Признаки делимости | Сравнение по модулю | Ботай со мной

#БотайСоМной #035
Признаки делимости
- признаки делимости на 2, 5 и 10
- признаки делимости на 4, 20, 25, 50 и 100
- признаки делимости на 8 и 16
- признаки делимости на 3, 9 и 11
- признаки делимости на 7 и 13
Заявки на ролики: youtubetrushin.reformal.ru/
Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: foxford.ru/library/courses?re...
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
foxford.ru/courses/940/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
foxford.ru/courses/939/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
foxford.ru/courses/938/landin...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:
foxford.ru/courses/937/landin...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
KZbin-канал: / trushinbv

[@MrPe4KiN96]

Как же это круто, когда узнаёшь как это работает, и всё оказывается так просто

[@whereispie]

Божественно! Самый лучший преподаватель и подача материала !

[@user-yw7gx5pn6m]

Спасибо огромное за ваш труд, ваши видео помогают не только ученикам, но и учителям))

[@kemsekov6331]

был достаточно холоден к математике пока не начал изучать теорию чисел, и только благодаря вам я не забросил это) Спасибо!

[@boykissermaths]

самый интересный раздел математики)

[@maiiaskrypnyk5234]

@@boykissermaths для проггеров :)

[@saidamir6538]

Спасибо большой, Борис!!! Очень много дал

[@Oleg-kw8wl]

Как же это круто! Спасибо!

[@Egor_179]

Супер! Прекрасно, намного проще чем в других источниках!!!!!

[@maismullimindrslri2232]

огромное вам спасибо.ВЫ ОДИН ИЗ ЛУЧШИХ.

[@dolbe3144]

Хорошее видео. Полностью разобрался, откуда эти признаки. Спасибо Борис.

[@drotikdrotik5941]

Все было отлично, все понятно, идеально!)))

[@alilis6792]

Спасибо Вам огромное

[@fedorodoro]

топчик объяснение

[@user-oq4cc7rs3g]

Спасибо!

[@almatytelecom1]

отличное видео

[@crazufithman2737]

Классс!!!

[@lenarkhannanov962]

По 3 - триады А по 4 - тетрады Наверно, так

[@e30marta]

лучший

[@aidarbegimbetov9328]

Признак делимости на 3 и 9 на 6 мин.02 сек - цифру а0 нужно тоже умножить на 1. Это может для всех очевидно, но мне почему- то не сразу было понятно почему сумма всех цифр входит, в т.ч. а0

[@user-ft2bb8xf8w]

Классно

[@AngryBro]

Расскажите про комбинаторику и теории вероятностей. Самые непонятные (мне) разделы математики, без понятия откуда берутся всякие формулы умножения вероятностей, сложения, бред вобщем. Думаю я не один такой. Надоело решать вероятности, не понимая как это работает.

[@trushinbv]

Оставляете свои запросы здесь: youtubetrushin.reformal.ru/

[@clockfixer5049]

можешь khan academy на русском посмотреть, он очень доступно, на пальцах объясняет вероятность.

[@almatytelecom1]

отлично

[@user-ft2bb8xf8w]

Уважаю

[@MrDjaaxtu]

Здравствуйте, ваш постоянный зритель на связи ))) Совсем недавно услышал про признак делимости на 7 - надо взять число, обросить последнюю цифру и из результата вычесть два раза последнюю цифру, если итог делится на 7 - то и число делится. С одной стороны, это попроще, чем признак делимости на 7 из этого видео, с другой стороны я тут чиркал на бумажке и не понял, откуда такой признак взялся.

[@trushinbv]

Этот признак сложно применять для многозначных чисел (на каждом ходу становится число, в котором всего на один знак меньше, чем в предыдущем), и, в отличии от того, что обсуждается в ролике, он лишь отвечает на вопрос делится или нет, но ничего не говорит об остатке

[@trushinbv]

Вышла новая серия "Ботай со мной": Странный признак делимости на 7 kzbin.info/www/bejne/Y4a5aGupn7OMp5Y

[@user-yl3mu1ni8y]

Слово в защиту 12-теричной системы счисления. У тройки бы правда не было бы такого красивого признака делимости, зато у нее был бы другой признак делимости, более простой) Если последняя цифра делится на 3, то и число делится на 3. Как и 2, 4, 6 так как это делители числа 12.

