Как доказать, что определённый интеграл от функции x·e^(x-x^2) на отрезке [0,1] меньше, чем (e-1)/e?

Доказать, что определённый интеграл от функции x·e^(x-x^2) на отрезке [0,1] меньше, чем (e-1)/e.
Для решения задачи оценим сверху интеграл, стоящий в левой части неравенства. Нам потребуется сделать замену переменной t=x-1/2, после чего воспользоваться свойствами определённых интегралов от нечётный и чётных функций по симметричным промежуткам интегрирования. Далее оценим сверху подынтегральную функцию посредством построения касательной к графику подынтегральной функции, воспользовавшись выпуклостью вверх подынтегральной функции на промежутке интегрирования. От неравенства для функций перейдём к неравенствам для определённых интегралов от них, после чего, найдя интеграл в правой части неравенства, получим искомую оценку исходного интеграла справа достаточно простой рациональной дробью.
Нам останется лишь доказать, что эта дробь меньше, чем (e-1)/e, что достаточно легко сделать.

[@user-tt5ej7fy4z]

Можно же было в ряд разложить экспоненту и почти сразу ответ

[@FrolovSergei]

По поводу "почти сразу ответ" не уверен. Вы предлагаете "сходу" выполнить разложение, т. е. по степеням выражения x-x^2, без предварительных преобразований?

[@user-jt7eq8bc7s]

Скажите пожалуйста, а почему когда вы вернулись обратно от t к переменной Х вы не поменяли пределы интегрирования? Они становится ведь такими [1/2;1]

[@FrolovSergei]

@@user-jt7eq8bc7s Я не возвращался к переменной x. Я просто взял и заменил букву t буквой x. Мог бы заменить любой другой буквой. Определённый интеграл - это число, и он никак не зависит от обозначения переменной интегрирования. Точно так же я могу, скажем, в сумме индекс суммирования заменить любой буквой, в результате чего сумма не изменится. А вот в неопределённом интеграле так делать, конечно же, нельзя.

[@user-jt7eq8bc7s]

@@FrolovSergei спасибо! Кстати, по поводу комментариев выше: ещё до просмотра видео я пробовал решить вашу задачу через разложение в ряд, там действительно все непросто, суммы бешеные, какие только инструменты там я не использовал и бином ньютона и предел частичных сумм считал, почти дошёл до ответа, однако, возникла мысль, что вряд ли предполагается такое решение, зашёл сюда и увидел, что ряды не только мне в голову пришли😂

[@FrolovSergei]

@@user-jt7eq8bc7s "спасибо!" На здоровье! "я пробовал решить вашу задачу через разложение в ряд" Можно решать задачу и разложением в ряд. Но, с моей точки зрения, стоит предварительно проделать преобразования, приведённые в ролике, и раскладывать в ряд именно функцию exp(-x^2). Но, если мы разложим эту функцию в ряд по степеням x, то для получения частичной суммы, обеспечивающей нужную точность, причём, "с превышением", нам придётся взять три члена ряда. Тогда подынтегральная функция будет аппроксимирована полиномом четвёртой степени. А я обошёлся линейной функцией. Так что, полагаю, мой способ более рационален. Кстати, линейную функцию, использованную мной в качестве аппроксимирующей, можно получить и посредством разложения в степенной ряд функции exp(-x^2). Но только разложение нужно выполнить по степеням (x-1/2), после чего следует взять сумму двух первых членов ряда.