✓ Ограниченные множества. Супремум и инфимум | матан

Математический анализ #002
- ограниченные множества
- супремум и инфимум числовых множеств
Все выпуски матана: • Математический анализ ...
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Проголосовать за следующий ролик: www.donationalerts.com/r/bori...
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/ege11b
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/ege1315
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_trushin
Группа "TrushinBV.ru": trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
KZbin-канал: / trushinbv

[@user-lh9ji6ql2i]

Смотрел вас в школе очень помогали теперь помогаете в вузе спасибо большое

[@asexworkorange]

и я)))))))))))

[@user-nz2nk5wp9t]

Отличное видео о математике дл 35+ заинтересованных людей, спасибо.

[@marymary1063]

Структура изложения очень похожа на книгу Бесова "Лекции по математическому анализу". Советую всем почитать, там вся теория в сжатом виде

[@trushinbv]

Да, он был моим лектором и сильно повлиял на меня как на преподавателя. Не говоря уже о том, что он мой научрук )

[@armenberberyan5184]

@@trushinbvА по какой теме защита? Все это в жизни приведет к Благодесрю/ Читайте антропософию Р.Штайнера. и все прояснится, а то жизнь протечет мимо..

[@user-bb2uu9pf5n]

Приятно сидеть на лекциях, когда посмотрел ваш плейлист по матану)

[@konungm]

Еще приятнее не ходить на лекции, потому что этого плейлиста вполне достаточно)

[@stevekpl6733]

По пол часа самое то, да вот только почаще бы)

[@user-yf9ui3ph3h]

Я бы очень хотела, чтобы вы увидели этот отзыв!!! Я просто в восторге от того, насколько вы человеческим и студенческим языком объяснили то, на что в вузе хочется закрыть глаза !!! Вы просто невероятный и спасибо вам большое ❤

[@sequ3nce515]

Оставляю коммент в качестве благодарности, чтобы продвинуть урок. Спасибо :)

[@user-xt4sw7cr3w]

Оооо дааа Наконец новое видео!

[@ramsaybolton7109]

Спасибо за лекцию. Как теперь ждать следующую и не помереть...

[@jeromewicks3896]

великолепно, браво!

[@user-ib9rb2xj1l]

Ждем новые уроки, спасибо вам!

[@alexostudin4940]

Борис, спасибо что вы есть и за ваш труд!

[@heyyou2739]

Огромное спасибо! Все предельно понятно)

[@-channel713-2]

Борис, спасибо за урок! Почаще бы только:)

[@drollik9332]

БОЖЕСТВЕННО, БОРИС ВИКТОРОВИЧ!

[@nurkyialalmazova6846]

Спасибо вам большое! Вы все шикарно объяснили!

[@Rivrabobra]

Спасибо большое!

[@Victoria-sh3tr]

Спасибо огромное! Вы помогали готовиться к ЕГЭ (спасибо за 86 баллов), а теперь помогаете и в ВУЗе, и как всегда своим понятным языком. Спасибо огромное! Сейчас ещё сложнее найти какое-то человеческое объяснение, и тут ваше видео, как луч света в темном царстве, ахах))

[@zxcghoul8837]

86 лол, меньше 94 - крип

[@ntditl]

@@zxcghoul8837 дай телегу, посмотрим на сколько сдашь ты :)

[@user-wu5ph7dj7x]

Когда вы привели пример с отрицательными числами, у меня в голове прям стрельнуло, огромное спасибо

[@shakehakobyan9086]

Что бы мы делали без Трушина)) Спасибо огромное.

[@varvarayakovleva5936]

Спасибо огромное!! Очень помогаете понимать информацию, которую дают в универе

[@immortalagnostik2228]

Самый полезеый канал!

[@konungm]

Лекции по матану в моем вузе - полный отстой (а это блин МГУ). Но сессия жесткая... Только Борис и спасает, не представляю, что я бы делала без него♥♥ Самые понятные и реально интересные видео на всем ютубе)

[@user-mt5mr4mc4g]

Супер, наконец, всё скдладывается...

[@Maximilian_Von_Vinogradoff]

Интересный урок! Спасибо!