[@bumbarabun]

16 лучше - с компьютерами было бы проще работать :)

[@user-yl3mu1ni8y]

@@bumbarabun ерунду говоришь, 16 и так используют

[@bumbarabun]

@@user-yl3mu1ni8y ее используют, когда работают с компьютером. А если бы ее использовали в повседневной жизни, работать с компьютером было бы несравненно легче.

[@user-yl3mu1ni8y]

@@bumbarabun во первых, она не нужна всем, во вторых даже айти специалисты не так уж часто ей пользуются, а если и пользуются то в основном для констант, операции над двоичными числами люди редко делают. В отличии от 12 ричной, которая во первых нужна всем, во вторых даёт кучу крутых плюшек

[@user-Andrey-M-vt5wp7fg4k]

@@user-yl3mu1ni8y каких крутых плюшек?

[@user-sz5jc6ys4d]

Расскажите криптографию на эллиптической кривой

[@Sim-pp9xi]

вроде гранями называют группировки разрядов

[@vkarpinsky]

Есть простой признак делимости на 8 Возьмем 3 последние цифры числа. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда: - число сотен - четное и последние 2 его цифры делятся на 8, или число сотен - нечетное и последние 2 его цифры +4 делятся на 8. Пример. - Число сотен - четное: 232=2'32, 32 делится на 8, а значит, и 232 делится на 8. - Число сотен - нечетное: 712=7'12, 12+4=16, 16 делится на 8, а значит, и 712 делится на 8.

[@AlphaZero_o3o]

Класс! )))

[@clockfixer5049]

100 по модулю 8: 4, отсюда и вся наука

[@allbirths]

повышаем разрядность из-за остатков деления) 10/4=2.5 умножим на 10 и 100/4=25 , значит 100 сгодится. 10/8=1.25 умножаем на 100)) на 16 аналогично 10/16=0.625. Далее откидываем высшие разряды и остатки упрощаем как столбиком, на 8, значит -n*800 -n*80 -n*8. Проще работать в родной системе счисления, а не в десятичной, если не 5 и 2. Это и есть деление столбиком с сохранением остатка и результата

[@allbirths]

это потому что в нашей системе счисления есть пятерка, которая не делится пополам нацело, и от этого страдает разложение на множители, так как 5 уже есть в составе дробей. Наглядно видим связь через деление с двоичной системой

[@ragnarriok5508]

А ларчик просто открывался.)

[@vasyapupkin997]

снимите видео про признак делимости на 17 с доказательством

[@Realnyi_Daniel]

На 17 делится, если сумма числа без последней цифры и этой цифры, умноженной на 12, делится на 17

[@konevsk]

Прикинул - есть более простой признак: число делится на 17, если если разность числа без последней цифры и последней цифры, умноженной на 5, делится на 17. На 5 приятнее умножать. :)

[@user-vs7tw4br1l]

Приветствую, когда вы говорите например, что где-то там требуется 240б ЕГЭ, то вы имеете ввиду по сумме 3 предметов?

[@trushinbv]

Да

[@dmitryZONK]

Борис, у вас есть видео с темой "Как понять смысл деления на число, меньшее единицы"? Лично я УМНОЖЕНИЕ на число, меньше единицы, понимаю, а вот ДЕЛЕНИЕ - нет))

[@user-xj4ou4sz6c]

Представьте в виде дроби, 0.1 = 1/10. А если вы делите на такую дробь, то по сути умножаете на 10/1 Ну либо торт делите допустим не на N частей а на 0.5N - логично что таких частей будет в 2 раза больше

[@nonisoul]

понятно

[@mr.freeze6866]

Здравствуйте,появился вопрос,как рассказать эту теорию на уроке,что бы все было коротко,и понятно для всех? Заранее спасибо!

