Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной

[@dasdafocecian4073]

Очень мало преподавателей, которые умеют так хорошо объяснять. Причем контент очень полезный для школьников. Жалко, что количество зрителей относительно мало, но это зависит уже от них самих. Борис, спасибо огромное за вашу работу!

[@trushinbv]

На самом деле их довольно много. Но не у всех хватает наглости лезть в youtube ))

[@Nikita-do1le]

Самое крутое объяснение комплексных чисел!

[@inzhener2007]

"Причем контент очень полезный для школьников. " - а это разве это школьный уровень?

[@aakh3500]

@@inzhener2007 материал 1 курса вуза, теоретически может быть освоен в 11 классе, проблема не в сложности, а в количестве часов математики в старших классах и количестве тем которые в них можно впихнуть.

[@artemkarpov1078]

@@inzhener2007 изучал комплексные ещё в 9 классе, так что да

[@ОбычныйЛангуст]

Спасибо большое! Я на 1 курсе и по векторному анализу у меня дед, которого невозможно ни то что понять, а даже просто услышать... Поэтому приходится открывать ютуб и смотреть вас) Всё чётко, по полочкам и без лишней шелухи! Однозначно лайк)

[@НиколайЦыганов-ш1ъ]

А ведь на лекциях с точно таким же содержанием я просто спал. А сейчас всё это смотрю с удовольствием.

[@painkiller6859]

ЖизА

[@mOarDoor]

ахаха))) Мы были молоды и нам не хватало общения и секса. Мы постарели, и нам не хватает знаний. Тогда они давались бесплатно, сейчас за знания приходится платить. Такой вот перекос

[@Evelixe]

@@mOarDoor ок

[@nurlykhan_agai]

Очень жаль

[@ГеоргийБазаров-й5ш]

Господи спасибо большое. Вероятно я не вылечу благодаря тебе. Назову своего сына Борис

[@appe121]

Хах, ну что, всё ок? не вылетел?

[@ИванЖарский-к9э]

А можно дальше расширять контингент, чтобы не только школьникам было интересно, но и студентам?)) Хотелось бы разбирать темы из дискретной математики, линала, матана и тому подобное) Например, какие-нибудь хардовые задачи из комбинаторики (что-нибудь с леммой Бёрнсайда, на ожерелье, графы раскраски...) или про матрицы потолковать, ну много всего) Они и для студентов годны и школьникам полезно

[@diplomat8129]

Борис Трушин, вы снова как всегда, вовремя! Огромное спасибо за объяснения!

[@-channel713-2]

Борис, коль уж речь зашла про комплексные числа, я бы очень хотел вас попросить разобрать идею гиперболических функций, их связь с тригонометрическими аналогами и их интерпретацию. Зачем они нужны? С какой целью их ввели? В рунете совсем плохо объясняется суть... Заранее бесконечно признателен.

[@azzzachemvammoinicknaim3627]

@@hiler844 обещанного три года ждут. А это нам ещё никто и не обещал)))

[@LukasKamin]

Все проще простого, при интегрировании и дифференцировании эти функции функции ведут себя очень похоже на соответствующие тригонометрические, местами с точностью до знака, также есть ряд свойств практически идентичных свойствам триг. ф-ций, более того при комплексном аргументе они взаимно переходят друг в друга. Вообще, в Википедии в статье Гиперболические функции все подробнейшим образом перечислено, посмотрите и будет Вам счастье.

[@olegl.56]

Борис, огромное спасибо! 15 лет не занимался математикой, а тут все просто, доступно и интересно! И да, на формуле cos3x испытал натуральный катарсис)

[@EvgeshkaGame]

хорошие ролики, я под них даже не засыпаю. ХОТЯ ЭТО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

[@LinusTorvalds111]

Борис, спасибо большое за видео Я вам очень благодарен Ваши видео помогают мне лучше разобраться в математике и получать счастье от учёбы. Спасибо большое

[@val4453]

Учусь на иностранном языке, ваши занятия спасают! после лекций прихожу и смотрю объяснения по русски

[@МихаилБасов-с7ъ]

Пожалуй, лучшая подача материала в сети. Спасибо большое!

