✓ Задача про теннисный турнир. Комбинаторика решает вероятность | Ботай со мной

Экспресс-курсы и мини-группы по подготовке к ЕГЭ по всем предметам: trushinbv.ru/ege
Старт занятий - 7 февраля.
Купившим по ссылке, доступ к курсу по теории вероятностей будет предоставлен до 10 февраля.
Задача по теории вероятностей из открытого банка задач ЕГЭ: Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга -- Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (KZbin): kzbin.infojoin
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 4 и 5): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 13 и 15): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 14): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 16): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 17): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 18): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 19): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_trushin
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
KZbin: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru

[@user-bd6cl4pp6k]

Классная задачка, давайте еще больше теории вероятностей и комбинаторики

[@user-gf3ji9mx8s]

Второй ответ работает только для 50% так что он слабее. И еще дроби гораздо легче комбинаторики.

[@fhffhff]

1/15+0,25*1/7+0,25²*1/3+0,25³=311/2240

[@vlada_m93]

Борис, Вы поддерживаете во мне всё то лучшее, что может быль у учителя! Смотрю с удовольствием, вспоминаю, как в детстве продиралась через олимпиадные задачки без всякого маткласса, какое удовольствие от этого получала... Точно становлюсь добрее и терпеливее к своим ученикам. И это уже много лет. Спасибо!

[@user0xf]

Какой всё-таки Борис обаятельный! Прямо светится внутренней добротой! Спасибо!

[@usver666]

В тексте задачи турнир по настольному теннису, а заставка про большой. Чувствую себя обманутым и требую пересчитать как про большой.

[@trushinbv]

Ой ( Я сам не очень внимательно читаю условие ))

[@user-pg8ry1tm3t]

Да хоть по настольному футболу🤪

[@user-qr7dw4hk6x]

Кончно, там шарик большой, а в настольном маленьки1. Наверное, надо поделить 0бъёмы шариков и это числ учесть при решении

[@pleaseenteraname6481]

Какой хороший тайминг: ролик про теннисную задачу аккурат после завершения Australian Open

[@23psa23]

Australian Open по настольному теннису? 🤔

[@user-kt2vw4iv6y]

@@23psa23 Логично

[@bahitjan66]

Можно бесконечно спорить о методах решение задач, о подходе к замыслу задач. О вкусах не спорят. У тебя есть самое главное: светлая душа, любовь к математике и умение излагать приятно, доходчиво. Ты - Учитель!

[@user-ix6qc3sd9i]

Я сначала даже не подумал о том, что нужно чтобы они не встречались в предыдущих матчах. Когда вы про это заговорили, пару минут сидел и тупил. Хорошая задачка, интересное решение

[@snobhannel7706]

можно попробовать объяснить так: каждый тур в два раза меньше людей, следовательно легче встретиться (тоже в два раза), но и перейти в каждый последующий тур сложнее (вероятность пройти обоим 1/2*1/2) т.о. первый тур: 1/15 второй тур: 1/15 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/30 третий тур: 1/30 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/60 четвёртый тур: 1/60 * 2 * 1/2 * 1/2 = 1/120

[@user-dx8sv4ph4t]

Переход в след. Тур имеет постоянную вероятность 1/4. А так все ОК. Вероятность выбора соперника с каждым туром растет ровно в два раза.

[@boynextdoor1873]

ооо буквально недавно разбирал эту задачку руками, тяжело расписывая все исходы, а теперь увижу серьезный разбор. Кайф

[@r6evgen782]

Делишь 2 на количество игроков и получается ответ, работает всегда. Можешь проверить

[@user-xh7lb1xt3p]

здравствуйте хочу попросит вас сделать выпуск про гиперболы, все то что нужно знать школьникам и чуть больше, а то появились в егэ задания а в школе маловато про это говорят Поддержите лайком чтобы бвло в топах

[@user-lr9gs1mz2y]

Благодарю и низкий поклон за ваш труд, Борис!

[@ReyKapcher]

В школе, сегодня решали, не смогли решить, а сейчас, я посмотрел и всё понял, спасибо!

[@Abdulhamidov_A.S.]

Оба метода понравились, всё понятно. Первому методу отдаю предпочтение.

[@nikolainikk3916]

Мое объяснение уменьшения вероятности в 2 раза. Точно так же как во втором способе вы считаете вероятность пары попасть в 15 из 120 пар. Прошел весь турнир. Определились наши 15 пар. Среди них определились 8 пар первого тура, 4 пары второго тура, 2 пары третьего и одна пара последнего. Вероятность того, что конкретная пара встретится среди пар первого тура 8 / 120 (подходит 8 пар из 120). Так как количество пар с каждым туром уменьшается в 2 раза (т.е. кол-во подходящих пар), то и вероятность нашей конкретной пары среди них оказаться уменьшается в 2 раза.

