Nucleo e immagine applicazioni lineari -Esercizio d'esame

[@pinguu3999]

Sono senza parole. E' la prima volta nella mia vita da studente che riesco a guardare un video di matematica o analisi senza stoppare una volta. Scandisce bene le parole, spiega passo dopo passo, in modo chiaro e sintetico, impossibile da non capire. Sono riuscito a capire dei concetti in 30 minuti (che sono volati guardando il video da quanto fosse bello) che in 2 mesi di lezione. Lei è un Professore di cui noi studenti abbiamo bisogno, trasmette la passione per la materia con una leggerezza micidiale, lei è una minaccia per qualsiasi suo collega in lotta per una cattedra. Grazie ancora.

[@salvoromeo]

Grazie a te per le belle parole . Non sono in lotta con nessuno per una cattedra 😂 e ci sono docenti molto in gamba in giro . Minga molto piacere che il video sul nucleo l'immagine di un'applicazione lineare sia stato non solo di tuo gradimento ma soprattutto utile .Spero che anche altri video presenti nel mio canale possano essere altrettanto utili . Ringrazio te per la pazienza nel visionare il video e per la fiducia riposta nel mio contenuto didattico .

[@marcoperazzini7927]

Infatti è il Santo della matematica, mi sta salvando che sto studiando analisi 2 per l'esame a Ingegneria. Tra l'altro io torno a casa dal lavoro alle 19 di sera ma le sue lezioni le trovo sempre piacevoli, con passioni e molta professionalità. Lo stimo e per questo lo ringrazio molto anche io.

[@mirkobooh]

Lei è un professore di un altro livello, spiega con un’efficacia disarmante. Le faccio i miei complimenti e la ringrazio per il tempo che ci dedica.

[@salvoromeo]

La ringrazio .Il piacere è anche mio .

[@justreturn5169]

Professore lei spiega da dio , dovevo scoprirla prima. È bravissimo , si può capire tutto senza nessuno tipo di problema anzi, mi ha risolto molti dubbi. Grazie mille

[@salvoromeo]

Grazie a te per il supporto .Fa piacere che i miei contenuti siano utili .

[@D1P7]

Professore lei è stata la mia salvezza, ho superato in scioltezza il mio esame di algebra e geometria. La ringrazio infinitamente.🙏🏼

[@salvoromeo]

Onorato che tramite questa playlist di algebra lineare abbia superato l'esame . Grazie per la testimonianza .

[@giovannigramegna8566]

Professore, grazie a lei mi sto appassionando alla materia che fino a qualche giorno fa mi sembrava complicatissima. Credo che sia il massimo che un docente possa dare a uno studente. E lei ci riesce con facilità. Profonda stima!

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio Giovanni , Lieti che questa playlist di algebra lineare sia utile .Seguendo passo passo tutte le lezioni passo passo riuscirà a cogliere la bellezza di questa materia .Integri e approfondisca ulteriormente con i vari libri di testo .Le mie lezioni non sono volte a sostituire le lezioni nelle aule universitarie 😊 .

[@piozicari6575]

Se passo l'esame di algebra e geometria sarà anche merito suo, la ringrazio infinitamente. Finalmente ho capito concetti su cui stavo sbattendo da giorni.

[@christiangrassa02]

Fantastico professore, le sue lezioni mi stanno salvando, spiegate senza fretta e chiarissime, condividerò sicuramente anche ai miei compagni di corso, grazie davvero

[@salvoromeo]

La ringrazio tantissimo Christian .Mi fa piacere che ha gradito il contenuto esposto nella presente videolezione .Reciprocamente il ringraziamento è da parte mia ..

[@hurricanemonster9950]

Grazie, lezione utilissima e spiegazione perfetta!!

[@salvoromeo]

Grazie a Lei per la donazione .Mi fa piacere che il video si stato utile . Buona permanenza nel mio canale con altri contenuti .

[@Miroslaw_3]

Salve professore, volevo farle i miei complimenti per come spiega. Se sto capendo qualcosa di geometria (e non solo) è solamente grazie a lei. Buone feste!

[@salvoromeo]

Salve Mirko , grazie per il gradimento .Mi fa piacere che tali contenuti siano utili . La playlist è sempre in aggiornamento ovviamente . Buone feste anche a Lei .

[@noemi9056]

la ringrazio tantissimo professore, mi sta aiutando immensamente. Complimenti per la sua chiarezza espositiva, e grazie per la calma su cui si sofferma su quelle che per molti sarebbero piccolezze :)

[@salvoromeo]

Buonasera Noemi , grazie per il suo punto di vista e sono onorato che tutto ciò che pubblico sia gradito da molti utenti . Chiedo scusa se in qualche video a volte è presente qualche (piccolo ) errore di distrazione per il mio essere distratto . Grazie ancora per il bel commento e buona permanenza nel canale .

[@biancamaggiani8189]

Buonasera professore. Ci tenevo a ringraziarla per i suoi video di qualità, sempre chiari e precisi. Ho passato l’esame di algebra lineare e geometria con 30 studiando anche dai suoi video, grazie!!

