Задача от преподавателя из США ➜ Супер способ ➜ Уравнения вида f(f(x))=x ➜ 2(2x+1)^(1/3)=x^3-1

[@kznurdaul7910]

Побольше бы таких олимпиадных уравнений.

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за доказательство и решение.

[@ivantar5011]

ни в школе, ни в университете про f(f(x))=x не рассказывали. и был не на одной математической олимпиаде и не встречал такого... век живи, как говорится...

[@Ar_Den]

Очень крутой способ, и вообще полезная теория для таких уравнений

[@jedidiahcyrus2481]

i realize Im quite off topic but do anybody know of a good website to watch new series online?

[@jamesmajor5978]

@Jedidiah Cyrus I would suggest FlixZone. Just search on google for it :)

[@randallbeckett2366]

@James Major Yup, been watching on FlixZone for since march myself =)

[@jedidiahcyrus2481]

@James Major Thanks, I went there and it seems like a nice service :D Appreciate it !

[@jamesmajor5978]

@Jedidiah Cyrus Glad I could help :D

[@ЛидийКлещельский-ь3х]

Спасибо. Хоть слегка мудрено. Но поучительно. НО можно чуть иначе. Пусть корень равен t. Тогда получаем системуt^3=2*x+1 и x^3=2*t+1. Вычитаем и раскладываем на множители: (t-x)*(t^2+t*x+x2)=-2*(t-x). Получаем либо t=x , либо t^2+2*t*x+x^2=-2. НО! t^2+t*x+x^2=(t+x/2)^2+0.75*x^2>0 при всех ‘x’ и ‘t’., и значит равняться(-2) не может. Остаётся x=t, а дальше,как у Вас. С уважением, Лидий.

[@katajator4114]

Хороший способ, в школе не изучается, но можно рассматривать на факультативах, полезно. Спасибо

[@АндрейА-ш6ц]

С удовольствием посмотрел решение. Не знал такого раньше, спасибо Вам! Можно идти на олимпиаду.

[@Realalexandro]

Стоить заметить, что для того, чтобы f(f(x))=x было равносильно f(x)=x требование строгого возрастания f(x) будет только частным случаем, а в общем виде f(x) должна быть просто монотонна т.е. либо строго возрастать, либо строго убывать. Доказывается аналогично случаю с возрастанием. Ну и ,конечно, для строгости решения необходимо указать на каком интервале она мотононна или на каком интервале она возрастает\убывает. В данном случае это неважно, потому что ОДЗ и собственно интервал возрастания для функции куб. корня из такого выражения - вся числовая прямая, но бывает много аналогичных уравнений, где всё не так просто (в ДВИ и ПВГ МГУ полно аналогичных задач ещё и с параметром, где надо доказывать монотонность подобных функций на определённом интервале с помощью производных сложных функций или, что ещё хуже, с помощью эпсилон+ нотации и дальнейшей оценки значения функции в исходной точке в сравнении со значением этой же фун-ии в (точке+беск. малое эпсилон). Это когда не очевидно, что производная больше или меньше нуля на интервале!) . Вообще я люблю олимпиады, но не люблю именно такие задачки, потому что она чисто "трюковая" т.е. не зная одного этого конкретного факта по-другому фиг решишь, а, если с такими задачами не сталкивался, то до этого факта догадаться очень не просто. Получается решается одним способом и для тех, кто решал подобное - задача элементарная, а для тех, кто не решал - гробовая!

[@SergeyS0691]

Для убывающих функций теорема не верна. Контрпример 1- √(1- √х)=х.

[@АлександрБурла-б4ю]

​@@SergeyS0691поделитесь, как искали контрпример?

[@ВикторИванов-ю7ю]

Спасибо, очень интересно. Накопили однако олимпиадники приёмчиков, о которых пройдя обычные курсы школы и ВУЗа и не узнаешь.

