Олимпиадная задача, которую решили только трое из десяти

√(9•10•11•12+1)=

[@АрсенийКостерин-ж3л]

Смотрим на произведение : 9*12 = 108 10*11 = 110 Получаем под корнем разность квадратов : 110*108 = (109-1) (109+1) = 109^2-1 Добавляем единицу: 109^2-1+1 = 109^2 Запихиваем под корень : √(109^2) = 109 Вуаля, и никаких замен P. S. ДЛЯ ТЕХ, КТО ГОВОРИТ, ЧТО Я ПОДОГНАЛ ОТВЕТ И КУДА-ТО ТАМ ДЕЛ ЕДИНИЦУ: Полное решение √(9*10*11*12+1) применяем переместительный закон √(9*12*10*11+1) √(108*110+1) √((109-1) (109+1) +1) тут работает формула разности квадратов √(109^2-1^2+1) √(109^2-1+1) √(109^2) 109

[@НизкийФлекс-п8ю]

Шикарный метод

[@danrold]

Кайф)

[@repetitor_mag5247]

Классно

[@rauanzhumatayev9628]

Гениально

[@RinatRinatovSPb]

Гениально

[@user-den_sm]

В произведении четырёх подряд идущих натуральных чисел произведение крайних ровно на 2 меньше произведения средних. Если взять произведение средних за х+1, а произведение крайних за х-1, получается формула разности квадратов. Всего под корнем получится х2-1+1, то есть ответ =х. Остается умножить 10 на 11 и вычесть 1. Ответ: 109.

[@RuslanDaykar]

Так же и ЛЮБЫХ ЦЕЛЫХ чисел (включая НОЛЬ).

[@АлександерЧеркасов-я9д]

А вот этот метод - это действительно красиво!!!

[@Victorya-si7fx]

Я просто умножила друг за другом 9,10,11,12 , добавила единицу и извлекла из полученной суммы корень, и тоже судя по калькулятору получила 109 , что со мной не так? 😮 почему я обошлась без игроков и иксов!?

[@elenachernigina9373]

​@@Victorya-si7fxКалькулятор.

[@Generator_Breda]

Перемножаем 9*10*11*12 =11880. Прибавляем 1. Получаем 11881. Берем корень, аллилуйя 109!

[@АлексейЛюбкин-э7е]

А как такие большие корни находить? Ну то есть как я пойму что корень из 11881 это именно 109? Я без гонора, просто интересно.

[@ewgeniy2004]

@x4ih5mj5j т.к. число больше чем 10000 это значит что корень больше 100, а т.к. число заканчивается на 81 можно предположить, что корень заканчивается на 9 и равен 109, а дальше взять и в столбик перемножить и проверить

[@АлексейЛюбкин-э7е]

@@ewgeniy2004 Логично, спасибо.

[@АлексейЛюбкин-э7е]

Обоим спасибо.

[@timon_valk8999]

то есть под корнем можно делать любые действия?

[@Адамс-е3и]

Можно проще сделать: перемножить 9*12 и 10*11, получится квадратный корень из 108*110+1, 108*110 можно записать как (109-1)*(109+1) а это разность квадратов и следовательно под корнем будет такое выражение 109^2 -1^2 +1, единички сокращаются и получается корень квадратный из 109^2 или просто 109

[@ALICE-sg6dk]

Можно мне такие олимпиадные задачи, а?👉👈( Ну просто вообще это изи в уме считается, 9 на 11= 99, 10 на 12=120, 99*120=120*100-120=12000-120=11880, добавляем 1, получаем 11881, число между квадратом 100 и 110, кончается на 1, значит или 101 или 109, но так как ближе к 110, то ответ 109, без всяких ваших иксов сложных)

[@brovka74]

Точно так и я решил, практически в уме.

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

а с чего вы решили, что из этой конструкции вообще корень извлекается? А вдруг нет? Предположить, что 101 или 109, конечно, можно, но всё равно необходимо проверять. Но возвести в квадрат 109 это вообще-то сложно. Предлагаемые же методы со "сложными иксами" как раз проще в плане вычислений в уме. Ради этого и вся канитель.

[@ALICE-sg6dk]

@@АлександрКузнецов-д6п6г Хахаха, если для вас возвести 109 в квадрат сложно, то вы чистый гуманитарий, ну или отвратительный математик. Это делается очень легко, сначала 100 умножаем на 109, после 9 умножаем на 100 и 9 умножаем на 9, и в конце все складываем, 10900+900+81=11881. Все очень легко

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

@@ALICE-sg6dk Оно сложно не именно для меня, а для любого человека вообще. Даже для вас. В уме это сделать сложно. Можно, но сложно. Долго. Гораздо проще пошевелить мозгами и, используя простые сведения из алгебры 6-7 класса, решить этот пример в уме более просто. Что касается меня, я как раз таки чистый технарь, и ни разу не гуманитарий. И как технари мы понимаем, как решать подобные задачи более оптимальными способами, чем в лоб.