[@salvoromeo]

Buongiorno , grazie per il bel messaggio .Sono onorato che i miei contenuti siano stati utili e con questo non voglio assolutamente dire che la mia didattica online deve sostituire quella imposta dai vostri docenti in aula . Se ha preso quel bel voto direi che è soprattutto merito Suo che ha saputo studiare bene , quindi non posso che farLe i miei complimenti 😊 . Buona giornata .

[@darvx92]

Davvero complimenti per la chiarezza della spiegazione. Grazie mille!

[@ivanmagini7086]

Professore come spiega lei non spiega nessuno, grazie infinite per il suo tempo.

[@salvoromeo]

La ringrazio Ivan , lieto di aver contribuito .

[@ivanmagini7086]

Professore mi scusi ha fatto anche il video sul teorema fondamentale dell'algebra lineare dim(ker(f))+dim (Im(f))=dim(V) con f: V-->W?

[@antoninomusolino7270]

Spettacolo, spiegazione sublime.

[@user-od6gi4lz8t]

Prof. è stato chiarissimo, grazie! ❤

[@kajetanborkowski5144]

Ottima spiegazione, Semplice ed efficace, complimenti.

[@salvoromeo]

La ringrazio

[@user-od6gi4lz8t]

Professore lei è il top! La ascolto a velocità 1.25 perché i video sono (giustamente) un po’ lunghi, ma è chiarissimo anche in versione accelerata, grazie per i suoi contenuti!!! ❤

[@salvoromeo]

Buongiorno ,ti ringrazio . Si fai bene a visionarlo a 1.25 x .Addirittura ci sono video che si possono visionare anche a 1.5 x in base alle esigenze .Spesso parlo lentamente (nei video più vecchi come questo ) per consentire agli utenti di prendere appunti ed evitare di fermare continuamente il video 😊 .

[@edoardogribaldo1058]

Complimenti davvero per la spiegazione chiarissima!

[@salvoromeo]

La ringrazio per il commento e per il suo gradimento nei confronti del convenuto didattico .

[@nicolatronci4980]

spiegazione perfetta e semplice di un argomento che fanno sembrare complicato. Bravissimo

[@salvoromeo]

La ringrazio Nicola , riconosco che a volte perdo di rigore matematico , ma è indispensabile per far comprendere a livello intuitivo diversi concetti apparentemente ostili .La ringrazio per l'apprezzamento .

[@LT-yn4pt]

Grazie mille Professore! lezione utilissima. Complimenti

[@salvoromeo]

È un piacere da parte mia .Grazie a te per il gradimento .

[@giorgiopompili1654]

La ringrazio per questi video, sono molto utili per noi studenti!

[@salvoromeo]

Mi fa molto piacere .Buona permanenza nel mio canale .Un saluto .

[@gianlucabillone3573]

Cioè io io sto andando a dare l'esame di Geometria in una settimana grazie a lei, mitico Prof!!! spero che qualche giorno la posso incontrare di presenza solo per fargli i miei complimenti !! sempre in gamba Prof!!!!

[@salvoromeo]

Grazie per il bel messaggio Gianluca . Le auguro il meglio per il Suo esame .

[@pow3rg718]

Grazie mille per le sue lezioni

[@salvoromeo]

Grazie a te :-)

[@giorgiocavagna7709]

Semplicemente grazie prof!

[@kevinbruno8085]

Complimenti per la spiegazione molto chiara ed efficace, grazie per il video

[@salvoromeo]

Grazie per il gradimento .

[@leonardobattisti5100]

È un fenomeno non solo per le sue capacità indubbiamente forti ma anche perché riesce immedesimarsi come studente e questo fa la differenza.

[@salvoromeo]

Grazie per il Suo apprezzamento Leonardo .

[@darione3111]

GRAZIE MILLE PROF.

[@salvoromeo]

Grazie a Lei Dino .

[@pietromarra9763]

Top professore, la ringrazio

[@salvoromeo]

Grazie a te .

[@superitapower]

Prof mi scusi una domanda, ma quando ha calcolato le basi dell'immagine, ha preso direttamente le colonne indipendenti poichè in arrivo vi era la base canonica? In generale, se non ho la base canonica in arrivo, prendo i vettori in colonna linearmente indipendenti (tanti quanto è la dimensione dell'Immagine) e li riscrivo rispetto alla base di arrivo?

[@kejiozz]

Grazie mille professore

[@salvoromeo]

Grazie a te

[@lrzmell]

Salvo Romeo best prof in assoluto!!

[@salvoromeo]

La ringrazio tanto , ma non merito di essere messo nella prima posizione in assoluto .Le mie conoscenze sono paragonabili ad una moleca d'acqua in pieno oceano Pacifico .

[@alessandrosacchi9388]

Grazie Prof

[@salvoromeo]

Di nulla Alessandro , mi fa piacere che il video sia stato di Suo gradimento .Più avanti troverà delle esercitazioni su come determinare nucleo e immagine nei casi più complessi .Questa è solo una lezione di base in cui l'applicazione lineare è espressa con una matrice rispetto le basi canoniche .

[@SatchelChannel]

Ciao Salvo, nel compito d'esame mi è capitato, oltre al calcolo di Ker(f) e Im(f), anche il calcolo delle basi di Ker(f)+Im(f) e Ker intersecato Im. Come dovrei ragionare in questo modo? Il rango della matrice associata è 2 con R^4, quindi ker e im hanno stessa dimensione.