[@ВячеславБеляев-к9п]

"тригонометрия нужна не только для решения простых задач из ЕГЭ" (с) Борис Трушин

[@Sapient-r6x]

Я когда узнал о комплексной плоскости и о умножении комплексных числах, я долго думал о том как находить все возможные комплексные корни уравнений и тогда я решил разбить окружность на равные части, сейчас я узнаю о том, что я был прав🎉

[@ize4wer]

Посмотрел как введение, так и этот урок. Давно уже закончил ММФ. От вашего повествования и последовательности так и навеяли воспоминания о чтении справочника Сканави при подготовке к поступлению.

[@NoimannAlive]

Спасибо огромное! Учусь ещё в школе, но очень интересуюсь темой комплексных чисел и их применения. Ваша серия роликов очень помогла (на базовом уровне) разобраться в теме.

[@hensintherainkorotkikh9666]

Спасибо за Ваш труд! Преподаватель с большой буквы.

[@MrWeter22]

Спасибо, вспомнил и лекции и школу.

[@ВладиславСухарев-щ2г]

Борис, отличное изложение! Сердечно благодарю!

[@Кирилл-в3ъ7ч]

Большое спасибо за Ваш труд! Когда я был школьником, моя мать отказалась оплатить мне репетиторов. Хотя бюджет был в пределах нормы. И я пытался смотреть Ваши видео, чтобы узнать больше, чем проходят в школе. Но мать отбирала у меня ноутбук (подаренный отцом на день рождения) и использовала его в развлекательных целях (слушала музыку ВКонтакте). Ваши видео особенно полезны для сильных и любознательных школьников, которые хотят НЕ тупо "натаскаться" на ЕГЭ, а глубже понять математику. И у которых нет денег на репетиторов. *Было бы интересно, если бы Вы записали побольше видео по МАТАНАЛИЗУ и другим разделам ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ, которые Вы преподавали в МФТИ.*

[@ЮрийСлавов-к7ы]

Супер!!! Молодец!!! Очень глубокое понимание математики!!!

[@Куепро-ч7э]

Кто тут с первого курса)?

[@marinachernavina8671]

Спасибо, Борис. Очень хорошо объясняете )))))

[@УтабековЭльдор]

Про использование комплексных числе в физике очень хочется послушать от вас. Много путанницы, так как все это еще и в физике... ждем-с)

[@Philip-yu6wq]

Хочется и про формулу Эйлера послушать и возведение в комплексную степень. Видео понравилось.

[@melissamay6098]

Огромное спасибо!!!

[@ІП-14КоваликНазар]

Сразу лайк!

[@СергоМиротворец]

Молодец, всё очень убедительно и без натуги. Заслуженный лайк!

[@nickyurov6558]

Наш учитель математики в школе, чтоб дать нам более общий взгляд на понимание системы координат, начинал изложение не с Декартовой системы, а с более экзотических (косоугольной, полярной, биполярной). Таким образом он хотел чтоб мы не натаскивались на заучивание фактов исключительно из Декартовых координат.

[@DoKep]

Решение Диофантовых в комплексных.

[@anatolkardash1695]

Великолепно просто нет слов

[@nikitabro72]

Даю уроки по математике - 9класснику попалось уравнение четвёртой степени непонятно, как его решать. Вспомнил, что Вы поминали формулу Кардано да Феррари, - вот углубляюсь в Ваши витийства. Вы потрясающий преподаватель🤗👍

[@ArtRaldo]

Просто найкращий!

[@АлексейРезцов-п5г]

Борис, спасибо, отличное видео!

[@brain_lord]

Отличный канал! Радуют ролики про математику, а не скучное егэ! А будут ли ролики про интегрирование и дифференциальные уравнения?