[@adnewey3646]

Даже можно не по количеству пар считать, а при вылете количество людей в каждом туре уменьшается в 2 раза

[@user-nz2cg2sn4s]

Здорово, что Вы показали два способа. Спасибо.

[@user-ty2cg4my9w]

Б.Трушин огромное спасибо за ваши подробные разборы задач.

[@user-sc2gf4dz8j]

Спасибо за доступное объяснение

[@evgeniisharaborin8071]

Борис, отличное видео для подготовки к собеседованиям)

[@olegarh3507]

Давно не было чего-то такого хардового , типа разбора одной задачи на полчаса. Можно что-то из недавних олимпиад , например, из закла ВП- одну из задач. А видео класс!

[@olegarh3507]

Очень хотелось бы увидеть что-то из олимпиад

[@trushinbv]

Эта задача по уровню скорее и есть "что-то из олимпиад" )

[@user-mz6mg8gk9g]

@@trushinbv Конкретно про эту задачу не соглашусь, так как именно её я решил самой первой. Это с 4-ркой по алгебре и 3-кой по геометрии в аттестате. Правда ЕГЭ я сдавал трижды, но количество не всегда равно - качество. Лучший балл: 72 по математике и 81 по информатике. В общем - далеко не олимпиадный уровень. Олимпиадник эту задачу точно осилит. Догадаться посчитать отдельно каждый тур - не сложно. А дальше нужно просто ничего не потерять при подсчётах. Да и до комбинаторного пути решения дойти можно. Задача с викториной на порядок сложнее. Если турнир я решил минут за 15 (как и кубик), то с викториной промучался почти час. А потом еще неделю искал общую формулу для решения такого типа задач.

[@alexqwerty9266]

Отличное объяснение, спасибо

[@bigifoxi]

Спасибо, очень понятно объяснили

[@jorikvarta81]

Однажды, благодаря преподавателю с такой же четкой грамотной речью я заинтересовался наукой и меня не выперли с универа.

[@vanek7777777777]

Классное обьяснение второе 👍

[@user-zu3ii5gn3j]

Спасибо!

[@user-qv2fz3tk9d]

Самое замечательное,что я всё понял.

[@user-oh8oe7nt9k]

Понравилось,офигел со второго способа)

[@user-ug5zj2tc1u]

Второе очень крутое рассуждение! Первым способом влоб где-то час думал и получилось...

[@user-mz6mg8gk9g]

Я считал немного по другому, примерно как в задачах про вероятности мальчиков сесть на определённые стульчики. Ставим Алексея на край сетки (позиция 1) а затем, начиная с него, нумеруем по порядку позиции в турнирной сетке (стульчики). В принципе можно сразу пронумеровать стулья, а потом посадить Алексея на случайный, суть решения не изменится. 1) Вероятность встретиться в первом туре равна вероятности Ивана попасть на стул 2: 1/15. 2) Вероятность встретиться во втором туре равна вероятности Ивана попасть на 3 или 4 стулья (2/15) умножить на вероятности их побед в первом туре: 0,5^2. /События Иван садится на стул 2 и Иван садится на стулья 3 или 4 очевидно несовместные/ Получаем 1/30 3) Вероятность встретиться в полуфинале: 4/15 (стулья 5 6 7 и 8) умноженное на вероятности 4-х побед (по две для каждого) в предыдущих турах. 4/15×0,5^4=1/60 4) Вероятность встречи в финале: вероятность Ивана попасть на стулья с 9 по 16, т.е. 8/15 умноженное на вероятности 6-ти побед: 8/15*0,5^6=1/120. Дальше всё перемножается аналогично решению в видео. Решение в принципе то же самое, но мы сразу же избавляемся от неудобных дробей 1/7 и 1/3. И теперь мы видим причину падения ровно в 2 раза. Ведь вероятность встречи условных всепобеждающих Ивана и Алексея в каждой конкретной стадии растёт ровно в 2 раза. А вероятность их же, побеждающих 50 на 50 дружно пробиться в следующую стадию падает в 4 раза.

[@antonkonokh101]

В точности так же решил её ещё когда она была первый раз озвучена, с таким подходом и факт снижения вероятности в 2 раза очевиден, да и решение устным становится.