[@salvoromeo]

Buongiorno bisogna considerare Ker e Im come due spazi o sottospazi vettoriali e applicare le solite regole viste nel passato .Se si cindmforne nel vedere Ker e Im , provvisoriamente chiami tali sottospazi come V e W e si procede come nei casi standard .

[@stefanocoppola5442]

Salve Prof. avrei bisogno di chiarire un dubbio riguardo a un esercizio che mi è stato assegnato. Nello specifico, sto lavorando sulla determinazione del rango di una matrice utilizzando il metodo della riduzione. La mia domanda riguarda il calcolo delle basi del nucleo e dell'immagine della matrice associata. Quando devo trovare queste basi, devo considerare la matrice associata ridotta o quella non ridotta?

[@salvoromeo]

Buongiorno Stefano .Attenzione a quello che sto per dire . Quando si lavora sull'immagine NON deve assolutamente eseguire riduzioni per righe .Le può fare solo per determinare il rango e se per una 4x4 scopre che il rango è 2 vuol dire che "due colonne originali " devono essere prese come vettori di base per l'immagine . Per il nucleo invece può sfruttare la riduzione per righe .Se infatti dopo la riduzione per righe la matrice ha rango 2 magari nota che l'ultima riga si annulla tutta e la terza è proporzionale alla seconda (ad esempio ) . In questo caso prenda tranquillamente le prime due righe (della matrice ridotta ) , le tramuti in equazione e da qui risolva il sistema di due equazioni in quattro incognite . Se per trovare il nucleo lavorasse sull'originale sarà costretto prima o poi a eseguire le riduzioni in ogni caso . Se poi il rango della 4x4 è quattro allora le quattro colonne costituiscono una base per l'immagine e il nucleo è formato dal vettore nullo...senza aggiungere altro

[@stefanocoppola5442]

stessa cosa si puo' applicare nel caso di determinare se un endomorfismo è semplice o no?

[@mattia9169]

Professore ho alcuni dubbi. Per prima cosa le volevo chiedere se il vettore che andiamo a trovare per la Base può essere scritto anche in orizzontale. Quando lavoriamo con l'immagine dobbiamo fare tutto il ragionamento prendendo in considerazione le colonne o possiamo lavorare anche con le righe? Ossia andando a scrivere i vettori della base considerando le righe indipendenti e non le colonne. Complimenti per il video

[@salvoromeo]

Salve Mattia , i vettori dell'immagine devi selezionarli dalle "colonne" della matrice e riscriverle a parte dentro delle parentesi graffe se in arrivo vi è la base canonica .È ovvio che una volta estrapolato il vettore dalla colonna della matrice , il vettore (o i vettori ) lo puoi trascrivere anche in orizzontale . La cosa importante è che dalla matrice associata devi prendere solo ed esclusivamente le colonne e mai le righe . Se ad esempio una delle colonne della matrice associata è (1,2,3) , tale vettore se lo ricopi per indicare che fa parte della base lo può ricopiare a parte ,o in orizzontale o in verticale .Io a volte ricopio in verticale o orizzontale solo per ottimizzare lo spazio nella lavagna . Se ci sono dubbi chiedi pure . La cosa importante

[@mattia9169]

@@salvoromeo Grazie della sua risposta professore. Le chiedevo se i vettori dell'immagine potessero essere selezionati dalle righe perchè su alcuni siti, dopo aver applicato la base canonica alla funzione iniziale, appunto prende i vettori selezionando le righe. E' possibile che il metodo che usiamo per trovare i vettori influenzi anche la scelta per cui dobbiamo prendere le righe o le colonne? Spero di essere stato chiaro ;)

[@salvoromeo]

@@mattia9169 assolutamente NO , a meno che l'endomorfismo si autoaggiunto e per giunta con matrice rispetto a base ortonormale . Ma a parte questi casi di nicchia devi selezionare solo ed esclusivamente le colonne .Selezionare le righe è un grave errore. Hai fatto bene a porre questa domanda che può essere di aiuto a molti utenti . Ti ringrazio m

[@mattia9169]

@@salvoromeo Perfetto, grazie mille professore

[@lorenzobalsamo8910]

Ottima spiegazione, una domanda: nel calcolare la base di Kerf , nel sistema ho impostato x=0 y=-z z=z, la base perciò ha i segni opposti rispetto a come la ha scritta lei ... è giusto comunque?

[@salvoromeo]

Buonasera , si è uguale .Un vettore di base è definito a meno di un coefficiente di proporzionalità non nullo .

[@lorenzobalsamo8910]

@@salvoromeo perfetto grazie

[@igordeguglielmo2120]

Grazie !!

[@pietroalberio7696]

TOP!!!!!! HO CAPITO PIù NEI TUOI 30 MINUTI CHR IN 2 MESI DI STUDIO

[@pietroalberio7696]

Aspetto con ansia alti esercitazioni all’esame 👍🏼

[@pietroalberio7696]

Eroe

[@salvoromeo]

Grazie per il gradimento , fa piacere che il contenuto sia stato utile .