[@trushinbv]

Как-то так и нужно. На уроке нужно чуть больше примеров и, в зависимости от уровня детей, стоит размазать на несколько занятий. Я в школе рассказывал это (все, что связано с делимостью) в 7 классе весь сентябрь.

[@mr.freeze6866]

Борис Трушин ,я вам очень благодарен! Закончил триместр на 5!

[@oooo-ut4qe]

Расскажите про комплексные числа

[@trushinbv]

Проголосуйте за это здесь: youtubetrushin.reformal.ru/

[@juyeong7117]

Доброе время суток. Интересует решение такого тождества: X ⁿ ≡ 1 (mod p) p - простое число. Очевидно что одно из решений x = 1, как найти остальные решения. Спасибо.

[@glebdrozdov3204]

х в нной = 1 в нной, тогда н можно просто убрать и решать без него т.е сравниваем х с единичкой, тогда все решения будут 1+ар, где а целое число

[@juyeong7117]

@@glebdrozdov3204 И чему равно а?

[@Ndochp]

@@juyeong7117 а=1 :)

[@nemoumbra0]

А откуда берутся другие признаки делимости? Например, при делении на 7 представление числа 693 в виде групп по три цифры ничего не даёт. В Википедии как-то читал, что надо умножить на 3 кол-во десятков и добавить кол-во единиц и это будет эквивалентно исходному числу. Т.е. 693 по модулю 7 равно (сравнимо) 69*3+3=210. Если мы почему-то не удовлетворены, аналогично можем дойти до 63, а это число уже есть в таблице умножения. Как был найден и доказан такой метод и подобные?

[@vkarpinsky]

@Nickolay Garbuzov Этот признак делимости на 7 основан на формуле: 10a + b = (3a + b) + 7a -> 3a + b Его можно применять и по одной цифре слева-направо. Например, для числа 693: 693 -> 6'9'3 -> 6*3 + 9 = 27, 27*3 +3 = 84 84 -> 8'4 -> 8*3 + 4 = 28 делится на 7, или проще: 6*3 + 9 = 27 (-21) = 6, 6*3 + 3 = 21. На любом шаге можно вычитать числа, кратные 7, а семерки заменять на нули. Если число не делится на 7, получаем остаток от деления (остаток сохраняется!)

[@bumbit8407]

а когда мы число разбиваем на три для проверки деления на 7 или 13, то это невозможно если колличество чисел не кратно 3?

[@user-ut5ri6qi3u]

Нужно просто слева приписать ничего не значащие нули

[@LukasKamin]

Не чисел, а цифр. Там все а от 0 до 9

[@LukasKamin]

Если цифр три или меньше, то наверно проще поделить в столбик))

[@stenty8464]

@@LukasKamin я думаю он имел ввиду вариант по типу 1234567, т.е мы должны от 567 отнять 234 и прибавить 001

[@LukasKamin]

@@stenty8464 да, именно так и надо, однако это не влияет на суть моего комментария, я говорю о том, что количество знаков соответствует количеству цифр, а не чисел

[@aleksandrkravtsov8727]

мне кажется вам надо какое то продвижение вне ютуба делать, типо какую то школу по матанализу с разбивкой по темам например, можт какое то комунити ютуб преподователей или типо такого

[@user-jl7mw2my8o]

А как найти например остаток при делении на 7 и на 13, если число пятизначное? (не получается две группы по 3 цифры, а одной группы мало) и т.п.

[@trushinbv]

12345 = 345 + 12*1000 = 345 - 12 = 333, последняя группа просо будет не из трех.

[@ffymontages6278]

глупый вопрос. Всегда можно добавить незначащий 0 в начале, который никак число не изменит.

[@allbirths]

@@trushinbv эти признаки изучались, наверное, еще с древних времен, до способа деления в столбик)) Очевидно же,что нужно упрощать, вычитая десятки, умноженные на это число, потому что 10 - это особая система счисления 5*2 и она неудобна для деления на другие числа, на 5 и 2 не делящиеся. Ну вот 12000 и 13 это да, удобно 1000 вычесть, а там остаток 12

[@allbirths]

@@ffymontages6278 а, это для удобства отделения хвостов ты написал, ну там просто по 3 цифры с конца.