[@Pridakon]

​@@АлександрКузнецов-д6п6гкак технарь говорю, что тут изначально падает подозрение на то, что под корнем уже квадратичное число из типовых задач и вычисляется это добро в уме за 1,5 минуты от силы, а вот вычисления через формулы при небольшой описке могут привести к ошибке и завалить конченый ответ. Проверить простой, надёжный и быстрый пусть всегда нужно прежде чем усложнять и изобретать велосипед.

[@williamspostoronnim9845]

Ну кто бы мог подумать, что не напрямую надо идти, а всё больше огородами...! Блеск.

[@AntonMakarka]

Реально, логичное решение -самое простое. Но нет же, нужно заморочиться

[@Леонід-щ8о]

Нормальные герои всегда идут в обход.

[@ЮрийЛебедев-ш2ж]

Поездка с Ярославского вокзала на Казанский через Воробьевы горы !!!

[@ЮрійСлєпцов-х1г]

Можно посчитать легче и так же без умножения: перемножим 9 на 12 и 10 на 11, получим √(108×110+1), теперь заменим 108 на x, получаем √(x(x+2)+1)=√(x²+2x+1)=√(x+1)²=x+1. Возвращаемся к замене: и получаем, что √(9×10×11×12+1)=x+1=108+1=109.

[@Сергей-ы8ш1р]

Круто

[@romanaskarov1019]

Чего нельзя умножить и сложить потом извлечь? 😊 зачем усложнять? 😂

[@ПростоСаня-м3я]

Затем, для чего и учат математику - усложнить себе жизнь и превратиться в учителя математики, который будет плодить учителей математики)))

[@АлександрКузнецов-д6п6г]

а в уме?

[@selectus18]

Потому что на экзамене нет калькулятора, точнее села батарея. Как раз на моем канале вы можете найти CR2032 или АА батарейки для своего калькулятора и больше не будет у вас таких вопросов)))

[@АлександрМалтых]

@@АлександрКузнецов-д6п6г 9х10 это 100 без 10 11х12 это, например, 121 + 11 или 144 - 12 Потом 132 х 100 без 10 И т.д. Можно и в уме - слишком лёгкие числа подобраны. Замена на ху и ещё одну неизвестную оправдана для более сложных комбинаций.

[@boulderrush5233]

Под корнем единицей пренебрегаем как бесконечно малой. А множители группируем как малое*большое и среднее*среднее т.е. 9*12 и 10*11, значит под корнем 108*110. Ни 108, ни 110 ответом быть не могут, значит ответ 109 ))

[@AntonMakarka]

За секунду решил в уме. Просто перемножил все числа, прибавил единицу и из полученного числа извлек корень 😁

[@ГригорийМищенко-ф6п]

Это инженерный подход! А те, кого наука привлекает, пусть решают через х 😁 Правда, у меня ответ получился почему-то 108,54 Неплохая точность для логарифмической линейки. Но я бывший инженер.

[@MGS2405]

@@ГригорийМищенко-ф6п бывших инженеров не бывает...... Это на всегда!!!

[@victorrassoha8258]

За секунду? )

[@ГригорийМищенко-ф6п]

@@victorrassoha8258 А чё?.. не так уж и быстро, всего-то каких-нибудь пара Флопс

[@victorrassoha8258]

@@ГригорийМищенко-ф6п четыре умножения, сложение и вычисление корня. Даже если вычисление корня из 11881 принять равным 1 flops, что будет большой натяжкой, получается 6 flops. Так могут не только лишь все :)

[@Алексей-ц7ь8б]

Все тоже самое, только без этих извращений. Умножаем 10,×11 а 9×12. Получаем 110× 108= (108+2)×108= 108×108+2×108, добавляем1. Получаем квадрат суммы 108+1. Или просто 109.

[@nadynady2891]

Гениально просто и без всяких иксов))

[@rety1281]

То-есть просто умножить, прибавить и извлечь корень не вариант?

[@TengizJgarkavaTengo]

Я не математик , но выполнив все под коренные действия получил 11881 . А корень квадратный из 11881 =109. А чего этот математик умничал, а?! Или я совсем плохо считаю , извлекаю?

[@ulelele_pooo]

Ответ, конечно, правильный, но в большинстве таких заданий учитывается рациональность решения, то есть насколько оно было удобным, и все же подставить формулу намного удобней, чем перемножать все полчаса😅

[@TengizJgarkavaTengo]

@@ulelele_pooo А я девять на жесть вообще в уме решил . Калькулятор под рукой 90 •11•12+1= 11881 заняло меньше минуты . Ну и последнее нажатие на символ корень квадратный и ответ 109 . На все ушло минута с чем-то . А этот умник в какие-то дебри завел ?! А ларчик то просто открывается!😂 Любите математику !

[@КоляЕгоров-лимб]

Считаете вы хорошо. PS. Вместе с калькулятором.

