Как найти сумму числового ряда с общим членом (-1)^(n-1)ln(1-1/(n+1)^2), где n изменяется от 1 до ∞?

Найти сумму числового ряда с общим членом (-1)^(n-1)ln(1-1/(n+1)^2), где n изменяется от 1 до ∞.
Для решения задачи представим сумму исходного ряда в виде разности двух числовых рядов. Первый из них состоит из нечётных членов исходного ряда, а второй - из чётных членов, взятых с противоположными знаками.
Отдельно находим суммы этих двух рядов, сводя их к бесконечным произведениям и используя формулу Валлиса, после чего сумму исходного ряда вычисляем как разность найденных сумм.

[@Nikita-fx]

Красивая задача. Помню, как-то в своё время, препод по матану озадачил задачей с Кудрявцева, которую я так строго и не решил. Интересно было бы увидеть ваше решение, если вам не сложно! Задача красивая и не самая простая №65 предел функции Кудрявцев: Докажите, что upper lim(x → ∞, cosx + sin(√2 х) = 2

[@stormspirit3493]

sin(x)

[@Nikita-fx]

@@stormspirit3493 это оставшееся сложность вызывает

[@alfal4239]

@@Nikita-fxПусть m^2 = 2*n^2 + 1 (например, m=3, n=2) Тогда p^2 = 2*q^2 + 1, где p = m^2 + 2*n^2, q = 2mn Очевидно, p/q ближе к ✓2, чем m/n

[@FrolovSergei]

Спасибо за отзыв! Что касается задачи, то, надеюсь, пользователи @stormspirit3493 и @alfal4239 своими комментариями помогли Вам с ней разобраться.

[@denx476]

S1 и S2 можно же по свойству логарифма расписать

[@FrolovSergei]

Так я, вроде, так и сделал. От суммы логарифмов переходил к логарифму произведения и наоборот. То бишь данное свойство задействовал по полной.

[@denx476]

​@@FrolovSergei Вы запихнули всё под один логарифм, а можно было так: ln((2k-1)(2k+1)/(2k)^2)=ln(2k+1) + ln(2k-1)- 2ln(2k). Может я что-то путаю, но там в итоге получается что почти все члены сократятся

[@denx476]

Или тут ошибка? Просто тогда получается другой ответ.

[@FrolovSergei]

@@denx476 Вы всё правильно расписали, но там ничего не сокращается. Вообще ничего!