[@pietroalberio7696]

@@salvoromeo ❤️

[@phoenixtiger101tube]

Avercelo un prof di analisi come lei al polimi.

[@salvoromeo]

Chi lo sa se un domani ci finiró ? Non sarebbe male :) Grazie per l'apprezzamento nei miei confronti (ne sono onorato e ringrazio ) , ma è giusto seguire i vostri docenti titolari delle cattedre degli atenei in cui studiate

[@vvivil]

Grazie per un altro video molto esaustivo! Avrei una domanda: ho una matrice definita da g: R2 --> R3 che quindi ha due colonne e tre righe, la dimensione dell'immagine di g è 2 perchè il rango è 2, ma la base dell'immagine sarebbe composta da due colonne e due righe oppure da due colonne e tre righe?

[@salvoromeo]

Buonasera la base dell'immagine è composta da "due" vettori colonne a "tre' componenti .

[@simonemarcon6563]

salve professore nel caso del calcolo delle basi per le immagini se il rango della matrice associata fosse risultato 3 avremmo dovuto ottenere 3 basi ? Nel video è chiaro ma mi é sorto il dubbio svolgendo un esercizio parametrico in cui ho dovuto fare entrambi i casi per rango = 2 e per rango = 3

[@salvoromeo]

Buongiorno Simone , certamente .Se il rango vale 3 la base ha dimensione 3 e quindi una base dell'immagine è costituita da tre vettori (ovviamente linearmente indipendenti ) .Basta scegliere le tre colonne della matrice .

[@raffaelederoberto]

Ciao Salvo! Volevo chiederti: Applicazioni Lineari e Mappe Lineari sono lo stesso macroargomento?

[@salvoromeo]

Buonasera Raffaele , si mappe e applicazioni lineare sono sinonimi .

[@raffaelederoberto]

@@salvoromeo grazie mille prof! Ti si vuole bene...uso il "tu" perché ormai sei la mia garanzia.

[@martna9974]

una domanda importante!!! nel svolgere un esercizio e vedere la dimensione del Ker io prima mi trovo la matrice associata e poi la riduco a scala una volta trovato il rango della matrice e quindi visto quanto è la dimensione dell'immagine e quindi di conseguenza per la formula che la dimKer = dim V - dim Im trovo anche la dim del Ker. allora sapendo che il Ker è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo io prendo la matrice ridotta precedentemente e trovo l'insieme delle soluzioni. la mia domanda è quando io vado a calcolare l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo per trovare la base del Ker quale matrice devo prendere? la matrice associata? o la matrice associata ma ridotta a scala?

[@salvoromeo]

Quando si deve determinare il nucleo , va benissimo anche la matrice ridotta per righe al di là se sia stata ridotta a scala o meno .Anzi per sistemi molto corposi è consigliabile . Tutto questo solo ed esclusivamente dopo aver determinato una base dell'immagine .Mai ridurre la matrice per righe e poi determinare la base .

[@andreapontrandolfi7772]

buongiorno professore,video chiarissimo ma ho un dubbio. Nel compito di esame c'era un esercizio che chiedeva di calcolare il ker di una funzione e io ho fatto il sistema omogeneo con la matrice associata all'immagine della funzione. é un errore ?

[@salvoromeo]

Buongiorno per determinare il nucleo deve sempre risolvere il sistema lineare s partire dalla matrice associata (rispetto alle basi scelte ) ala stregua di come ho fatto nel presente video .Ovviamente ci sono casi in cui il sistema è possibile e determinato e casi in cui il sistema è indeterminato (come nel caso del video ). Di sicuro il sistema non sarà mai impossibile poiché si tratta sempre un sistema omogeneo .

[@antoniogentile6685]

BELLISSIMA LEZIONE PROF. SCUSI MA FARA' ANCHE QUALCHE LEZIONE DI ALGEBRA TENSORIALE ??? OPERAZIONI TRA TENSORI ???

[@salvoromeo]

Buongiorno Antonio .Grazie per l'apprezzamento . Per adesso sto girando e pubblicando argomenti che mi sono stati richiesti via e-mail circa 6 -8 mesi fa . Se le richieste superano un certo numero non escludo di pubblicare una videolezione sull algebra tensoriale .

[@antoniogentile6685]

@@salvoromeo GRAZIE mille e ancora complimenti

[@alessandroottone4365]

Salve spiegazione del video veramente ultra chiara complimenti ma le variabili libere cosa sono? Grazie e buona serata

[@salvoromeo]

Buongiorno intanto La ringrazio per il gradimento . Spiegare le incognite libere è molto complicato via messaggio .Riguarda la teoria (ma anche la pratica ) dei sistemi lineari.Lebinvogjite libere riguardano i sistemi lineari indeterminati . Per l'occasione esistono alcune lezioni (presente playlist ) in cui si parla di sistemi tra cui anche i sistemi indeterminati e come scegliere le incognite libere . Purtroppo la matematica in generale è concatenata con altri argomenti e se non si sanno gli argomenti precedenti non si capiscono i successivi. Nei miei video quando considero scontati alcuni argomenti vuol dire che sono stati spiegati nelle lezioni precedenti della. Playlist . Se ha bisogno di avere qualche riferimento a qualche lezione non esiti a scrivere un commento .È mio dovere e piacere fornire gli URL com i link delle lezioni desiderate qualora non dovesse trovarle .