[@TengizJgarkavaTengo]

@@КоляЕгоров-лимб Я и на бумаге не разучился считать , только зачем когда под рукой калькулятор? Тем более зачем этот пример решать как этот математик , как говорят делать через .опу?! Любите математику и находите простые решение! 😂👍

[@duckduckov4362]

@@ulelele_pooo это безумно рационально, составлять уравнение с двумя переменными. В голове он такое решит? Сомлеваюсь, а посчитать можно.

[@Лариса-п9у]

Надо же , я бы не догадалась , уже забыты корни , квадраты . Полезно вспомнить , спасибо

[@Игорь-ь3д9к]

А они пригодились в жизни? Мне уже 48, но до сих пор не понимаю какого хе я сидел 10 лет за партой и штаны протирал

[@Лариса-п9у]

@@Игорь-ь3д9к У меня впереди ещё две ученицы , надо вспоминать , отдохнула уж . В видео - упростили подсчёты , заменяя цифры буквами а в школе на калькуляторе считать не разрешают . Думаю применять дети будут не только в корнях , важно подсказать , что так проще или пусть считают , отрабатывая навыки , бумаги не жалко . Детей жалко

[@lva2410]

Какая замечательная вещь калькулятор. Лишний раз убеждаюсь. Решал ровно 10 секунд.

[@AlexeyEvpalov]

Чтобы сворачивать разность квадратов, обозначим среднее арифметическое x=(9+10+11+12)/4=10,5, тогда √((x-1,5)(x-0,5)(x+0,5)(x+1,5)+1), сгруппировав получим √((xx-1,5^2)(xx-0,5^2)+1). Обозначим среднее арифметическое y=xx-1,25, тогда √((y-1)(y+1)+1)=√(yy-1+1)=|y|=y, так как под корнем положительное число. Выполним обратные замены y=xx-1,25=(10+0,5)^2-1,25= 100+2×0,5×10+0,25-1,25=100+10-1=109.

[@aidar8154]

Браво!

[@Evgeny.Net_voine]

Это намного логичнее! Я когда увидел пример, сразу захотелось такую замену сделать!

[@ivanandronov7529]

9*12=108, 10*11=110; 108*110=109^2-1, добавляется 1, корень =109, даже полное значение под корнем только лишнее. Описать дольше, чем посчитать в уме

[@ФокусникЮтуба]

А в чём проблема тупо в столбик перемножить и грамотным подбором найти корень? Очевидно же, что ответ целое число. Как будто быстрее будет, чем выдумывать замены

[@RuslanDaykar]

Корень из СУММЫ Единицы с Произведением 4 ЛЮБЫХ идущих подряд ЦЕЛЫХ чисел РАВЕН произведению КРАЙНИХ двух ПЛЮС единица.

[@ОльгаГригорьева-н5у]

Я не стала мудрить, а просто перемножила 9 на 10, 11, 12 прибавила еденицу и получила число 11881. Затем в ручном режиме извлекла число из под корня, как нас учила учительница математики. Получилось 109. Решила быстро. Мне 71 год.

[@fedorsurkov5463]

Мне 66 лет и Вы правильно сказали: НАС так учили решать! Сейчас детей "учат" догадываться, а не решать.

[@КаринМеньщиков]

Я просто посчитал подкоренное выражение (11881) и понял, что решение точно больше 100. (100^2=10000). Так что подобрать не так уж и сложно. 1 и 9 на конце квадрата дают 1, как и в нашем подкоренном выражении. 101 мало, 109 должно подойти. Проверил столбиком, всë сошлось

[@КаринМеньщиков]

Тут в частном случае такой способ норм зашел, но для значений больши́х не прокатит

[@Denis_K.]

Как можно в здравом уме додуматься до этого? Класс!

[@veniamin_108]

можно вот так. обозначаем корень за x, возводим в квадрат и единицу перебрасываем вправо. получаем 9*10*11*12 = (x-1) * (x+1). Значит, теперь слева нужно, чтобы было произведение двух чисел, которые очень близки друг к другу. Первое, что хочется сделать, это 9 скомпоновать с 12, а 10 с 11. Действительно 9*12=108, а 10*11=110. Значит, 108*110 = (x-1) * (x+1). Далее очевидно.

[@user-vs0s1su4ka]

@Denis_K. В здравом никак) В комментариях уже есть 2 хороших решения. Мне лично сразу пришла мысль сделать замену x=10.5 чтоб сворачивалось в разность квадратов. Но не хотелось возиться с дробями, поэтому я сперва перемножил 9*12=108 и 10*11=110. И теперь уже сделал замену x =109. Получил (x-1)*(x+1)+1=x^2-1+1=x^2 Ответ: х (или 109).

[@zhenshuang]

Толку от решения таких задач нет. Математики должны быслить абстрактно и представлять поля и пространства, а такую формулу считают калькуляторы.