[@allbirths]

В примере остаток от деления процентом обозначаю как в СИ. С каждой тысячи остаток 12, мы просто 12*12%13=144%13=1. Единица тождественная 1-13=-12, то есть остатку от -1000%13. Кстати, группировка же по 3 разряда не поможет в этом примере, да она редко где поможет, это когда мы уже будем тысячи с миллионами и миллиардами соотносить как степень, просчитав тысячу

[@user-ne3zi7tz9x]

1:12 СТО

[@user-zi5cn5bz5o]

Знаю что немного не в тему, но все же. Я уже поступил но не туда куда хотел, т.к. плохо сдал егэ. поступил на инженера. Планирую перепоступать на архитектуру, а значит пересдача егэ. Те знания которые нам дают на практике по матану может быть использована на егэ? а то когда сидел на апелляции встретил девушку которая решила 14ую с помощью матрицы и ей поставили 0 с аргументацией того, что этого в школьной программе нет.

[@user-zi5cn5bz5o]

как тогда понять что школьный, а что нет. как оказалось матрицу могут не засчитать, хотя в школе у нас она была, а параметрам в школьном учебнике страниц 5 уделено практически без объяснений, в тот момент когда мы уже прошли канонич. ур-ние параболы, гиперболы, окружности и эллипса. можно ли использовать терминологию и понятия "фокус", "характеристический прямоугольник" и т.п.? Просто если первую часть по школьной программе спокойно можно, 13,15, немного 17 тоже, то 14,16,18 в школе ну практически не изучаются (если не физмат). я к тому что школьного курса недостаточно для решения 2ой части

[@trushinbv]

На сколько я знаю, в 14 можно использовать аналитические методы, если аккуратно обосновать, почему в конкретной задаче можно использовать те или иные формулы. Институтские знания, конечно помогут лучше справляться с 7, 12 и 18 задачей, но это все. Ну, и все таки геометрию в школе 5 лет как-то изучают, поэтому 14 и 16 тоже вполне школьные, а 18-19 не требует каких-то специальных знаний.

[@user-zi5cn5bz5o]

ну, одно дело что должны изучать, а другое как преподают) 14 и 16 нам сказали "все-равно почти никто из вас ее не решит, так что пару занятий уделим и все" на 17 было выделено 3 урока, а на 18 и 19 ни одного. я конечно понимаю что любое образование это самообразование, но из пустоты знания тяжко брать) ну, надеюсь что не все будет так печально в следующий раз) спасибо

[@trushinbv]

А что вы изучали 5 лет на геометрии? Кажется, что после них и не нужны отдельные занятия про 14 и 16.

[@user-zi5cn5bz5o]

отдельные знания. ну типо формулы площадей, объемов, признаки, теоремы и т.п. но что бы решить задачу надо видеть ее и понимать. надо размышлять так, как нас не учили) может и научили бы, если бы не было людей которые тормозят из-за того что они не понимают. 45 минут (из которых 10 минут на сбор, перекличку и "типо проверка дз") очень мало времени для урока и закрепления материала. + ужасное преподавание. так что из нашей школы например только 2 человека 14 решили. за параметр я единственный получил не 0 баллов(еще раз спасибо за ваши уроки). конечно можно списать на то что у нас школа с углубленным иностранным, но профиль половина параллели сдавала из 3ех классов, так что нам должны были все это объяснять... в обычных школах практически не учат нормально сейчас

[@user-kl3ms2ou2z]

Как -1 mod 11 может быть равен 10 mod 11? В первом случае ответ -1, во втором 10...

[@lfybknhbufcjd6063]

Остаток положительный должен быть, поэтому 11*(-1)+10=-1 и 11*1+10=11. Остатки одинаковые, значит -1 и 10 сравнимы по 11

[@user-jg3vt2jq7j]

@@lfybknhbufcjd6063 кому он должен быть?

[@poof7566]

@@user-jg3vt2jq7j, а чего бы ему и не быть(.

[@poof7566]

@@user-jg3vt2jq7j, во-вторых, любой отрицательный остаток r (р-р-р) от деления на k можно представить в виде k+r.

