Somma diretta di due spazi vettoriali .Significato ed esercizio svolto .

Somma diretta di due spazi vettoriali e sua caratterizzazione .
Con la presente videolezioni affronteremo il problema della somma di due spazi vettoriali su un campo K , e in particolare ci soffermeremo nel caso in cui la somma è diretta.
Un semplice esercizio chiarirà immediatamente il concetto .
Per la corretta comprensione del presente contenuto didattico , è importante saper calcolare il rango di una qualsiasi matrice , e saper determinare la dimensione e la base di un qualsiasi sottospazio vettoriale .
Di seguito elenco i rispettivi link :
• Rango di una matrice .... (Rango di una matrice )
• Come trovare una base ... (determinare una base di un sottospazio vettoriale )
#salvoromeo #algebralineare #sommadiretta

[@samuelebroccolo3805]

ogni tanto vengo a ripescare i tuoi video, ora sono al terzo anno di ingegneria, ma non posso fare a meno di rimanere estasiato come fosse la prima volta dalle tue spiegazioni...Sei veramente fenomenale prof. ed è proprio per questo che due anni fa mi hai veramente salvato ahahahah.

[@claudiagallo6489]

Sei stato davvero prezioso 🙏🏻🙏🏻 grazie!!

[@salvoromeo]

Grazie a te

[@walteravvento1320]

Molto semplice ma chiarisce molto, grazie.

[@1965Cataldo]

Caro Salvo, ogni volta che stappi un pennarello ho paura che buchi lo schermo! Forse se li appoggi su un tavolino già aperti andresti anche più spedito. Va bene, consentimi questa divagazione. Era solo per salutarti e farti i complimenti. E' sempre un piacere ascoltarti.

[@salvoromeo]

Grazie per il simpatico commento 😁🙂 . È tutto in sicurezza comunque nonostante cambio un pennarello ogni 10 secondi 😁. Seriamente parlando, sono consapevole che potrei andare molto più veloce utilizzando un solo pennarello , ma preferisco utilizzare più colori in modo da rendere istintivi i vari concetti e spesso i colori aiutano molto a memorizzare .Spiegare lento non mi dispiace affatto , dal momento che consente allo studente di seguire meglio ed evitare di tornare indietro e rivedere più volte una stessa scena .. Grazie per il commento e lieto che i miei contenuti siano di tuo gradimento .Ancora grazie . Buona serata .

[@nicopolicina344]

grazie mille professore, continui cosi

[@salvoromeo]

Grazie per il gradimento Nico .

[@claragaleati2988]

Grazie mille per il video, mi è servito molto :)

[@salvoromeo]

Mi fa piacere che il video sia stato utile .Grazie per la scelta .

[@pinomugo8960]

11:43 Se la somma è diretta allora la dim dell'intersezione è zero : vale anche il viceversa ? cioè se nell'intersezione c'è solo il vettore nullo , ALLORA LA SOMMA E' NECESSARIAMENTE DIRETTA ? Come si dimostra che una somma è diretta partendo dal fatto che l'intersezione ha dimensione zero? grazie

[@salvoromeo]

Certamente , se l'intestazione di due sottospazi vettoriali è il sottospazio nullo (ovvero quello contenente il vettore nullo ) la somma è diretta .Vale anche il viceversa .

[@marcosisto8762]

Salve professore, avrei bisogno di un aiuto su questo esercizio, preso dal Sernesi. La traccia mi dà il piano H di equazione X1+X2-X3=0 e il vettore u=(0,1,1) e richiede, una volta verificato che R³ è somma diretta tra e H , di scrivere l'espressione analitica della proiezione p:R³-> H nella direzione . Ora, il vettore u appartiene al piano H, quindi l'intersezione tra H e non è , ma allora non può esserci somma diretta tra e H (E inoltre H+ ≠ R³) Non so se sbaglio qualcosa io. La ringrazio dell'aiuto!

[@salvoromeo]

Buonasera , ho appena letto il messaggio .In effetti l'equazione cartesiana di H vale X+Y-Z=0 , mentre il sottospazio vettoriale generato da u=(0,1,1) ha equazioni cartesiane X=0 , Y-Z=0 . Noto anche io che il sistema di tre equazione a tre incognite non è determinato ma ammette infinite soluzioni e quindi non può essere somma diretta . Per sicurezza mi invii tramite email la foto originale dell'esercizio in modo da essere certo (ovviamente se può ) . Tramite messaggio e senza un riferimento rischio di dire cose poco precise .

[@marcosisto8762]

@@salvoromeo la ringrazio della risposta. Alla fine ho accertato che si tratta di un errore del testo!

[@emanueleorlando5787]

C'è qualche video che spiega quando una somma tra 3 o più sottospazi vettoriali è diretta? Perché sinceramente non lo sto capendo

[@salvoromeo]

Buongiorno Emanuele , non ho caricato video a riguardo poiché il concetto è analogo .Se hai tre sottospazi di H detto U ,V,W , si dice che H è somma diretta di U,V,W quando ogni vettore di H lo si può scrivere come somma di un unico vettore di U , un unico vettore di V ed un unico vettore di W . Lo so può estendere anche a più di tre sottospazi .

[@ProtocolloFantasma]

Prof ma come fai a realizzare questi video con questo effetto a vetro?