[@dark_dragon-jb2vb]

​@@zhenshuangЭто олимпиада. Тут люди учатся творческому подходу. И калькулятор не всегда поможет, теорию бесконечно малой и пределы не от нечего делать придумали

[@MaxSablin]

Никак, только больная фантазия! Нормальный человек перемножит и выведет корень!

[@Алесия-о9ь]

По порядку перемножить все под корнем, добавить 1. Остаётся корень и все

[@NataliBoshkoizLugi]

Перемножить цифры можно в уме, выходит 11880+1 = 11881. Корень из него явно больше, 100 но меньше 110 т.к 100×100=10000 110×110=12100 (всё решается в уме) Т.к последние две цифры 81, значит последняя цифра 9 т.к квадрат 9 дает 81, а предпоследняя цифра 0. Подставляем 109 и проверяем, все верно. Таким методом я решила менее чем за 2 минуты.

[@БелАлекс]

Тут вроде можно тупо перемножить сложить и извлечь корень. Вообще у нас на олимпиаде можно было использовать калькулятор (не инженерный), но там видно было нельзя, иначе это совсем детская задача. Впрочем корень в данном случае тоже легко найти.

[@rush1729]

Это даже и не близко олимпиадная задача. Да и решается в общем виде легко.

[@Walker7745]

Я учился в советской школе в 1967 году. И эту задачу тупо мог решить любой пятиклассник (ну, или в каком там классе проходят квадратные корни, не помню). Нафига весь этот выпендреж с переменными, когда можно просто посчитать, что там получается под корнем, а потом этот корень вычислить? Это даже не алгебра, а простая арифметика. Ах, вас не учили извлекать корни? А вот нас учили. Карандашиком на листочке. Очень просто. Хочешь целые, хочешь дробные, любые. А потом признали советскую систему преподавания порочной и начали вот такие городушки изобретать из-за незнания простой операции.

[@baron-tuzenbach]

Задачка из серии - как вскипятить воды к чаю - пойдём в лес, наберём хвороста... зачем весь этот умственный онанизм? Да, выглядит изящно, ну так и дровишки гораздо романтичнее прозаичной микроволновки)

[@dark_dragon-jb2vb]

Мне точно такую же задачу на олимпиаде давали. Я перемножил 9 и 12, 10 и 11. Получил 108 и 110. Заменил их на 109-1 и 109+1. Разность квадратов. Единица сокращается. Получаем, что корень из 109 в квадрате равно 109. PS Некоторые решали это столбиком)

[@brovka74]

Гениально!!!

[@vladislavgorelov6038]

А в условиях был запрет на пользование калькулятором? Если нет - взял его, перемножил и прибавил, извлек корень, получил 109. Ответу удивился, поскольку ожидал подвох в лице иррационального числа, чтобы получить которое в виде "семь восьмых корней из шести пятых" как раз и нужно Проводить все вот эти манипуляции. Автору респект! Жду от него решение задачи "2+2" с тремя заменами, желательно с применением формул сокращенного умножения, ну и если удастся - подпустить логарифмов там, можно производных чуток... Ну, в общем, чтобы красиво было.

[@kvgvrvsoga9420]

Вообще тут же можно втупую посчитать то, что под корнем 11881, это число, больше 100, тк 11881>10000=100², и меньше 110, тк 11881

[@ВадимКличко-г3с]

Интересен ход мысли . Можно идти с другой стороны - чтобы извлекался квадрат необходимо иметь полный квадрат под корнем .Если имеем плюс 1 то чтобы получился полный квадрат перед ним обязано стоять в (х+2)*х Смотрим на произвидение и видим что да так и есть . Потом можем разворачивать мысль как угодно и (х^2-2)* х^2 и такдалее прятать эту мысль в числа

[@antongoncharsky2827]

Вычисляем что под корнем. Далее подбором. Ну какое-то нечетное число немного больше 105.

[@ИванСмирнов-ф9ц]

видим последнюю единицу в числе под корнем - предполагаем 9 в конце искомого числа. секунд за 40 мои мозги скрипучие это решили без калькулятора (но с листочком в столбик проверял ответ)

[@asmgrandadgrandad9000]

@s4pf6he4k Повезло, что корень оказался целым. Нужно найти решение и предложить МЕТОД для решения подобных задач.

[@Bon2073]

Единица в конце получится только от 9, поэтому пробуем 99, а потом 109)))

[@ИванСмирнов-ф9ц]

@@Bon2073 99 не подходит из-за длинны ответа. 100к+ от девяноста не получится никак

[@Bon2073]

@@ИванСмирнов-ф9ц я так считал, причем очень быстро, с черновиком)))

[@venikisakovskii]

Этот пример я в уме решил за 30 сек. Единственно что пришлось вычислить корень из 11880 при помощи калькулятора т.к. сейчас под рукой уже нету логарифмической таблицы , или логарифмической линейки , вот как вычислять корень квадратный в столбик , честно уже забыл ,ведь мне уже 70--ый.

