Решаем уравнение с помощью неравенства ➜ Решите уравнение ➜ 2^x+2^(1/x)=4

[@diffecs]

Х=1 сразу понятно, но задача настроена на то, чтобы привести точное рассуждение и строгое доказательство

[@davinacristall7180]

И я так же решила. Сразу.

[@СергейПахомов-д6б]

@@davinacristall7180 очень сложно подставить))

[@glebsaygin5728]

@@davinacristall7180 решить - найти все корни и доказать, что других быть не может. Вы просто угадали одно из решений

[@davinacristall7180]

@@glebsaygin5728 Это правда, угадала. Если бы было другое основание, не 2 , то потребовалось бы приведённое решение.

[@glebsaygin5728]

@@davinacristall7180 да даже с основанием 2 оно требуется. Вы не доказали, что у уравнения один корень

[@AlexeyEvpalov]

Всё хорошо обосновано и строгая доказано. Спасибо.

[@s1ng23m4n]

Красивое решение) Я просто угадал корень и знал, что с помощью неравенств можно обозначить другие корни, если они есть. Но мне было лень. Хорошо, что Валерий не такой ленивый и все подробно разложил по полочкам)

[@ajdarseidzade688]

Абсолютно с Вами согласен! Спасибо этому великолепному человеку (тьфу-тьфу не сглазить) и его каналу.

[@vladislavgorelov6038]

Супер!!! Как же я люблю ваши видео, Валерий! Так гланды через ж...у рвать никто не умеет. Вот она, граждане, сила математики! Очевидный ответ можно доказывать в течение почти 6 минут с помощью кучи извращ... ой, простите, математических действий.

[@dimondsafkage4620]

Доказательство того, что среднее арифметическое больше среднего пропорционального при не равных двух переменных. Я лично это сделал геометрическим способом. Возьмем равнобокую трапецию, в которую можно вписать окружность, и в которой основание b > основание a. Тогда её площадь будет равна a+b/2 * √ab. Докажем то, что h = √ab. У данной равнобокой трапеции боковые стороны равны a+b/2 по свойству четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. При проведении высоты к большему основанию образуется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна боковой стороне, т.е a+b/2, один из катетов равен b-a/2 исходя из равенства боковых сторон. Тогда второй катет (который также является высотой трапеции) находится по теореме Пифагора: h = √(a+b/2)² - (b-a/2)². В результате вычислении получаем, что h равен √ab, что и будем расматривать как среднее пропорциональное. Если h - это перпендикуляр, а боковая сторона, равная a+b/2 - это наклонная, то a+b/2 > √ab, т.к. любая наклонная больше перепендикуляра.

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

Кажется, возвести (a+b)^2 таки проще)

[@dimondsafkage4620]

@@ДмитрийЗиненко-р2у ну, можно и так)) Я, бывает, могу погорячиться и пойти сложным путём)

[@mega_mango]

Ёб. А я через возведение в квадрат, а не все эти катеты и гипотенузы :)

[@ИльхамАбдуллаев-ь6й]

Хорошее уравнение С оригинальным Решением .Отлично Валерий Обожаю этот канал

[@PvZ1Moddddd]

вместо использования неравенства Коши , можно было сделать две замены и получить квадратное уравнение , откуда получаем корни 1 и -1 , но -1 не подходит из ограничений , поэтому делая обратную замену итоговый ответ единица

[@alexeyholin1044]

Это очень красиво и гениально ! Спасибо !!

[@МаксимАндреев-щ7б]

При x0: 2^x+2^(1/x)>=2•2^(x+1/x)/2>=2•2^1=4, равенство достигается при x=1/x, x=1. Значит единственный корень - это 1.

