Studio di funzione con radice quadrata- Compito d'esame Analisi matematica 1

Studio di funzione con una radice quadrata , tratto da un compito d'esame assegnato in una prova scritta di analisi matematica 1 .
Nel presente video viene affrontato passo passo lo studio di una funzione irrazionale contenente anche un valore assoluto .
La funzione pari semplificherà in modo non indifferente lo svolgimento
facendo risparmiare una mole non indifferente di calcoli .
I passaggi fondamentali per uno studio di funzione sono :
-La determinazione del dominio o insieme di definizione .
-La ricerca di eventuali asintoti facendo uso del calcolo dei limiti
-La monotonia e la ricerca di eventuali punti di massimi e/o minimi relativi o assoluti grazie alla derivata prima , nonchè lo studio della derivabilità per identificare eventuali punti angolosi , punti di cuspide o flessi a tangente verticale .
Noteremo che la funzione pur essendo continua in tutto l'insieme dei numeri reali , presenterà un punto di non derivabilità di tipo cuspide .
Lo studio della derivata seconda è stato intenzionalmente omesso (chiaramente specificato nelle richieste del compito) poichè avrebbe comportato parecchi passaggi algebrici non indifferenti (vista la struttura della derivata prima) e non avrebbe dato informazioni di vitale importanza per tracciare il grafico .
Alla fine è stato disegnato un grafico qualitativo nel diagramma cartesiano .
Ulteriori studi di funzioni interessanti (sia per studenti universitari che per studenti di scuola superiore ) li trovate ai seguenti link :
• Studio di funzione con... (studio di funzione con un logaritmo e valore assoluto )
• Studio di funzione .Es... (semplice studio di funzione per principianti )
#salvoromeo #analisimatematica1 #studiodifunzione

[@scrignochiuso]

devo dire che queste scorciatoie sono ammirevoli, ridurre da un'ora a 20 minuti lo studio di funzione, in sede d'esame, vuol dire avere più tempo per l'integrale e le matrici...infinitamente grazie

[@salvoromeo]

Esatto , 60 minuti per uno studio di funzione non è normale.Analisi matematica non si basa sui calcoli , ma su ragionamenti che spesso ci sentono di evitare i calcoli .

[@eusebio12chil93]

lei spiega in un modo bellissimo e chiarissimo

[@salvoromeo]

Grazie :-)

[@nilofertile]

Grazie mille. Ti seguo sempre, sei bravissimo e chiarissimo

[@salvoromeo]

Grazie per la'apprezzamento .Tutto ciò contribuisce a realizzare altri contenuti di qualità dove cerco di dare il meglio . Grazie .

[@albertobarbieri9994]

Sei veramente bravo. Ho imparato tanto da te . Grazie ciao

[@simonapennisi2864]

Chiarissimo... grazie per questo ripasso

[@salvoromeo]

Grazie :-)

[@mustapharafikouchaou5317]

un excellent professeur.

[@lucabocchetti2456]

Grande salvo , hai un canale fantastico e questo studio di funzione e' utile anche gli studenti di 5 scientifico

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio Luca .Grazie mille .Si in effetti sono studi di funzione la cui difficoltà è compatibili con il programma di scuola superiore . Solitamente (a meno di casi selezionati ) le stesse funzioni che si trovano nei compiti di analisi matematica 1 sono le stesse che si studiano al quinto liceo .Al liceo ovviamente (e mi sembra giusto ) si insiste meno sulla teoria al contrario dell'università .

[@dinochiari3647]

1 il punto di massimo. Molto interessante. Se lo 0 fosse il nostro suolo o il livello del mare 1km potrebbe essere la massima quota da non superare al decollo. Dico così tanto per portare un paragone al grafico.

[@salvoromeo]

Vedila come una catena montuosa dove nel punto x=1 la quota (permettimi il termine ) risulta uguale a 1 che risulta essere il più alto in tutto l'insieme di definizione .Basterebbe un solo limite divergente a + infinito che il massimo non sarebbe più assoluto , ma solo relativo .

[@zakarialatif1621]

una domanda, se tu avessi dovuto fare il limite per x che tende a meno infinito al numeratore della funzione avresti sempre 2x o bisogna mettere -2x?

[@salvoromeo]

Buongiorno devo inserire -2x .Ovviamente non si deve fare poiché la funzione è pari e sarebbe una grave imprecisione .

[@po0276]

Potrebbe fare qualche video sui numeri complessi e sulle sommatorie? Lei è troppo bravo a spiegare

[@salvoromeo]

Grazie per il gradimento . Per quanto riguarda i numeri complessi ho realizzato una playlist con una lezione teorica (pur non mancando gli esempi ) e altri video con esercizi . Per quanto riguarda le sommatorie intende dire le serie numeriche ?