[@ГульфикПынеходов]

Тут за секунду в уме видно, что под корнем 109². Видна формула разности квадратов 108×110+1 =(109-1)×(109+1)+1=109²-1²+1=109² под корнем. Остаётся извлечь.

[@ИгнатЗелинский]

Зачем вводить неизвестные Икчы и Игреки, заранее зная из значение? Значение корня из подкоренного выражения просчитывается прямым счётом.

[@tamaravalentinukraine4937]

Если тупо выполнить все действия, то ответ данной конкретной задачи можно получить быстрее. А вообще, если бы числа под корнем были двух или трёх значными, то решение задачи в общем виде пригодилось бы.

[@F1r1at]

А чего тут сложного? Решается в лоб в уме за минуту, максимум 2. Перемножаем всё на всё. 11*12 = 12*12 - 12 = 144 - 12 = 132 132*9 = 1320 - 132 = 1188 1188*10 = 11880 Добавляем 1 = 11881 Дальше нужно найти какое число умноженное само на себя даёт вот это. В конце 81, значит в конце оригинального числа будет 9. Число больше 10 тысяч, значит оригинальное число больше 100. Но при этом уже 110*110 будет больше 12 тысяч, значит ответ 109 Проверяем: 109*109 = 109*100 + 109*9 = 10900 + 109*9 = 10900 + 100*9 + 9*9 = 10900 + 900 + 81 = 11800 + 81 = 11881 Ответ: 109. Ну или +-109, в зависимости от того, алгебраический или арифметический тут корень

[@DoV4KiN]

Тоже за 2 минуты в уме посчитал) Только я сначала умножил 9*11, а потом уже 99*12. Точно также 12*100 - 12. Как будто-бы так проще

[@F1r1at]

​@@DoV4KiNТоже вариант, особенно если не знаешь квадрат 12. В любом случае считается легко, и усложнять тут, как в видео, ничего не надо)

[@ЭмилияЯценко-с9б]

Основное правило математики,где можешь- сокращай!!! Это ж надо было такое нагородить!!!

[@Rock_Angel610]

Гораздо проще все перемножить сложить и вычислить корень квадратный в столбик по специальным математическим правилам.

[@АннаК-щ8х]

Верно! это правило изложено в учебнике 8 кл. Мордковича

[@АланияКрокодилова]

Тривиальная устная задача. Любой хороший восьмиклассник обязан ее решить.

[@valch3171]

А не проще, сначала последовательно, под корнем, перемножить множимое на множитель, потом прибавить 1, затем из 11881 извлечь корень?! Получим искомое =109.

[@ВячеславРогожин-ш5ф]

Я думал, в уме надо решать. И решил довольно просто: 10*11=99 99*12=100*12-12=1200-12=1188 1188*10=11880 11880+1=11881, по виду это нечто, чуть большее, чем квадрат ста 10000, но меньшее, чем квадрат 110 (12100) и явно ближе к последнему. Предполагаю, что число - целое и выбираю из целых чисел в диапазоне 110-100 такое, квадрат которого оканчивается на 1. Их два: 101 и 109. 109 явно ближе к 110, чем 101, его и принимаю, как ответ после проверки: 109*109=110*109-1=11990-109=11881. Даже "честно считать" ничего не пришлось - все в пределах вполне простых действий в уме. Полагаю, для указанного в видео расчета лучше взять какое-нибудь дробное число, или целое, но где Х не близок к 10

[@OlgaLes-z6n]

Какой ужас. Вместо того, чтобы перемножить и прибавить 1 - 11881, столько финтов ушами. Да, такому не учат в школе , слава Богу.

[@НинаРачкова-з1г]

Как всё мудрено! Умножаем устно 12 на 11, потом на 10 ( это 1320), теперь в столбик умножаем на 9 и прибавляем 1 = 11881. Корен квадратный из этого числа = 109. Занимает времени меньше минуты.

[@claudiobuttazzo4513]

Without open the video I done it all mentally in few seconds because (10×11)×(9×12) +1= (110×108) +1 = (109² -1)+1 = *√109²* = 109 💪🤙👍🇪🇸🇦🇷🇮🇹 . By from Barcelona, Spain❤

[@michaelgrishin6824]

Неужели не понятно, что автор захотел посмотреть на реакцию публики. А попросту говоря, он захотел поиздеваться над нами. Пример решается за 14 секунд.

[@xspecforallx]

Когда я учавствовал в олимпиадах, мы старались упростить задачу, а не усложнить....

[@DBEPb1]

Обобщая решение, можно сделать вывод, что если к произведению любых четырёх идущих подряд целых натуральных чисел прибавить 1, то квадратных корень прлучившегося числа будет целым числом.