[@konstantinnurkenov4218]

Борис спасибо! Расскажите ещё пожалуйста про целую и дробную часть числа

[@user-nk4od3rn5s]

отличный канал

[@hartum2531]

Борис, спасибо вам за отличный контент! Мне кажется можно рассуждать горазадо проще в рамках решения "в лоб". Если набросать перед глазами сетку то легко видно что в первом туре шанс встречи 1/15. Во втором туре мы можем встретиться если наш друг играет на двух конкретных местах (в соседней паре сетки). Но естественно нужно победить обоим, поэтому 2/15*(1/2)^2. Для встречи в очередном туре подходит уже 4 стартовых места, добавляем 4/15*(1/2)^4. Ну и в финале нас устроит если друг начинал в любом месте другой половины сетки относительно нас. 8/16*(1/2)^6. Собственно слагаемые такие же как у вас после всех сокращений, но по моему быстрее и сильно меньше шансов ошибиться.

[@ninavoron12]

Последнее решение замечательное, использует данные максимально экономно.

[@pykush493]

Классно

[@user-uw6lo2th4r]

Отличное видео. Давайте добивать задачи из списка Ященко. Спасибо!

[@user-kt9pj8li4d]

Вот прям уже сама хочу посмотреть курс про вероятность. Может, ещё что-нибудь сюда попадает? Интересно.

[@vladimirshmarov8781]

Второе решение, но строго: рассмотрим 120 событий вида {игроки i и j встретились в рамках турнира}. В силу симметрии они все имеют равные вероятности. Но каждая из этих вероятностей есть матожидание индикатора соответствующего события. Сумма этих ста двадцати индикаторов равна 15 с вероятностью 1, то есть матожидание каждого из них равно 15/120=1/8.

[@artemklokov8182]

Аккуратно объяснить: Вероятность встречи в каждом следующем этапе, без учета, что до этого этапа нужно дойти - в два паза больше, чем в предыдущем А вероятность, что оба парня дойдут до следующего этапа, с каждым этапом становится в 4 раза меньше, поскольку шансы пройти конкретный этап вдвоем - 1/4 По итогу выходит, что с каждым этапом вероятность встречи умножает результат на 2, а вероятность прохода в этот этап - на 1/4. 2*(1/4) = 1/2 - это шаг геометрической прогрессии, где члены - вероятность встречи парней в каждом этапе

[@igorzatula2987]

Сидит стройбан ( мужик 40 лет работающий....... руками) и кайфует от такого контента. П. С. как-то это связано с биномом ньютона из вашего канала, когда вы переберали буквы в слове математика, да или нет, желаю вам добра!

[@user-iv2uf7nq5z]

Как же много вероятности

[@user-pw2zz4st4w]

Спасибо, мне больше второе решение понятно

[@andrekv]

Можно решить через составление турнирной сетки. Мы выбираем, в каких начальных позициях сетки находятся наши игроки (жребием в таком сценарии можно принебречь). Далее считаем, сколько пробел должно было произойти. Тогда легко заметить по структуре сетки, что вероятность встретиться в n-ом туре из 2^k участников - (2^(n-1)/(2^k-1)) * (1/4)^(n-1). Из формулы как раз очевидно, и по структуре интуитивно понятно, почему вероятность уменьшалась в 2 раза на каждом этапе)

[@melnik1977]

Борис, я вам вдячний за вашу роботу, за вашу позицію і за ваш канал. Дивлюся ваші відео і згадую свого викладача - Ясінського В.А. Олімпіадник був сильний. Та ви його точно знаєте...

[@user-dn1zx1on7o]

По поводу того, почему вероятность уменьшается в два раза с каждым туром. В любой конкретной игре любая пара игроков встретится с одной и той же вероятностью. А это значит, что вероятность того, что в данном туре встретится наша пара игроков пропорциональна количеству игр в туре. Поскольку количество игр каждый раз уменьшается в два раза, то и вероятность должна тоже уменьшаться в два раза.

[@user-fk6tn7df9r]

Скорее всего вероятность уменьшается в 2 раза с каждым туром потому что вероятность пройти и первому, и второму 1/4, но в то же время количество прошедших игроков в следующий тур уменьшается на 2. Т.е. 1/4 : 1/2 = 1/2

[@bloodborn9632]

Жду видоса :)

[@familykush1417]

ты очень крутой

[@bogdan2353]

Побольше теорвера 👍

[@ivankaznacheyeu4798]

Нужно число встреч поделить на число пар. Кстати, ровно этим можно объяснить, почему в каждом следующем туре вероятность встречи в 2 раза меньше.

