Как решить кубическое уравнение с двумя параметрами x^3-(a+b+1)x^2+(ab+2a-1)x-ab-a+b+1=0?

Рет қаралды 2,277

Ай бұрын

Решить кубическое уравнение с двумя параметрами x^3-(a+b+1)x^2+(ab+2a-1)x-ab-a+b+1=0.
Поскольку коэффициентами уравнения являются полиномы от a и b, то можно предположить, что и корни уравнения также являются полиномами от a и b. Если это так, то в нашем распоряжении имеется произведение этих полиномов: в соответствии с формулами Виета, оно равно свободному члену исходного кубического уравнения, взятому с противоположным знаком. Но это произведение представляет собой полином второй степени, а значит, если наша гипотеза верна, то один из сомножителей - это полином нулевой степени, т. е. константа, не зависящая ни от a, ни от b. Эту константу можно попробовать угадать.
После угадывания раскладываем на множители левую часть уравнения с помощью всё тех же самых формул Виета. Сначала - на линейный множитель и квадратичный, а затем - на три линейных. Последнее разложение фактически эквивалентно нахождению корней исходного уравнения.

Пікірлер: 16

@romank.6813 Ай бұрын

Ну-таки я не понимаю, в чём тут цимес? Из первого и третьего коэффициента корни прям-таки торчат, как уши кролика во время случки. Второй коэффициент - чиста для проверки.

@user-rj6jb2ue5t Ай бұрын

Сергей, Ваше видео в новом формате выглядит очень даже привлекательно. От старого формата отказываться тоже не стоит. Человек возле доски, в руках кроме фломастера и микрофона ничего нет. Шпаргалки отсутствуют. При этом человек демонстрирует глубокую математику. Это производит впечатление. Сергей, какой программой Вы пользовались при подготовке вот этого видео в новом формате ?

@FrolovSergei Ай бұрын

Виктор, спасибо за комментарий! От старого формата отказываться не намерен. Но есть такая штука, как выгорание. И я почувствовал, что, пусть небольшими, но верными шагами к нему приближаюсь. В частности, поэтому возникла необходимость сделать паузу в создании роликов в старом стиле. Я использую VSDC Video Editor. Но это непринципиально. Можно использовать любой видеоредактор, кроме совсем уж самых примитивных.

@Pentagidrad Ай бұрын

Наблюдения пока такие: из-за большого количества сшивок интонация скачет и повествование немного рваным получается, но я думаю это дело привычки. Мне еще показалось, что в виду отсутствия изображения вы пытаетесь скомпенсировать передачу эмоций голосом, но из-за этого немного неестественно звучите, но это опять же вопрос привыкания наверно

@FrolovSergei Ай бұрын

Спасибо за замечания! Всё по делу.

@user-xi5ht9ei1c Ай бұрын

Пусть p=a+b, q=ab+2a-1. Тогда уравнение легко факторизуется (х-1)•(х^2-рх+q)=0. P.S. Ваше решение красивей)

@gorleghado2938 Ай бұрын

если не ошибаюсь, то за q лучше взять ab+a-b-1

@FrolovSergei Ай бұрын

О, Janina, рад снова видеть Ваши комментарии! Спасибо!

@FrolovSergei Ай бұрын

@@gorleghado2938 Полагаю, что Вы не ошибаетесь, и за q, на самом деле, было взято именно это.

@alfal4239 Ай бұрын

Коэффициенты уравнения связаны: (a+b+1) = (ab+2a-1) +(-ab-a+b+1) +1. Поэтому для корней: (x1 + x2 + x3) = (x1*x2 + x2*x3 + x3*x1) - (x1*x2*x3) + 1. Т.е. (x1-1)*(x2-1)*(x3-1) = 0. Откуда x1 = x2 = x3 =1. Хорошее решение?

@FrolovSergei Ай бұрын

Я бы сказал так: это хорошая шутка!

@mp443 8 күн бұрын

Отличное решение, только надо было привести решение, а не решение))

@michaelpolishchukCAInc Ай бұрын

У меня претензия,скорее, одна. Задача и вправду легкая, зная фокусы с суммой исходных коэффициентов. Но...почему при перечислении корней стоит знак системы?

@FrolovSergei Ай бұрын

Потому, что я ввёл отдельные обозначения для корней. В результате, формально мы имеем дело с системой уравнений с тремя неизвестными. Правда, тривиальной, т. е. уже разрешённой относительно всех неизвестных. Если бы я не вводил отдельных обозначений для корней, и в левой части каждого уравнения стояло бы "x", то речь, разумеется, шла бы о совокупности уравнений, а не о системе. Это два возможных способа записи ответа к задаче. Возможен ещё и третий способ, в рамках которого ответ записывается в виде множества всех корней уравнения: берём и перечисляем элементы множества внутри пары фигурных скобок. Все три способа записи ответа, с моей точки зрения, имеют право на существование. Никаких проблем здесь я не вижу.