Equazioni cartesiane di uno spazio vettoriale .Loro utilità e come trovarle partendo da una base.

Trovare le equazioni cartesiane di uno spazio vettoriale .sottospazio a partire da una sua base di vettori .
Spesso un sottospazio vettoriale viene dato tramite una sua base di vettori linearmente indipendenti , ma in alcuni contesti è utile conoscere il suddetto spazio vettoriale tramite le sue equazioni cartesiane con moltissimi vantaggi che spiego nel presente tutorial .
Due esempi pratici chiariranno i concetti al fine di essere applicati anche in casi più laboriosi .
Da notare che in una lezione precedente () partendo dalle equazioni/e cartesiane/a era possibile determinare una base di un sottospazio vettoriale.
Si capisce benissimo che in questo tutorial si implementa il processo inverso , ovvero da una base di vettori si ricaverà l'equazione o le equazioni cartesiane come già accennato.
#salvoromeo #algebralineare #equazionicartesiane

[@72432222222222]

Complimenti professore per la chiarezza degli argomenti trattati, si vede che ama cio' che ha studiato!

[@salvoromeo]

Grazie a te che apprezzi i contenuti .Cerco di fare del mio meglio .

[@AndreaPancia1]

Complimenti professor Salvo chiarissimo come sempre. Grazie per il suo paziente lavoro.

[@emanueledangelico4750]

Grazie di esistere ❤

[@fili5928]

Grande prof, continui così con questa scioltezza e tranquillità di linguaggio

[@salvoromeo]

Grazie 🙂

[@giorgiovasta7128]

Grazie tantissime per le sue spiegazioni

[@salvoromeo]

Grazie a Lei

[@ZadraAmedeo]

Grazie mille maestro, io amo l algebra lineare ♥️♥️

[@giacomomiceli3082]

nel caso avessimo un sottospazio vettoriale affine (dato in forma parametrica) come si sarebbe dovuto fare per determinare le sue equazioni?

[@alfioschillaci5599]

Complimenti

[@AleSposato]

Bellissimo video, le farò sapere se passerò l'esame di Algebra!

[@salvoromeo]

Grazie ...speriamo bene per il Suo esame .

[@zuvel5468]

grazie prof

[@salvoromeo]

Grazie a Lei .

[@riccardosacco8598]

Buongiorno professore,non mi è chiaro il perché porre il determinante della matrice formata dai vettori della base =0.Potrebbe aiutarmi?

[@salvoromeo]

Buongiorno Riccardo .Per il semplice fatto che quando il determinante è uguale a zero vuol dire che tra i vettori vi è una dipendenza lineare o proporzionalità .Quindi nel caso di R³ (ad esempio ) si fa in modo che il generico vettore (x;y,z) sia possibile scriverlo come combinazione lineare degli altri due (base) .Se il determinante si potesse diverso da zero non lo sto considerando "legato" ai vettori di base .

[@MADDALENAGOMARASCA]

ottima videolezione come sempre professore. avrei una domanda: come mi devo comportare con una matrice 3x5 ad esempio? (la mia applicazione va da M2(R) a R3)

[@salvoromeo]

Buonasera Maddalena , intende dire che l'applicazione lineare è definita nello spazio vettoriale delle matrici di ordine 2 e in arrivo lo spazio vettoriale R³ ? Se per M2(R) intende dire lo spazio vettoriale delle matrici di ordine due deve trovare una base dello spazio di partenza ed arrivo e scrivere la relativa matrice associata. Non sapendo se ho inteso perfettamente (via messaggio è difficile dare indicazioni dettagliate ) mi corregga se ho inteso bene . In ogni caso ho realizzato un esempio in cui l'applicazione è definita nello spazio delle matrici .Se non riesce a trovarla sarà mio dovere indicare il link .

[@MADDALENAGOMARASCA]

@@salvoromeo Grazie mille, ha inteso perfettamente! Le chiederei gentilmente di indicarmi il link siccome sto avendo delle difficoltà a trovare la videolezione a riguardo…

[@salvoromeo]

@@MADDALENAGOMARASCA Ecco il link , magari non è un esercizio identico a quello cercato , ma fa capire come lavorate in presenza di applicazioni lineari in cui uno degli spazi vettoriali è quello delle matrici . kzbin.info/www/bejne/p3u9eZaeqb-igdE

[@francescociampi-zz3ln]

Salve prof. Scusi la mia ingenuità, ma l'espressione (equazione cartesiana) che caratterizza un sottospazio vettoriale è anche una funzione oltre ad essere una equazione?

[@salvoromeo]

Buongiorno un equazione è da definirsi tale quindi non è una funzione .

[@andreaaresu3374]

Scusi ma lei scrive al contrario? Questa cosa è fenomenale, ma magari è la telecamera che inganna. Complimenti per la spiegazione.

[@emanueleorlandi611]

Complimenti prof, vorrei porle una domanda: come devo agire se il testo mi chiede, dati due sottospazi, di determinare una equazione cartesiana per la somma dei due sottospazi? Grazie mille in anticipo

[@salvoromeo]

Buonasera Emanuele trova la dimensione dei due sottospazi U e V e della loro intersezione U intersezione V . A questo punto calcola la dimensione dello spazio somma , ovvero dim (U+V) = dim U + dim V - dim(U intersezione V) . Identificati il numero di vettori grazie alla dimensione "n" dello spazio somma scegli gli n vettori linearmente indipendenti ed è facile determinare la base . Detto così non rende giustizia e bisogna vedere a livello pratico l'esercizio . Ti faccio un esempio se U = L { (1,-1,0) ,(1,1,0) } e V=L { (0,0,1) , (1,-2,0) } , noterai svolgendo dei calcoli che dim U= dim V = 2 mentre dim (intersezione ) = 1 ,quindi dim (U+V) = 2+2-1= 3 e se ti fai i conti ottimo che una base dello spazio somma può essere { (1,-1,0) ,(1,-2,0) ,(0,0,1) } . Mi dispiace per la spiegazione poco efficiente via messaggio (che non gradisco tanto dal momento che non è il massimo ) , ma per lo meno spero di aver dato un 'idea .