[@Vadim-33]

в обычной школе хорошо что просто читать и писать научат и считать, остальное за деньги

[@ВикторИванов-ю7ю]

@@Vadim-33 Меня в обычной школе учили. Кто мог учился, кто не мог не учился. Репетиторство так распространено не было; его пользу я понять не могу. Вспоминаю себя, что шло (например математика) так мне информации на уроках хватало, что не шло (например русский), что меня репетировать? Я по русскому до сих пор отрепетироваться не могу.

[@ВсёПутём-с8у]

@@ВикторИванов-ю7ю Вот согласен, учился в обычной сельской школе, где учеников для того чтобы скомплектовать класс собирали с четырёх окрестных деревень, а учителя одновременно вели ппо два - три предмета. И при этом полученных знаний мне с лихвой хватило, чтобы поступить в ЛГУ.

[@Ruslan-pd7sw]

@@ВикторИванов-ю7ю а у меня в обычной школе за 10-11 класс было всего одно задание с производной сложной функции, да и то в конце параграфа со звёздочкой. Где самому искать вещи, подобные тем, что в видео - непонятно. На курсах в бауманке мозг только вправили более-менее (но это было платно). А обычная школьная программа - это дебилизм. И это не сельская школа, это Москва.

[@ravshansarvarov5323]

Почему мы не проходили этот метод решения уравнений ни в школе и ни в университете, я бы этого не забыл

[@ЛолитаСангинова-л5п]

Спасибо! Хорош метод. Молодец!

[@mikaelhakobyan9363]

Крутой способ, я сам участвовал в олимпиадах, но что-то не помню о таком способе)

[@predatorymink3400]

Странно, почти во всех функциональных уравнениях используется это свойство (+ ещё свойство, что если f(x) убывает, то мы можем произвести переход к f(x)=x только в случае, когда применяем функцию нечётное кол-во раз (например, f(f(f(x))) - 3 раза)

[@ТеодорЖко]

@@predatorymink3400 А где можно найти в нете что-то об этом способе f(f(x)) = х ? теорию и примеры? я что-то нигде не могу найти ... и об этом f(f(f(x))) = х тоже бы хотелось что-то поглядеть

[@ИзиБризи-с1х]

Каждый раз, когда корни получаются иррациональные и не красивые где-то в лесу плачет один маленький зайка.

[@helg4579]

Золотое сечение - это очень красиво!

[@vhpec]

Спасибо за новое открытие в элементарной математике

[@Владимир-з5ъ6з]

Вот это простой способ, не знал, что так можно решать

[@ПавелЛаричев-в1о]

То чувство когда ничего не понял, но лайк поставить охото! Меня раздирают внутренние сомнения. Лайк!

[@ВасилийСеменов-й7ф]

Толково! Спасибо.

[@calalqardasov4683]

Spasibo, Valeri. Ochen xorosho

[@Sulguhfried1]

Интересное уравнение, классно👍

[@bakhramjabbarbergenov6922]

Супер. Спасибо вам.

[@jystinian1926]

А можно поделить на 2 изначальное уравнение, обозначить (x^3-1)/2=f(x) и заметить, что в другой части уравнения стоит обратная функция g(x), то есть выполняется условие f(g(x))=x. А графики двух взаимно обратных функций симметричный относительно прямой y=x, то есть все возможные корни можно получить, решив уравнение f(x)=x либо g(x)=x.

[@vitaliyruban2538]

Хорошее дополнение к видеоролику.

[@kraavt]

Вот это действительно круто было

[@Germankacyhay]

По функциональным уравнениям побольше бы примеров было бы круто.

[@ilhamqurbanov9024]

Привет Валерий. Спасибо за задачу.

[@mybaristalalaikin2242]

Спасибо, интересно, больше не буду смотреть про такие вещи голова начинает болеть как в школе.

[@s1ng23m4n]

Не думал, что начну смотреть видео еще до того, как сам решу задачу))

[@mikaelhakobyan9363]

То же самое))

[@AndriiBilous]

Класс! Не знал этого метода!

[@fivestar5855]

В очередной раз что-то экстравагантное и интересное!

[@elenakhasina6439]

Здорово и весело!