[@user-ho7go7sk1o]

О дааа. Я ждал этого)))

[@user-hq9vo2cw9w]

Ааааааа как же все просто и понятно! Спасибо большое никак не могла понять отличие max и sup! Спасибо😍🥰🥰🤩🤗🤗🤗

[@rankserpenty7784]

Борис, отвечаю на Ваш тренировочный вопрос, заданный в середине видео: "Почему если максимум есть , то он совпадает с супремумом?" - Поскольку максимум по определению есть некоторое число, больше которого в множестве чисел нет, значит, являясь границей (тем самым "С" в двойном неравенстве A

[@android-bx6js]

Читал учебник, не понял сначала данную тему, решил видео посмотреть. Спасибо, помогли!

[@AlexBearnov]

Спасибо огромное за такое потрясающее объяснение. Просто в вузе на первом курсе зачастую столь быстро всё проходим, что потом понимаешь, что недопонял какие-то вроде базовые вещи в начале. А ваши видео помогают всё расставить по полочкам, понять что всё на самом деле просто!

[@user-zs8hi4rp9h]

Борис, продолжай!

[@user-bw3ci5ho1f]

Хотелось бы, что бы ролики были более продолжительными и выходили чаще.Спасибо за ваш труд!

[@davronadirov9632]

Молодец спасибо большое!

[@user-vj3qh9ze1m]

...каапец, оАфигенно интересно! Закончил институт 21 год назад.., сейчас в институте младший сын.., но у меня, Лапотника, была ОДНА математика, а у него - ТРИ :-о, НУЖЕН репетитор..😞 - я помочь не в состоянии = у него уровень института ВЫШЕ...

[@user-ly8in2gd9z]

спасибо за видео

[@semyadolya]

Почаще бы ролики, чтобы до конца лета успеть как можно больше.

[@nikbel7995]

Спасибо огромное, шикарные видео, только желательно как раз их по пол часа примерно делать, не меньше, ну и почаще по возможности!

[@user-jq2mr7pd9y]

огромное спасибо

[@arseny_borovik]

Спасибо!!!!)) Побольше бы видео про матан!

[@2ed9n5]

Спасибо большое за такое понятное объяснение этой темы и показывая что это не что то сверхъестественное а просто понятная теорема.Жаль что вы не ведёте нам лекции по мат анализу,тогда нам не пришлось бы после лекций сидеть и часами понять что нам ,,объяснил'' лектор.

[@user-bs1fn1xi4m]

Спасибо за интересные лекции! Хотелось бы видео подольше, чтобы охватить больше материала :)

[@vvalik]

Класс, лично мне больше нравятся длинные видосы

[@user-hi5eb3yq7j]

Спасибо

[@gracegoth681]

3:28 начало темы

[@user-mo8cj7rv1s]

пасиба ♥

[@sometmpacc3571]

Шикарно, можно даже подольше делать, если материала много. Спасибо за видео!

[@user-vi4rx1vx9x]

Спасибо!

[@user-if3cj1uf3d]

Хорошее видео, но, как мне кажется, намного неточно дано определение верхней и нижней грани. Вы сказали, что верхняя грань и точная верхняя грань - одно и тоже, однако это не так. Мне кажется более правильными выглядят определения: верхняя грань - это такое число А что для любого х из Х : х

[@lobaevni]

Лучший репетитор

[@user-kl9we9fp5p]

Борис Викторович, спасибо вам огромное!! Очень долго искал что-то стоящие по анализу на ютубе. Хотелось бы чтобы видео были дольше

[@DentArturDent]

Евгений Перхун, по анализу есть отличный канал "Павел Шестопалов". Там ещё и физика есть)

[@user-kl9we9fp5p]

Даниил Зайцев, большое спасибо) канал и правда супер

[@DentArturDent]

Евгений Перхун, и не понятно, как с такими годными видео, там так мало подписчиков(

[@user-kl9we9fp5p]

Даниил Зайцев, не знаю( видимо мало кому интересен анализ на ютубе. Ех

[@DiadorII]

Даже мне, далеко не самому умному, все понятно. Спасибо за уроки

[@roadtothesky9111]

Значит я тупой..

[@user-zs8hi4rp9h]

1 урок в 2-3 дня было бы норм. Борис, продолжай!

[@dmitriybobkow9035]

Целый день ждал видео, как будто предчувствие было, что БВ сегодня выпустит что то:) Супремум и инфимум - звучит красиво)

[@vic88tor]

крутотень. все понятно. хотелось бы ролики подлиннее )))

[@noname-to3ld]

Хорошее доказательство того, что если есть верхняя/нижняя грань, есть и супремум/инфимум. Мы в универе доказывали это при помощи леммы о вложенных отрезках, получалось гораздо длиннее и отчасти запутаннее.