[@emanueleorlandi611]

@@salvoromeo Grazie mille prof, questa spiegazione mi era davvero necessaria. L’esempio fatto chiarisce di più la spiegazione preannunciata. Grazie ancora e scusi per l’orario 😅

[@salvoromeo]

@@emanueleorlandi611 Nessun disturbo .

[@giovannidemarchi9636]

Salve professore, complimenti per il suo canale! Mi potrebbe accertare un dubbio? È possibile che uno spazio vettoriale abbia diverse equazioni cartesiane e non solo una coppia predefinita (come nel caso delle basi)? Per esempio quando trova le equazioni cartesiane dello spazio vettoriale W, se io avessi scelto come sottomatrice (1 x / -1 y) e poi (-1 y / 1 z) la seconda equazione sarebbe risultata diversa dalla sua, ma questo non sarebbe considerato un errore giusto?

[@salvoromeo]

Buongiorno Giovanni .Domanda molto interessante .La risposta è affermativa , nel senso che tutto è equivalente .In base alla svelta fatta delle sottomatrici e si ottengono equazioni apparentemente diverse . Ad esempio se si ottiene un sistema di due equazioni come segue { x+y=0 ; x-y=0. Questo è equivalente a {x=0 ; y=0 dove le equazioni sono ottenute dal primo sistema eseguendo semplici riduzioni . Quindi vada tranquillo da questo punto di vista .

[@salvoromeo]

PS :Nella scelta delle sottomatrici deve stare solo attento a non sceglie due sottomatrici che portano alla stessa espressione in quanto avrebbe due equazioni proporzionali .

[@giovannidemarchi9636]

Grazie mille per la pronta risposta, è stato molto chiaro@@salvoromeo

[@giovannicioffi2572]

Anche in questo caso si potrebbe utilizzare Sarrus prof?

[@salvoromeo]

Se matrici di ordine 3 si .Laplace si può utilizzare sempre .

[@stefanomanci7211]

complimenti per la semplicità con cui ci fa capire questi argomenti. volevo chiederle se poteva fare un video, una spiegazione per quanto riguarda le matrici di cambio di base e l'endomorfismo per il caso delle matrici simili con la formula: B=M^-1 x A x M dove A e M sono matrici quadrate tali che esiste M invertibile. non c ho capito niente!! confido in lei in un futuro video, grazie mille e complimenti ancora.

[@stefanomanci7211]

A e B sono matrici quadrate*

[@salvoromeo]

Buonasera Stefano , grazie per le belle parole . Per rispondere ala Sua domanda , con piacere rilascerò una lezione su come diagonalizzare una matrice A e in questo caso illustrerò passo dopo passo come determinare la matrice M tale che M^-1 A M è uguale ad una matrice D .In questo caso M è la matrice del cambio di base . Se ha già visto la lezione di questa playlist denominata "matrici diagonalizzabili" ho accennato a qualcosa , ma in quel contesto non mi sono soffermato sulla determinazione della matrice M .Presto la lezione sarà rilasciata . Spero che la Sua richiesta riguarda quanto ho scritto sopra .In caso contrario mi contatti (anche tramite comento pubblico ) e con piacere cercherò di venire in aiuto. Per l'occasione grazie ad un suggerimento di un utente tramite comento pubblico , ho realizzato questa lezione (equazioni cartesiane ) che ha contribuito a migliorare il contenuto di questa playlist . Da parte mia ringrazio tutti voi .

[@stefanomanci7211]

@@salvoromeo buongiorno professore. Si, l argomento è quello. La cosa più ostica è la notazione usata soprattutto durante le dimostrazioni introducendo matrici [Id]. Aspetto con ansia la sua lezione. Grazie mille.

[@salvoromeo]

@@stefanomanci7211 ci sarà una lezione sul cambiamento di base per applicazioni lineari in generale e una nel caso di endomorfismo (diagonalizzabile ) e mi concentrerò sulle applicazioni pratiche . Al di là della dimostrazione la cosa importante è capire il significato e capire come agire a livello pratico. Abbiate pazienza (parlo al plurale poiché molti stanno attendendo) che arriverà anche questa parte .

[@stefanomanci7211]

@@salvoromeo sisi infatti ho bisogno prima di capire cosa sono quelle cose, una volta capite sicuramente mi rimarrà più facile a me , come ad altri sicuramente, capire le dimostrazioni.

[@dinochiari3647]

Ti trovo elegante oggi. Giacca e cravatta. Allora il vettore (5;1;2) non è combinazione di questi altri due (0;1;-1) e (1;-1;2). Quindi ne è indipendente. Mentre questi due hanno determinante 0, quello lo ha pari a 2.

[@salvoromeo]

Esatto quindi non appartiene al sottospazio .A ragion di ciò , non soddisfa le equazioni cartesiane .Si potrebbe anche dimostrare diversamente senza utilizzare le equazioni cartesiane , in ogni modo ho voluto forzare .

[@luk_book2309]

6:50 e' 1 * (z +y) giusto? e non -1 * (z+y)....non so se leggera mai questo commento

[@salvoromeo]

Buonasera confermo che è "meno uno" per (z+y ) e NON +1

[@luk_book2309]

@@salvoromeo ho capito, perché è dispari quindi (-1), scusi il disturbo

[@edoardopisoni7429]

come fai a scrivere davanti a te non dovresti girarti? Scrivi su uno schermo trasparente?