[@ВладимирЛатников-х9э]

Исследование функции сразу показывает, что только один корень, и он находится методом подбора)))

[@MiceRus]

Помнится в школе, заменяли преподавателя математики. Наша заболела. Вместо нее была другая. Дала задачу. Тоже там что-то надо было найти. Ну, допустим, как в этом примере. Я сразу же написало ответ х=1. И все. И вот тут учитель допустил ошибку :) Наш старый учитель знал, что многие подобные вещи решают в уме и потому требовал развернутого ответа, с доказательством правильности ответа. А новая просто сказала - докажи, что это правильный ответ. Ну я и доказал. Вместо х подставил 1 . Чем не доказательство? :)

[@yadetka]

А теперь что это единственный корень)

[@w1zard70rus5]

а можно было 4 = 2^2 и убрать все основания степеней . Тогда x+1/x=2 |*x x^2-2x+1=0 (x -1)^2 , тогда x = 1

[@chesstroller]

a^b + a^c не равно a^(b+c) Нельзя сделать так, что x + 1/x = 2 При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, но никак не при сложении Пример: То же уравнение, но с 3 3^x + 3^(1/x) = 6 x + 1/x = log(3)6 x^2 - x*log(3)6 +1 = 0 Думаю, не нужно объяснять, что x=1 не является корнем этого квадратного уравнения

[@ВладимирЛатников-х9э]

@@chesstroller а если прологарифмировать по основанию 2?

[@ivantar5011]

@@ВладимирЛатников-х9э логарифм суммы тоже не раскладывается

[@chesstroller]

@@ВладимирЛатников-х9э тогда под логарифмом слева будет вся сумма целиком, которая ничего не даст. Отдельно каждое слагаемое логарифмировать нельзя

[@mega_mango]

Нет, так делать категорически нельзя. 3² + 3³ = 9 + 27 = 36. log³⁶3 ≈3.26. По твоей логике, 3² + 3³ = 36, 2 + 3 ≈ 3.26 Найс. Может, это я что-то путаю

[@ИринаАрутюнова-г7я]

Весь смысл в том,чтобы доказать,что очевидное решение является единственным

[@ВладимирЛатников-х9э]

Почему нельзя прологарифмировать по основанию 2? Тогда выносим показатель степени за знак логарифма, а log2по основанию 2 равен 1. Далее все ясно

[@return1212]

потому что такие решения на канале уже были, а здесь другой подход. автор предлагает нам посмотреть на различные возможные варианты решений.

[@mrchel6312]

Тогда получится не сумма логарифмов 2^x и 2^(1/x), а логарифм суммы, и степени за логарифм не вынесутся.

[@ВладимирЛатников-х9э]

@@mrchel6312 почему, каждое слагаемое логарифмируем, это как умножить на одно и тоже число

[@ВладимирЛатников-х9э]

@@mrchel6312 почему, каждое слагаемое логарифмируем, это как умножить на одно и тоже число

[@mrchel6312]

@@ВладимирЛатников-х9э сумма логарифмов равна логарифму произведения, а не логарифму суммы

[@АлексейЗолоторев-ы7ф]

Можно попробовать решить, по сути не решая : 1) делаем замену t=2^x => x= log(2)t (1) получим ур-е: t+2^(1/log(2)t)=4 (пользуясь св-вом логарифма) t+2^(log(t)2)=4 2) если сделаем замену t=2^(1/x) => 1/x=log(2)t => x=log(t)2 (2) получим ур-е: 2^(log(t)2)+t=4 Получили тоже ур-е, что и в первом случае. Т.е если мы найдем решения ур-я, то у нас x определится по формулам (1) и (2), но решение должно быть одинаковым, следовательно можно приравнять (1) и (2) log(2)t=log(t)2 => t=2 x=1.

[@ИгорьАрсоу]

как-то сразу виден ответ х=1, а уж потом можно показать, что других решений нет.

[@barbiturat3s]

А если прологарифмировать почленно по основанию 2?

[@XaviX-fn4ef]

Вопрос, а почему просто не привести все числа к общему основанию? В таком случае × + 1/x == 2 и посчитать, что x == 1?

[@vladimirbien634]

Прекрасно поставлена содержательная часть решения....

[@tartonmusic]

Можно было использовать равенство Каши

[@ЛарисаРашевская-э3щ]

Классное решение, я подумала, что слева убывающая или возрастающая функция, а справа константа, корень единственный, очевидно равный единице!