[@user-sw5fp1ux6d]

Четко

[@user-ug5mw1ub1o]

На мой взгляд, более длинные и содержательные уроки лучше. Хотя и так здорово!

[@ferb9990]

класс

[@vyacheslavzarechnev7155]

Борис Викторович, шикарно, спасибо Вам! Если возможно, делайте уроки немного продолжительней

[@mypleasurenoname2301]

Сделайте видел про мононтонную последовательность

[@user-mx8pn1ky5s]

Хочется больше уроков и углубиться в матанализ. Я начал заниматься машинным обучением и основой данной области является математика вузовская. Мне очень нравятся Ваши уроки , Вы просто супер.

[@ntditl]

Как успехи

[@user-mx8pn1ky5s]

@@ntditl Работаю уже как 2.5 года специалистом по анализу данных, машинное обучение использую в работе достаточно редко. В работе в основном статистика с теорвером / Python / SQL. Видео помогли закрыть в тот момент определенные пробелы в знаниях, но не одними видосами обошлось это все. Много было пройдено курсов бесплатных по статистике на степике)

[@user-ez4iz1bf2l]

@@user-mx8pn1ky5s какие курсы проходил?

[@user-lb7eq9mf7u]

супеееер

[@MaksStezhko]

Спасибо. Юностью пахнуло. ))))

[@lagrangestheorem8006]

Спасибо вам огромное, Борис! Только чуть чаще бы, чтоб хоть какую-то базу набрать перед сентябрем.

[@user-ix3ip8df5f]

Спасибо вы рассказали,за несколько секунд,что существует три подхода к теории непрерывности,и тут я понял ,что не мог понять,очень долго.Сколько лет Бесову?Какой ужас без объяснений этого принципа.Можно долго думать ,что небо обрушилось,при желании для того ,чтобы поломать нервную систему человеку достаточно рассказывать материал используюя пять методов и используя одни термины.

[@MrKesseker]

Уважаемый, Борис Викторович! 1. Привет вам вновь из МГУ им Ломоносова. 2. А как вы относитесь к учебнику:"Фихтенгольц, курс дифференциального и интегрального исчисления"? Я, просто, по нему изучаю мат анализ. Заранее благодарю за ответ!

[@Sasha-qs3kz]

Спасибо большое за ваши ролики, стал лучше понимать математику Я считаю, в пределах 30мин нормальная продолжительность подобных видео Ждем с нетерпением следующих видео 😋

[@tonpalych]

Привет из МФТИ, 2021, 1 курс

[@user-gl7ib3lh3z]

Вы не снимаете видео практика по этому тему?

[@cryptorus_news]

чаще бы, а то так к концу лета и до производной не дойдем..

[@Rivrabobra]

небось выучил формулы и все? Производная по-хорошему проходится через пределы

[@Azazloy]

Все еще не дошли((((

[@crazydiamond5841]

@@Azazloy может ты немного дальше посмотришь,а потом уже писать будешь?

[@Azazloy]

@@crazydiamond5841 в плейлисте матан производной нет, слушаю оправдания и извинения

[@crazydiamond5841]

@@Azazloy есть связанные с производной темы,откисай,бро

[@user-kh7gi7mc4w]

Как +бесконечность вписывается во 2-е (свойство) супремума?

[@vladimirshmarov8781]

Можно ещё чуть сильнее обобщить, сказав, что на расширенной числовой прямой даже у пустого подмножества есть супремум (он равен минус бесконечности).

[@user-wb6wc2ru9u]

так, а что значит, что пустое множество ограничено? там же нет элементов, поэтому либо это не имеет смысла, либо любое непустое множество есть супремум

[@JohnWickMovie]

Возможно было бы проще ввести понятие точной верхней(нижней) грани как минимального(максимального) элемента из множества верхних(нижних) граней. Затем сослаться на единственность минимального(максимального) в линейно упорядоченном множестве, а существование как раз доказать через аксиому непрерывности(ведь не в каждом множестве есть максимальный(минимальных) элемент)

[@danilastepanov4003]

Здравствуйте ! А неограниченное множество имеет супремум/инфимум только в расширенном множестве ?

[@user-wb6wc2ru9u]

да

[@PavloFesenko]

Борис, очень интересная лекция. По какому учебнику или курсу Вы ведете их? Или это Ваш личный курс? Спасибо за ответ!