[@alessandroottone4365]

Grazie Professore a riguardo volevo sapere se nei suoi video parla dello spazio delle righe e delle colonne di una matrice e lo spazio nullo chiamato nucleo e che forse quest'ultimo l'ho visto in un suo video e la nullita' che non mi è propriamente chiara. La ringrazio Prof mi sono iscritto a ingegneria informatica anche se un po' in ritardo dato che ho 53 anni ho ripreso i libri in mano gia' da un anno per riprendere tutto quello che avevo lasciato alle superiori , questo ramo universitario mi ha sempre affascinato nonstante sia molto arduo, a 53 anni e dura riprendere questo tipo di studi comunque voglio provarci. Grazie e mi scusi se ogni tanto la disturbero' per qualche chiarimento le auguro buona giornata ps continui cosi' ci fossero dei docenti come lei che spiegano in maniera chiara una lezione anche difficile lei la trasforma in concetti semplici e ripeto chiari

[@_lostgino04_97]

scusi la domanda, ho notato che in questo video ha scritto le componenti della matrice associata per colonna invece che per riga, è uguale o bisogna stare attenti? ad esempio lei qui ha scritto (per righe) M=({1,0,0},{0,1,1},{1,1,1}) mentre in un altro video avrebbe scritto M=({1,0,1},{0,1,1},{0,1,1}), in sostanza ha trasposto la matrice (comunque ci tenevo a farle i miei complimenti per la calma e la dedizione che ci mette nelle sue spiegazioni, al contrario del mio professore di algebra lineare al poli)

[@salvoromeo]

Buonasera la ringrazio per la domanda importante . Quando si parla di matrice associata le componenti devono essere messe rigorosamente per "colonne " mai per righe . Magari scrivo che f(1,0,0) =( 1,5,-3) ad esempio ma se il vettore immagine lo devo mettere in Matrice (matrice associata ) questo deve essere scritto imperativamente nella prima "colonna " e mai come riga della matrice associata .

[@_lostgino04_97]

@@salvoromeo capito, grazie per la sua pazienza (/◠‿◠)/

[@marcoyxr3338]

Sempre chiarissimo prof! Ho però un dubbio; vedendo un altro video, venivano trovati base e dimensione del Ker e Im eseguendo un sistema. Ad esempio, data f(x,y,z)=(x,y+z,x+y+z) veniva direttamente risolto il seguente sistema con il metodo della sostituzione: x=0, y+z=0, x+y+z=0. Spero sia riuscito a spiegarmi decentemente e spero Lei possa risolvere questo mio dubbio.

[@salvoromeo]

Buonasera , ok risolvere il sistema ma prima di risolverlo meccanicamente è bene specificare la dimensione del nucleo così da stabilire quante sono le incognite libere che entrano in gioco . Ad esempio nel sistema che ha dato Lei se ci fa caso è un sistema lineare con una sola incognita libera e quindi non utilizzo la terza equazione ma mi bastano solo due equazioni velocizzando .Non solo pratica nel risolvere il sistema ma anche concetti teorici .Se ci fa caso anche il nel nel video ho risolto un sistema ponendo alcune equazioni uguali a zero (per il Ker f) prendo solo le equazioni indipendenti e non tutte .Se poi tutte sono indipendenti e il numero di incognite è uguale al numero di equazioni indipendenti allora è anche inutile risolvere il sistema in quanto per il teorema di Touché Capelli è determinato ed essendo omogeneo ammette solo la n unpla nulla .

[@marcoyxr3338]

Grazie mille prof! Grazie a Lei studiare matematica è diventato molto più piacevole.

[@marcoyxr3338]

Ho un altro piccolo dubbio. Nel caso la dimensione del Ker fosse stata 2 e avremmo dovuto trovare 2 vettori, come si sarebbe dovuto procedere?

[@alessandroottone4365]

Buona sera mi scusi se le faccio questa domanda ma sono ancora agli inizi ,ma i vettori immagine sono quelli linearmente indipendenti? Grazie

[@salvoromeo]

Buongiorno , nessun problema .Lo "spazio vettoriale " chiamato "immagine di f " è sempre generato da vettori linearmente indipendenti che costituiscono i vettori di base . Per determinare una base di un qualsiasi spazio o sottospazio vettoriale deve visionare le lezioni precendenti della playlist che sono tutte collegate e ordinate in sequenza .

[@ci180]

Professore lei spiega davvero bene complimenti, mi sta rendendo tutto molto più comprensibile, avrei però un dubbio su un esercizio che mi chiede di trovare il Ker: avendo la matrice (sto scrivendo i vettori colonna) {1,0,0} {0,1,0} {0,0,0} arrivo al punto che non ho l'incognita libera per impostare il sistema e trovare il ker dato che z = 0 dalla matrice, y = 0 e anche x. Come devo comportarmi?