[@trushinbv]

Когда-нибудь все будет ) Оставляйте свои "заявки" здесь: youtubetrushin.reformal.ru/

[@АнатолийБалыка-ю6ъ]

Ты начал с решения кубич уравн и закончил с извлечения корня с мнимого числа, потом перешёл в этом видео к понятию комплексн числа. Но где конец предыд видео нахожд корней с мнимых чисел, при котрых мы должны получить корни действ из твоего примера--х1=-1,х2=2, х3=3, где это видео, за ранее благодарю тебя за хорошее изложение материалов. Спасиба жду видео или укажи где его искать.

[@leonidsamoylov2485]

Спасибо!

[@polershishkin4213]

Спасибо большое за объяснения, очень помогло понять

[@ИльяКубашин-й6с]

Очень ждем про физику))

[@wry-eyeglasses]

вот про физику очень интересно

[@pegamer3051]

Физики очень любят описывать колебания через "e" в комплексной степени. Поэтому i очень часто встречается там, где есть колебания.

[@martakor]

Красота!

[@armyant6187]

это супер!

[@timurialvarez3736]

Очень интересно практическое применение комплексных чисел.

[@alexandrpetrov1110]

Отлично! Спасибо.

[@LukasKamin]

А всё таки было бы интересно посмотреть решение кубического уравнения с освоенными умениями. Потому как непонятно, как из мнимых результатов выходит действительные числа, а тем более в количестве 3 штуки

[@ДаниилТолбухин]

Благодарю.

[@alexivch54]

Можно поговорить о показательной форме комплексного числа, вообще о степени с комплексным показателем.

[@raznocty]

7:40 формула 15:40 извлечение корня ⁿ√

[@Maximilian_Von_Vinogradoff]

Осталось только решить то уравнение из видео про формулу Кардано

[@ivan_577]

Очень хотелось бы услышать про формулу Эйлера.

[@andrewthebladethrower8371]

прекрасно разжёвано, спасибо!

[@olegshyshkov4740]

Борису Трушину Нобелевскую премию по педагогике!!!

[@ЗафарАлимов-л9б]

Спасибо вы тоже на высоте. Но вас так мало

[@gemeni0]

6:24 Мне трудно избавиться от желания построить прямоугольник при графическом умножении модулей мнимых числ. Хотя бы потому, что сантиметры не умножают вдоль, сантиметры умножают поперёк. 😅

[@funnymomentsbase]

Здравствуйте! Очень хочется увидеть решения уравнения из видео про формулу Кардано до конца ( я пытался его дорешать, но с х= 1;2;-3 ничего так и не сошлось((), подскажите, пожалуйста, есть или будет в каком либо видео полное решение этого или подобного уравнения?

[@Сергосерго-н1р]

меня все эти формулы успокаивают и усыпляют! просто бомба! А для младшего школьного возраста есть такие каналы? Девчонка или заснет или научится!

[@romankhmil583]

Слава Трушину)

[@denis-suleimanov]

Так а кубическое уравнение-то изначальное мы решим когда-нить?) Чтобы уж пример закрыть.

[@ВикторКонтуров]

А можете на конкретном примере показать, как извлекать корни из комплексных чисел с действительной и мнимой частью?

[@gemeni0]

Спасибо

[@ko-prometheus]

Привет. Что вы знаете о "тайных" комплексных числах?? Другими словами тайные, т.е. МетаФизичиские понятия. Можно через мнимую часть комплексных чисел, проводить вычисления. Вычисление функций, так как мир и процессы происходящие в нем, хорошо описывать функциями. Возможно вы знаете и владеете, что есть математический аппарат, который позволяет проводить различные расчеты с большей степенью точности и подробности, с "тайными" числами, чем мнимая часть комплексного числа

[@secretphantom3122]

Здравствуйте, я хотел спросить, как решать задания по типу: найти сумму S = sin x + sin2x + ...+ sin(nx) с помощью комплексных чисел или без них. Такие же задания есть для косинусов, и для косинусов и синусов в квадрате. Но разбора таких заданий в интернете почти нет. Если уже есть такой ролик или есть ссылка на разбор подобного, то буду благодарен, если поделитесь. Но я почти ничего не нашёл.....