[@maurizioinrete4747]

Presumo che scriva su un vetro o altra superficie trasparente, da sinistra verso destra, e poi al computer ribalta l'immagine in modo che sembri scrivere da destra verso sinistra.

[@giannicolombo3993]

Me lo stavo chiedendo anche io 😃

[@franco50ino]

@@maurizioinrete4747 grazie maurizio cercavo la risposta a questo quesito da troppo tempo, una buona giornata

[@ilariatomei8286]

scusi ma perchè la base di W non è (1,1,0)?

[@salvoromeo]

Buonasera , può andare bene anche quel vettore che ha deciso Lei (1,1,0) ma solo questo non basta (concetto che ho raccomandato nelle lezioni precedenti) .Di conseguenza ne deve scegliere un altro altrimenti non possiamo parlare di base del sottospazio vettoriale W .

[@eros5610]

Nell’ ultimo esercizio basta solo Rouchè-Capelli per verificare che vi sia una somma diretta?O è dovuto al fatto che i 3 sistemi siano omogenei?

[@eros5610]

Altra domanda (e spero di ricordare bene) i vettori generici utilizzati per lo spazio V e W sono basi canoniche?

[@salvoromeo]

Buongiorno per verificare che la somma è diretta basta verificare la condizione necessaria e sufficiente , ovvero che la dimensione dello spazio intersezione sia zero .Per fare questo ci serviamo dei sistemi lineari come avrà già visto nelle lezioni propedeutiche a questa .

[@eros5610]

Si, ho già visto i video sul rango di matrice e sulla determinazione della dimensione di un sottospazio vettoriale, però purtroppo (come spesso mi succede con diversi argomenti) tendo a dimenticare dei passaggi. Nel caso specifico, potrebbe dirmi, se può, come faccio a verificare la condizione?

[@lc2566]

Affinchè siano somma diretta basta che le equaz cartesiane siano indipendenti?

[@salvoromeo]

Diciamo che io sistema di n equazioni in n incognite deve essere possibile e determinato .Poiché il sistema è omogeneo si deduce che l'unica soluzione è la n-upla nulla (0,0...0)

[@andreabertazzoli6414]

Grande video Ma quando facciamo V+W Intendiamo la somma di SPAZI VETTORIALI oppure di SOTTOSPAZI VETTORIALI di uno stesso spazio (ad esempio R3) Perché se possiamo sommare due spazi vettoriali potremmo fare anche R3 + R4 che non sarebbe ammissibile

[@salvoromeo]

Buongiorno Andrea . Si tratta sempre di spazi vettoriali o sottospazi coerenti . Non ha senso fare la somma di un sottospazio di R³ e uno di R⁴ . Ha fatto bene a sottolineare tale questione .

[@andreabertazzoli6414]

@@salvoromeo grazie Ero andato un po’ in tilt sul fatto che se prendo lo spazio R^3 che già di per se contiene tutte le terne reali e lo sommo ad un un altro R^3 avrebbe poco senso Però pensandoci si potrebbe concepire R^3 dei numeri pari e sommarli ad R^3 con i numeri dispari o tante combinazioni di questo genere Comunque video veramente top

[@dinochiari3647]

Il vettore (10;10;10) oltre a essere somma dei vettori (1;1;1) e (9;9;9) può esserlo anche dei vettori (11;11;11) e (-1;-1;-1) oppure (13;7;12) e (-3;3-2). Le combinazioni sono tante.

[@pinomugo8960]

infatti nella definizione ha specificato che la somma NON E' UNICA ( esiste ALMENO un vettore in V e almeno un vettore in W tali che u= v+w )

[@salvoromeo]

Si Dino infatti come ha correttamente spiegato Pino Mugo nel commento sopra , esiste almeno un vettore nel primo spazio e almeno uno del secondo . L'esempio è molto indicativo e banale .Avrei potuto dire anche (9,9,1) +(1,1,9) oppure (7,7,2) +(3,3,8) , purchè (9,9,1) e (7,7,2 ) appartengono al primo sottospazio V e i rimanenti due al secondo sottospazio . Quando la somma è unica invece si dice "diretta" e tale concetto è molto importante quando rilascerò le lezioni a seguire .

[@sergiorolando3079]

L'esempio iniziale è un po' fuorviante: i 3 sottospazi non possono essere disegnati disgiunti, devono avere in comune almeno il vettore nullo. Inoltre non è solo che ogni u è somma di un v e un w, ma anche che tutte le somme v+w devono stare in U

[@lagiadha7215]

non ho capito come ha fatto a dire che la dimensione di V intersecato a W è 0

[@salvoromeo]

Buongiorno teorema di Rouché Capelli e altre nozioni spiegate nelle lezioni precedenti (sempre in questa playlist) Mi sono permesso di evitare la spiegazione di tale parte poiché essendo una lezione catalogata in una playlist ho dato come scontato la conoscenza delle lezioni precedenti dove ho spiegato come determinare la dimensione di uno spazio vettoriale .Questo lo faccio al fine di non allungare molto la lezione . Comunque dim V^W=0 poiché dim (V^W) = n- r =3-3=0 Le auguro una buona giornata .

[@lagiadha7215]

@@salvoromeo grazie mille

[@sergiorolando3079]

Nell'esercizio in realtà hai verificato solo che la somma V+W è diretta, ma non che dà tutto IR^3; se le dimensioni fossero state 1 e 1, W+V non sarebbe stato tutto lo spazio