[@VSU_vitebsk]

отличное объяснение

[@fuatgimush7414]

Волков голодный до задач бежит по математическому лесу и щелкает примеры на лево и на право. Щелк щелк.

[@noname9163]

Интересный способ)

[@vladka4547]

волшебство!

[@SergeyS0691]

перемудрил- слева и справа стоят взаимно обратные функции и дальше по теореме2, не надо приводить к теореме1- функция от фукции.

[@КатяРыбакова-ш2д]

Спасибо!

[@galynaoksyuk6260]

Как приятно осознавать, что решение понятное и красивое. Но доказательства придется еще раз прослушать, наверное, уже после затмения Солнца)), или после того, как Меркурий освободится от дезориентирующей квадратуры к Нептуну)). Спасибо!

[@anatolydemch9476]

свести к системе более рационально в этом случае

[@alishernizamov9441]

Очень полезный урок.Помогите решить задачу: 2 вершины квадрата лежат на прямой y=2x+17 а две остальные вершины на параболе y=x^2. Найдите сторону квадрата

[@superartmebli2452]

Класс!

[@alexandrpetrov1110]

Отлично!

[@arsenmejlumyan4731]

Можно делать замену y=(x^3-1)/2 => 2x+1=y^3 ,x=(y^3-1)/2 ,уже ясно что x=y. 2x+1=x^3, x^3-2x-1=0, x=-1 ...x^2-x-1=0 =>...

[@МудрыйЖора]

очень классный метод)))))

[@mathcoach99]

как сложно здесь это увидеть! Все изощреннее составители маскируют уравнения на монотонность

[@павелнеизвестный-м4б]

Люто. Неожиданно.

[@math_qz]

Красиво

[@DergaZuul]

Метод конечно крутой, но в целом требуется обратимость функции. Если существует обратная функция то решения исходного уравнения таковы что значение ф и её обратной совпадают. А это значит что решения будут пересечения либо ф либо её обратной (g(x) как раз и есть обратная) с y(x)=x. В принципе доказывается аналогично, только не надо два случая рассматривать и можно обобщить на любые отображения связных пространств самих на себя (хотя это уже наверно overkill)

[@ds9633]

-1 получил аналитически, оценкой возрастания функции.

[@alexl6671]

Решается в лоб за 15 минут. Достаточно легко заметить делители x+1 и x^2 -x + 1. Но решение автора более элегантно

[@mike-ru2gg]

MindYourDecisions

[@ниналарина-ъ4п]

Классненько!

[@andrushaandrusha7997]

построить 2 графика и найти точки пересечения оказалось гораздо проще

[@ВикторияБаракова-ъ6щ]

Супер!

[@галиназорина-щ9д]

я бы назвала такие уравнения фрактальными.

[@vitalylischuk6580]

Осталось только понять, как определить, что является функцией f(x) в преобразованном уравнении? Почему не все выражение под первым корнем? Или почему не взять с f(x) как в примере, но с коэффициентом 2?

[@ill4374]

Спасибо

[@ДендроидВиверновичДраконов]

Способ хороший, но задачу можно решить и классически: корень обозначаем за t, получаем систему 2t + 1 = x^3 и 2x + 1 = t^3, она симметрическая. Вычитаем из 2 уравнения 1-ое, переносим в одну сторону и раскладываем на множители (t-x)(t^2 + tx +x^2 + 2) = 0, второй множитель всегда положителен, значит t = x Далее, решаем кубическое уравнение :)

[@shadowinthemirror2055]

Почему нельзя ставить несколько лайков? :₽

[@ayazshahbazov4101]

Super

[@archilarkania7203]

Всегда интересно что будет если попытатся решать всё напролом. Чисто теоретически мы должны кое как ответ получить разве нет?

[@mikaqal3285]

Вчера решал это же уравнение у MindYourDecisions

[@ValeryVolkov]

Значит, скорее всего, преподаватель Александр взял условие там, но мне об этом не сказал. Было бы нехорошо, если бы моё решение случайно совпало с тем, что там.

