✓ Введение в математический анализ. Множество действительных чисел | матан

Математический анализ 001
Множество действительных чисел (аксиоматический подход)
trushinbv.ru/studentam/1-kurs/...
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Проголосовать за следующий ролик: www.donationalerts.com/r/bori...
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/ege11b
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/ege1315
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_trushin
Группа "TrushinBV.ru": trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
KZbin-канал: / trushinbv

[@rankserpenty7784]

Быть может и не столь актуально, но: 1) 0 только один: Если нуля два, то тогда сумма первого нуля с любым числом равна этому числу. Сложим первый ноль со вторым нулём, получим второй ноль. Но и сумма второго нуля с любым числом равна этому числу. Сложим второй ноль с первым нулём, получим первый ноль. Поскольку от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то первое и второе равенство имеют общую часть, а именно сумму первого и второго нуля, то есть, равны и результаты, то есть ноль первый и ноль второй, значит, это одно и то же число. Ч.т.д. 2) Для А число (-А) единственно. Положим, что есть два числа (-А). Тогда по одной из аксиом сложения получаем, что сумма А с первым (-А) равна нулю. Но и сумма А со вторым (-А) равна нулю. Теперь уже равны результаты сложения, а, значит, равны и сами суммы. Поскольку выражение a

[@trushinbv]

Прикрепил, чтобы другим было проще найти и комментировать )

[@rankserpenty7784]

@@trushinbv благодарю )

[@rankserpenty7784]

@@trushinbv , а если честно, ошибки в моих рассуждениях есть? )

[@trushinbv]

@@rankserpenty7784 если честно, я пока не все посмотрел. Но то, что посмотрел, верно )

[@user-bv3dj1zs7s]

7 не доказал, т. К. Рассматривается частный случай, когда А - целое. Моё док-во такое: А*0=А*(0+0)=А*0+А*0; А*0=А*0+А*0 А*0=0 Кстати, все равно не понимаю почему непрерывность не работает на Q. Пусть есть 2 множества: А и В, подходящие под условия аксиомы. Тогда за с можно взять (max(A) +min(B))/2. Это число больше любого из A, но меньше любого из В. Про элементы, не принадлежащие нашему множеству, в аксиоме нет ни слова. Значит аксиома работает. Все остальные тоже верны. Подскажите, где туплю, пожалуйста

[@etochekate]

Сдала ЕГЭ, думала больше не вернусь на этот канал... А нет, 1 курс, опять ничего не понятно и снова здравствуйте Борис :D

[@tomwasted2199]

ъъъ

[@eduardgrigoryan6052]

У меня схожая ситуация

[@madSanya]

Не понял в ВУЗе, о, знакомые люди, Борис)

[@piousgungnir]

и снова здравствуй, и снова как дела

[@user-sk5jw9cx2f]

Как результаты:)?

[@user-xl4cv3cr7h]

2019 подготовка к огэ 2021 подготовка к егэ 2022 матан спасибо вам за мое математическое воспитание

[@uv6638]

2022 подготовка к диплому

[@gmd3232]

2023: подготовка к подготовке к впр

[@andrewpuchinin8547]

@@gmd3232 может вКр?))

[@ldred_]

Так держать, Борис Викторович! Приятно, что даже после сдачи ЕГЭ вы не забываете про нас :)

[@leopardo8510]

Удачи на сессии народ!

[@mrzheka3672]

Послезавтра экзамен по матанализу, поэтому я тут, тебе тоже удачи!

[@alexsefan7347]

Не зря остался на канале.Спасибо за качественный контент!

[@borismukhomor3948]

Хотелось бы еще плейлист по линейной алгебре 🙂

[@ssim3346]

Не только юным курсистам, но и нам пенсионэрам весьма интересно слушать Вас. Спасибо Борис!