[@CdschW2]

Расскажите про теорию графов и алгебраическую геометрию

[@vlassafronov9241]

Отличное видео, спасибо вам большое, правда есть просьба, сделайте что то со звуком( еще раз спасибо!

[@vadimmelikmarutov]

Я правильно понял, чтобы найти чему равны корни уравнения z^n, нужно все фи(фи0, фи1... фиn) подставить в косинус и синус, сложить и полученное умножить на модуль?

[@Ученик-м2ю]

А где рассмотрение частного случая из видео про решение кубических уравнений??? Как там извлечь кубический корень из комплексного числа, не прибегая к ряду Тейлора?

[@pobat]

Продолжай Мужчина разбирите вот какой факт, в тоэ или физике часто от sin или (cos) переходят к комплесным числам так, что бы коэффициент при мнимой части без i (или перед действительной) повторял формулу sin (или cos). Ещё говорят, что при таком вот сопоставлении одной синусоиде можно поставить в соответствие одно комплексное число и наоборот. Доказательства внятного в книгах по тоэ нет. Прошу привидете строгое доказательство об однозначности этого перехода.

[@ДанилаДемидовЕвгеньевич]

формула Эйлера и Пика

[@trushinbv]

Эйлера -- это которая из? )

[@araikrasoyan702]

@@trushinbv связанная с гиперболическими функциями

[@Раиль-г2р]

Ну почему это так!? Как так? ... Нам Муавр это сказал ... 10:52

[@SuperDingus]

Any other English speakers randomly recommended this?

[@egordanilov3295]

Маленькое замечание Борис. Почему "i" пишите за синусом? Такое впечатление может сложится, что умножается на аргумент "фи". Мне кажется нужно "i" писать перед синусом. А в остальном, все довольно доходчиво даже для школьников. Спасибо!

[@linaslapenas5888]

*спасибо*

[@АлексейРезцов-п5г]

Расскажите,пожалуйста, про бином Ньютона)

[@NoimannAlive]

Что насчёт ролика по Гауссовым целым числам и решениям диафантовых уравнений с ними?

[@kemsekov6331]

Всё шикарно, но я глуп. Буду пересматривать.

[@kemsekov6331]

Я пересмотрел. Когда я стал всё своими ручками пытаться выводить вперёд автора, примерно помня что нужно делать, всё стало получаться и пониматься. Чёткий урок, ничего не скажешь(без капли сарказма).

[@Astromega_]

Я не понимаю как вывести формулу косинуса n-ного аргумента

[@Di_Vinty]

Очень тихий звук... Но содержание хорошее)

[@alexandrkolodin7969]

Как Вам формула : Cos a + i × Sin a = i ^ (2 × a / п )?

[@sivirus]

Показательная форма записи комплексного числа когда будет?

[@vic88tor]

зачем? рано еще

[@trushinbv]

Для того, чтобы это сделать честно нужно про ряд Тейлора рассказать. Когда-нибудь и до этого дойдем )

[@ЗаурбекТебиев-п5ь]

Решение уравнений в степени n при помощи комплексных чисел .?

[@ahady6327]

Можно звук сделать громче?

[@Vlad-rf3xt]

Бином Ньютона можно заменить, для простоты, треугольником Паскаля, т.к. он элементарен, но показывает коэффициенты для любой степени, единственный минус этого способа, что для большой степени его долго строить, но для небольших степеней им воспользоваться проще, чем биномом

[@trushinbv]

Треугольник Паскаля позволит вам найти биномиальные коэффициенты, но потом их все равно нужно будет подставить в бином. Так что без бинома Ньютона все равно не обойтись )

[@Vlad-rf3xt]

@@trushinbv так там коэффициенты и так уже в нужном порядке идут, главное понимать, как им пользоваться, но тогда становится понятно, как работает этот бином Ньютона. И я не говорю, как проще всего, я говорю, что лично мне проще, и выходит быстрее. И тот, и другой способ схожи, но всё же я думаю, что лучше знать несколько способов, и поэтому делюсь им.