[@vasyapupkin997]

Почему, если числа a и b сравнимы по модулю m, то они сравнимы и по модулю d, где d - делитель m?

[@vasyapupkin997]

пусть a=km+r, b=nm+r, 0

[@mega_mango]

Сам ответил на свой вопрос :)

[@user-bn4gf2jf4f]

@@vasyapupkin997 у тебя получается что, при делении на d, s, ds получается один и тот же остаток

[@user-eh1dh5kp6m]

Как-то в школе искали признаки делимости. На 7 не нашли, но нашли такие эмпирические признаки делимости на 4 и 8. Число делится на 4, если: - число десятков чётное и число единиц делится на 4 ИЛИ - число десятков НЕчётное и число единиц НЕ делится на 4. Число делится на 8, если: - число сотен чётное и пара первых чисел делятся на 8 ИЛИ - число сотен НЕчётное и пара первых чисел НЕ делятся на 8. Конечно же число должно быть чётным. Думаю, что подобное можно распространить на 16, 32, ...., но не проверял. О "признаке делимости на 8" написал в комментариях Vladimir Karpinsky 8 месяцев назад ))) Но у него описан немного по-другому.

[@vkarpinsky]

@Тимофей Пянзин Не совсем так. Для 4 - ок, а для 8 - проверьте число 526, оно не делится на 8, хотя 26 не делится на 8. Общий метод для 4, 8, 16. Число делится на 4, если число десятков четное и число единиц делится на 4; или если число десятков нечетное и число единиц+2 делится на 4. Число делится на 8, если число сотен четное и число десятков+единиц делится на 8; или если число сотен нечетное и пара младших разрядов+4 делится на 8. Например: 528 -> 5'28, 28+4 = 32 делится на 8. Удобный признак делимости на 7 (через умножение на 3) есть в комментариях (см). Да, эту идею можно распространить на 16 и 32. Признак делимости на 16. - Выделить последние 4 цифры числа: 'dcba - Если старшая цифра (d) - четная, просто отбросить ее: 'cba - Если старшая цифра (d) - нечетная, отбросить ее и прибавить 8 к оставшемуся 3-значному числу: 'cba + 8 = c₁b₁a₁ - В полученном числе умножить старшую цифру (c₁) на 4, отбросить ее и прибавить результат к оставшемуся 2-значному числу: 4*c₁ + 'b₁a₁ - Остаток сохраняется, поэтому в процессе счета можно вычитать числа, кратные 16. - Если результат делится на 16, то и исх. число также делится на 16, а если не делится, то получаем остаток от деления. Пример для числа 771536: 77'1536 ->1536 ->1'536 Старшая цифра - нечетная, поэтому отбрасываем 1 и добавляем 8: 536+8 = 544 -> 5'44, считаем сумму: 4*5 + 44 =64. Число 64 делится на 16, а значит, и 771526 делится на 16. Здесь можно и сразу: 4*5 (-16) + 36+8 (-2*16) = 16.

[@user-eh1dh5kp6m]

​@@vkarpinsky, к сожалению не получилось прочитать Ваш комментарий полностью, нет времени, позже ознакомлюсь. Но в делении на 4 у вас ошибка: "Число делится на 4, если число десятков четное;" 43 - 4 десятка и чётное, но на 4 не делиться.

[@vkarpinsky]

@Тимофей Пянзин Спасибо, исправил) Здесь нужно еще проверить делимость числа единиц на 4. Аналогично для 8 (два посл. разряда) и 16 (три разряда).

[@konevsk]

В формулировке ошибка: ______________________________________ Число делится на 4, если: - число десятков чётное и число единиц делится на 4 ИЛИ - число десятков НЕчётное и число единиц НЕ делится на 4. ______________________________________ Число 37 - число десятков НЕчётное и число единиц НЕ делится на 4. На 4 ну никак не делится. :)

[@mcdinii]

а если деление на 6 и на 8 , сумму остатка как найти ?

[@murlov2269]

Не могу понять почему остатки при делении 11 на 10 и -1 равны, подскажите пожалуйста.