[@clu5ter892]

Это прекрасно. Получается, изучение высшей математики нужно начинать с того, чтобы "забыть всё, что знаешь" - в том смысле, что нужно критически отнестись к вещам, которые раньше тебе преподносились как самоочевидные. ИМХО алгебру нужно преподавать так же, как геометрию. Почему нельзя начиная с 7 класса использовать аксиоматический подход, как это делается в курсе геометрии?

[@serg7306]

Спасибо большое Борис Викторович вас за эти видео, преподам в ВУЗе вообще пофиг, ничего не объясняют, рассказали лекцию и думайте сами, спасибо за объяснения

[@user-sv2ze5jy3z]

Сергей Кононенко та же самая проблема, наш препод только от нас все требует

[@vladbotso6454]

и я про тоже, лекции проводят для галочки, да ещё дистанционно, нифига не понятно

[@Micro-Moo]

А вам не кажется, что вы уже взрослый человек, и должны бы понимать, что пора научиться добывать знания самостоятельно? Ведь в жизни, в работе, всем тоже будет пофиг, от вас будет требоваться результат. Я не знаю, может, вы и правы в том, что у вас лекции плохие, но настоящий студент не ищет себе оправданий. Учёба нужна именно вам, а не дяде.

[@Micro-Moo]

@@vladbotso6454 А вы вопросы лекторам задаёте? Ну, мне просто интересно. Не слабо задавать вопросы очень настойчиво и не слазить, пока не добьётесь своего?

[@Football_Cringe]

Борис Викторович тооооп! На лекции будто на китайском рассказывают, а тут легко и просто) спасибо вам!

[@Suetolog1441]

еще и в тимсе

[@Football_Cringe]

@@Suetolog1441 ахахах, жиза

[@dmitry.arapov]

Блин! Я реально думал, что времена года существуют из-за движения Земли вокруг Солнца! Спасибо за то, что просвещаете людей) А за матан отдельное спасибо. С нетерпением ждал от вас эти лекции!

[@user-si6fd1wp5l]

Я тоже так думал, пока не усомнился в том, что меня научили правильно.

[@Micro-Moo]

А что, теперь вы считаете, что движение Земли вокруг Солнца и не при чём? 😊

[@user-ck1cy2uh3t]

продолжайте ну вы лучший просто!

[@nicksm7980]

