ТАТЬЯНИН ДЕНЬ! Задача зрителя. Предложи свое решение!

В тр. ABC првоедена биссектриса BD, на ней тчока F, через кторую проведена KE паралльная AC. АF=AD, BK=4, KA=2. Найти BE.
#геометрия_8_класс #подобиеТреугольников

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за подробный разбор задачи.

[@nickvin3212]

Интересная задача,устно решить не смог.Но стоило также продлить АF, и решение готово,АВ=ВЕ,тк треуг АFB и BFE равны!( По стороне и двум углам)Спасибо автору канала.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-xc5ko7ns2y]

Зелёный равнобедренный.Значит внешние к ним углы 180-х.А Соответственный угол при параллельных и секущей тоже 180-х.И жёлтые треугольники равны по двум углам и общей стороне.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@user-mx1qh7cc4h]

@@GeometriaValeriyKazakov Я так же решил - без доп. построений (уже говорил, что а) стараюсь без них, имея опыт в геодезии, где это часто невозможно даже в пределах фигуры, б) даже рекомендую "градации" сделать, т.е. решить с доп. построениями или же без них, если возможно или же так, чтоб они не выходили за пределы рисунка), вычислив равенство углов AFB и BFE и как следствие тр-ков (по одной общей стороне и 2 углам при ней) с этими же вершинами. Спасибо, Валерий Владимирович! С праздниками вас, желаю всего самого лучшего, прежде всего одного - СБЫВАЕМОСТИ всех этих пожеланий (а то желать мы можем чего угодно, но часто заведомо несбыточного)!

[@user-cj7ed6gu8c]

​@@user-mx1qh7cc4hПо подобию треугольников ABD и DBC, у них углы при вершине B равны, сторона BD общая и Я исходил из того, что BC=9.

[@user-th9zt3gu5q]

просто фантастика!!! спасибо!

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам.

[@MrEkokadr]

Решено устно,одним взглядом.Спасибо за предложение.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично! Теперь ДЗ!

[@user-wf7dk4sm9w]

Провести секущую АЕ(КЕ||АС), доказать, что она перпендикулярна биссектрисе т.к делит зелёный треугольник на два равных ( по двум сторонам и углу между ними)и пройдет через середину стороны FD равнобедренного треугольника АFD, затем провести перпендикуляр к биссектрисе из точки К.Эти два перпендикуляра к биссектрисе отсекут отрезки 4 и 2 соответственно.Тогда ВЕ =6

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@user-ig8de5jf6h]

Продлим верхнюю зеленого Между красной и нижн зеленого один угол т.к. паралл И с продлением один угол как накркст леж Получаем 2 равных тре-ка по углам и обз стороне Выходит часть 4 а сторона 6 И равный ему тре-к Получается х=6

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@user-cj7ed6gu8c]

Можно продолжить задание и найти стороны EC ,BC. По теореме Фалеса, они будут равны 3 и 9 соответственно, если не ошибаюсь.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Интересная мысль.

[@P.S.Q.88]

Как же вы доказали, что соответственные стороны правой половины всей конфигурации (а именно "ВСД") в полтора раза больше, чем соответственные стороны левой половины (а именно "ВАД")?

[@coda6702]

Продливаем AF до O, угол AFD = a = ADF, EFD = a, так как AD || KE, KFB = EFD = a, AFD = BFO = a, из этого следует что углы FKA и FOE равны (BF - биссектриса), KFA = OFE, из этого следует что треугольники BAF и BEF равны по стороне (BF) и двум прилежащим к ней углам, то есть AB = BE = 6

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@dmitry-ie3vd4ll2z]

ПродлЕваем.

[@coda6702]

@@dmitry-ie3vd4ll2z душнила

[@MrEkokadr]

Тянет к Вашему каналу даже "в виду ограниченности жизни".(77скоро).Всем успехов и успешности.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Это приятно!

[@innaveltman5646]

ABF~BDC по двум углам.Из подобия и Талеса в АВС ВЕ=2х, ЕС =х. 6/3х = ВF/BD= 2/3. X=3, BE=6 Ой. Ещё один способ доказательства теоремы о биссектрисе.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@adept7474]

Я извиняюсь, если что, но мне авторское решение показалось несколько длинноватым. ∠ADF = ∠DFE (накрест лежащие) = ∠AFD (в равнобедренном ▲AFD). ▲ABF = ▲BFE (по общей стороне BF и двум прилежащим к ней углам). АВ = ВЕ = 6. Р. S. А нужно ли 4 и 2, или достаточно АВ = 6?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Так я ж сказал, что вы гении. А я змотанный вечером, еле придумал хоть что-нибудь.

[@adept7474]

Берегите себя. По три в день - занадто!@@GeometriaValeriyKazakov

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ок, тогда сегодня 2.@@adept7474

[@adept7474]

Одобрям- с @@GeometriaValeriyKazakov

[@igorrromanov]

Второе, более долгое решение 1) Продлим AF до ВС и точку пересечения отметим Р. 2) Угол BFE = углу KFA + угол AFD 3) Угол DFP = углу DFE + угол PFE (равный углу KFA) 4) Таким образом 180° = 2 BFP (или 2 DFE или 2 KFB) + угол PFE (или KFA) 5) Угол BFP = углу KFB 6) Отсюда треугольник BFK = треугольнику BFP по общей стороне и двум углам 7) Отсюда KF = FP И KB = BP = 4 8) Угол АFB = AFK + KFB = PFE + BFP 9) Отсюда треугольник AFB = треугольник треугольнику BFE по общей стороне и двум углам 10) Отсюда РЕ = КА = 2 11) ВК:ВЕ как KA:EC как 2:3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@vkr122]

Перегибаем рисунок по AD и точка Е совпадет с А ( углы AFD=DFE) и задача решена!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@user-wf7dk4sm9w]

А можно и не проводить перпендикуляр из точки К к биссектрисе, уже видно, что АВ рана АЕ ( свойство перпендикулярна к биссектрисе)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-ib8ss9nj4j]

Браво маэстро.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо, а я опасался, что не понравится.

[@dmitry-ie3vd4ll2z]

Пусть

[@dmitry-ie3vd4ll2z]

И никаких дополнительных построений!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-yf1zt2dg8m]

Продлеваем биссектрису FAD до E... Ответ 6

[@GeometriaValeriyKazakov]

А почему она попадет в E? Мне не удалось это быстро обосновать.

[@user-yf1zt2dg8m]

@@GeometriaValeriyKazakov Слева-справа от ВД два равных прямоугольных треугольника по общему катету и равным углам.

[@mrcay256]

Тр-ки ABF и EBF подобны по 2м углам (beta\2 и gamma). Отсюда BE\6=1\1, то есть BE=6.

[@user-su3bu1ks2e]

И не надо дополнительных построений. Похоже Ландау искал наипростейшее решение.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@adept7474]

Они не просто подобны, они равны по общей стороне BF и двум прилежащим к ней углам.

[@igorrromanov]

1) Угол AFB = углу BFE = KFB + KFA 2) Треугольники ABF и BFE равны по общей стороне и двум углам 3) Отсюда AF = FE 4) Отсюда АВ = ВЕ = 6 5) ВЕ:ЕС как ВК:КА = 2:1 6) Отсюда ЕС = 3 Это решение, увы, стандартное. Где взять другое? Ума не приложу

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.