[@salvoromeo]

Buongiorno in quei casi scelga Z come variabile libera

[@imnotme9757]

Salve Professor Romeo, probabilmente è inutile ma tento lo stesso. In questi giorni mi sto preparando all'esame di algebra lineare e mi trovo particolarmente in difficoltà con un esercizio: quest'ultimo chiede di dire, data certa applicazione lineare F, quali spazi vettoriali tra dominio, codominio, kerF e ImgF sono isomorfi tra loro e dire il perché. In sincerità le dico che cercando in rete ho già difficoltà nel trovare spiegazioni di un esercizio simile, che non è proprio comune. Inoltre, oltre alla difficoltà nel formulare la risposta finale all'esercizio, ho proprio un dubbio riguardo il calcolo di kerF e l'Img: in pratica procedendo al calcolo con due approcci simili ma diversi, mi trovo ad avere da una parte la dimKerf=1 e dall'altra dimKerf=2 e poiché non riesco a trovare gli errori che faccio né da una né dall'altra parte non riesco a venirne a capo. Le vorrei chiedere, se fosse possibile un aiuto

[@salvoromeo]

Buonasera una applicazione lineare è un 'isomorfismo se è iniettiva e suriettiva , come dire : è iniettiva se la dimensione del Ker F è uguale a zero , mentre è suriettiva se La dimensione del condominio è coincidente con quella dell'immagine . Per determinare immagine e nucleo adoperi il metodo del video e non troverà problemi .L'importante è impostare un metodo. Per messaggio purtroppo è impossibile approfondire di più , in ogni caso si presenti all'esame serenamente .

[@alessandroballerini5821]

la base dell'immagine e del nucleo sono anche ortogonali?

[@lucaterribili6702]

mi scusi ma come si fa a vedere quali righe sono linearmente indipendenti nella matrice associata?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio Luca , deve trattare le righe della matrice come se fossero dei vettori e selezionarne solo 2 (in questo specifico esercizio ) poichè il rango è due .Per vedere quali scegliere la rimando al precedente video della playlist che permette di determinare se due o più vettori (anche scelti a caso ) solo linearmente indipendenti : kzbin.info/www/bejne/r4eteZahmbB0btU Buona visione .

[@mattiala2716]

Complimenti per la spiegazione molto chiara, grazie mille. Avrei però un dubbio che non ho mai compreso, c'è differenza se imposto la matrice associata ad una determinata legge per righe e non per colonne? Esempio: se volessi trovare una base dell'immagine non guarderò più le colonne ma bensì le righe, giusto? O cambia qualcosa

[@salvoromeo]

Salve Mattia, e grazie per la domanda a cui rispondo volentieri . Se attende la prossima lezione di venerdì prossimo capita meglio , ma deve assolutamente considerare le colonne e mai le righe .Gli elementi delle colonne rappresentano le componenti del vettore immagine rispetto alla base scelta .

[@mattiala2716]

@@salvoromeo ok quindi se ad un ipotetico esercizio d'esame che fornisce due sottospazi A e B mi chiedessero di determinare un endomorfismo T per cui valga kerT=A e ImT=B e tale che i vettori delle basi siano autovettori. dovrei impostare la matrice per colonne o volendo anche per righe? scusi il disturbo

[@mattiala2716]

Mi spiego meglio: io trovo le determinate basi di questi due sottospazi, e le pongo a matrice. cambia qualcosa mettere i vettori per riga o per colonna?

[@salvoromeo]

@@mattiala2716 se ti riferisci alla matrice associata cambia moltissimo ed è errore grave metterle in riga . Per la matrice associata è importante mettere le componenti imperativamente in colonne. Nella prossima lezione capirai molto in dettaglio. Per qualsiasi dubbio a disposizione

[@miami2042]

Buonasera professore ho un dubbio: calcolando la base del nucleo, trovando tutti i vettori proporzionali al vettore (0,1,-1) uguali a zero nella loro immagine, si può scrivere che la base del Ker(f)=span(0,1,-1)?

[@salvoromeo]

Buonasera ,certamente , puoi anche dire che la base del nucleo è generata dal vettore generico (0,x,-x) con x€R

[@matteogianelli3239]

Scusi professore sono andato un po' in crisi...come si fa a determinare l'immagine se la base del codominio non è canonica. Devo considerare sempre la matrice associata?

[@salvoromeo]

Buongiorno Matteo , spiegarlo qui a parole è complicato .più avanti (sempre in questa playlist )ci saranno dei video in cui svolgo esercizi d'esame e troverà la risposta a questa domanda . Se non trova i video me lo faccia sapere e provvederò a dare il link .

[@antoniomelis8677]

salve prof , e se avessi una matrice 4x4 con rango 2 e dimensione iniziale 4, arrivo a dire che la dim Im è 2 , stessa cosa vale per il ker che ha dimensione due. in questo caso devo trovare due vettori per costruire la base del ker perciò il sistema come sarà realizzato? ho incognite x y z t

[@salvoromeo]

Buonasera Antonio , in questo caso si procede come nel video .Devi considerare due righe indipendenti della matrice e risolvere il sistema lineare di due equazioni in quattro incognite e determini facilmente una base del nucleo .

[@giuliamaio9492]

Salve, come faccio a trovare una matrice il cui nucleo è uguale ad uno spazio di dimensione 4?

