Путь к решению ➜ Доказать неравенство ➜ 3x²+2xy+y²+6x-2y+9≥0 ➜ Задача от Звавича

[@AlexeyEvpalov]

Равенство будет только когда оба неотрицательных слагаемых равны нулю. То есть выполняется система x+2=0 и x+y-1=0, откуда x=-2; y=3. Спасибо за решение.

[@МатвейКяссон]

Всегда круто решать уравнения самому, с этим я справился! Спасибо за ваш труд!

[@anamorfoplasis]

Но ведь в ролике не было уравнений...

[@mikaelhakobyan9363]

Представим все выражение как квадратное уравнение по отношению y. Тогда минимум этой функции достигается в точке -b/2a, то есть (1-x). Вместо y подставляем (1-x), чтобы найти этот минимум. Приводим подобные слагаемые, и получаем полный квадрат. То есть независимо от значения x, квадратное уравнение по отношению y всегда неотрицательно.

[@AlexeyEvpalov]

Минимум функции по y, будет при f'(y)=2x+2y-2=0, то есть при y=1-x. Подставив y=1-x и приведя подобные, получим 2x^2+8x+8=2(x+2)^2, что всегда неотрицательно.

[@eleven_caps]

Не всегда так можно делать. Равенство нулю производной - это лишь необходимое условие минимума. Попробуйте провернуть такое же с x^2 -y^2

[@AlexeyEvpalov]

​@@eleven_caps Если подходить строго, конечно нужно сперва доказать, что точка экстремума при f'(y)=0 именно точка минимума, так как вторая производная f''(y)=(2x+2y-2)'=2>0. И функция по x, в критической точке f'(x)=6x+2y+6=0 имеет минимум, так как f"(x)=6>0. То есть вся функция от двух переменных имеет минимум. В Вашим примере x^2-y^2, f"(y)=(-2y)'=-2

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

​@@AlexeyEvpalovесли быть еще строже, то нужно проверить не только f"xx и f" yy, но и f"xy

[@AlexeyEvpalov]

​@@ДмитрийЗиненко-р2у Совершенно верно. f"xy=(6x+2y+6)'=2>0, f"xx=6>0, f"yy=2>0. Достаточное условие существования минимума функции двух переменных.

[@RabochyGGsh]

@@eleven_caps , в данном примере коэфф. при y^2 равен +1, а потому ветви параболы направлены вверх, отсюда может быть только минимум.

[@ТимурРахимов-ц6в]

Спасибо вам за ваш канал! Благодаря вам, я : 1) Полюбил алгебру, геометрию и теперь сам ищу для себя задачи и решаю их ( и с вашего канала тоже :)) 2) Отписался от Этому не учат в школе, ведь у него нет большей части собственных и интересных задач, даже крал у вас 3) Поступил на углубленное обучение в РЕМШ ( Республиканская Естественно- Маьематическая Школа). Там есть много интересных задач, с которыми мне не трудно поделиться с вами ❤

[@ЛидийКлещельский-ь3х]

Бесхитростный комментарий « старого зубрилы». Квадратный трёхчлен : (1) f(x)=3*x^2+2*x*(y+3)+(y^2-2*y+9) ; (2) 3>0 ; (4) Dx/4=…..=-2*(y-3)^2)

[@ValeryVolkov]

Да, отличное решение, только там опечатка, у функции потерялось (-2y), а дальше всё верно.

[@ЛидийКлещельский-ь3х]

@@ValeryVolkov Благодарю ! Очепятку исправил)) . С уважением , Лидий

[@МаксимАндреев-щ7б]

3(x^2+2xy/3+2x)+y^2-2y+9>=0 3(x+y/3+1)^2+2/3 y^2 - 4y + 6 >=0 3(x+y/3+1)^2+2/3(y-3)^2 >= 0, т.к. это сумма квадратов с положительными коэффициентами.

[@mxcoyl]

Получается что вот так красиво решается не любая рандомная, а только специально подготовленные задачки. Там, где авторы наметили нам путь решения, и его остаётся только найти или угадать и проследовать к решению заранее приготовленным путём.

[@malishstas]

По сути дела, так построено 90% всех задач и примеров

[@ЭмильКим-у5й]

Метод 'обратной перемотки' 😁

[@anamorfoplasis]

А есть другой способ освоить методики и подходы к решению? Ну то есть да, можно заморочиться с дробными коэффициентами - будет не так красиво, но громозкие вычисления отвлекут от темы, которую надо усвоить. Или изначально поставить вопрос, верно ли какое-нибудь произвольное неравенство 2-й степени с двумя переменными. И сидеть искать там полные квадраты до посинения. Цель другая.