[@abrakadabrov6919]

Возможно я и ошибся, но второй корень при проверке оказался как-бы не корень. Третий не проверял

[@valentinadacunha5862]

Просто и легко

[@eugenekolombet1725]

Вроде уже было что то подобное на канале.

[@Артьомдругартем]

Знаете,я столкнулся с удивительным уравнением. Попытался его решить этим способом. И...не получается. После преобразований получается уравнение вида f(f(f(x)))=x. (1) Функция f(x) монотонна. Но корни исходного уравнения не совпадают с корнями уравнения (1). Парадокс.

[@ouTube20]

Не понял, почему не брали двойку в «укороченное» уравнение.

[@ValeryVolkov]

Двойка там не нужна. Попробуйте подставить в нашу функцию f(f(x)) вместо f(x) корень кубический из (2x+1).

[@ouTube20]

@@ValeryVolkov значит, я не понял как нужно обращаться с функцией вида f(f(x))=x. Мы имеем выражение и как я понимаю, вместо x мы должны взять подкоренное выражение исходного уравнения, а оно содержит двойку.

[@iuriimikheev449]

@@ValeryVolkov а можно ли? И если нет, то почему?

[@АлександрТом-щ6ю]

Вот, подскажите, кто знает.., а бывают ли компьютерные программы для алгебраических (символьных) преобразований?

[@sherfold]

Wolfram alpha

[@xow998]

А что будет если функция f не возрастает?

[@trolltrollskiy]

То функция убывает

[@mikaelhakobyan9363]

Если не возрастает и не убывает, то можно найти часть корней решив f(x) = x, а чтобы найти остальные корни, нужно будет использовать другие способы.

[@Alexander--]

То же справедливо, если функция f убывает. А вот если функция немонотонна, то это может быть и неверно. Например, пусть f(x) = |x| - 1. Тогда уравнение f(x) = x имеет единственный корень x = 0,5. В то же время, если рассмотреть уравнение f(f(x)) = x и решая его, скажем, графически, то множеством решений будет промежуток [-1; 0], либо просто достаточно убедиться, что 0 - это корень, который не является корнем уравнения f(x) = x.

[@ValeryVolkov]

Если функция не возрастает, то найдём сначала корни более простого уравнения f(x)=x, которые (согласно первому утверждению) являются корнями первоначального уравнения f(f(x))=x, а потом, либо докажем, что других корней нет, либо, используя уже найденные корни, найдём остальные.

[@ValeryVolkov]

@Александр Если функция убывает, то утверждение №2 в общем случае не выполняется.

[@DmitryKrechet]

Осталось доказать, то f(x) строго возрастает.

[@ЕленаПашкова-э3ч]

Отличный метод для решения олимпиадных задач. Но в процессе решения Проще группировать х^3+1-2х-2=0. Зачем усложнять введением х^2? Это мои три копейки)))

[@mariomestre7490]

Gracies per compartir. Activa els subtituls per traduir del rus

[@hopaop5022]

Это есть в углубленке за 9 класс

[@ХафизаАнартаева]

Хороший способ очень У меня вопрос есть 7⁹⁹⁹⁹ найти последнюю три цифры ?

[@ՓոքրիկՏղա]

807

[@saudinord2481]

А что это уравнение считает?Что в итоге вы посчитали?Как это вяжется с природными, жизненными счётами?

[@eduardionovich4425]

Крайне длинно и нерационально.Куда проще обозначить кубический корень,например,через у и элементарно свести это уравнение к простой системе уравнений с неизвестными х и у, из которой нас интересует только х.

[@РоРо-ш8ч]

доказательства абсолютная магия какая-то... ничего не понятно, переписали пару раз ф от икс и готово, полностью доказали.

[@cheloveker]

Не понял одного: почему функция строго возрастает?

[@АлександрСтоляров-ю2с]

Композиция возрастающих

[@ShamilGusseynov]

А разве здесь не единственное решение, ведь под корнем не может быть отрицательного значения?

[@ShamilGusseynov]

Увидел ниже ответ, все верно три корня.