[@YorikVsemogyshchiy]

А ведь и правда, что не подставляю - всё подходит 😳

[@ТомАра-я2в]

это ещё нужно доказать и займет оно, может, как доказательство теоремы Ферма))

[@DBEPb1]

@@ТомАра-я2в в ролике это и доказывается, как бы))

[@Amoeby]

9 * 10 * 11 * 12 + 1 = 990 * 12 + 1 = 11881 100² = 10000 < 11881 < 12100 = 110² Последняя цифра 1, которая может быть получена возведением в квадрат числа с последними цифрами 1 или 9. Можно, конечно, начать проверять и со 101, но, по-моему, очевидно, что ответ скорее всего 109, поэтому проверяем сначала 109: 109² = 981 + 10900 = 11881. Соответственно, √(9 * 10 * 11 * 12 + 1) = 109.

[@VTS_RUbik]

Понятно сразу, что к виду (x+1)2 под корнем нужно привести. Тогда x2+2x=x(x+2). 9*12=108 и 10*11=110. Значит x+1=108+1. Ответ 109. Это простая задача, т.к. намек решения в записи указан.

[@duckduckov4362]

Да, вроде, в голове посчитать можно... 9*11 (99) * (120) = 12000-120 +1=11881, что намекает на корень из 109 или 119.

[@freehck]

очень интересно, но вы перемудрили =) смотрите, у вас под корнем стоит 110*108+1 -- значит ответ лежит между 108 и 110, является целым числом и кончается на 1, а значит 109 -- это единственный кандидат, остаётся только проверить: 110*108+1 решается устно, получаем 11881; 109*109 тоже решается устно, получаем то же самое.

[@AS-ws9pp]

Ну, если из 10 могут решить аж 3, то у человечества всё в порядке. Было бы плохо, если бы только 1 из млн мог решить.

[@ВладимирСтаровойтов-ж5ь]

Если выполнить по правилам арифметики действия под корнем, а затем извлечь корень, то результат равен 109. Проверьте.

[@AndreiVvedenskii]

Калькулятор в шоке. Без калькулятора (а такое возможно только на ЕГЭ) я бы перемножил в лоб. Потом элементарным перебором а-ля двоичное дерево. За 8 операций думаю разобрался бы. Возможна проблема с нецелым числом ответе. Но тогда вообще не понятно зачем вся эта эквилибристика.

[@OLEGEK23]

Руки оторвать за " Квадрат и корень взаимно уничтожаются" да и еще типа "сократил" Не засирай мозги школоте r(a^2) =|a| , даже если здесь без разницы. Не привыкайте к небрежности, это может дорого стоить!

[@2106522]

По-моему, произведение четырёх ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ членов ЛЮБОЙ арифметической прогрессии, увеличенное на 1, даёт число, являющееся полным квадратом! Даже прогрессия из комплексных чисел...

[@-wx-78-]

Для арифметической прогрессии с разностью 1 это верно: n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n²+3n+1)², как и было практически доказано в видео. Насчёт _любой_, естественно, нет: например 1·3·5·7+1 = 106. Это я ещё про (-1)·1·3·5+1 = -14 не говорю. 😉 P.S. Поправил корявку (+1 в первом равенстве забыл).

[@andrejszermjagin5646]

Радует одно - я принадлежу к большинству.

[@МаринаЧирун-ъ7ъ]

Мм какие вы все молодцы!!!!! А я поперезабывала все. 👍🤗

[@ЮзикЦвинтарний]

Кто бы мог подумать, что корень из произведение четырех чисел подряд + 1 равен произведению двух средних - 1

[@andybuts8211]

просто перемножить и подобрать корень как-то быстрее, чем через уравнения. В чем олимпиадность задачи с простыми действиями?

[@maxshel4338]

Я не так. Под корнем выдели полный квадрат. Нам нужно а^2 +2аб+б^2. б=1, т.к. с плюсом только 1, тогда получаем корень из а^2+2а+1=9*10*11*12+1=а*(а+2)+1, а заметив, что 10*11=110 9*12=108 находим а=108, получается, что выражение это (а+б)^2=109^2, получаем 109. Решается в уме.

[@Valsangas]

С иксом сложнее получается нежели так прикинуть. Примерно можно так сделать: вынести квадраты 9 и 11 - перемножить получим 99. Под корнем останется еще одна 9 и еще 11, их тоже перемножаем и получаем 99 +1 и того 100. В итоге 9*11√(9*11+1) и тоже 109 получаем. Чисто устный счет И зачем неизвестным усложнять пример в котором все известно. Это похоже на видео где чел по приколу используем кучу теорем, что бы решить 1+1...

[@АлександрКомов-ъ2к]

Так здесь ещё "случайно" доказали, что вместо 9 можно взять любое натуральное число n. И тогда sqrt(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1)=... (смотри видео). А может и не только натуральное...

[@zorg6020]

Слишком длинное решение, которое к тому же длиннее простого вычисления выражения. А значит решение неверное.