[@clockfixer5049]

Обычный Пользователь десять минус одиннадцать = -1 (и по той же логике). В предыдущем ролике Борис это объясняет. Поищите.

[@murlov2269]

@@clockfixer5049 Спасибо

[@vkarpinsky]

Простые признаки делимости на 16 и 32 ДЕЛИМОСТЬ НА 16. - Выделить последние 4 цифры числа: 'dcba - Если старшая цифра (d) - четная, просто отбросить ее: 'cba - Если старшая цифра (d) - нечетная, отбросить ее и прибавить 8 к оставшемуся 3-значному числу: 'cba + 8 = c₁b₁a₁ - В полученном числе умножить старшую цифру (c₁) на 4, отбросить ее и прибавить результат к оставшемуся 2-значному числу: 4*c₁ + 'b₁a₁ - Остаток сохраняется, поэтому в процессе счета можно вычитать числа, кратные 16. - Если результат делится на 16, то и исх. число также делится на 16, а если не делится, то получаем остаток от деления. Пример. Делится ли число 771536 на 16? Выделяем 4 посл. цифры: 77'1536 ->1536 ->1'536 Старшая цифра - нечетная, поэтому отбрасываем 1 и добавляем 8: 536+8 = 544 -> 5'44, считаем сумму: 4*5 + 44 =64. Число 64 делится на 16, а значит, и 771526 делится на 16. Здесь можно и сразу: 4*5 (-16) + 36+8 (-2*16) = 16. Все эти вычисления легко выполнять в уме. ДЕЛИМОСТЬ НА 32 (аналогично 16). - Выделить последние 5 цифр числа: 'edcba - Если старшая цифра (e) - четная, просто отбросить её: 'dcba - Если старшая цифра (e) - нечетная, отбросить ее и прибавить 16 к оставшемуся 4-значному числу: 'dcba+16 = d₁c₁b₁a₁ - В полученном числе умножить старшую цифру (d₁) на 8, след. за ней цифру (c₁) на 4, отбросить их и прибавить результат к оставшемуся 2-значному числу: 8*d₁ + 4*c₁ + 'b₁a₁ - Остаток сохраняется, поэтому в процессе счета можно вычитать числа, кратные 32. - Если результат делится на 32, то и исх. число также делится на 32, а если не делится, то получаем остаток от деления. Примеры. Делится ли число 771536 на 32? Выделяем 5 цифр: 7'71536, 7 - нечетное. Считаем сумму: 8*1 + 4*5 + 36+16 (-32) = 16. Вывод: не делится, остаток равен 16. Делится ли число 8514336 на 32? Выделяем 5 цифр: '14336, 1 - нечетное. Считаем сумму: 8*4 (-32) + 4*3 + 36+16 (-32) = 32. Вывод: число делится на 32.

[@user-uc8lm9bd8k]

Скажите, пожалуйста, если количество цыфр в числе, например, 8 или 7 (т.е. не кратное 3), то как я пойму делится оно на 13 и 7? Такой же вопрос возникает про признак делимости на 33 и 99. Если кол-во цыфр не кратно двум, то как тогда? Спасибо заранее)

[@user-ut5ri6qi3u]

Нужно просто слева приписать нолики

[@vkarpinsky]