[@trushinbv]

Я лекции читал на ФИВТ МФТИ. Вот по ним и рассказываю. Они были по учебникам Никольского/Бесова/Петровича.

[@PavloFesenko]

Нашел эти лекции у Вас на сайте и выкладываю здесь ссылочку кому интересно trushinbv.ru/studentam/1-kurs/34-lektsii-po-matematicheskomu-analizu

[@user-he7es9wu5y]

Большое спасибо за объяснение! Надеюсь тот, кто присматривал за ребенком во время записи этого видео не был тогда очень недоволен :)

[@vladklichko556]

У нас еще критерий различия чисел рассматривается

[@user-hq9vo2cw9w]

Интересно было бы разборы заданий увидеть. Как решать и находить sup и inf

[@nerv19]

Презентация сделана в Latex?

[@trushinbv]

Угу

[@HoBoeBpeM9l]

0:54 0:55 звуки фоне довольно пугающие

[@user-bk7tv2kb4w]

Да, хотелось бы побольше и почаще - ведь матан тема необъятная)

[@REBOOT19]

Топ

[@dmitriimarkov7067]

Борис Викторович, что вы думаете о математике по имени Акбаров С.М.? (Он преподаёт в ВШЭ)

[@sladkyhleb6688]

Борис Викторович здравствуйте. Спасибо за понятное объяснение. Однако у меня есть вопрос : в учебнике Зорича по математическому анализу супремум определяется как наименьшее из чисел, ограничивающих множество X, принадлежащее R, сверху. Если имеется наименьшая грань, значит их несколько, но как это может быть. А даже если и так, почему именно наименьшая?

[@MrKesseker]

Ну, вот, смотрите: граней много. Допустим, функция синус(икс), она ограничена сверху числом 1, а вопрос к вам: может ли эта функция достичь 2? Нет. Правильно. Значит и 2 верхняя грань, а 1 наиментшая из всего множества граней, и она называется Точная верхняя грант. Зорича не рекомендую, рекомендую Только Фихтенгольца.(лично мое мнение). Рад был помочь, если остались вопросы-пишите

[@user-jz5hc4jb9z]

Спасибо за видео! А что будет больше: бесконечность или бесконечность +1 Или так нельзя рассуждать?

[@srnmdntxst6122]

Бесконечность есть значение которое больше любого числа. Поэтому бесконечность + какое то число = бесконечность.

[@Vitalik-ss8zk]

Когда вводили бесконечность, сказали, что арифметические операции не определены.

[@MrKesseker]

Трансфинитные числа в помощь) А по-факту: они равны

[@user-ep8pt2ee1d]

Не очень понял про то, что "у множества отрицательных чисел нет максимума"-это ведь потому что оно бесконечно?

[@namelesskalanchoe224]

Нет, это потому, что если ты возьмёшь любое, сколь угодно близкое к нулю отрицательное число, например -0,0000001, ты всегда можешь ещё сильнее приблизиться к нулю, например поделив это число на два. Таким образом не существует максимального отрицательного числа

[@dan_who_exists]

3:30

[@slshr]

14:17 если честно, не понимаю, почему то, что с' не принадлежит множеству В, значит, что есть число а больше чем с' ? Вот пример в числах: А: 1,2,3,4 В: 8,9,10,11 С: 7 С': 6.

[@grapejuice456]

По условию B это множество ВСЕХ верхних границ, в том числе 5 6 7...

[@slshr]

@@grapejuice456 Премного благодарен

[@user-gu1sp9se7q]

Странно, в вузе преподаватель сказал, что может быть не одна верхняя грань.

[@MrKesseker]

Тут имеется ввиду Точная верхняя грань, помарка))

[@user-rj7dp9ff2g]

Дизайны определение похожа на Evan Chen Inf. Large Napkin book

[@ewgeniypanarin1434]

Какое число больше 0,(9) и меньше 1 ?

[@trushinbv]

Нет числа 0,(9). У меня про это видео было )

[@Yaroslav105]

А правильно ли тогда, что множество неограниченное в R, является ограниченным в R с чертой? Ведь тогда по определению так оно и получается, что есть +беск которая больше любого х малое, значит Х является ограниченным.