Аксиоматический подход хорош, потому что в математике самое важное это то, какие свойства у объекта, а не то, что он из себя представляет. Тем не менее, для таких важных и вроде бы "знакомых" объектов как действительные числа остаётся чувство недосказанности, действительные числа не становятся понятными объектами (тут хорошо вставить цитату Бертрана Расселла про аксиоматические определения, но я её забыл и не могу найти :) ). Если вам знакомо это чувство, то вам может быть полезен мой пост. Я в школе не задумывался об этом (ну множество всех бесконечных десятичных дробей [ноль в периоде допускаем, а девятку - нет], ну и клёво), но в ВУЗе как-то приучили к строгости, поэтому захотелось разобраться, что из себя представляют действительные числа с точки зрения современной математики. Проблема в том, что тяжёло найти нормальную книгу, в которой бы это ясно объяснялось, в большинстве учебников по мат. анализу либо даётся аксиоматический подход (Зорич), либо вообще невнятное рукомахание, обращённое к интуиции и "здравому смыслу" (Ильин-Садовничий-Сендов, например). Неплохая попытка была у Фихтенгольца (впрочем, всё довольно сжато, рассуждения о множествах без современной символики выглядят диковато, а параграф о бесконечных десятичных дробях смехотворен с точки зрения строгости, опять же интуитивное рукомахание), ещё лучше получилось у Рудина (тоже довольно кратко, но более строго), из учебников по числовым системам стоит отметить Ларина. Тем не менее, в 2011 году вышла великолепная книга Ethan Bloch ''The Real Numbers and the Real Analysis''. Да, на английском, но всем же ведь понятно, что сейчас без него специалисту ничего толком не сделать. По моему мнению лучший учебник по основам анализа: строгий, ясный, интересный, отличные упражнения, богатая библиография. И вот первые две главы как раз и посвящены числам, так как это нужно делать. Начинается всё с натуральных чисел (от аксиом, конечно, никуда не уйти, но аксиомы Пеано настолько интуитивно просты и сами натуральные числа настолько "понятны", что это гораздо легче переносится) и осуществляется нормальное честное построение N, Z, Q, R, ничего не утаивается, не считается очевидным (многие доказательства несложных фактов, конечно, выносятся на самостоятельную работу, но это всегда оговаривается). Действительные числа вводятся через сечения Дедекинда, но, конечно же, приводится и доказывается фундаментальная теорема о том, что все конструкции, обладающие свойствами, которые мы хотим от действительных чисел (упорядоченное поле со свойством наименьшей верхней грани) изоморфны относительно бинарных операций "сложение" и "умножение", и отношения "меньше". В конце второй главы есть настоящее строгое доказательство того, что представление действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби периодично тогда и только тогда, когда число является рациональным (доказательство приводится для любой системы счисления). И доказательство этого факта весьма нетривиально, что примечательно, многие знакомые и "простые" факты доказываются иногда весьма непросто. Не зря ведь строгая теория действительных чисел появилась ближе к концу девятнадцатого века, почти 200 лет после Ньютона и Лейбница, и занимались ей одни из величайших умов: Кронекер, Пеано, Дедекинд, Вейерштрасс. К сожалению, в школьных, а иногда и в вузовских учебниках доказательствами зачастую называют интуитивные иллюстрации. А в этом учебнике прекрасно всё: глава про пределы, про производные, про интегралы, про ряды. Строго вводятся все элементарные функции (особенно замечательно определение синуса, он вводится через арксинус, а арксинус определяется через определённый интеграл весьма простой иррациональной функции). Учебник требователен, но не хардкорен. Впрочем, желательно прочитать что-нибудь по введению в математику (например, замечательную книгу этого же автора ''Proofs and Fundamentals'' и/или книгу Velleman ''How to Prove It''). Короче простыню накатал, но это потому, что я в восторге от этого учебника, вдруг кому поможет. Понятно, что это абсолютно ненужные знания для прикладников, но это само по себе по-моему очень красиво, к тому же не требует какого-то запредельного усилия, чтобы во всём этом разобраться (как если бы вы, например, захотели бы копнуть поглубже и добрались бы до основ теории множеств и формальной логики). Действительные числа - это тыл многих областей математики, а тылы должны быть прикрыты.

[@vadimgrecheskiy8895]

Где бы найти ссылку на скачивание?

[@nicksm7980]

Library Genesis же.

[@polinabeketova5821]

одна из лучших рецензий на книгу,что я видела

[@mine_churros]

а как вам фихтенгольц уже после глав о действительных числах, там все "тылы" прикрыты?

[@nicksm7980]

@@mine_churros, нет. Современному анализу по нему научиться невозможно. Без теоретико-множественных понятий и языка (которые там на каком-то примитивном уровне), основ топологии и линейной алгебры на современном языке в анализе как-то очень сложно разбираться. Инженерам эти премудрости не нужны, но а зачем тогда огромный трёхтомник Фихтенгольца штудировать, когда есть отличные книги специально для их нужд (например, наш Пискунов или американский MITовский учебник по калькулюсу). Тем не менее, как книга для дополнительного чтения он очень даже неплох. Во-первых, там много расчётных примеров, чем далеко не всегда заморачиваются авторы учебников по современному анализу, во-вторых, там достаточно много мотивирующих примеров и интуитивных костылей для тех или иных понятий. Мы ж всё-таки не компьютеры, нам хочется в голове какую-то картиночку иметь. Вот как раз что ещё мне очень нравится в Блоке (автор книги из моего стартового поста) - это то, что он часто явно подчёркивает тот важный факт (это надо писать в каждом учебнике по математике), что в математике важны как формализм и строгость, так и интуиция и ментальные образы.