[@mega_mango]

Хех. Я решил неравенство Гоши так: a + b >= 2√ab a²+b²+2ab >=4ab a²+b² >= 2ab Представим b/a как x, тогда: (a²+b²)/a² >= 2ab/a² 1+x²>=2x Далее решение геометрическим способом: докажем, что площадь прямоугольника со сторонами 2 и х больше суммы площадей квадратов со сторонами 1 и х. В случае х= 1... х² прикладываем к стороне х, остаётся прямоугольник со сторонами 2-х и х, то есть стороной меньше 1 и больше 1. Прикладываем 1², теперь у нас не закрыт прямоугольник х-1 на 2-х. Выпирает же часть |2-х-1| (чтобы чертить линию как по числовой прямой, но не выходить в минусовую длину) на 1, или же |1-х| на 1, или же х-1 на 1. Площадь прямоугольника, не "заделанного" квадратами (х-1)2-х= (х-1)число =1). А площадь выпирающего прямоугольника - (х-1)х = (х-1)число>=1. ((х-1)число>=1)>=((х-1)число

[@Kokurorokuko]

Кто такой Гоша?

[@mega_mango]

@@Kokurorokuko ой, Коши 😅👍

[@AmirgabYT2185]

Сразу просматривается корень х=1

[@mtokurow]

Но фишка в том, чтобы доказать, что кроме него других корней нет. Про неравенство Коши - это круто, я так пытался производные брать.

[@crazymanivan]

Решите уравнение в натуральных числах при a ≠ b aᵇ = bᵃ

[@limoni24]

a=0,25 and b=0,5

[@chesstroller]

2^4 и 4^2 А теперь решение: всё легко Числа по условию натуральные, значит положительные Логарифмируем по e, выносим степень за знак логарифма alna = blnb. Делим на ab lna /a = lnb / b Берём функцию f(x) = lnx / x Через производную находим точку максимума. Это е. е примерно равно 2,718 Вывод: уравнение может иметь два решения, если a

[@crazymanivan]

@@limoni24 Не

[@crazymanivan]

@@chesstroller Да

[@biotel]

Смотрел два раза.🖖

[@Grinyasha]

методом научного тыка - x=1 слева функция возрастает ыы)

[@abrakadabrov6919]

👍

[@fuatgimush7414]

Жесть тройная - неравенство Коши так использовать два раза в одном примере!!!!!! тут так просто на 4 минуте не разобраться было!! Еле понял!

[@DanilaKuzmichev]

А если логарифмировать?

[@z_a_r_e_v_i_c_a]

2+2=4 вдохновляет на отличный контент!

[@Сергей-у1ш3к]

Кто за 10 секунд угадал, какой будет ответ?

[@vladsmith3657]

Да решение развернутое и интересное, хотя сразу очевидно Х=1, потому как 2+2=4.

[@leonidsamoylov2485]

Спасибо. Хороший пример. Жаль что не все школьники это проходят

[@0Алмаз0]

Здравствуйте, спасибо, можно узнать, если не секрет, в какой программе пишите?

[@ajdarseidzade688]

В пайнте наверно :) Какая разница?

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

Вообще подобный функционал есть в Microsoft OneNote. Он хорошо стилусы поддерживает. По крайней мере на Винде.

[@vladimirlazarev2267]

С неравенствами Коши неожиданный поворот.

[@prabhudasmandal6429]

My solution.. Take 2power 1/xcommon in lhs i.e 2^1/x(2^{x--1/x +1) =4. Now, 4 is 4×1, 1×4 or 2×2 and their --ves .now, 2power1/x=2^1 ie. X=1 and it's 2nd facor=4 does not satisfy. Again if 2powerx-1/x=2or 2^x-1/x=2-1=1=2^0 or x^2--1=0 or x=1. All other combinations do not satisfy. Hence, x=1 is the only solution.

[@БутылочкаВоды-ч9р]

х = 1 - очевидное решение. Если брать целые числа больше 1 - второе слагаемое будет иррациональным, а значит, целое число 4 мы не получим. Если взять дробные иксы - тогда уже первое слагаемое будет нецелым. Если взять отрицательные иксы - получим корень отрицательной степень, тоже не очень приятная штука.