[@Sun_Br0]

Так в конце видео об этом и сказано ( с 17:30 примерно )

[@castiel9532]

Когда поступаешь в военное,но тебе нравится математика)

[@voldemarcreed2331]

8:25 "все отрицательные числа меньше либо равны нуля" это оговорка, или я что-то неправильно понял? Разве ноль принадлежит множеству отрицательных? Второй вопрос: Мы говорим только про непрерывные множества, или для дискретных это тоже работает? Например, если для множества натуральных нижняя грань=1, и если мы отступим вверх на Эпсилон, то грань сама и будет являться этим х, который меньше, чем (inf X + e). Или, поскольку это мат анализ, речь может идти только о непрерывном множестве? Прошу прощения за сумбурное изложение, но думаю понятно, о чём идет речь

[@Qraizer]

Нет. Конечно, 0 не принадлежит множеству отрицательных, но это неважно. Борис просто процитировал часть определения, в котором фигурирует именно эта операция ≤. Промотай чуть раньше, там эти определения видны. Конкретно тут речь идёт о множестве действительных чисел, ибо именно оно исходно (но вообще говоря, в общем случае это не так, существуют и иные полигоны) является полигоном ...эм, классического, назовём это так... матана. Но в целом же, сейчас речь идёт о терминах теории множеств, которая рассматривает любые множества, а не только какое-то там конкретное ℝ. Все эти термины наличествуют там безотносительно к свойствам элементов множеств и самих множеств, кроме одного: важно, чтобы это были т.н. "вполне упорядоченные множества". Упрощённо говоря, это множества, на элементах которого задан критерий упорядоченности, позволяющий однозначно связать их с ординалами... блин, глубоко слишком зашёл, учитывая, что ℝ, вообще говоря, на ординалы кладётся неинтуитивно. Может быть Борис позже и коснётся этих вопросов, но в любом случае упорядоченность ℝ тут по-любому задана аксиоматикой ℝ. Короче: это работает для любых вполне упорядоченных множеств, в частности и для натуральных чисел тоже. Борис же не зря оговаривал, что максимума может и не быть. Просто для, как ты их назвал, дискретных множеств максимум для ограниченного (сверху) всегда будет и будет совпадать с sup. Ну и минимум (снизу) с inf соответственно. Но - да, "классический" матан работает с "непрерывными" множествами. P.S. Это всё довольно грубо, т.к. понятия ординалов серьёзно поправляют предыдущий абзац. Так что если счас Борис гневно на сии мои сентенции отпишется, не удивляйся.

[@tungsteniac2344]

Здравствуйте. Не в тему вопрос. Еду в коммандировку, хотел бы на досуге решать сравнения (из модульной арифметики). Кто-нибудь порекомендуйте задачник и введение в модульную арифметику.

[@imash21sa]

Nice

[@InnaNoga]

Скажите, пожалуйста, все ограниченные сверху множества имеют супремум? Не понимаю, как быть с отрезком, объединенным с точкой сверху [1,2] c {3}. 3 это супремум или нет? Он не соответствует второй характеристике...

[@fullfungo]

Соответствует

[@user-vp5qe8oo7n]

эта информация пригодится в вузе?

[@trushinbv]

Это зависит от того, будет ли у вас в вузе математика или нет )

[@user-tr9ur7bw8p]

Кака я разница между гранью и границей??

[@MrKesseker]

В буквах, и все, наверное.

[@swiftkeyswiftkey8036]

Здравствуйте, у меня вопрос 12:05 как чисел, ограничивающих сверху множество, может быть несколько? Что такое числа, ограничивающие сверху множество? Разве это не одно число, которое и является верхней гранью?

[@nokoshinsei]

Возьмем множество (0, 1). Любое число, большее или равное единице, ограничивает это множество сверху, просто по определению. Однако, верхняя грань - это наименьшее из чисел, ограничивающее данное множество, в нашем случае, это число - 1

[@user-yp8lw8sk7b]

14:20 почему если c' < b, то оно не ограничивает множество? с ведь тоже меньше или равно b, но с ограничивает

[@tageer_9644]

тоже интересно

[@mazitovspeedcuber7108]

мы взяли, что множество b содержит числа, которые ограничивают множество а. если с' < b, то с' принадлежит множеству а. значит, с' не может ограничивать. а с больше или равно b, то есть может принадлежать b, следовательно, с >= c'. но с не равен с' по условию, поэтому с ограничивает множество. если я что-то неправильно понял, то поправьте, я только что видео посмотрел и вообще учусь в 11 классе)))))

[@user-yp8lw8sk7b]

@@mazitovspeedcuber7108 лень вникать уже

[@user-yp8lw8sk7b]

@@mazitovspeedcuber7108 ух как лень читать. Уже надоел матан. Но спасибо за ответ