежат на одной прямой. Первоначальные прямые перпендикулярны прямой AA' (по п. 3) => прямые параллельны. ч. т. д.

[@МайвандАмири-х5у]

@@ВикторКонтуров, а что Вы приняли за аксиому? Просто доказательство, которое Вы привели -- из Атанасяна. У Атанасяна немного другие аксиомы, у него не пятый постулат Евклида взят за аксиому, а эквивалентная ему -- аксиома Прокла. Автор комментария использует аксиому Евклида, но не аксиому Прокла, поэтому у него и удивление, почему такое сложное доказательство. В учебнике доказательство сложное, потому что аксиома Евклида не взята за аксиому, а за аксиому взята аксиома Прокла, эквивалентная пятому постулату Евклида. Пятый постулат Евклида: Если сумма внутренних углов α и β меньше 180°, то две прямые, построенные бесконечно, пересекаются с этой стороны. Автор комментария говорит, что если бы вдруг сумма внутренних односторонних углов была бы равна 180° (как и получается из утверждения теоремы), то прямые не могли пересекаться, ибо, согласно пятому постулату Евклида, сумма внутренних односторонних углов была бы меньше 180°. Ну, это не сама формулировка аксиомы Евклида, потому что Евклид говорит, что если вдруг сумма внутренних односторонних углов оказалась бы меньше 180°, то прямые пересеклись бы. Но обратного он не утверждал, что если прямые пересеклись, то сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то есть она может быть и равна 180°, если они пересеклись, но если вдруг она меньше 180°, то 100% пересекутся. Но, возможно, обратное можно доказать (мб, он упустил это, так как это легко сделать, похоже) и тогда автор комментария доказал с помощью формулировки Евклида необходимое и достаточное условие параллельности прямых. Аксиома Прокла: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Если для Вас аксиомой является аксиома Прокла, то пятый постулат Евклида доказывается просто. Вы доказали необходимость параллельности прямых, давайте я Вам докажу теперь и достаточность этого условия (не забываем, что аксиомой у нас является аксиома Прокла, а не аксиома Евклида, её мы выведем). Вы доказали, что если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Достаточное условие (обратное): если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны. Доказательство: a||b, c пересекает b и a. Предположим, что накрест лежащие углы не равны. Тогда через точку пересечения b и c проведём d, которая образовала бы равный накрест лежащий угол с прямой a. Но если накрест лежащие углы равны, то d||a. Тогда, получается, через одну точку мы провели d||a(по построению) и b||a(по условию). А это противоречит аксиоме Прокла, следовательно, d совпадает с b, то есть накрест лежащие углы у a и b равны. Теперь выведем пятый постулат Евклида: Доказательство: Сумма односторонних внутренних углов меньше 180° по условию. Предположим противное, что всё-таки а||b. Но как мы уже доказали, тогда накрест лежащие углы равны. А если они равны, то отсюда следует, что сумма внутренних односторонних углов равна 180° -- противоречие условию. Следовательно, мы доказали пятый постулат Евклида, что если сумма внутренних односторонних углов

[@Uni-Coder]

Гмм... Просто вряд ли со школьника потребуют оба доказательства сразу в одной задаче. Поэтому остаётся право, если спросили про А, сослаться на Б, а если про Б, то на А. Адвокат бы точно так сделал 😁

[@vl4120]

Зачем при доказательстве сумм двух сторон что то откладывать? Если и так понятно что прямая всегда короче кривой

[@AAntonGordeev]

Что-то я не понял - а разве не будет самым простым доказательством, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей, то, что кратчайшим расстоянием между точками А и С является ПРЯМАЯ? (а не искривленный путь ABC)

[@vasily_maths]

Точнее отрезок, а не прямая. Но прямая является неопределяемым понятием, и поэтому мы как бы сразу не знаем, что отрезок - это кратчайшее расстояние. А так да, факт очевидный конечно.

[@troitskyvsevolod2194]

Давно задумывался над этим вопросом. Я рассуждал так: пусть у нас есть сторона, длина которой больше суммы двух других. Проведем к ней высоту. Если немножко порассуждать, то можно прийти к выводу, что в одном из полученных треугольников катет больше гипотенузы, а это противоречит теореме Пифагора. Является ли это доказательство противоречивым? Вроде как при доказательстве теоремы Пифагора, неравенство треугольника нигде не используется

[@-wx-78-]

В теореме Пифагора неявно предполагается существование треугольника.

[@fullfungo]

@@-wx-78- так и в этом доказательстве тоже предполагается существование треугольника. Никаких проблем не вижу.

[@Матвей-ч1ф4ц]

Борис, здравствуйте, мне кажется интересной тема тригонометрических функций в 7 задании егэ, думаю, что кто то может это поддержать

[@humaniora_for_all]

А разве неравенство треугольника не вытекает из циркуля просто?

[@fullfungo]

«Вытекает из циркуля» это такой новый метод доказательства? - Я тут нарисовал что-то. Выглядит как будто теорема. - Ладно, фиг с ним, доказал.

[@humaniora_for_all]

@@fullfungo Sapienti sat

[@HaMsTeResdon]

Отрезок -- это соединённый сет. Треугольник эти три сета соединённых в замкнутую фигуру. АБ-БС-СА, АБ(альфа) БС(бета) СА(гамма). Альфа=Бета=Гамма. Альфа - бета = 0 = Гамма - альфа. Ноль - это пустой сет а следственно одна сторона должна быть меньше или больше. Следственно Альфа + Альфа + 1 больше чем Бета + Бета или Гамма + Гамма

[@ДендроидВиверновичДраконов]

Давайте, опираясь на аксиоматику Пеано, докажем, что 2*2=4