[@jonsnow7956]

8:10 мое объяснение: на каком то этапе турнира (любом) количество участников равно: 2^k тогда вероятность что два определенных участника не встретятся: 1-1/(2^k-1) Или: (2^k-2)/(2^k-1) ИЛи, рассмотрев только числитель: a=2*(2^(k-1)-1) На следующем этапе людей будет уже: 2^(k-1) Вероятность, что два конкретных игрока встретятся: 1/(2^(k-1)-1) Или, рассмотрев только знаменатель: b=2^(k-1)-1 Видно, что a=2b вне зависимости от k (этапа турнира)

[@trushinbv]

Да-да, вот это я и имел в виду под "формально расписать в общем виде" )

[@user-oq9ej3sj9z]

Прикольно

[@iljas275]

Я тупанул сначала, посчитал число перестановок в первом раунде, то есть С по 2 из 16, получилось 120 вариантов, и решил, что вероятность попасть сразу вместе 1/120. Не учел, что нам не только одна из 120 подходит...

[@alexsam8554]

Ну во втором решении мы просто считали матожидание. Например, взяли готовую таблицу результатов турнира и заполняли случайными именами, в каждом матче матожидание искомой пары равно 1/120, всего 15 матчей в таблице.

[@melnik1977]

Відносно коефіцієнта 2. Фінал - один, півфіналів - два, чвертьфіналів - чотири, тому ймовірність попасти у півфінал у два рази більша ніж у фінал бо їх є два і так далі. Це добре видно коли намалювати дерево ігор, або в спорті - сітку зустрічей.

[@user-ch5pd4cz1r]

Была у меня эта задача. На экзамене по ТерВеру. В ВУЗе. 25 лет назад.

[@ididnothing1457]

Здравствуйте, БВ! Когда решал стереометрию в ЕГЭ, столкнулся с формулами площади поверхности. Можно их как-то выводить, чтобы проще запоминать?

[@user-pc7vw8pn8k]

Площади поверхностей это площади плоских фигур, сторонами которых будут длины объемной Конус при разложении даёт две окружности и прямоугольник, одна сторона которого это высота конуса, а другая это длина окружности . Таким образом стараешься разложить любую объёмную фигуру и найти площади ее граней а потом посокращать чё можно Не лучший из меня учитель, но надеюсь помог

[@user-jm2cd6ke1y]

В первом решении можна рассуждать немного по-другому и тогда видно, что вероятность встретиться в следующем туре уменьшается вдвое. Если нарисовать турнирную сетку и в какой-то ячейке поместить Ивана, то вероятность встретиться в первом туре - 1/15. Смотря на турнирную сетку, видно, что если они встретятся во втором туре, то у Алексея две возможные ячейки. Также, они оба должны выиграть, значит вероятность встретится во втором туре - 2/15*1/2*1/2=1/15*1/2 Теперь видно, что чтобы всретится в следующем туре, количество возможных вариантов для размещения увеличивается вдвое, вероятность дойти до этого тура у каждого участника уменьшывается вдвое. Поэтому, если вероятность встретится в каком-то туре =k, то в следующем =k*2*1/2*1/2=k/2

[@canniballissimo]

да, отлищная задачка!

[@bloodborn9632]

Вот тебе Борис задача для рубрики я думаю тебе понравится : завод выпускает детали его станок с вероятностью s выпускает годную деталь. На заводе есть система проверки которая с вероятностью q может признать годную деталь негодной и с вероятостью p негодную годной. Вопрос: какова вероятность того что система проверки выевит среди n деталей ровно m годных?

[@antonkonokh101]

Короче если сетку нарисовать и посчитать для каждой позиции вероятность, то становится очевидно почему вероятность в два раза отличается, не смотря на то что шанс прохода уменьшается в четыре раза количество подходящих позиций удваивается .

[@stealth9218]

Первый вариант, судя по всему, более универсальный - он будет работать и в случае какой-то неравной вероятностью победы каждого игрока в паре. Просто для каждой пары меняем 1/2 на нужную вероятность. А вот второй вариант с комбинаторным решением работает только если вероятность победы для каждого игрока одинакова.

[@jockey9911]

В институте решал. Провинциальном. Для инста задача была простая. Для школы... ну не знаю, видимо кому как.

[@Milena-rc3mr]

Я вообще хотела нарисовать турнирную сетку-граф, чтобы не запутаться, и пассуждать примерно как во 2 случае

[@alexandrshadrin7683]

Вероятность пройти в следующий тур у одного участника 1/2. У второго так же 1/2. Но участников в следующем туре в два раза меньше чем в предыдущем, поэтому шансы встретиться вырастут в 2 раза. В итоге вероятность встретиться в следующем туре это Х*0.5*0.5*2., где Х - вероятность рассчитанная для предыдущего тура.

[@gd8495]

Будет ли стрим типа "Порешаем регион"?