[@po0276]

@@salvoromeo si, intendo le serie numeriche

[@salvoromeo]

@@po0276 perfetto , allora c'è una mia playlist completa .Le serie numeriche si affrontano solitamente nei corsi di analisi matematica 1 all'università

[@po0276]

@@salvoromeo grazie 🙏🏻

[@samuelegiangreco1210]

Salve professore, il valore assoluto vale -x se la x è negativa. In questo caso nello studio del dominio, ponendo la radice maggiore o uguale a zero. Avendo un denominatore sempre positivo, il numeratore dovrà essere positivo, questo composta che il valore assoluto di X, sarà sempre pari ad x (positivo). Il Dominio non deve essere [0; + infinito[ ?

[@salvoromeo]

Buonasera Samuele se divide la funzioni nelle relative restrizioni (opzione che sconsiglio,) in questo caso quando considera |x|=+x la devi fare nella restrizione [ 0, + infinito[ .Se poni tutto il radicando maggiore o uguale a zero , la disequazione fratta è soddisfatta proprio in [0,+infinito [ . Dualmente se consideri |x|=-x , questa condizione vale da ]-infinito ,0[ , e quindi ponendo il radicando maggiore o uguale a zero , risolvendo la disequazione ottieni sempre la restrizione ]-infinito ,0[ . Unendo i due casi si ottiene che l'insieme di definizione è tutto R . In ogni caso sconsiglio sempre di fare la suddivisione del valore assoluto (a meno di casi particolari ) studiando i due casi . Ponendo il radicando maggiore o uguale a zero si ottiene immediatamente la soluzione . Ricordiamoci sempre che in analisi matematica è sempre bene evitare i calcoli .Meno calcoli si fanno (ove possibile ) , meno problemi si hanno .

[@enricocecco390]

Prof una sola domanda, perché non ha calcolato la derivata seconda? O meglio quando è che si può evitare di farla?

[@salvoromeo]

Buonasera , l'esercizio è stato tratto da un tema d'esame e tra i vari quesiti non era previsto lo studio della derivata seconda . Consideri che la derivata prima per via della radice quadrata è abbastanza laboriosa e il calcolo delle derivata seconda non promette nulla di buono . Qualora l'espressione della derivata prima sia semplice allora vale la pena determinare la derivata seconda.

[@bruno68berretta53]

Per x = 0 può essere una buona idea applicare la definizione di derivata al posto di fare il limite per x --->0 della derivata? Grazie

[@salvoromeo]

Buonasera , viene più complicato ,ma in effetti sarebbe il metodo più originale , ma spesso utilizzare la definizione di derivata (usando quindi il rapporto incrementale ) potrebbe essere più laborioso .

[@tondar_5416]

prof ma la derivata della radice quadrata non è una funzione composta ? perche non si deve moltiplicare per la derivata dell argomento della radice come dice la chain rule?

[@salvoromeo]

Buonasera .Esattamente .È la derivata della funzione composta come fatto nel video a partire dal minuto 12:00

[@zakaria9554]

mi scusi ma comè che nel ponto di origine la funzione passa quando avevamo trovato un asintoto orizzontale per y=o ? ho controllato anche su geogebra ed è giusto cosi come lo ha disegnato lei pero non capisco perche passi nell origine se abbiamo un asintoto a y = 0?

[@salvoromeo]

Buonasera Zakaria ottima domanda . La funzione di c'ero in x=0 assume il valore zero e quindi passa per l'origine .Il fatto che per tendente all'infinito (ad esempio +infinito ) implica che per valori "molto grandi di x " la funzione si avvicina a y=0 .Questo vuol dire che la funzione potrebbe benissimo attraversare l'asse delle x (ovvero la retta di equazione y=0 ) tantissime volte per valori finiti , ma la cosa importante è che per valori molto ma molto grandi (a +infinito ad esempio ) la funzione si avvierà a zero senza mai assumerlo . L'asintoto orizzontale in ogni caso deve essere considerato o all'estrema destra o all'estrema sinistra dell'asse x e faccia finta che per valori "centrali " non ci sia nulla . Spero di essere stato chiaro anche se per messaggio è spesso difficile fare capire i concetti .

[@zakaria9554]

@@salvoromeo Per messaggi come ha detto spesso è difficile spiegare concetti , nonostante ciò lei è stato chiaro e conciso e sono riuscito a capirlo, grazie mille. In pratica quindi l asintoto y=0 c'è , esiste , ma per valori molto grandi di x quindi per +inf e -inf , la funzione si avvicinerà sempre di più a 0 senza poterlo mai toccare. Grazie ancora.