[@AlexMarkin-w6c]

Еще одно решение. 3x²+2xy+y²+6x-2y+9 >=0 3x²+(2y+6)x +(y²-2y+9) >=0 . Рассмотрим квадратное уравнение с переменной x. Дискриминант D=-8(y-3)² =0, то отсюда следует 3x²+(2y+6)x +(y²-2y+9) = 3x²+2xy+y²+6x-2y+9 >=0. Суммируя , решение с применением анализа дискриминанта с одной переменной x в квадратном уравнении.

[@COR1E]

А это можно решать например через квадратичную функцию?

[@АнтонСавин-и4т]

Если всё домножить на 6, то выражение можно будет расписать в виде (3х+2у)^2+9(х+2)^2+2(у-3)^2. Дальше понятно.

[@vladimirkorobtchenko1069]

Есть немного более простое решение. 3x^2+2xy+y^2+6x-2y+9 = 2x^2+(x+y)^2+6x-2y+9. Обозничим x+y=z, тогда y=z-x. После подстановки: 2x^2+z^2+6x-2(z-y)+9=(2x^2+8x+8)+(z^2-2z+1)=2(x+2)^2+(z-1)^2

[@AlexMarkin-w6c]

Красивое решение. Тут опечатка: 2x^2+z^2+6x-2(z-y)+9. должно быть 2x^2+z^2+6x-2(z-x)+9

[@vladimirkorobtchenko1069]

Спасибо! Точно опечатка.@@AlexMarkin-w6c

[@TUHAN23]

Добрый вечер! Валерий, нужна ваша помощь! Не могу разобраться вот с чем, если сказать простыми словами: IxI=2, к примеру, это означает, что Х такое число, отстоящее от 0 по разные стороны не далее чем 2 или Ix+1I=2, Х это такое число, отстоящее от -1 по разные стороны не далее чем 2. А как отобразить на числовой оси такой модуль: Ix+1I=2х

[@andreyfom-zv3gp]

Здравствуйте, могу помочь. В данном случае геометрическое определение модуля использовать трудно. Однако есть и алгебраическое. Рассмотрите случаи, когда подмодульное выражение отрицательно и нет. Решение вашего уравнения: Случай 1. x + 1 ≥ 0 (откуда x ≥ -1). Тогда модуль раскрывается, не меняя знака выражения. Таким образом, x + 1 = 2x, откуда x = -1. Так как это решение не противоречит предположенному неравенству, это одно из решений. Случай 2. x + 1 < 0, откуда x < -1. Тогда модуль раскрывается с противоположным знаком (так как модуль "превращает" все в плюс), таким образом: -(x + 1) = 2x; x = -⅓. В данном случае мы предположили, что x < -1, откуда -⅓ < -1, 3 < 1. Очевидное противоречие. Помните, что модуль сохраняет положительные числа и меняет отрицательные, меняя знак перед ними на плюс. Это определение эквивалентно геометрическому (в чем легко убедиться на координатной прямой), но удобнее в работе.

[@TUHAN23]

@@andreyfom-zv3gp Этот примерчик я сам придумал в качестве образца и алгебраически решил, потом попытался на числовой оси это отобразить, если от -1, (т.к. минус единица под модулем) вправо отложить 2Х, где Х=1, то попадаю в точку 1 и это один из ответов, а если 2*(-1/3)= -2/3, вот эта точка остается без понимания. Ладно, побьюсь еще завтра над этим

[@andreyfom-zv3gp]

@@TUHAN23 то есть, вам нужно именно геометрическое решение? Постройте график левой и правой части. Так тоже можно.

[@TUHAN23]

@@andreyfom-zv3gp Мне нужно отобразить оба решения данного примера на числовой оси, если это возможно, конечно, а если нет, то почему. Построил я график левой части-"галочку" и правой y=2Х, пересекаются в точке 1, а в (-1/3)-нет, если взять еще y=-2X, то получается 3 графика, а это разве допустимо, если y=IX+1I уже как два графика, в общем, нашел я себе трудность, возможно и другим тоже)))))))0

[@TUHAN23]

Если решить как уравнение, то, если сумма двух положительных чисел равна нулю, то они равны нулям или противоположны по знаку, т.е. первый раз оба слагаемых приравниваем к нулю и получаем Х=-2, а Y=3, а противоположными не могут быть, если даже каждый из них приравнивать к одному и тому же числу, из-за квадратов, мне так кажется.