[@ninavoron12]

Мне очень понравилось, потому что я час назад прочитала эту задачку и мне не с кем ее было обсудить. Удваивается знаменатель из-за вероятности 1/2. Есть у меня подозрение, что эта задачка старше Вас, Борис.

[@user-zt7cw4wn9i]

Ля залип на пол часа) охуенно!

[@user-zo2di5cw8o]

Тут всего 16мин😂отлипай уже

[@nadyavor7272]

О, такое приятное решение

[@user-rc5jd9di5j]

Мне привычнее на примере жеребьёвки плей-офф Лиги Чемпионов УЕФА такие задачки рассматривать. Какова вероятность того, что встретятся Арсенал с Ливерпулем или Реал с Барселоной

[@vladmaneata]

Эти дни теннис популярен

[@KazaTapkan]

Ну нам во время комбинаторики в школе просто дали формулу n!/(n-k)!k! где n это полный набор чисел, а k это число перестановок, и такие задачи мы решали за полминуты. Кому надо себе на заметку возьмите или прогуглите nCk formula. Последнее решение Бориса, это как раз эта формула, уже сокращенная. Если что, ! это факториал числа, то бишь перемножение всех целых чисел от нуля до числа. Пример: 5!=1*2*3*4*5. Насчет перестановок и набора, хз, у нас это set и permutation, перевел через гугл транслейт

[@user-jp7jh2fc3g]

Все задачи такого типа решаются просто деление двух(игроки которые должны встретиться) на 16( кол-во команд). Проверял на разных задачах везде ответ сходится, так сказать лайфхак.

[@user-mz6mg8gk9g]

Добавляем в условие задачи матч за 3 место и всё, лайфхак накрылся медным тазом. Пользуясь лайфхаками, надо понимать, почему они так работают. В задачах #10 про викторины из сборника ответы тоже равны (n+1)/(n+2), где n число игр, выигранных по условию командой А. Подставляешь одну циферку и ответ готов. Но стоит чуть чуть подкрутить условие (например спросить про вероятность победы команды А в двух сдедующих играх) и лайфхакер останется с носом.

[@antoonio]

вкусняха

[@vgmsu]

Ошибся на самом первом туре... Пойду повторю теорвер)

[@samoaltv]

Спасибо за видео! Вопрос: насколько усложнится задача, если скиллы игроков будут чуть-чуть различаться.

[@user-mz6mg8gk9g]

1) Вероятнее всего перестанет работать второй способ решения. 2) Сложность решения первым способом будет зависеть от того, как именно будут заданы "скилы". Например если вероятности побед Ивана и Алексея над любым игроком (кроме них двоих) будут заданы конкретными значениями, мы просто напросто поменяем 0,5 в расчётах на эти значения. Если игроков расставят по силе от 1 до 16 места, где более сильный всегда побеждает более слабого а Иван и Алексей будут 3-м и 4-м по силе, - придётся считать не только вероятности встречи по стадиям, но и вероятности "увернуться" от двух более сильных игроков. А начиная со второй стадии еще и учитывать, что самый сильный мог выбить второго по силе. В общем - усложнить жизнь решающему можно. Было бы желание.

[@user-gx3rx8wn4n]

Для первого решения не сильно. Второе вообще не сработает. И как решение его кстати на егэ не примут.

[@user-mz6mg8gk9g]

@@user-gx3rx8wn4n Ну давай зададим эти вероятности. Допустим у нас есть: 4 фаворита, 8 середняков (в т.ч. Иван и Алексей) и 4 аутсайдера. Фаворит выигрывает у середняка, а середняк у аутсайдера с вероятностью 0.6. Фаворит выигрывает у аутсайдера с вероятностью 0.9. Если встречается пара фаворитов, середняков и аутсайдеров, вероятность победы: 0.5. Остальные условия задачи остаются в силе. Разные вероятности заданы. Решение первым способом изменится прямо таки немного? Понятно, что если поменять вероятности побед лично для Ивана и Алексея (допустим вероятность победы над остальными игроками по 0.65), то в расчётах первым способом достаточно будет заменить все 0,5 на 0.65. Но если вероятности побед станут разными не только у них двоих, а разом у всех участников турнирной сетки?

[@user-mz6mg8gk9g]

@@user-gx3rx8wn4n И хотелось бы узнать, каким образом не примут решение вторым способом? Учитывая, что в задании #10 от экзаменуемого требуется только голый ответ?