[@estivate2031]

grazie prof

[@riccardogallozzi1020]

Mi scusi prof ma non capisco perché il Dominio é cosej non dovrebbe essere scomponibile la frazione e avendo due risultato al denominatore cid +- 1

[@salvoromeo]

Buonasera Riccardo il radicando si pone maggiore o uguale a zero e al denominatore non figurano affatto +-1 . La disequazione è sempre verificata per ogni valore reale .

[@matteobanga939]

mi scusi del commento ma al minuto 15:36 la derivata prima che ha scritto in rosso non fa (1-3x^2). perche' ho fatto da derivata del numeratore per il denominatore e poi viceversa e mi da 2(x^2+1)-2x(2x)

[@salvoromeo]

Buonasera ,, intanto non si deve scusare di fare un commento che è sempre il benvenuto e nel caso in cui un mio contenuto dovesse presentare qualche errore , non posso che ringraziare chi ha segnalato l'imprecisione 😊 Detto questo se ci fa caso nell'ultimo rigo del Suo commento ha fatto tutto correttamente, e se rifà i calcoli spunta 2X²+2-4x², ovvero 2-2x² e messo a fattori comune il coefficiente 2 si ha 2(1-x²) .

[@matteobanga939]

@@salvoromeo la ringrazio professore era per levarmi un dubbio

[@aerialskyfury]

ma nelle CE non bisognerebbe considerare anche il denominatore come x diverso da 1?

[@salvoromeo]

In questo caso è inutile poiché risolvendo la disequazione fratta , il denominatore viene sempre posto strettamente maggiore di zero e automaticamente si sta escludendo di non annullate il denominatore .

[@aerialskyfury]

@@salvoromeo se ho capito bene questo in virtu del fatto che la funzione è sotto radice giusto?

[@guidobrogi7214]

Se interpreto bene, sarebbe il caso se fosse -1, invece essendo +1 qualunque valore assuma la x, abbiamo sempre un valore positivo

[@roccoantoniosanza6376]

il punto delicato di questo studio di funzione e' l'artifizio per calcolare il limite per calcolare la q dell'asintoto obliquo....io non l'avrei mai intuito

[@giovixgiovix223]

Perché non ha fatto l’ intersezione per Y?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio .Al tempo 04:35 è stata fatta l'intersezione con l'asse delle Y (ordinate )

[@simonedipalma7519]

Complimenti

[@andreacamardo5722]

14:58 il 2 non era al numeratore?

[@salvoromeo]

È sia al numeratore che al denominatore .Infatti dopo si semplificano .

[@benedettotroisi6525]

Ottima esposizione ...... non so so se volutamente, ma manca lo studio del flesso.

[@salvoromeo]

Buongiorno Benedetto .Grazie Si ha intuito perfettamente 🙂 Volutamente non ho voluto fare lo studio della derivata seconda per via dell'espressione leggermente complessa della derivata prima . L'esercizio era volto sui punti principali quali :Insieme di definizione , segno , limiti significativi , derivabilità , massimi minimi relativi .

[@claudpiro6469]

Peccato che un paio di volte lei abbandoni la ipotesi di simmetria facendo più considerazioni del dovuto. Ma nessuno è perfetto. Ok lo fa per metter in evidenza certe cose, ma può creare dubbi. Grazie tante per i suoi video

[@salvoromeo]

Buongiorno grazie per il gradimento dei miei contenuti . Ho controllato velocemente il video e confermo che ho sfruttato sempre la simmetria evitando di svolgere il doppio dei calcoli . Ho anche evitato (l'inutile ) sistema che molti studenti scrivono nei compiti di analisi per determinare l'intersezione con l'asse y . La simmetria è stata utilizzata sin dall'inizio ...sia per determinare gli asintoti sia per la monotonia , sia per la ricerca di eventuali estremi relativi assoluti . Ho una leggera dislessia e magari può capitare che in qualche video dico qualcosa di incongruente e ringrazio sempre gli utenti che segnalano eventuali imprecisioni (è capitato diverse volte ) Qui non ho notato nulla di particolare .Se magari vuole discutere la parte di video incriminata (mi permetta il termine) resto a disposizione .Le critiche e i suggerimenti costruttivi sono sempre i benvenuti . Ovviamente solo se ha tempo...non c'è nessuna fretta . Le auguro una buona giornata 😊

[@claudpiro6469]

@@salvoromeo non si preoccupi.lei è prezioso