Почти олимпиадная задача от Катрионы Ширер

Рет қаралды 14,685

Этому не учат в школе

8 ай бұрын

Мой канал в VK - yellow.school
Найди площадь прямоугольного треугольника, если площадь квадрата равна 36.

Пікірлер: 33

@Ovchinnikov_Vladimir 8 ай бұрын

Верхний треугольник можно было найти через основание "6" и высоту "2х=4"

@AlexeyEvpalov 8 ай бұрын

Можно через координаты. Пусть верхний левый угол квадрата это O начало координат. Тогда через O проходит прямая y=-2x, а через правый верхний угол y=-1/2×(x-6). Точка пересечения принадлежит обоим прямым y=y, или -2x=-1/2×(x-6), откуда x=-2, а y=-2(-2)=4, это высота верхней части треугольника. Искомая площадь S=4×6/2+6×6/2=30.

@user-ig8de5jf6h 8 ай бұрын

Решил так же Только за начало удобнее взять правый нижний

@alexpiskal173 8 ай бұрын

Тоже так решил. Координатная плоскость, имхо, имба ))))

@miggi394 8 ай бұрын

1) находим 2 гипотенузы маленьких прямоугольных треугольников = √36+9 =√45 2) находим косинус равнобедренного треугольника между 2мя равными сторонами (которые равняются √45) = 3√5 3) в большом прямоугольном треугольнике косинус этого угла, это отношение катета(который равен √45) и гипотенузы, получаем гипотенузу = 5√5 4) по теореме Пифагора находим 2 катет, = 4√5 5) площадь прямоугольного треугольника через 2 катета = 4√5 * 3√5/2 = 30. Всё. У вас конечно очень замудрённое решение 😅

@artemartemov2664 8 ай бұрын

А почему косинус угла больше 1?

@pavelkolesnikov9650 8 ай бұрын

синус-косинус пользовать было нельзя? А то ведь достаточно заметить, что нижний угол искомого треугольника -- известен, и решение занимает 1 строчку

@maximbazhal863 8 ай бұрын

Автор принципиально не использует тригонометрию. Только элементарная геометрия, подобие, построения, логика.

@user-ev8gr4ep3q 8 ай бұрын

Тогда подобие и Пифагор. Будет две строчки, а не одна. Зачем так сложно-то?

@arbo1219 8 ай бұрын

Длина малого катета треугольника равна корню крадратному из 6^2 + 3^2 = 45 = 3 корня из 5. С помощью интуиции и глазомера, а этому учат в школе, делаем вывод: перед нами - египетский треугольник, соотношение сторон которого равно 3:4:5. В нашем случае стороны равны 3 корня из 5, 4 корня из 5 и 5 корней из 5. Площадь треугольника равна 3 корня из 5 × 4 корня из 5 ÷ 2 = 30. Задача решается устно

@AprioryRus 8 ай бұрын

По одному катету определить треугольник как египетский?! Это сильно...

@arbo1219 8 ай бұрын

Когда задача с виду примитивная, но олимпиадная - ищите подвох! Для окончательного вывода пришлось- таки вычислить большой катет

@AprioryRus 8 ай бұрын

Если в треугольнике провести высоту из левого верхнего угла квадрата, то решение более красивое. Сам треугольник разбивается на 4 треугольника. Для двух из них площадь вычисляется как 2/4 * 36 (как замечено два из них внутри квадрата - это половина его площади). А вот для оставшихся треугольников можно использовать тот факт, что для подобных треугольников площади соотносится как квадрат отношения их сторон. Т.е. треугольник над квадратом будет (через гиппотенузы) (6/sqrt(45))^2 * (1/4*36)=4/5*9=36/5. Основание оставшегося треугольника(проведённая высота) через сторону квадрата и синус угла 6* 3/sqrt(45) =18/sqrt(45). И уравнение для площади: (X+18+36/5)/X = (sqrt(45)/(18/sqrt(45)))^2 (X +126/5) =X*25/4. 126/5=X*21/4. X = 24/5. Осталось сложить площади: 24/5 + 18 + 36/5 = 30.

@genesis3662 5 ай бұрын

1) находим гипотенузы маленьких треугольников 2) находим по т. косинусов косинус между ними 3)находим гипотенузу большого треугольника 4)находим боковой катет большого треугольника 5) находим ответ, зная высоту и основание большого треугольника

@alexey_latyshev 8 ай бұрын

Пусть угол между нижним ребром квадрата и боковой стороной равнобедренного треугольника будет a. Внутри квадрата три треугольника, боковые из которых равны по гипотенузе и катету. Из этого следует что угол против основания равнобедренного треугольника будет 180-2а, а нижнее основание поделено пополам, из чего следует, что tg(a)=2, а отсюда tg(180-2a)=4/3. Гипотенуза будет 3sqrt5 по теореме пифагора. Всё - для искомой площади у нас есть катет и угол. Квадрат катета на тангенс прилежащего угла пополам - площадь. 3sqrt5*3sqrt5*4/3/2=2*3*5=30. Никаких дополнительных построений и расчётов не надо.

