¿Puedes RESOLVER esta ecuación FUNCIONAL: f(x+1) = f(x+2) - 1?

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• Ecuaciones FUNCIONALES...

[@gp9401]

Interesante ejercicio, gracias y saludos cordiales.

[@MathVitae]

Muchas gracias a usted. Abrazos!!!

[@edgardojaviercanu4740]

Muy lindo el problema! Muy elegante la resolución.

[@MathVitae]

Muchas gracias!!!

[@anamariagonzalezmolina5535]

Está bien. Yo lo hice derivando. Así vi que f es una función lineal. Después calculé la pendiente y me salió el mismo resultado. Un saludo

[@MathVitae]

Excelente procedimiento. Gracias por compartirlo. Saludos

[@lourdesvillamayor-nu5ld]

Super profe 🎉

[@MathVitae]

Muchas gracias por su apoyo. Abrazos!!!

[@pianisissimo4459]

Muy buen vídeo❤

[@MathVitae]

Gracias!!

[@fedoremelianenko6004]

No es totalmente correcto, has encontrado una solución particular y no una general, has asumido continuidad y no es explicito en el enunciado. Otra solución particular de f podría ser f(x) =-[x] donde [x] es la función piso entero. Además no hubiera estado mal que hubieras definido en condiciones la función, dominio, continuidad y demás.

[@AdriOshu98]

Interesante, si tienes tiempo me gustaria ver el desarrollo para llegar a f(x) = -[x]

[@fedoremelianenko6004]

@@AdriOshu98 No he seguido ningún procedimiento como tal, por simple inspección lo he sacado. Solo hay que ver que si para todo x se cumple la ecuación que propone el ejercicio, para todo x se cumple f(x) =f(x+1)+1. Y es obvio que para - [x] se cumple ya que si x esta en el intervalo [k, k+1) donde k es un entero arbitrario, entonces x+1 está en [k+1,k+2) por lo tanto -[x+1]=-(k+1)=-k-1=-[x] - 1 por lo que se cumple que - [x] =-[x+1]+1 y por tanto f(x)=-[x] satisface la ecuación. Recordando que la funcion piso entero de un numero real es el maximo numero entero que es cota inferior de dicho numero dicho de manera sencilla "quitar la parte decimal". Tambien es sencillo ver que para toda constante c, - [x] +c también lo satisface. Si quieres visualizarlo graficamente vete al graficador de desmos y escribe - ceil(x) con el signo negativo veras como lo cumple. Un saludo.

[@MathVitae]

Estupenda observación, es muy interesante su comentario. Muchas gracias por compartir sus conocimientos!!!

[@AdriOshu98]

​@@fedoremelianenko6004 genial, me abriste la mente, no habia inspeccionado de esa manera, yo pense que si f(x+1)+1 es un dezplazamiento continuo de f(x) entonces podría generalizar y extender f(x) en Z para desarrollarlo por transformada de Laplace aplicando los teoremas de traslación. (Quizas estoy equivocado, solo tengo la idea y no lo comprobé)

[@DanielPascuasTijero]

Únicamente has encontrado la solución que tiene por gráfica una recta. Pero la ecuación f(x+1)=f(x+2)+1 tiene infinitas soluciones. Concretamente, para cada función g:[0,1)--->R tienes la solución f_g:R-->R definida por f_g(x)=g(x-[x])-[x], como es fácil de comprobar. Y estas son todas las soluciones de la ecuación. En efecto, la ecuación f(x+1)=f(x+2)+1 es equivalente a la ecuación f(x+1)=f(x)-1. Por tanto, f(x+n)=f(x)-n, para cualquier entero positivo n. Por otro lado, la ecuación f(x+1)=f(x+2)+1 también es equivalente a la ecuación f(x-1)=f(x)+1. Por tanto, f(x-n)=f(x)+n, para cualquier entero positivo n. En consecuencia, si la función f:R-->R satisface la ecuación f(x+1)=f(x+2)+1, también satisface las ecuaciones f(x+m)=f(x)-m, para cualquier entero m. Y eso significa que la restricción de f al intervalo [0,1), que llamaremos g, determina la función f. Concretamente, si t es un número real, entonces m=[t] es un entero y x=t-[t] pertenece al intervalo [0,1), y tenemos que f(t)=f(x+m)=f(x)-m=g(t-[t])-[t]=f_g(t), como queríamos demostrar. Observar que la ecuación tiene soluciones que no son contínuas en ningún punto de R. Basta tomar como g una función en el intervalo [0,1) que no es contínua en ningún punto de este intervalo, por ejemplo, g(x)=0, si x es un número racional del intervalo [0,1), y g(x)=1, si x es un número irracional del intervalo [0,1). Tengo una solución aún más elemental de esta ecuación en mi respuesta al comentario de @juanstarna9353

[@MathVitae]

Hola, muchas gracias por compartir sus conocimientos, sin dudas ayudan mucho a esta comunidad. Un abrazo!!!

