РЕШАТЬ МОЖНО ВЕСЕЛЕЕ! Даешь площадь квадрата!

M - середина BC, AK перп. DM, S(ABMK)=11. Найти S квадрата.

[@Alexander--]

Тут просто. Площадь розового треугольника - четверть квадрата (25%) Синий подобен розовому с коэффициентом 2/√5, т.е. его площадь 4/5 от площади розового и 4/5•25% = 20% от площади квадрата. Сумма площадей = 25% + 20% = 45% от площади квадрата. На остаток приходится 55%. Это 11. Значит 100% - это 20.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@ddamnkill_aka_vladimir]

тоже сразу это заметил

[@pojuellavid]

Мои любимые дольки-подобия. Не хочу красиво, хочу просто. Розовый =1/4. Квадрат линейного подобия голубого и розового 4/5. Площадь голубого =1/5. Площадь жёлтого 1-1/4-1/5=11/20 Ответ:20

[@user-wj5vx7og4h]

Продолжим АК до пересечения в точке Е.АЕD=МСD ,тогда CE=ED. Площади АКD+DKE=4x+x.т.к они подобны к=2.Тогда 4x+x+4x+11=4*5x x=1. S=4*5x=20

[@GeometriaValeriyKazakov]

Здорово!

[@AlexeyEvpalov]

Обозначим площадь S(DKF)=x, тогда коэффициент подобия треугольника AKD и DKF k=AD/AF=2, площадь S(AKD)=k^2×x=4x, а площадь четверти квадрата S(DCM)=S(ADF)=4x+x=5x. Тогда жёлтая площадь 11=Sкв.-S(DCM)-S(ADF)+S(DKF), так как S(DKF) вычли дважды, то есть 11=4×5x-5x-5x+x, x=1, Sкв.=4×5×1=20.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-rq4kr7pq1m]

Напрашивается сразу повернуть розовый треугольник относительно середины верхней стороны на 180 градусов против часовой стрелки. Квадрат трансформируется в треугольник. Получится много подобных треугольников с соотношением катетов 2:1. Отсюда площадь розового - 1/4 от общей, а площадь голубого - 1/5 (из пропорции) от общей.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, поворотики хорошо.

[@alexandermorozov2248]

Для ДЗ площадь жёлтого четырёхугольника выражается следующей формулой: szh=1-1/2*alf*(2+alf^2)/(1+alf^2) где alf - коэффициент (от 0 до 1). График szh легко строится онлайн, значения от 1 до 0.25. Чтобы площадь жёлтого была 0.5, должно выполняться равенство: alf*(2+alf^2)/(1+alf^2)=1 или: alf*(2+alf^2)=1+alf^2 получаем кубическое уравнение: alf^3 - alf^2 + 2*alf - 1 = 0 Решение (в области от 0 до 1): alf=0.56984, другие решения комплексные.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@alexnikola7520]

сторону кв возьмем за а... тогда площ треуг DMC=a^2/4...треуги AKD и DMC подобны... значит подобны и их гипотенузы MD/AD=√5a/2a=√5/2 коэфф подобия... значит их площади 5 к 4... тогда а^2=11+a^2/4+a^2/5...а^2=20

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@user-hr5vv3nm3x]

Весёлая и креативная задача! Пусть АВ=ВС=...=х. Отсюда: Smcd=x^2/4, AK:KD=2:1(подобие тр-ков). Сл-но, Sakd=x^2/5. Отсюда: x^2--(x^2/4+x^2/5)=11. x^2=20

[@luffy__3919]

А если розовый повернуть вокруг М так, чтобы В и С совпали. Тогда АК -высота прямоугольного треугольника с катетами а и 2а

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@user-yf1zt2dg8m]

Розовый - четверть. отрезаем, ставим сверху. Катеты 1:2. Синий - пятая часть. Все кроме 11 1/4+1/5=9/20 Ответ 20. Странно, жёлтый - не Египет Хотя ... Правая часть таки да а слева... Остановите опустынивание Африки!

[@alexnikola7520]

второй способ фееричный... песочная геометрия рулит!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, мы такие!