@user-uj1th3td2k 8 ай бұрын

конечно каждому свое решение кажется проще. С использованием Пифагора решил за 4 шага, из них 2 Пифагора, одно подобие треугольников и одна доп. высота искомого треугольника, проведенная из прямого угла. Предельно "в лоб".

@coda6702 8 ай бұрын

Обозначим центральный угол за x, cosx = (2(sqrt(45))^2-6^2)/(2*45) = 6/10, гипотенуза = 10/6*sqrt45 = 5sqrt5, sqrt45 = 3sqrt5, этот треугольник является египетским, катет b = 4sqrt5, S = 1/2*3sqrt5*4sqrt5 = 30

@Bezzarder 8 ай бұрын

Я тоже в тригонометрию полез... Тот угол что обозначен одной полосочкой обозвал A, вычислил что стороны равнобедренного треугольника в квадрате равны√45 и в результате получил формулу площади зелёного трецгольника: ((√45)×((√45)×tg(2×arctg0.5)))÷2 :D

@itsemick748 7 ай бұрын

Моё решение: √36=6. Треугольник внутри квадрата равнобедренный по условию задачи, поэтому одна из его вершин делит нижную сторону квадрата на 2 части по 3. Незакрашенная часть квадрата - два прямоугольных треугольника. Найдём гипотенузу одного из них: с=√(3²+6²)=√(9+36)=√45. Гипотенуза этого треугольника также является одним из катетов большого треугольника и половиной его гипотенузы Найдём гипотенузу большого треугольника: с=2√45=√180. По теореме пифагора найдём другой катет прямоугольника: (√45)²+b²=(√180)², 45+b²=180, b²=135, b=√135. А √135=√(45•3)=√3√45. Находим их произведение: √3√45•√45=√3√45√45=45√3. По формуле площади треугольника находим плошадь: (45√3):2 Ответ: S=(45√3):2 (На момент написания комментария на не смотрел решение)

@user-gl2tu2vj9b 8 ай бұрын

У меня вышло 37.5. Решал так, что равнобедренные стороны по 3 корня из 5, так как они гипотенузы в каювадрате катеты 6 и 3 по т.Пифагора. Далее т.к. угол внизу 60, а вверху справа 90, то гипотенуза искомого треугольника из угла в 30 в два раза больше, т.е. 6 корней из 5. По т. Пифагора высоту находим и по площади считаем. 37.5 у меня ответ короче

@ilyasakhundzada6604 8 ай бұрын

Мне легче было через тригонометрию решать. Обозначил угол между гтпотенузой и катетом малого прямоугольного треугольника за х, тогда в большом 180-2х, tg x=6:3=2, tg180-2x=- 2tgx(1-tg^2x)=4/3. Гипотенуза малого-катет большого треуг sqrt45, , противол катет большого треуг 4sqrt45/3, итого площадь 0.5sqrt45x4sqrt45/3 =30.

@Irynabor 8 ай бұрын

А зачем так сложно. Есть более простое решение если продлить левую сторону квадрата вверх. Получается треугольник равный четверти квадрата и подобный верхнему треугольнику. Решение в 3 строчки

@user-ns6ee9pc1m 8 ай бұрын

У меня получилось 18 * на корень из 3-х. Решение: получившийся прямоугольный треугольник имеет диагональ 12 и основание 6. Второй катет равен корень из 144-36 = 6 * на корень из 3.-х Площадь треугольника основание на высоту и поделить пополам: 6 * 6 * корень из 3-х / 2 = 18 * корень из 3-х Что примерно равно 31,4

@user-iw2zn2mj3c 8 ай бұрын

Продлить левую сторону квадрата,сверху образовались два подобных треугольника с коэффициентом подобия 2.дальше всё просто

@user-pd7js7cy9m 8 ай бұрын

Спасибо. Но , можно иначе.

@Basil-82 8 ай бұрын

Посмотрел, очень сложное решение, + дополнительные построения. Проще сказать что заштрихованный треугольник подобен треугольнику со сторонами 3 и 6, т.к. 2 угла равны.

@AprioryRus 8 ай бұрын

Они не подобные. У одного если угол обозначить за альфа, то у другого будет угол 2*альфа