[@salvoromeo]

Buonasera Giulia , per rispondere a questa domanda bisogna vedere il contesto dell'esercizio completo .Di sicuro sarà qualcosa di semplice . In prima approssimazione se f è un endomorfismo f:V->W di sicuro si deve tenere conto della relazione dim (V) = dim (Ker f) + dim ( Imm f) .con dim (Ker f) =4 ma non avendo ulteriori informazioni non mi viene difficile dare ulteriori informazioni .

[@giuseppecampanale8813]

molto chiaro.

[@salvoromeo]

Grazie :-)

[@pinomugo8960]

Come mai in ogni applicazione lineare lo zero viene mandato nello zero?? grazie

[@salvoromeo]

Buongiorno Pino , ottima domanda . In ogni applicazione lineare , le leggi sono date da espressioni che NON contengono termini noti .Ad esempio mai può trovare roba del tipo f(x,y,z) = (x+y +6 , x-7 ,x+Z+9) dove qui numeri +6 ,-7 ,+9 (ne basta anche uno solo ) rendono "non lineare"l'applicazione .Come utile esercizio può anche verificare che l'applicazione appena menzionata da me , non è lineare (ho realizzato un video apposito) Invece l'applicazione f(x,y,z)=(x+y, x ,x+Z) come vedi non contiene termini noti , quindi è equivalente ad un sistema di tre equazioni omogeneo che come sappiamo viene sempre soddisfatto dalla terna (0,0,0) .Da ciò si evince che la funzione valutata nel vettore nullo (0,0,0) va a finire in (0,0,0 ) . Per applicazioni non lineari non è detto che ciò accada .

[@marialucialuciettinella8883]

Salve, grazie di tutto e complimenti solo che appare un lapsus al punto 13.39 dove dice che se il rango non è uguale a zero....voleva dire che se il rango è uguale a zero allora il rango non è tre in R^3

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio .Intanto La ringrazio per la segnalazione di questi Lapsus che possono capitare durante i video . Confermo che se il "determinante della matrice è NON NULLO " allora il "rango " della matrice è 3 , quindi la dimensione dell'immagine è proprio tre . Mi scuso per i lapsus , ma come detto in qualche altro commento speso realizzo le riprese durante le ore che vanno intorno la mezzanotte e la stanchezza si fa sentire di tanto in tanto . Grazie per la segnalazione che può essere utile ad altri utenti . PS :comunque vedendo il video al minuto indicato sembra che tutto sia ok dal momento che se il determinante è uguale a zero di sicuro il rango non è tre . Ha fatto comunque benissimo a fare questa domanda .

[@marialucialuciettinella8883]

@@salvoromeo grazie

[@anastasiaseverini5697]

buonasera, ma percaso ha fatto anche il video del teorema di gauss?

[@salvoromeo]

Buonasera , non ho realizzato in maniera esplicita un video sul teorema sul metodo di eliminazione di Gauss . Tuttavia in un video in cui spiegavo il rango della matrice , ho spiegato come ridurre una matrice per righe facendo si che in ogni riga vi sia un elemento non nullo sotto il quale figurano solo zeri . Gauss è un l'applicazione di tale metodo ma in maniera ordinata .Si deve fare si che da sinistra a destra vi sia una "scala" di valori che funziono da elementi speciali . Un domani comunque realizzerò un contenuto video dedicato .

[@adrianosermoneta8649]

salve, stavo controllando se questa applicazione lineare fosse iniettiva e suriettiva, ma in questo caso non è nessuna delle 2, è possibile questa cosa? cosa significa?

[@salvoromeo]

Buonasera Adriano .Esattamente .Non è ne iniettiva poiché più di un elemento del dominio (precisamente del nucleo ) hano la stessa immagine , e non è suriettiva poiché non tutti gli elementi di W (in questo caso R³.) sono immagine di almeno un elemento di V (dominio R³) Anche se non siamo in tema di applicazione lineare le consiglio di visualizzare (se Le va) di visionare la seguente lezione che linko sotto in cui spiego anche il concetto di funzione iniettiva è suriettiva .Lo stesso concetto in maniera generalizzato si applica anche per le applicazioni lineari m.kzbin.info/www/bejne/iGHSpYWlZtSApZo

[@_pyro_10]

Per trovare la base del nucleo come incognita libera andava bene usare anche z? Quindi poi usciva pero come base (0,-1,1)

[@salvoromeo]

Va più che bene .Infatti tale s vettore ottengo ugualmente anche scegliendo y come incognita libera .Basta dare a y il valore reale -1 e ottengo (0,-1,1)

[@alessandraugo7836]

se la base del kern è di dimensione due come lo trovo l'altro vettore?

[@salvoromeo]

Buonasera , il Ker f è un sottospazio vettoriale e trovare in errori di base richiede la stessa procedura . La invito a visionare la lezione precedente a questa (sempre della stessa playlist ) e capirà come determinare i due vettori di base.Se visiona il video capirà meglio di una spiegazione tramite messaggio . Consiglio sempre di visionare tutte le lezioni della playlist per comprendere tutte le lezioni successive . Ecco la lezione in questione dove mostro come determinare una base di un sottospazio vettoriale (indipendentemente che si chiami V,W ,o Ker F ) . m.kzbin.info/www/bejne/o2jCl5yqdtBoeK8

[@salvoromeo]

Mi scusi ho sbagliato video .Deve visionare il seguente m.kzbin.info/www/bejne/iqSkoqFml6uXpas

[@edoardoantonini968]

Grazie per le spiegazioni. Non capisco però questo teorema da dove viene fuori (che la dimensione dell'immagine è uguale al rango della matrice associata all'applicazione limeare). C'entra qualcosa con il teorema di nullità più rango?