[@juanstarna9353]

F(x) = g(x) - x. Donde g(x) es cualquier funcion periodica de periodo 1. Demostracion: f(x + 1) = f(x +2) + 1. Derivando ambos lados: f'(x + 1) = f'(x +2). f'(x) es una funcion periodica con periodo 1 y por lo tanto se puede expresar como serie de fourrier. Al integrar la serie solo cambian las amplitudes de los senos y cosenos pero la constante a0 de la serie pasa a ser a0.x ademas debe sumarse la constante de integracion K. La serie de senos y cosenos mas la contante K forman una nueva serie de fourrier que lo llamo g(x). Con g(x) cualquier funcion periodica de periodo 1. Queda que f(x) = g(x) + a0.x g(x + 1) + a0.(x + 1) = g(x + 2) + a0.(x + 2) + 1 a0.(x + 1) = a0.(x + 2) + 1 a0.x + a0 = a0.x + 2. a0 +1 -1 = a0 reemplazando el valor de a0 f(x) = g(x) - x

[@DanielPascuasTijero]

Tu resultado (que es muy bonito) es correcto y es equivalente al que yo he demostrado previamente (mira mi comentario, por favor), ya que las funciones g:R-->R periódicas de periodo 1 son las de la forma g(x)=G(x-[x])+x-[x], donde G:[0,1)-->R es cualquier función. Lamentablemente la demostración que haces es incorrecta al menos por dos razones: 1) Tu utilizas que cualquier solución de la ecuación f(x+1)=f(x+2)+1 es derivable. Y eso es falso como he demostrado en mi comentario previo. 2) También utilizas que cualquier función periódica de periodo 1 puede desarrollarse en serie de Fourier. Y eso también es falso. De hecho, es bien conocido que hay funciones contínuas y periódicas de periodo 1 cuya serie de Fourier no es convergente en algún punto. Pero hay un argumento elemental que prueba tu resultado: La ecuación f(x+1)=f(x+2)+1 es equivalente a la ecuación f(x)=f(x+1)+1, que también la podemos escribir como f(x)+x=f(x+1)+(x+1), y esto es equivalente a que la función g(x)=f(x)+x es periódica de periodo 1. Así que las soluciones de la ecuación f(x+1)=f(x+2)+1 son las funciones f(x)=g(x)-x, donde g es una función periódica de periodo 1.

[@juanstarna9353]

@@DanielPascuasTijero sí, pero ahora que veo de nuevo solo basta con solo definir g(x) = f(x) + x, llegas a la conclusion que g(x) debe ser necesariamente periodica, ademas al verificar que si f(x) = g(x) - x la relacion se cumple para cualquier g(x) periodica, se demuestra que todas y solo las g(x) periodicas hacen a f(x) solucion.

[@JA-eg8vo]

@@DanielPascuasTijero Hola a todos, he estado leyendo sus comentarios muy interesantes sobre la solución mas general posible de esta ecuación funcional. Basándome en sus aportes, me di cuenta que una manera más general de defininar la función g(x) tal que f(x)=g(x)-x satisfaga la ecuación, es que g(x) no es solamente las funciones con periodo 1, sino todas las funciones que tenga periodo igual a un inverso de los naturales, por ejemplo, periodo 1/2 también cumple, igual que 1/3, 1/4, etc... Es un poco trivial, ya que si g(x) cumple que se repite cada 1 unidad, obvio que también se repetirá cada 2*1/2, y cada 3*1/3, 4*1/4... Pero bueno, era un pequeño aporte que quería hacer. Aparte de eso, ahora sí no creo que haya una respuesta más completa y general que esa. Saludos!

[@DanielPascuasTijero]

@@JA-eg8vo Me gustaría hacerte dos observaciones importantes: 1) Toda función periódica de periodo t también es una función periódica de periodo nt, para cualquier número natural n. En particular, toda función períodica de periodo 1/n, siendo n un número natural, también es una función periódica de periodo 1. 2) Si t es un número real positivo, hay funciones periódicas cuyo periodo mínimo es t, y por tanto que no son periodicas de periodo s, para ningun numero real 01.

[@JA-eg8vo]

@@DanielPascuasTijero Tengo entendido que el periodo y el ciclo son dos cosas distinatas. El perido es único, siendo la longitud de intervalo mínimo en el que la función se repite.

[@AdriOshu98]

Excelente video ❤

[@MathVitae]

Muchas gracias, agradezco mucho su apoyo. Sus comentarios y recomendaciones me han servido de mucha inspiración. Gracias nuevamente. Abrazos

[@AdriOshu98]

​@@MathVitae creo que con este video haz abierto una caja de pandora de cosas que desconocia, leyendo los comentarios me asombro de ver tanto rigor matemático

[@MathVitae]

@AdriOshu98 opino lo mismo, también desconocía muchas cosas. Disfruto de cada debate de este tipo pues así aprendemos todos. Cada día estoy más contento con la hermosa comunidad que estamos creando!!!

[@IIMIIIMII]

f(x)=-x+b