[@Gerserh]

Красиво! Кайфанул. У меня не такой изящный способ. Я решил иначе. В лоб перемножил через 120*99+1=120*100-120+1=11881. Предположил, что ответ есть целое число, нашёл ближайший квадрат целого это (11*10)^2=12100 и перебором, через выражение (n+1)^2-n^2=2n+1 сразу получил 11881. Эдакое численное полумашинное мышление.

[@ВалерианСухиташвили]

Нас всех , и я с вами развели как дураков. Автору нужен был наш комментарий ОН ЕГО ПОЛУЧИЛ А тот кто ещё и лайк поставил- вообще" молодец" (в кавычках конечно)

[@ArhitetOleg]

Просто умножте числа под корнем, прибавте 1. Корень будет 109. Это какая то фигня. Менять на икс, потом на игрек, потом обратно. Это как дважды два через интеграл вычислять.

[@u.a.3542]

Кто бы мог подумать , действительно. Каким образом надо догадаться, что требуется заменить именно 9 как х.

[@tolstoy4328]

я бы за 1 минуту все перемножил и посчитал бы корень. а в этих корнях я без понятия как разбираться.

[@СветланаАкимова-о4р]

Три первых числа умножила в уме, на 12 в столбик, прибавила 1 в уме, получилось 11881. Ну понятно ведь сразу, что последняя цифра 1 или 9 и число не больше 110, иначе бы вторая цифра была или 2 или больше 2. 101 в квадрате 10201, 109 в квадрате 11881, всё в уме без столбика. На всякий случай 109 и в столбик перемножила. Вышло очень быстро, жаль не засекла, но не дольше 2 мин.

[@ОлегПавловский-ш5е]

Можно поиграть с обратными дробями. Для удобства я не буду писать корень(с клавы это ужас) Вынести 9 из обоих членов и получится 9(10×11×12 + 1/9). Потом 4 и получится 36(3×10×11 + 1/36) Потому вынести 110 и немножко разложить Получается 36(100 + 10)(3 + 1/3960) И так можно преобразовывать до победного, я думаю на этом этапе понятно почему я записал (100 + 10) В конце у меня получилось 60*sqrt(11881/3600) 60 и 3600 под корнем сократились и получился корень из 11881. Его можно легко подобрать. Число включает десятки тысяч, а это трехзначное на трёх значное. Так как это около 11к, то искомое где-то около 100. Т.к оно оканчивается на 81, то на конце должна быть 9 железобетонно. Умножаем столбиком 109 на 109 и о чудо, мы подобрали. Смекалка и никаких махинаций с заменами

[@иваниванов-ъ6м4п]

нахрена весь этот геморрой с вынесением, если можно просто перемножить данные числа?

[@АндрейМ-и7й]

На уме решал, получил 11881. В корне это как раз 109. Эта задача решается в уме

[@sergey-gurin]

В чем сложность? Перемножили и прибавили 1. Посмотрели что за число. В уме взяли из него корень. У таких задач всегда из итогового числа в уме берется корень.

[@notdispatcher1715]

Мой способ. Предположим, что под корнем квадрат суммы или разности, то есть X = √(a±1)². Рассмотрим подкоренное: (a±1)²=a²±2a+1=a(a±2)+1. Вот это вот a(a±2)=9×10×11×12. То есть это число можно представить в виде произведения двух множителей, которые отличаются на 2 (вообще, выбор знака в том выражении не влияет на результат, будем считать, что выбрали плюс). Можно сообразить, что можно перемножить друг с другом попарно крайние и центральные множители. Получим: 110×108. Повезло! Тогда a=108. Закончим: √(a+1)²=|a+1|=a+1=109. Занавес

[@Nastkay]

Круто! Обожаю Вас

[@mewkaof]

Решение конечно прикольное, но найти это число обычным способом как по мне проще. Просто вычислить все под корнем, а дальше лично у меня есть прелставление, как найти нужное число в уме, а там только проверить остается

[@natalianemirovskaya7332]

Задача и особенно предложенное решение очень понравились.

[@chagkruzart7695]

Великолепно "сократил" квадрат. И правда, "этому не учат в школе"

[@PssV5]

В уме сосчитать 11881 не особо было сложно...а подобрать корень не более сложно чем арифметику сосчитать 10к + значить 100+ а 81 на конце явно на 9 указал ....проверить делением ...явно быстрее чем алгебраические формулы переливать друг в друга. Пример неудачный я считаю...надо менее очевидные цифры брать

[@user-mmm001]

Тупость таких ОЛИМПИАДНЫХ задач в том, что школьник-математик может очень быстро в уме посчитать произведение +1, разбить на пары цифр, и извлечь корень (тоже в уме, есть известный способ/ы). Но такой ответ не устроит проверяющих. За устное решение они поставят 0 баллов или не более 1 балла. Им иксы подавай и др. действия, значительно усложняющие решение, чтобы получить максимум баллов. А за попытку решения с иксами, без окончательного ответа, ученик может получить несколько баллов. Поэтому пример должен быть с любыми 4-мя последовательными числами хотя бы на порядок большими. А в приведённом решении на видео надо сделать еще одно упрощение ( x+1)^2+x=(9+1)^2+9=100+9=109