[@Maximilian_Von_Vinogradoff]

Думаю, будет весьма интересно, как и всегда. Спасибо Вам!

[@user-lv1gj8cc3z]

БОрис Викторович, спасибо большое за то , что помогаете лучше понять и школьную и вузовскую математику. И да, конечно, хотелось бы продолжения)

[@DiadorII]

Спасибо за старания. Как же это хорошо, что Вы занялись этой темой

[@-channel713-2]

Одни лайки! Борис, я восхищен вами, давно искал такой строгий подход к обучению! Прошу вас, продолжайте!

[@alexfomin7434]

Борис Викторович, спасибо Вам большое за Ваши труды!

[@vyacheslavzarechnev7155]

Большое спасибо, Борис Викторович! Я думаю, все будут рады продолжению (:

[@user-tf4ge7xd4l]

Мне ооооочень интересно.Спасибо, что даете понять :Математика- это искусство.

[@vasyvasyliev9098]

Борис Викторович! Шикарный подход к изучению. Спасибо вам!

[@user-nd6jk3go4i]

Борис Викторович, спасибо огромное! Вы просто читаете мысли абитуриентов и выступаете как настоящий учитель! Углубиться в эту тему и начать ее изучать с самых азов просто необходимо. С нетерпением буду ждать следующего видео:)

[@quantum1065]

Ураа, давно ждал, вы лучший!! В интернете попросту нету годных видеокурсов по матаАну, и здесь воооот, еще и от Трушина, на слезу пробило.

[@user-rg3rf3zy3t]

Вы очень понятно и интересно объясняете. Спасибо, что говорите и пишите не слишком быстро! Отличный курс! Я, наконец, нашла то, что так долго искала! Спасибо!!!

[@user-we3uy1hw7f]

Спасибо за полезные уроки!Вы очень понятно объясняете)))

[@seza21]

весь 11 класс готовилась по вашим видео.безмерна благодарна, что ваш канал существует и помогает не только школьникам, но и студентам. первый курс после месяца учебы спешу на ваш канал, чтоб разобрать то, что не понятно

[@1qwer184]

С нетерпением ждём новых роликов по матанализу !

[@alexevsin3534]

Крутая тема, продолжайте, дядя Боря!

[@user-fo3pk4yp5q]

Спасибо вам за организацию на вашем канале, такого подраздела.

[@ArtemTarutin]

Огромная благодарность с нашей стороны, со стороны абитуриентов. То что вы делаете правда нужно людям P.S. И ещё спасибо за ЕГЭ. Хоть и много не набрал от вас подчеркнул много идей в геометрии и в 14 два балла)

[@user-se8oi6ik6y]

Спасибо большое, всё очень понятно, интересная подача материала, необычная, индивидуальная, только Трушин так преподаёт!!!

[@TheGameProVideo]

Как вы это делаете Борис Викторович? Стоило мне только задуматься о подготовке, от вас выходит это видео. Огромное спасибо за ваши труды!

[@user-wq5yo7su4g]

Те знания, что Вы даете - бесценны! Спасибо, Борис Викторович!

[@user-zj3kl3hk6y]

замечательный контент. спасибо большое!

[@lagrangestheorem8006]

Фантастика, Борис! Огромное вам спасибо!

[@swimmwatch]

Не зря остался на канале.Спасибо за качественный контент!Так держать, Борис Викторович!

[@goshayalama2220]

Продолжайте Борис!!!!!!!!!!!!!!! Спасибо вам!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[@user-kg9lo4hg6x]

Спасибо,продолжайте пожалуйста! Думаю,очень далеко уйдем

[@sussusamogus7831]

Очень здорово, продолжайте пожалуйста!

[@mamurok8124]

Продолжайте, Борис Викторович. Очень полезно

[@user-nz2nk5wp9t]

Долго искал подобный формат! Спасибо !!! Понятно даже не очень среднему возрасту, жаль что наш учитель в школе думала только о том как затянуть на платные занятия, предавшим математику вечное забвение, а вам огромное спасибо.