[@trushinbv]

@@Vlad-rf3xt, я хотел сказать следующее. Бином Ньютона -- это то, что получается из (a + b)^n после раскрытия скобок. Для нахождения биномиальных коэффициентов есть много разных способов. Можно руками скобки раскрыть, можно комбинаторно получить, можно по формулам, а можно взять из треугольника Паскаля. Но откуда бы мы не взяли эти коэффициенты то, что в итоге получится и называется биномом Ньютона.

[@Vlad-rf3xt]

@@trushinbv, да, вы правы

[@КириллСтепанов-е2е]

Спасибо за интересную лекцию, но возник вопрос по поводу извлечения корня степени n из rho на 24:48. Почему здесь не рассматриваем n вариантов решения и принимаем что rho это действительное число, хотя на первый взгляд это кажется очевидным?

[@goonikes]

Потому что длины векторов не могут быть отрицательными, в отличие от углов этих векторов.

[@ИгорьДементьев-и7м]

@@goonikes углы векторов отрицательные лишь условно,т.к. есть положительный угол,что будет эквивалентен этому отрицательному.

[@F_A_F123]

ρ = √( (Re(w))² + (Im(w))² ) по определению; r = √( (Re(z))² + (Im(z))² ) по определению. И то, и то - неотрицательные действительные числа для любых комплексных w и z. Если бы r и ρ были бы комплексными числами, не обязательно неотрицательными действительными, то нет смысла записывать z как r (cos φ + i sin φ)

[@ВованД-у2й]

Может где-нибудь коротенько расскажите о комплексных корнях квадратного трёхчлена. С обычными корнями понятно, это точки пересечения параболой оси координат. А если парабола не пересекается с осью, то она имеет комплексные корни. Какой у них смысл?

[@Kokurorokuko]

Для этого нужно больше измерений. Это тоже точки пересечения, но не на плоскости.

[@ВованД-у2й]

@@Kokurorokuko Ну да. Я даже визуализацию видел в каком-то ролике. Просто хочется подробнее узнать, как она получается.

[@meerable]

Жалко, что в институте мне комплексные числа преподавали не вы) единственный мой трояк, так как было ничего не понятно) профессор был слишком увлеченный))

[@ДианаПогосян-е9м]

если ты все понял, объясни пожалуйста как это сделать в алгебраическую форму (1+ корень из 3 i)^2/2i^5, какое там конечное получится,объясни прошууу

[@meerable]

@@ДианаПогосян-е9м тут тебе подойдет лучше другое видео. Где про алгебраическое умножение и деление.. мне кажется в твоём примере можно обойдись без тригонометрических вычислений

[@meerable]

@@ДианаПогосян-е9м главное что тут понадобится - это помнить, что i*i = -1.в числителе квадрат суммы. Раскрываем и собираем все числа без i и все при i.

[@meerable]

@@ДианаПогосян-е9м 1^2 + 2*sqr(3)*i + 3*i^2=1-3 + 2*sqr(3) i = -2 (1-sqr(3))

[@meerable]

@@ДианаПогосян-е9м в знаменателе, если только i ^ 5 , то по обычным свойствам степени = i^2 * i^2*i = (-1)(-1)i = i

[@araikrasoyan702]

Борис, раз вы уже начали обучать работе с комплексными числами, научите пожалуйста работать с показательными функциями с комплексным значением показателя, с этой темы можно перейти к формулам эйлера. Псс! эту тему ни в одном видосе подробно не обьясняют, вы будете первым. Просто у меня возникла проблема, я начал путь к выводу формулы Sh x =.... chx = ......(гиперболические функции) но туда путь идет через формулу эйлера, которая вытекает из формулы e^x e^yi = e^x( cosy + i sin y ). Хоть в лоб стреляй, ну никак я не могу понять как это равенство произошло, нигде не обьясняется как оно выводилось, было бы очень круто если бы вы обьяснили эту тему и уже тогда раз такое дело зашли бы все таки к долгожданной формуле Эйлера. Потому что из нее вытекают очень важные формулы гиперболических функций. Это важная тема, умоляю сделайте серию видосов на эти темы.

