Oraux X-ENS - 27 - Critère de transcendance

[@mattisborderies6132]

17:18 je comprends pas vraiment cette ligne, quelqu'un peut-il confirmer qu'il n'y a pas d'erreurs ?

[@bougi4205]

En soit c'est juste un produit qui peut être vide écrit en extension, par convention on dit que le produit vide vaut 1 et la somme vide 0 (élément neutre pour les opérations respectives)

[@mattisborderies6132]

@@bougi4205 nan mais ce qui me derange c'est le 10^(n!*n+1*...) = (10^n!)*10^(n+1*n+2*...), ca se distribue pas comme ca les puissance en produit nan ?

[@mattisborderies6132]

@@bib2828 de meme, si jamais vous avez la reponse

[@dawudnp]

@@mattisborderies6132 same

[@MathsEtoile]

Il y a une erreur ici oui !! C'est une inégalité qu'il faut écrire, pas une égalité. On a bien 1/10^(ab) = a+b dès que a,b >= 2. Désolé pour cette imprécision :)

[@MrZefredo]

Quand j'étais en prépa, j'avais coutume de dire « le cul est dense dans l'air », et ça me faisait rire. Quand j'étais en prépa…

[@TwoonyHorned]

Vraiment superbe. Merci !

[@ara9653]

Ne pourrait on pas directement majorer [somme pour k allant de (n+1) à +inf des ( 1/10^(k!) )] par [somme pour k allant de (n+1)! à +inf des ( 1/10^k ) ] ? Car ça revient juste à rajouter toutes les puissances non factorielles de 1/10 à la somme initiale (sans avoir besoin d'étapes intermédiaires). Autre question, pour la majoration qui utilise la dérivée P'(alpha) en devant se farcir des justifications après coup, on aurait pas juste pû majorer par le sup |.| de la dérivée sur un intervalle contenant tous les termes de la suite (en utilisant les accroissements finis), et du coup ne pas avoir besoin du fait que le polynôme est irréductible ?

[@nefta2240]

Très lisible compréhensible ça fait du bien de se rappeler mais dire que j,aurais pu trouver il faut bagage bravo

[@mattisborderies6132]

bonjour, à 10:46 , est-ce que si on fait un DL jusqu'au premier coef non nul (il y en a forcément un car polynome de degré d), on peut avoir un equivalent de la qté et derrière un O(pn/qn -alpha) et ainsi sans utiliser l'hypothèse de polynome irréductible ? Ou alors j'utilise sans le savoir l'hypothèse peut-etre

[@MathsEtoile]

Oui ça a l'air de marcher, j'ai pas fait les verifs mais ça a l'air de tenir debout

[@misspasteque2738]

je crois qu'il y a une autre petite faute dans la preuve : au moment de l'utilisation de la formule de Rolle (TAF égalité ?) pn/qn est équivalent à alpha , Rolle nous dit que l'écart des valeurs est du type P' ( zn) ( pn/qn - alpha ) cependant si on a bien zn équivalent à alpha ...on a pas P(zn) équivalent à P(alpha) on ne peut ajouter des équivalents (à mois que ça vienne d'ailleurs), pas gênant il suffit de majorer P'(alpha) par sup P'(t) pour t dans un intervalle non trivial autour de alpha. Merci pour la vidéo.

[@rubikcraft0932]

hey, tu pourrais faire une vidéo ou tu présentes l'ens ou tu montres à quoi ca ressemble a l'interieur et tout? ce serait en particulier cool de voir à quoi ressemble la bibli de maths, les ouvrages présents...

[@MathsEtoile]

Ouuuiii on va faire ça un jour avec louis (normalement avant la fin de l'année scolaire)

[@rubikcraft0932]

@@MathsEtoile Super!

[@zerglingsking]

Super vidéo, très intéressant cette idée que les nombres transcendants sont vite approchés par leur approximation rationnelle, j'aurai imaginé l'inverse ! Pour l'exercice de fin, c'est pas très rigoureux mais on peut décrire l'ensemble de polynômes de Q[X] comme une union dénombrable : union de Q * X ^ n pour tous les entiers naturels en définissant les polynômes par leurs coefficients. Ensuite chaque polynôme a seulement un nombre dénombrable de racine. L'ensemble des nombres algébrique est donc dénombrable. Pour la deuxième partie de la question, on a que R est l'union des nombres algébriques et transcendants. Comme les nombres algébriques sont dénombrables, les nombres transcendants sont nécessairement indénombrables. Pour parvenir à la conclusion je vois pas très bien comment faire, ça me semblait évident au début, mais finalement plus tant que ça après avoir cherché un peu...

[@Adam_le_Zigoto]

J'ai rarement vu un exercice aussi joli, même si le alpha est construit de sorte à bien marcher avec des sommes partielles qui vont vite converger; Je me demande si une telle preuve avec des majorations plus fines marcherait pour des termes généraux qui convergent moins vite...

[@MathsEtoile]

Oui carrément ! Par exemple tu peux tester le critère sur les 1/10^(2^n) je sais pas si ça converge assez vite mais ça pourrait marcher

[@Dantinou]

Bonjour, je ne comprends pas le résultat à 12:10. On a majorée 1/qn^d, alors pourquoi on peut dire qu'il est équivalent à l'équivalent de son majorant ? Merci de m'éclairer

[@samuelwaller7013]

Je partage ce questionnement

[@samuelwaller7013]

Bon ça ne répond pas vraiment mais on n'en a pas besoin pour montrer le résultat car 1/qn^d

[@archibaldsimon8864]

Très bonne initiative

[@quentincourqueux7510]

9:57 ça serait pas plus simple de dire que P est lipschitzienne sur un segment [alpha-r ; alpha+r] avec l'inégalité des accroissements finis pour donc majorer 1/q^d par M |alpha-p/q| où M>|P'| sur le segment en question ? On a dans ce cas même plus besoin de supposer que P est irréductible

[@lucasb9936]

Pourquoi dit-on qu'un nombre algébrique est racine d'un polynômes à coefficient rationnels alors que si on multiplie ce polynôme par chaque dénominateur de chaque coefficient du polynôme, ses coefficients sont entier et les racines sont les même ? Est ce que c'est vraiment équivalent ou j'ai raté quelque chose ? Merci !

[@unkown3305]

Oui on a bien equivalence (si ca t'intéresse tu peux checker le critere d'eisensten)

[@nathsnaths3953]

je n'ai pas bien compris la partie vers 11:00 :comment être sur que Q soit dans z[x], puisque la racine commune est alpha

[@paulbouye9836]

Si on multiplie Q par le produit de tous ses coefficients, on obtient un polynôme R de Z[X] ayant les mêmes racines que Q, donc on peut choisir R. En d’autres termes pour un nombre fini de nombres algébriques il y a toujours un polynôme de Z[X] qui annule ces nombres

[@paulbouye9836]

Le produit de tous ses dénominateurs* pardon

[@Adam_le_Zigoto]

@@paulbouye9836 le PPCM si tu veux vraiment être élégant 😂

[@paulbouye9836]

@@Adam_le_Zigoto Oui haha carrément, un réflexe de khôlle de toujours faire au plus simple

[@Adam_le_Zigoto]

@@paulbouye9836 réflexe de mec chelou : toujours faire le plus tordu possible pour embrouiller 😂

[@misspasteque2738]

Euh c'est pas Liouville ce critère ?

[@MathsEtoile]

Je crois bien si !