[@VladVideos0]

Решение: Х=-2, у=3. Подставляем и получаем 12-12+9-12-6+9=30-30=0

[@ЮргаСлавис]

За последние три дня интенсивного решения всяких сложных заданий начала посещать мысль, что математика - это какая-то лже-наука))))

[@anamorfoplasis]

Они же первые три дня)

[@AlexeyEvpalov]

Если x и y координаты на плоскости, то уравнение z=f(x,y)=3x^2+2xy+y^2+6x-2y+9 задаёт какую-то поверхность. Для фиксированного y, имеем уравнение параболы z(x)=3x^2+(2y+6)x+y^2+9, a=3>0 ветви вверх, координаты вершины -b/2a=-(2y+6)/2×3=-(y+3)/3. Для фиксированного x, уравнение параболы z(y)=y^2+(2x-2)y+3x^2+6x+9, a=1>0 ветви вверх, координаты вершины -b/2a=-(2x-2)/2=1-x. Параболы это сечения поверхности z=f(x,y) плоскостями проведёнными через точки y и x и перпендикулярные осям OY и OX. Минимум Z от двух переменных является минимум по каждой переменной, координаты вершин совпадут, то есть имеем систему y=1-x и x=-(y+3)/3, откуда x=-2, y=3. Подставь в эти значения получаем f(-2;3)=0, так как ветви парабол вверх, все другие значения f(x,y)>0.

[@ГригорийФилипп-п9у]

Почему нужно доказывать неравенство, но нельзя доказывать равенство, а нужно доказывать тождество?

[@andreyfom-zv3gp]

Тождество и равенство - синонимы.

[@ВладимирСергеев-м9ю]

Не всякое равенство - это тождество. Например, 2х=8 или 5=3

[@andreyfom-zv3gp]

@@ВладимирСергеев-м9ю то, что вы указали - не контрпример. 5=3 - просто ложь (и не равенство), а 2x=8 - технически тождество, так как подразумевается, что x подобрано нужным образом. Хотя согласен я и согласен в том, что 2x = 8 тождеством называть не принято, тождество (по определению) - это высказывание, верное для любых значений аргумента. Со стороны логики - тождество и равенство разные вещи (тождество - высказывание, сводящееся к тавтологии, равенство - высказывание, содержащее отношение эквивалентности). А вот со стороны бытового языка - одно и то же, только с некоторыми ограничениями. В конце концов, слово "равенство" может означать и как высказывание со знаком =, и тождественно верное высказывание как синоним.

[@leless5480]

А как мы получили, что чтобы у нас получилось +2x(y-1) мы должны вычесть -2x?

[@andreyfom-zv3gp]

Потому что 2x(y-1) = 2xy - 2x. Если уже есть 2xy, то можно взять 2xy = 2xy - 2x + 2x = 2x(y-1) + 2x.

[@dimabur7481]

Красивая задача, спасибо большое!

[@bvzafvbkbz9340]

А есть какой то общий метод решения подобных задач?

[@ЛидийКлещельский-ь3х]

Есть. С уважением , Лидий

[@elenachinaeva1398]

Общий метод - решить как квадратное уравнение относительно х с параметром у. В данном случае дискриминант равен минус квадрату линейной скобки с игреком, а значит, только для одной пары ( х, у) значение f (x, y ) равно нулю, а для остальных значений - положительно. Такой же техникой можно разложить f ( x, y) на множители ( скобки), не затрудняя себя хитрой группировкой. 5:14

[@elenachinaeva1398]

​​@@ЛидийКлещельский-ь3х"С уважением Лидий" пишется без запятой по правилам русского языка.

[@andreyfom-zv3gp]

​@@elenachinaeva1398по правилам русского языка должно быть: С уважением, Лидий. Это подпись. Пропуск строки здесь опущен, поскольку необязателен ввиду того, что в комментариях в интернете это может быть не всегда уместно, своего рода "оверкилл".

[@ЛидийКлещельский-ь3х]

@@andreyfom-zv3gp Ребяты , я в этом вопросе не копенгаген 😊) . С уважением?? Лидий

[@alesiosky1100]

х = -2, y = 3. При этом каждая скобка равна нулю.

[@servictorovich2576]

Очень-очень красиво!

[@ИванПоташов-о8ю]

(-2, 3) - решение уравнения

[@Vasily40]

Разложим на составляющие, затем определим какие из них всегда больше 0 или больше какого либо минимума. Затем можно будет определить какая будет минимальная сумма всего выражения.

[@AmirgabYT2185]

[-2; 3]