[@araikrasoyan702]

ведь просто щелкать задачи по формуле не понимая откуда она вывелась и что из себя представляет тааааак грустно( хочется понимать. Борис Викторович пожалуйста!

[@trushinbv]

@@araikrasoyan702, когда-нибудь расскажу. Но для этого нужно подтянуть матан. Без разложения в ряд Тейлора комплексную экспоненту определить не получится.

[@pavelshevelev7415]

где твои ролики и мой интернет когда учился я в школе

[@IvanMustafaev111]

Можете рассказать про формулу Эйлер, которая связывает экспоненту и тригонометрические функции?

[@zlukich]

21:15 я не очень понимаю как мы смогли выразить i через другое i и если мы их прировняем то получим что i это действительное число и равно 1/(sqrt2 -1), можно пожалуйста объяснить почему так.

[@АртемГодфрий]

Микрофон погромче и будет нормально

[@natantkacsuk1660]

Вася, реально ровно насыпаешь, вот только звук чисто не по понятиям тихий, магнитола не вывозит, подкрути по братский)

[@AS_tutor]

Вдохновился вашими трудами и сам записал про комплексные числа: Понравилось, что в умножении комплексных чисел можно разглядеть скалярное и векторное произведение Вот само видео kzbin.info/www/bejne/qGHdp42MrtySepY

[@fabrikov]

17:40 - а почему мнимая часть должна ровняться единичке? С чего Вы это поняли или вывели? не могу догнать :(

[@trushinbv]

Потому что наше число -- это 0 + 1*i

[@fabrikov]

@@trushinbv большое спасибо

[@EugeneGaufman]

Единство мнимости и вещественности в реальности обусловлено конфигурацией связей элементов функциональной системы сознания, подчиненной гармонии ритмов циклических процессов жизнеобеспечения человеческого существа в динамике эволюции глобализующегося человечества

[@АртёмКазарян-ф6ж]

Здравствуйте, уважаемый Борис! Можно ли в следующих видео рассмотреть применение комплексных чисел в квантовой механике. (Не в квантовой физике, а именно в квантовой механике) Заранее спасибо!

[@vp_arth]

А все корни первой степени лежат в вершинах правильного одноугольника)

[@akxary]

Раз в этом видео мы научились находить решение уравнения U^3=, тогда где же долгожданное продолжение про решение кубических уравнений по формуле Кардано?? Как по этой формуле найти три действительных корня, если чисел типа U^3 получается два, каждому из которых соответствует по три комплексных числа U, итого 6, а корней должно быть 3?

[@thestranger2306]

17:40 А почему мнимая часть комплексного числа z^2 равна r^2 * sin2фи? Тогда уже вещественная часть его должна была , по идее , равняться r^2 * cos2фи? Объясните ,пожалуйста) А то я чё-то затупил ,наверное..

[@DostoenVnimaniay]

У чисто мнимого числа, которое берётся в примере, нет действительной части.

[@thestranger2306]

@@DostoenVnimaniay Верно. реально затупил ,уставший был)))

[@ФёдорОсипов-э8х]

Здравствуйте, а почему, когда cos2y=0 мы не берём точку -pi/2 +2pi k k €Z?

[@ИгорьДементьев-и7м]

Потому что радианы - мусор...

[@ОООПетроСофт]

Почему-то все преподаватели ограниченны и зашоренны. Как будто специально стараются обходить неудобные моменты стороной. На этот раз никто не догадывается возвести число в иррациональную степень. Ну например, 2 в степени корень из двух (тут корень арифметический). На всякий случай скажу, что возведение в степень операция не однозначная с точки зрения комплексных чисел, а вот корень стоило бы ограничить одним значением, чтобы не было путаницы, как это было с арифметическим корнем. Ах, да уже нашёл видео Бориса про иррациональную степень, молодец Борис, смотрим! Увы, Борис там так и не раскрыл тему.

[@gburan19]

Где звук? Ничего не слышно