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

Сумма двух иррациональных чисел, может быть рациональным числом. Например будь тут 2^x+2^(1/x) = 5 Было бы 2 корня. Вероятно, иррациональных.

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

@Иван Пожидаев к чему это было сказанно?) p.s. 2^(-1)+2^(-1)=1, а не sqrt(2)

[@nikname0014]

зачем так мучаться, у нас основания равны можно степени сложить: 2^x+1/x= 4, мы знаем что 4 = 2^2, т.е х +1/х=2, т.е далее приводим к одинаковом основанию х^2 +1= 2, т.е х^2=1, откуда х= +/1, я следовательно х>0 ответ х = 1 объясняем более подробно почему х>0 вспоминаем что любое число в 0 степени=1, то очевидно что любое число в отрицательно степени будет меньше 1 и мы при таких значение не получим верное равенство следовательно Х>0

[@Rashadrus]

А я тупо в аналитику полез, а там достаточно просто.

[@andrewdronsson9028]

Тот случай, когда нечего писать в комментарии. Корень очевиден, доказать, что он единственный, я поленился.

[@maybe1233-t1f]

прологарифмировать можно

[@enrise_music]

х ровно 1

[@fielder.yt.offical]

Зачем решать алгебраическим способом, если видно, что х=1?

[@privet_druzhishche]

С первых секунд вангую 1 )))

[@mr_damn_cat]

Только усложнили решение, задача вполне решается как обычное показательное уравнение. Что в разы проще, нежели через предложенную систему (хотя может кому как...)

[@Lurck_rr]

Этот метод полезнее для будущего понимания алгебр.

[@mr_damn_cat]

@@Lurck_rr Возможно, но зачем усложнять определённый пример, если можно сделать проще...

[@user-wo2nb1li3z]

2^х заменяем на у, решаем квадратное уравнение, находим х

[@ouTube20]

По-моему, исследование производной было бы быстрее.

[@return1212]

решения с помощью производной на канале уже были, а здесь другой подход. автор предлагает нам посмотреть на различные возможные варианты решений.

[@s1ng23m4n]

Здоров. Производная левой части равняется нулю в 4-ех точках. Ну-ка расскажи, как с этой информацией можно быстро решить уравнение. А то я скептически настроен по твоему замечанию.

[@ouTube20]

@@s1ng23m4n Вообще-то ниже уже сказали. Сумма функций слева - возрастает, справа - константа. Подбираем единственное решение. Как завещал Великий Волков.

[@s1ng23m4n]

​@@ouTube20 Какая чушь.

[@ouTube20]

@@s1ng23m4n что именно?

[@professor_of_physics]

a=b, (a+b)/2 =a, sqrt(ab)=sqrt(a^2) = a, sqrt(ab)= (a+b)/2

[@VladVideos0]

2^1+2^1/1=4, гениально

[@oksanalysenko671]

Графиком.

[@dotokha8468]

капец решение, а ответ единица.

[@enrise_music]

За 10 сек. можно решить эту задачу, легко

[@maxkolobov9942]

давай, продемонстрируй

[@OlegPruglo]

@@maxkolobov9942 2^х+2^1\х=4 числа равны т. к.2+2=4 значит степень тоже можно приравнять х=1\х х=1 все

[@irifle]

@@OlegPruglo откуда взялось утверждение, что 2^x = 2^(1/x) ?

[@OlegPruglo]

​@@irifle 2+2=4 2 это половина от 4-х половина числа равна другой его половине , а значит 2^x = 2^(1/x) , потому как 2^x это половина от числа 4, а 2^(1/x) это другая его половина. Следоватекльно они равны

[@moratakki]

@@OlegPruglo бро, это так не работает...

[@ИгорьАрсоу]

Как-то сразу видно что х=1, а уж потом можно показать, что других решений нет, примерно так, как указано в приведённом решении.

[@GARblNbl47]

А давайте докажем, что 1=1, и так с душой листа на 2, бумаги в стране много, а времени

[@axelrose3018]

Что-то очень долгое решение.. Даешь ролики в 30 сек.