[@user-rr3ly7sm3u]

Спасибо вам большое! Очень интересно, ждем еще)

[@user-nf9tj6lb3n]

Закончил первый курс бауманки, ничего нового не узнал, но интересно освежить знания и оценить взгляд на материал умного человека , спасибо :)

[@NikolajMihajlenko]

Мудрое видео! Блеск! Спасибо!

[@user-zs8hi4rp9h]

Борис, привет. Продолжай в том же духе. Хороший контент. Очень интересно и познавательно

[@nikr0z]

Спасибо, Борис!!!

[@user-do5vr5vp3v]

100к. Поздравляем!!!! 🎉🎊🎊🎉🎉

[@user-fj2zl6fe1d]

Порекомендовала этот плейлист своим первокурсникам. Тот случай, когда идеологии изложения совпадают! Правда, я своим кое-что упрощаю, ибо не математики. Ну, заинтересованные посмотрят вас! Спасибо вам огромное за помощь!

[@user-vi6xn5rv9s]

🤔 Мое лицо, когда поставил на паузу объяснение на кружочках (2+4)(1+3)

[@user-eg2dj2ch6p]

Ура!! Продолжайте! Спасибо вам!!

[@feniksg8055]

Спасибо за всё,Борис Викторович.Фоксфорд топ!

[@mevg6378]

Борис, спасибо за лекцию по аксиоматике для действительных чисел. Было бы интересно в таком же ключе посмотреть материал про реализацию действительных чисел, например бесконечные периодические дроби или дедекиндовы сечения, с доказательствами того, что они удовлетворяют всем аксиомам действительного числа.

[@fedorfedorr9661]

Очень круто, спасибо вам большое!

[@user-xi5bj4eg1w]

Отличное видео, продолжайте курс!

[@maksim3281]

Вот и пришло время смотреть видео по матану)

[@thenorthkenzh]

Огромное спасибо 🙏🏻

[@user-gl1bg3ef5m]

Очень круто! Хочется ещё видео из этой рубрики

[@user-bs4lq3jn3s]

С нетерпением жду продолжения курса!

[@rory5307]

Это будет полезно и тем, кто уже сдал экзамен по этим темам.)

[@user-mx3dl3fn8e]

Спасибо, продолжай эту серию роликов

[@user-ew7mr1uf3g]

продолжай, очень интересно

[@vyorkin]

очень нравится, продолжайте пожалуйста :)

[@perekatypole6524]

Как же здорово! Сначала БВ расшарил за ЕГЭ, а теперь за матан. Обязательно продолжайте!

[@user-yb3jf5wt9e]

Спасибо,давно ждал!!!

[@elelphgama5716]

Нравится, нравится Борис!!!!!! Так деражать!!!!!!

[@user-wk6ek3iz3k]

21:50 - это одно из самых элегантных доказательств, что я слышал

[@user-ho7go7sk1o]

Очень интересно. Продолжайте пожалуйста

[@user-by6fs5dl9k]

Давайте продолжать!Ещё видосов по матану пожалуйста!

[@favo0rite]

Готовился вместе с Трушиным к егэ, теперь надеюсь на ролики по вузовской программе

[@Pecheved]

даа, это всячески круто!!!

[@gitara_privet]

Продолжайте! Спасибо!

[@antondityatev2338]

Коммениарий, который вы ищите. Причиной смены времён года является наклон земной оси по отношению к плоскости эклиптики и вращение Земли вокруг Солнца. Без наклона оси продолжительность дня и ночи в любом месте Земли была бы одинакова, и днём Солнце занимало бы положение над горизонтом на одной и той же высоте в течение всего года. В наше время ось планеты образует с орбитальной плоскостью угол 66,56°. (С) википедия

[@vladimirstarostenkov4417]

Волею судьбы я видывал на экзаменах не только Бориса Викторовича, но и Виктора Борисовича. Сейчас же представил как бородатый ВБ Трушин объясняет бородатому дошкольнику БВ Трушину о том, что зима наступает когда планета удаляется от Солнца - чушь, быть такого не могло! :D

[@KawaiiPowerRUS]

Учусь на первом курсе на направлении "прикладная математика". Ваши видео очень интересные и полезные, а главное, что вы объясняете понятно. Побвстрее бы следующий выпуск

[@user-gl2kh9ix2o]

Какой вуз?