[@SanokFrolic]

8:11 если Ваня дошел до n-ого этапа турнира то какова вероятность на этом этапе встретить определенного игрока? Такая же, как и встретить любого другого определенного игрока, потому что от игрока ничего в условии задачи не зависит, то есть 1/15. (У каждого игрока одинаковые шансы не попасть против Вани в 1 раунде, пройти во второй, не попасть опять, пройти дальше и т.д. пройти в n раунд и именно в нем попасть в пару к Ване) Поэтому зайдя в турнир Ваня встретит Лешу на n-ом этапе с шансом 2^(-n+1)* 1/15. И эти шансы можно смело складывать, так как события "Ваня встретил Лешу на n этапе" не совместимо с событием "Ваня встретил Лешу на k|k!=n этапе" кажется, я не первый с таким объяснением, но на всякий случай

[@hidden8206]

По лобовому способу и наглядному объяснению почему же на каждом шаге шансы падают в 2 раза: Просто нарисуйте стандартную сетку плэй-офф турнира на 16 участников. Заодно сразу поставьте одного из участников на самую первую позицию. Аргументация - т.к. шансы на победу в любом поединке у всех равны, то не суть важно где он в итоге окажется. Ситуация всегда будет симметричной. Теперь шансы на нужную пару в 1-м туре(1/8 финала) 1/15. Только если второй участник попадёт в пару к первому. Для встречи нужной пары во втором туре(1/4 финала) второй участник должен попасть во 2-ю пару, то есть на 3 или 4 строчку "посева". Значит количество подходящих мест при начальной жеребьёвке возросло в 2 раза, но шанс, что оба интересующих нас игрока победят в своих матчах, по условию 1/4(50% в каждом из 2 матчей). Вот мы и получили сокращение шанса на стык во втором раунде в 2 раза. Аналогично будет для каждого следующего шага. В 2 раза больше подходящих позиций старта, но в 4 раза меньше шанс на проход. И да. Самое главное - не забыть в конце сложить все шансы с первого по последний этап. P.S. Комбинаторикой решить эту задачку действительно проще, благодаря условию про равные шансы. Так что полностью соглашусь. Главное - понимание где можно легко применить тот или иной способ решения

[@lexlotar4847]

Попробовал до просмотра видео решить. Получилось примерно 12.22%. Ща посмотрим правильный ответ

[@servenserov]

Мне более логичным, красивым и понятным показался второй способ. Классная задача!

[@user-gx3rx8wn4n]

Только он не работает для игроков разной силы. Первый правильный.

[@servenserov]

@@user-gx3rx8wn4n А первый работает? Возможно Вы при расчете вероятности как-то учитываете рейтинги игроков, но я и без этого с трудом разобрался в этой задаче.

[@user-gx3rx8wn4n]

@@servenserov первый всегда работает второй только при равной вероятности. За решение вторым способом вам поставят 0 баллов.

[@servenserov]

@@user-gx3rx8wn4n Да, я ни первым, ни вторым самостоятельно бы не решил. Даже без учёта рейтинга это весьма непростая задача.

[@user-gx3rx8wn4n]

@@servenserov вроде бы она элементарная и решается по банальному алгоритму

[@user-qq6dy6ut9h]

Была задача, где 50 человек и при нечетном количестве участников один случайный автоматически проходит в следующий тур, а остальные играют с той же вероятностью 0.5 на победу. Там конечно вычисления объёмнее выходят

[@user-mz6mg8gk9g]

Первым способом - да, сложновато. Особенно когда техпобеды не выдаются сразу же в первом раунде, чтобы во втором осталось ровно 32 игрока (тогда достаточно отдельно взять случаи, когда Иван и Алексей начнут турнир оба с 1/16, оба с 1/32, и один с 1/32, другой с 1/16). А когда выдаются начиная со второго тура, когда там останется 25 игроков из 50-ти. Причём сведутся оба этих случая к одному ответу. А вот решение вторым способом не усложнится. Делим число пар на число матчей в сетке и получаем ответ.

[@user-mz6mg8gk9g]

Даже попробую решить. Пусть участниками будут те же Алексей и Иван. Для Алексея имеем: 1) 1 - вероятность сыграть матч в 1/32. 2) 24/50 - вероятность сыграть матч в 1/16. Пройти во второй тур и сыграть там матч смогут 24 игрока из 50. В следующий выходят 13 игроков. 3) 12/50 - вероятность сыграть игру в 1/8. 6 играющих пар + 1 побеждающий автоматом. Итого останется 7 игроков. 4) 6/50 - вероятность сыграть в четвертьфинале. Останется 4 игрока. 5) Игра в полуфинале: 4/50 6) Игра в финале: 2/50. В среднем за турнир у Алексея: 1+24/50+12/50+6/50+4/50+2/50=98/50 = 1,96 игр. В этих 1,96 играх 49 потанцевальных противников, значит вероятность пересечься с одним конкретным из их числа (Иваном) 1,96/49=0,04. Проверяем ответ через решение вторым способом: Всего у нас (50×49)/2=25×49=1225 пар. И 49 игр в турнире. 49/1225=0,04. Вроде не налажал. Если по условию все техпобеды будут распределены на стадии 1/32 турнира: 18 пар играют в первом туре, 14 игроков проходят автоматом. Значит Алексей в среднем сыграет: 36/50+32/50+16/50+8/50+4/50+2/50 = те же 98/50 игр в среднем за турнир. Дальше задача сводится к первому решению.