[@dolphin16]

X=1 легко и просто. 2¹ + 2^1/1=4

[@maksnosenko9575]

Сразу видно по комментам, без всяких теорий и теорем,что средний IQ зрителей меньше 2.

[@maximbravtsev3648]

2a/2=(a*a)^(1/2)=a, когда a=b.

[@СергейКонратенко-з5н]

Первый корень 1 это видно сразу

[@nodirxojasaydivalixojayev]

Такое чувство что это действие ради действия

[@에스피-h8t]

Solution by insight 2+2=4 x=2

[@에스피-h8t]

2+2=4 x=1

[@teel7518]

Как увидел превью, сразу подумал о том, что можно 4 представить как 2 в квадрате и работать со степенями, так и сделал. Получается x+1/x=2 и тут уже логически можно понять что х=1

[@chesstroller]

Нельзя тут так. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а не при сложении. a^b + a^c не равно a^(b+c). Проверить на 3 можно. 3+3 (то есть 3^1 + 3^1) - это не 9 (3^2), а 6)

[@teel7518]

@@chesstroller Да! Ты прав, я что-то тупанул, привык решать уравнения из егэ где a^c=b^d и во второй либо первой части нужно преобразовать, чтобы a стало b либо наоборот, но спасибо

[@motogpby]

Решение не понял, но х=1 - очевидно

[@СергейКонратенко-з5н]

Замута писец!

[@Fulmigati]

Так я сразу увидел что х=1 тут и доказывать и решать ничего не надо было... логика и все.

[@РобертГаро]

Лично я сразу х методом подбора и получил, что х=1

[@Ale-d6q]

Да , уж... Нормальные герои всегда идут в обход ,,

[@andreygoldfine]

как не в обход?

[@Ale-d6q]

@@andreygoldfine подстановкой

[@andreygoldfine]

@@Ale-d6q это как?

[@russianrock-n-rollforever2371]

Понятно же, что х = 1

[@PAIN153]

А я решил как обычное показательное уравнение: 2^x + 2^(1/x) = 2^2 # Далее по общему основанию можно приравнять показатели, cразу избавляемся от х в знаменателе зная что x не равен 0 x + 1/x = 2 x^2 + 1 = 2x x^2 - 2x + 1 = 0 D = (-2)^2 - 4 * 1 * 1 = 0 # т.к. D=0 это уравнение имеет лишь один корень x = (2 + 0) / 2 x = 1 ОТВЕТ: X = 1

[@АлексейЗолоторев-ы7ф]

А каким образом приравниваются показатели, если основание одинаковое? Пример: 2^2+2^3=2^x Выходит 2+3=x ? ( х=5 ? )

[@PAIN153]

@@АлексейЗолоторев-ы7ф а вы правы) такую глупую ошибку допустил, так можно делать только при произведении значит? Совсем перепутал

[@PAIN153]

@@АлексейЗолоторев-ы7ф а вы правы) такую глупую ошибку допустил, так можно делать только при произведении значит? Совсем перепутал, аж стыдно))) но к удивлению, ответ все равно получился))

[@АлексейДовженко-ъ4я]

А школьник сразу скажет ответ. Исходя из логики, что только 2+2=4 А значит х=1.

[@МаксимЕвтишкин-ъ3ъ]

x=1!!!!!!!!!!!!!!!!

[@АндрейЕрофеев-м9щ]

а я прологарифмировал обе части уравнения по основанию 2. Сразу получается х + 1/х = 2; х = 1

[@ДмитрийЗиненко-р2у]

Логарифм не линейная функция. Ln(a+b) в общем случае ≠ ln(a) + ln(b)

[@alexeikolesnikov7529]

Вы не подсказывайте, пожалуйста, задачка и так довольно простая ;)

[@mugsinua]

х=1))

[@OlegPruglo]

2^х+2^1\х=4 числа равны т. к.2+2=4 значит степень тоже можно приравнять х=1\х х=1 все

[@СергейКонратенко-з5н]

Первый корень 1 это видно сразу