[@zawatsky]

Быстренько докажем подобие белого и голубого треугольников, сложим вместе гипотенуза к гипотенузе и получим ровно половинку квадрата, повдоль вертикально если делить. Площадь фигуры "перетечёт" во вторую половинку, значит, общая 11*2=22 см².

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. Только у нас 20!

[@zawatsky]

@@GeometriaValeriyKazakov как так-то?🤔

[@zawatsky]

@@GeometriaValeriyKazakov а, всё, увидел. Подобны, но не равны - гипотенузы же разные.

[@user-sc1zy5yl6o]

Квадрат сначала заменила равновеликим крестом, Вы сами научили

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ахах!

[@constantinfedorov2307]

Ну, фиолетовый треугольник S/4, а голубой S/5. Площадь оставшейся желтой части S - (S/4 + S/5) = (11/20)S; S = 20; Теперь - откуда я взял S/5; Фиолетовый треугольник очевидно можно пристроить сверху и получить прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1:2. Все, что я говорю дальше, относится к этому треугольнику, а не к квадрату. Высота к гипотенузе делит его на два, ему же (и между собой, разумеется) подобных. Отсюда легко получить, что отрезки гипотенузы относятся как 1:4, (меньший отрезок в два раза меньше высоты, которая в два раза меньше большего отрезка), откуда и следует S/5;

[@adept7474]

Всё проще: фиолетовый подобен жёлтому с коэф. √5/2, его S = (1/4)/К² = 1/5.

[@GeometriaValeriyKazakov]

тличное рассуждение.

[@valeraag5634]

ДЗ. Я решил попробовать линейное мышление. Прямые ДМ и АF, пересекая стороны квадрата посредине, отсекают 9/20 его площади. Какую часть должны составлять СМ и ДF от стороны квадрата, чтобы эти прямые отсекали 10/20 площади квадрата, или половину. Прямая пропорция (1/2 - 9/20, х - 10/20) показала 5/9, т.е. m : n = 4 : 5. Сторона квадрата - 9, площадь = 81. Розовая и синяя площади составили 39.7 , нам надо половину 81/2 = 40.5. Моя погрешность составила менее 2%. Можно последовательными уточнениями приблизиться к 0%. Но вспомнился математик прошлого века, кажется Коол. Он, в поиске очередного совершенного числа, три года потратил, чтобы доказать, что число 2⁶⁷-1 составное (сотни млрд умножить на сотни млн.). Сейчас компьютер тратит на это меньше секунды.

[@user-hn1eu7gh1j]

Решал алгеброй. Но геометрический способ красивее!!!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@Alexander--]

ДЗ. Пусть сторона квадрата делится в отношении m:n. Обозначив отношение m:(m + n) (т.е. отношение BM к стороне квадрата) через x, я получил такое выражение для отношения T площади жёлтого четырёхугольника к площади квадрата: T = (x³ - x² + x + 1)/(2x² - 4x + 4) Выкладки ради сокращения объёма текста опустил. Проверим наш случай: при x = 1/2 получим T = (11/8)/(5/2) = 11/20 - верно! Проверим ещё два крайних случая. Если x = 0, то жёлтый четырёхугольник превращается в треугольник, который является четвертью квадрата, а если x = 1, то в целый квадрат. Формула даёт для первого случая T = 1/4, а для второго T = 1, всё работает. Чтобы жёлтая площадь была равна половине площади квадрата, нужно, как и в общем случае, решить кубическое уравнение. В упрощённом виде оно таково: x³ - 2x² + 3x - 1 = 0 и имеет один иррациональный корень, равный ³√4•(³√(3√69 - 11) - ³√(3√69 + 11) + 2³√2)/6 ≈ 0,430159709. Т.е. при соотношении примерно 43:57, получаем требуемую половину квадрата.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Сила!

[@ketibarkava8424]

Здравствуйте.ДЗ 1:2

[@GeometriaValeriyKazakov]

О-о!

[@adept7474]

А вот ещё одно решение влёт моим любимым способом. ▲MCD ~ ▲АКD (по углу). К = √5/2. S(MCD) = 1/4, S(AKD) = (1/4)/К² = 1/5. S(жёлт.) = 3/4 - 1/5 = 11/20, S(кв.) = 20.

[@GeometriaValeriyKazakov]

супер!