[@user-df1pl1oh1q]

Удивило, что 120 пар получили без формулы для количества сочетаний.

[@user-sk9cm2nv7h]

Не могу найти про показательное уравнение с параметром, где надо найти все а, при которых все корни лежат на данном промежутке. Например, 3а^2х - 16^х + 2*(4а)^х = 0, надо найти все положительные а, если все корни на [-2;-1] Дошел до (4/а)^х = -1 в совокупности с (4/а)^х = 3, что дальше делать не знаю Сейчас решил каким то подбором, но не думаю что на егэ это прокатит

[@shremy8587]

сегодня эта задача попалась на пробнике, который писала вся Москва

[@dftony]

Просто из понимания равной вероятности результатов поединков, в каждом новом туре вероятность выхода двух означенных противников 1/2, а количество пар участников уменьшается в два раза. Значит, вероятность встретиться в следующем туре 1/2*1/2*2= в 2 раза меньше чем в предыдущем, нет?

[@melnik1977]

Потрібно зрозуміти, що якщо Ваня і Саша гратимуть у фіналі то це означає, що вони ще не зустрічалися раніше . Якщо скласти список на початку турніру то буде 120 пар, в кінці турніру буде 15 пар, одна з них - Ваня і Саша, інакше вони би зустрілися раніше і один з них точно б вилетів

[@user-mv7cg8jp8i]

Второе объяснение вообще кажется элементарным...когда тебе его по полочкам разложили.

[@user-gx3rx8wn4n]

Только оно не подойдет для игроков с разной силой.

[@lexcheshir6416]

Про то как понять, что вероятность падает в два раза, не считая все вероятности: 1) я нарисовал начало турнирной таблицы, и сказал, что в первой ячейке находится один из двух друзей 2.1) чтобы он сыграл с другом в первом раунде друг должен находиться в одной определенной ячейке около него 2.2) чтобы друг сыграл с ним во втором раунде, то он должен быть в одной из двух ячеек + они оба должны пройти в следующий раунд 2.3) чтобы друг сыграл с ним в третьем раунде, то он должен находиться в одной из четырех ячеек и они оба должны пройти в следующй раунд дважды 3) тогда вероятность того, что они встретятся в каком-либо раунде: p(a) = 2^(a - 1) / (n - 1) * v1^(a - 1) * v2^(a - 1) где a - номер раунда от 1 (если считать от 0, то формула будет выглядеть более опрятно) n - кол-во игроков в турнире v1 - вероятность выиграть раунд первого друга v2 - вероятность выиграть раунд второго друга 4) если подставить в полученную формулу их вероятности победить, то получим вот это: p(a) = 2^(a - 1) / (n - 1) * (1/2)^(a - 1) * (1/2)^(a - 1) сокращаем 2^(a - 1) с (1/2)^(a - 1) и получаем p(a) = 1 / (n - 1) * (1/2)^(a - 1) => можем заметить, что при увеличении номера раунда на 1 вероятность просто уменьшается в два раза для данных значений

[@lexcheshir6416]

вообще в целом можно сделать вывод, что если там два друга, и у одного вероятность выиграть это 1/2, то с каждым раундом вероятность встретиться будет домножаться на вероятность выиграть второго друга (потому что она и остется как второй множитель в формуле)

[@user-jn7yk9or3v]

Каждая следующая вероятность в два раза меньше потому что Иван в каждом следующем туре встречается с одним из случайных для него игроков и вероятность, что это Алексей 1/15. Но вероятность, что он участвует в первом туре 100 процентов, во втором 1/2, в третьем 1/4, в четвертом 1/8. Вот и получаем 1*1/15+1/2*1/15+1/4*1/15+1/8*1/15 =8/120+4/120+2/120+1/120=15/120. Иначе говоря, нам не важно, как играют в других играх соперники, нам важен, что каждый из соперников Ивана может с одинаковой вероятностью оказаться Алексеем 1/15. А вот вероятность выхода Ивана в каждый новый тур всегда уменьшается ровно в два раза.