[@andreyshestakov4918]

Вывод из проделанных алгебраических манипуляций: корень квадратный из увеличенного на единицу произведения четырёх подряд идущих натуральных чисел всегда является квадратом определенного натурального числа. Для 1,2,3,4 это число - 5. Для 2,3,4,5 это число - 11. Для 3,4,5,6 это число - 19. ..... Для 9,10,11,12 это число - 109. Все эти числа простые. Высказываю гипотезу, что и во всех других случаях будут получаться квадраты простых чисел. Прошу её доказать!!!

[@andreyshestakov4918]

Или опровергнуть.

[@ОлбгаПетроченко]

В былые времена в нормальной школе никому в голову не пришло бы решать этот элементарный пример через задний проход. Сеодня такой ход видимо уже норма. В

[@dmitryushakov9144]

У Вас на 2:40 грубая ошибка. Квадрат и корень взаимно НЕ уничтожается. Чтобы такой переход был равносильным, надо некоторые условия вводить. Они тут есть, но Вы же про них ничего не сказали. А в общем случае взаимно уничтожать квадрат и корень - это грубейшая ошибка, на которой посыпалось (вот из-за таких видео в том числе) немало голов и баллов...

[@АннаК-щ8х]

Это пример того, как не надо решать.

[@slavap436]

Допустим под корнем квадрат суммы, тогда x^2 +2x = 9*10*11*12 x1+x2 = -2 x1*x2 = -9*10*11*12 перемножив крайние и средние x1 = 108, x2 = -110 108^2+ 2*108+1 = (108+1)^2 Ответ 109

[@николайвасилькин-ж6г]

из пушки по воробьям!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! арифметику наверное забыл ....... взял перемножил (вам разрешаю пользоваться калькулятором! в связи со сложностью задачи!!!!!) прибавил единицу (опять разрешаю воспользоваться калькулятором!) а уж корень извлечь с вашим умом не составит труда .....

[@НизкийФлекс-п8ю]

Просто перемножить и прибавить 1.Ответ 109

[@БорисШалагінов]

А в чём прикол? Перемножаем (на первые две цифры в уме, а на 12 - столбиком) и к произведению прибавляем единицу. Получаем 11881. Потом извлекаем корень квадратный, как учили в школе. Ответ: 109.

[@Просто-х2ю]

Просто взял бумажку. Все перемножил + 1. Единственное что, я не знал как вывести 11881 вывести из корня. Забил только это в калькулятор. И эта олимпиадная задача?

[@Mcmern]

9*11=99. 12*10=120. Это примерно 120*100= 12000. Корень из 12100 это 110, так как 11в квадрате 121. Ответ: чуть меньше 110.

[@Kisandr1]

Хм... Конечно, классный вариант! Но.. вот именно в данном случае, а не проще в лоб решить? Корень из 11881... Ну, до 109 подбором тут крайне нетрудно догадаться, 100 * 100 дадут 10 тыс., 81 получается как 9*9, в чём проблема-то?

[@blaze3518]

А если будет 11781 или 11981 то как найдешь основание 109?

[@Kisandr1]

@@blaze3518 Тогда 109 не получится, очевидно. Но, прежде чем лезть в эти дебри с заменами, проще и быстрее попробовать в лоб, за минуту, в уме. Получается просто и быстро - зашибись, нет - заморачиваемся, как в этом разборе.

[@antonserov2019]

Хм. А в чем сложность просто быстро посчитать? В лоб 108х110+1 = 11880+1. Т.к. В конце 81 - последняя цифра либо 9, либо число в ответе не натуральное (а значит решение усложнится и придётся выбирать метод). 99 сразу не подходит, т.к. Меньше 10000, значит 109. Проверяем 109х109 - вуаля, 11881. В уме решил секунд за 15.

[@ksenokss1359]

Посчитал за 20 секунд, даже не открывая видео 😂

[@svetlanadobrova8478]

Из Питера в Москву через Лас-Вегас....😂

[@Andrey_Mak]

Тоже по моему проще было 9*12=108, затем 10*11=110 и после разность квадратов применить

[@ДмитрийБ-щ8з]

Крутяк решение!👍👍👍

[@ВладимирЛеонов-ц9с]

Я посчитал проще: 9*11=99;10*12=120 далее 99*120 это как 100*120-120=11880+1=11881 далее подбираем корень.110 в квадрате =12100 это чуть больше чем 11881 значит корень из 11881 равен 109

[@ВалентинаФедоровская-э1и]

11881-корень из этого числа-109 и без заморочек!!!

[@stankevichpavel]

Просто вычислил в уме 10х12х9х11+1, корень подобрал, сразу понимая, что ответ больше 100 и заканчивается скорее всего на 9