Есть простые признаки делимости на 7 и 13. ДЕЛИМОСТЬ НА 7 Возьмем старший разряд числа и умножим его на 3. Двигаясь вправо, прибавим следующую цифру. Вновь умножим результат на 3 и прибавим следующую цифру и т.д. до конца числа. Если полученное число делится на 7, то и исх. число делится на 7. На любом шаге можно сокращать результат на число, кратное 7. Пример: Число 973 делится на 7, так как 3х9 +7 = 34, 3х34 +3 = 105. Проверим число 105: 3х1 +0 =3, 3х3 +5 = 14 делится на 7. - Остаток сохраняется, поэтому все вычисления можно сокращать на число, кратное 7: 3х9 (-21) +7 (-7) = 6, 3х6 (-14) +3 = 7 - Все семерки в числе можно заменить нулями: 973 -> 903 и результат не изменится! 3x9 (-21) +0 =6, 3x6 (-14) +3 =7. - Если число не делится на 7, в итоге получаем остаток от деления. - Легко работать и с большими числами, даже если у них число знаков >3. - Метод основан на простом соотношении: 10a + b = (3a+b) + 7a. ДЕЛИМОСТЬ НА 13 (аналогично 7, с точностью до знака множителя (-3), потому что 10 = 7+3 = 13-3) Простой признак делимости на 13. Начиная со старшего разряда числа, двигаемся слева-направо и берем по одной цифре. - Число делится на 13, если результат умножения первой цифры числа на (-3) плюс следующая цифра (+ и т.д.) делится на 13. Пример: 637 делится на 13, так как (-3)х6 +3 =(-15) (-3)х(-15) +7 = 52. Теперь применим признак к числу 52: (-3)х5 +2 =(-13) делится на 13. - На каждом шаге остаток сохраняется! Поэтому для простоты можно прибавить число, кратное 13: (-3)х6 +3 (+13) =(-2), (-3)х(-2) +7 =13. - Если число не делится на 13, в итоге получаем остаток от деления. - Метод основан на простом соотношении: 10a + b = (-3a+b) + 13a.

[@konevsk]

Про 7 сложновато. Можно проще. Берём число без последней цифры, и вычитаем удвоенную последнюю. Если результат делится на 7, то и исходное делится. Понятно, что этот подход можно применить несколько раз, чтобы получить какое-то небольшое число. Для числа 973: 97 - 3*2 = 91 9 - 1*2 =7 Как-то попроще выглядит, правда?

[@konevsk]

Про 13 можно предложить аналогичное: берём число без последней цифры, и и плюсуем учетверённую последнюю. Если результат делится на 13, то и исходное делится. Для 637: 63 + 7*4= 63+28 = 91 9 + 1*4 = 13 Делится. Доказывается аналогично: 10а + b исходное чиcло. Добавим к нему 39b, которое заведомо делится на 13 (10a + b) + 39b = 10a + 40b = (a +4b) * 10 Т.о., если a +4b делится на 13, то и исходное тоже делится.

[@vkarpinsky]

@@konevsk Выглядит, возможно, и проще (привычнее), но есть пара неудобств: - невозможно узнать остаток от деления - невозможно упрощать результат на каждом шаге. И всегда проще добавлять по одной цифре, чем брать сразу всю левую часть числа. Для числа 973: 9х3 + 7 = 34 (-35 -> -1), -1х3 + 3 = 0 Или можно сразу вычесть семёрки из двух цифр числа: 973 -> 203 = 210 - 7 -> делится А в целом, конечно, дело привычки)

[@vkarpinsky]

@@konevsk Здесь тоже можно сразу упростить: 637 - 520 (т.е.130*4)= 117 = 130 - 13 -> делится.

[@konevsk]

@@vkarpinsky Ну. поскольку мне надо четверокласснику объяснять, то "проще" для меня и "лучше". :) Упрощать результат - да, это здорово, но это труднее объяснить мелким школьникам. Это уже надо навык нарабатывать, отдельная задача.

[@olegvaflya8922]

А как можно доказать признак делимости на 27?

[@trushinbv]

Я не знаю признака делимости на 27

[@olegvaflya8922]

@@trushinbv Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц)

[@olegvaflya8922]

Вообще меня заинтересовал этот признак после задачки: Переставив цифры в числе N, получили в 3 раза меньшее число. Докажите, что N делится 27.

[@trushinbv]

@@olegvaflya8922 а, да, есть такой. Доказывается так же как и для 7 и 13. Дело в том, что 999 делится на 27, поэтому 1000 = 1 (mod 27)

[@olegvaflya8922]

@@trushinbv Спасибо!

[@suprememaster1133]

В двоичной системе хороший признак делимости на 0. Все не делится

[@DK-tp8nj]

признак делимости на 17 легко посчитать.

[@mr.freeze6866]

Дизлайк поставил какой-то двоечник,который не понял тему)))