[@alexh3379]

Встретиться в каждом следующем туре: С одной стороны увеличивается в 2 раза (т.к. людей стало в 2 раза меньше) С другой стороны - уменьшается в 4 раза, т.к. каждый должен выиграть свой предыдущий раунд (1/2 * 1/2 = 1/4) Итого вероятность встретиться в каждом раунде по отдельности уменьшается в 2 раза по сравнению с предыдущим

[@nartsevoleg7355]

Мое простое объяснение уменьшения вероятности вдвое: Так как все участники имеют одинаковые равновероятные шансы в любом матче, то вероятность НАШЕМУ игроку в каком-то (любом) туре получить в соперники одного КОНКРЕТНОГО игрока одинаковая и равна 1/15. А вот вероятность его собственного прохода в каждый следующий тур равна 1/2 (вероятность его победы) Вот и все.

[@user-gx3rx8wn4n]

Неправильно

[@vyacheslavmelnyk8701]

Можно было бы задачку сделать более фееричной, если внести коэффициент силы игроков )))

[@user-gm3mi8tp2s]

Скажите, желательно ли наизусть знать умножение двузначных чисел?

[@user-gm3mi8tp2s]

@@wers200 А таблицу квадратов после 10? 11*11, 12*12...

[@pashaspb9499]

Как ни странно, второй метод яснее и проще.

[@user-gx3rx8wn4n]

Он не подойдет для случая с разной силой игроков. Первый универсальнее.

[@user-lx2gi9jl4m]

@@user-gx3rx8wn4n совершенно верно

[@TheDaemonis]

Мне кажется, во втором способе равноправность этих пар нужно доказывать более аккуратно. Потому что если наши друзья - днища и выигрывают с вероятностью 1/4, все эти рассуждения не верны и "хитрый способ выбора пар" имеет значение. Соответственно, надо доказывать, что при 1/2 таки не имеет.

[@user-mz6mg8gk9g]

Наши "днища" выигрывают с вероятностью 0,5 по условию. Без всяких "если 1/4". Из этого 0,5 следует, что участие любого игрока в любой игре на любой стадии турнира равновероятно относительно остальных игроков.

[@pafimov4448]

почему мы в случае, например, третьего матча, учитываем вероятность, что они не встретились в первом раунде 2 раза? то есть для него самого первого раунда, но и для второго раунда это тоже учитывается?

[@user-ik2jz5wo7s]

1. Если вы следите за турнирами абсолютно любого спорта,то вы знаете как выглядит турнирная сетка. Если игрок Х занимает 1 место из 16, то игрок У может занять 15 различных мест. Чтобы встретится в финале с Х, игроку У надо быть в 1 из 8 возможных мест(в 7 оставшихся он встретится с Х раньше). Чтобы встретится с Х в полуфинале будет уже 4 места(тогда мы рассматриваем в 2 раза меньше пар, потому и мест в 2р меньше)и т.д. .Чтобы оба игрока прошли в след раунд(исключая возможность их встречи) надо чтобы вероятность 0.5 сработала дважды. Получается что с каждым следущим раундом мы делим вероятность на 4 и умножаем на 2. Потому с каждым раундом вероятность в 2р меньше. 2. Задача была бы интересней, если использовать систему двухуровневой сетки турнира(когда игрок проигрывает матч он падает с основной сетки в нижнюю, и вылетает с турнира проиграв дважды). Если бы я небыл ленивой жопой, то тут был бы ответ для такого варианта условия

[@Sergiusnick]

В 20-м веке был список Гильберта. в 21-м - список Ященко

[@daviddk488]

Надо всех напоить перед началом турнира и свести к задаче о пьянице на краю обрыва

[@vjarij]

В комнате 5 человек и 3 выхода, каковы шансы что минимум трое воспользуются одним и тем же выходом?

[@valentinekalyuzhny8528]

А если так. Вероятность того, что оба пройдут в следующий тур 1/4. Количество участников уменьшается в 2 раза, значит увеличивается в 2 раза вероятность встречи. В итоге 2*1/4=1/2 - вероятность встречи уменьшается в 2 раза в каждом следующем туре.

[@valentinekalyuzhny8528]

Не - нифига не так.

[@romank.6813]

Первый способ решения универсальней. Вот подергали мы вероятности индивидуальных встречь туда-сюда, сделали их неодинаковыми - и всё, второй способ накрылся. А первый будет работать.

[@alexsam8554]

как раз второй способ более устойчивый к изменениям условия, достаточно лишь знать вероятность попадания игроков в следующий тур, тогда матожидание вычисляется легче, чем чудовищная формула полной вероятности, которая, я подозреваю, выйдет за пределы посильных ручных вычислений