[@galinaapostolyuk7977]

Это корень кубический и поэтому под корнем может быть любое число.

[@azimutpolius990]

...по моему там корень +1...1 в кубе -2 умноженное на 1 и - 1 равно 0

[@МаксимКурбашнов]

Я не понял почему корень 5 последнюю дробь. Разъясните пожалуйста

[@ValeryVolkov]

Это решение последнего квадратного уравнения с помощью дискриминанта, там D=5.

[@МаксимКурбашнов]

Какое d? Откуда взялось оно?

[@ValeryVolkov]

D - это дискриминант, с помощью которого решают квадратные уравнения.

[@sergey_r]

А как же условие, что 2x+1 >=0 ???

[@mike-ru2gg]

Там кубический корень

[@nikita_x44]

+-phi,-1

[@dahusumowotblitz913]

Будьте добры не писать способ решения в названии ролика, спасибо

[@m0zg153]

Интересно кто эти люди, поставившие дизлайк?!

[@canis_mjr]

Те, кто считает, что олимпиадные задачи бесполезны для простого школьника.

[@m0zg153]

@@canis_mjr польза тут не важна, это просто очень красивое решение

[@canis_mjr]

@@m0zg153 можно накидать огромное количество красивых решений школьных задач методами линейной алгебры, вариационного исчисления, комбинаторного анализа и прочих разделов высшей математики, толку от этого нет, а школьника только путает. Мне тут школьник рассказывает про теорему Безу и функцию Эйлера, а что такое логарифм не знает, увольте такого кругозора не надо.

[@saudinord2481]

@@m0zg153 а что вы решили?И в чем красота?

[@canis_mjr]

Совершенно бесполезный пример для школьника, как и любое олимпиадное задание.

[@ВикторИванов-ю7ю]

Смотря как Вы определяете понятие "полезность".

[@canis_mjr]

@@ВикторИванов-ю7ю из школы школьник должен выйти обладая навыками работы с комплексными числами, так было 10-15 лет назад, сейчас требования свелись просто к квадратным уравнениям относительно элементарных функций и сами элементарные функции, плюс элементы векторного исчисления. Комплексные числа как раз и являются строгим завершением школьного курса математики. Взятие хитровывернутые приёмы не нужны, решение супер частных случае уравнений так же не нужно.

[@ВикторИванов-ю7ю]

@@canis_mjr Смотря как Вы определяете понятие "нужность".

[@ВикторИванов-ю7ю]

@@canis_mjr По поводу комплексных чисел, я не знаю - я не методист. Когда их изучать в школе или колледже/ВУЗе - это ведь вопрос методический. По поводу, "комплексные числа являются строгим завершением школьного курса математики", я Вашу мысль не понимаю. Причём тут строгость завершения и ввод нового исчисления? Строгое завершение только впереди после освоения теории множеств и строгого определения действительных чисел, доказательство основной теоремы арифметики и т.д., что по методическим причинам не было смысла давать в школе (что давалось в школе на веру).

[@canis_mjr]

@@ВикторИванов-ю7ю алгебра комплексных чисел (речь идёт только про алгебру комплексных чисел, а не комплексный анализ и ТФКП) включает в себя и базовые понятия векторного исчисления, и тригонометрию, и элементарные функции. Как раз комплексные чиста отвечают на вопрос, нафига нужна эта экспонента, и тригонометрия, вводится понятие сферических координат. Без комплексных чисел все указанные выше вещи как бы подвисает в воздухе. Зато в угоду ЕГЭ в программу понапихали вероятность, комбинаторику и теорию чисел. Да, может дело в том, что меня учили математике 20 лет назад, но мы реально изучали математику, и для решения задач нынешнего ЕГЭ специальная подготовка не требовалась.

[@ПоПанда-о7и]

Сколько будет 2×3= Для американца.

[@saudinord2481]

А для вас сколько это будет?

[@ПоПанда-о7и]

@@saudinord2481 2×2×2=8 Рус счёт

[@ЕвгенийПопов-х8е]

Отлично!