[@itser8]

Я тоже на прикладной, 1 курс, прмшел сюда, сложно и страшно

[@meeiber7138]

вы не одни ребята :D

[@eblankrivousbreketami]

пм тут...

[@murmaru3]

о привет пм-щикам... я 1 курс пм и мне страшно...

[@Maria-vk5bb]

Я вас обожаю!!🖤

[@cheesenet5080]

Спасибо большое!

[@ILmekekiy]

Пожалуйста, продолжайте!

[@ramsaybolton7109]

Блин вот про строгость школьной геометрии очень жиза. К алгебре по новым темам я за несколько уроков до этой темы заранее готовлюсь, а геометрию можно прямо в классе понимать, потому что по одной-двум теоремам уже можно кучу задач решить. Это круто.

[@ilyazare]

Спасибо за видео!

[@ncrean66]

"аксиома непрерывности", это свойство полноты действительных чисел ака критерий сходимости числовой последовательности). Рациональные числа неполны, поэтому ограниченное множество из рациональных чисел может не иметь супремума - если это последовательность, сходящаяся к π, например).

[@user-pn2un9vi6g]

СТАВИМ ЛАЙКИ!!!!!!!!! Нужно дать мотивацию на такой качественный контент!!

[@bibliotekariop535]

Продолжайте, конечно

[@vic88tor]

долго ждал!!!ура

[@user-ug5mw1ub1o]

Однозначно такие видео надо продолжать!!

[@user-gb5op3sc4i]

Спасибо!

[@Disorrder]

А нам на 1 курсе матана самую первую лекцию начали с матриц. А вот эти определения множеств уже были ближе к концу 1го курса и я откровенно сидел зевал, и не понимал, зачем всё это надо доказывать. Ну, типа, понятно, что есть некие сущности типа тех же матриц, для которых даже коммутативность уже не выполняется, но для чисел-то зачем)) И вот, 10 лет спустя, наконец, появились зачатки критического мышления и начал понимать!

[@Griffono101]

круто! мы интересуемся!!

[@PeacockDance1]

Классно! Продолжайте!

[@user-iw9ob8iy1t]

Спасибо за ролик

[@deinonihus11]

Супер, спасибо!

[@dmitryf1593]

Интересно, спасибо!

[@AdelinaLymar]

спасибо за видео !

[@ilyasyomov378]

Борис, спасибо, это было прекрасно и, пожалуйста, продолжайте сколько это возможно. Будет здорово, если Вы ещё будете подсказывать, где в литературе достойно изложены разделы, которые Вы разбираете. Те же вещественные числа добротно сделаны у Фихтенгольца в трёхтомнике в первой главе первого тома, про множества хорошо много где, но минимальная выжимка есть в первой главе "How to Think Like a Mathematician" by Kevin Houston или у Виленкина (ну или у Шеня с Верещагиным). Мне кажется, это может служить, как минимум, источником дополнительной информации для интересующихся и сборником подсказок для тех, кто затрудняется выполнить какие-то из упражнений.

[@rxzfs2586]

Спасибо,очень помогли!

[@clowiek228]

Интересно обьясняете.

[@skeptiwq]

Прикольно, 6 следствие из аксиом получилось доказать!

[@uljanjumabaeva7554]

Спасибо большое)

[@turingmachiine6431]

ура, наконец-то можно нормально изучить матан

[@user-cj4lo2my5i]

Нам интересно. Давай производную!!