[@salvoromeo]

Buonasera .Grazie per il commento . Ha esattamente azzeccato il teorema (detto anche il teorema delle dimensioni ) . Non mi addentro molto con la teoria profonda (pur gradendola) per non rendere pesante la spiegazione . Per qualsiasi dubbio a disposizione .

[@edoardoantonini968]

@@salvoromeo ma il teorema non dice solamente che la dimensione dello spazio vettoriale è uguale alla dimensione del nucleo+la dimensione dell'immagine? Cosa c'entra questo con il rango della matrice associata e l'immagine

[@salvoromeo]

@@edoardoantonini968 la matrice associata rappresentano (colonne ) i vettori immagini e quindi il numero di vettori l.i definisce non solo la dimensione dello spazio vettoriale (chiamato immagine ) ma anche il rango della matrice .Spiegazione un po' alla carlona la mia , ma è tanto per rendere l'idea .

[@edoardoantonini968]

@@salvoromeo Grazie mille. Ci vorrebbe un amico come lei con cui discutere di questa materia che così tanto apprezziamo

[@mariorossi9850]

Video ottimo, un professore con le balls

[@salvoromeo]

Grazie per il gradimento , cerco di fare del mio meglio anche in pochi minuti di presentazione di un argomento :-)

[@bella-rp2rw]

Piccolo consiglio,video molto bello,se fosse più corto sarebbe perfetto

[@salvoromeo]

Buana sera , La ringrazio per il commento di gradimento e per il suggerimento .Apprezzo molto le critiche /suggerimenti costruttivi .In un video non didattico ho parlato anche della durata dei video che mediamente non sono brevi . Intenzionalmente i video li faccio durare sempre tanto per evitare di dare delle nozioni sintetiche . Prenda in esame il video che riguarda il nucleo e immagine di un 'applicazione lineare .Avrei potuto benissimo spiegare in 10 minuti massimo come determinare tali entità matematiche tramite una procedura pratica , ma così facendo c'è il pericolo che lo studente superi l'esame senza sapere cosa sia concettualmente il nucleo e l'immagine , e il tutto si ridurrebbe ad una serie di procedure atte a passare solo il compito di un esame . Personalmente non mi interessa che lo studente passi l'esame ma è importante che capisca anche i dettagli teorici che stanno dietro un concetto .Sapessi quante volte ho visto studenti che sanno calcolare un integrale senza sapere la teoria e i teoremi che stanno dietro gli integrali stessi , o saper applicare una formula senza sapere da dove esca fuori . Per tali motivi preferisco far durare un video anche 45 minuti , ma almeno dare le nozioni teoriche che stanno dietro i concetti pratici . Apprezzo davvero il suo suggerimento e il suo punto di vista in ogni caso , e con piacere ho dedicato queste poche righe . Buona serata .

[@Roberto-nl6ki]

Professore, è sbagliato considerare Il nucleo di V come un Dominio e di conseguenza come Condominio l'Imm L? Se si, perchè?

[@salvoromeo]

Buongiorno .Purtroppo no a meno di un caso particolare di applicazione identicamente nulla .Spiegarlo via messaggio viene male , ma nei caso generale l'immagine del nucleo (sottospazio banale ) non coincide affatto con l'immagine dell'applicazione lineare .

[@donnie3334]

ma quindi se f(x,y,z)= (0,0,0) per i vettori appartenenti al nucleo di f, è corretto dire che sono quei vettori che hanno come immagine il vettore nullo?

[@salvoromeo]

Certamente .È proprio il significato di nucleo .

[@marcomustacchi]

potrebbe fare una lezione sui cambiamenti di base e matrici di passaggio? lezioni chiarissime prof

[@salvoromeo]

Buonasera Marco .Con piacere ti dico che entro maggio ci sara tale lezione che già avevo programmato . Più richieste ci sono e con piacere divulgo gli argomenti a voi graditi .

[@alessio1505]

Mi accodo alla richiesta 🙋‍♂️ Ps. Complimenti! Spiegazione chiarissima!

[@salvoromeo]

Grazie a te Alessio .La matrice di passaggio da una base all'altra come detto nel commento precedente ci sarà e l'avevo anche programmata tempo fa . Prima però di parlare di matrici di passaggio da una base all'altra bisogna parlare del concetto di base di uno spazio vettoriale . Rimani in attesa .

[@leonardocostantini8202]

Calcolare l'immagine e il nucleo equivale a calcolare la base e la dimensione dell'immagine e del nucleo?

[@salvoromeo]

Esatto Leonardo . Calcolare Nucleo ed immagine significa calcolare una base (con equazioni cartesiane annesse per maggior completezza , qualora fosse possibile ) di questi spazi o sottospazi vettoriali .Immagine e nucleo al di là della nomenclatura sono a tutti gli effetti degli spazi /sottospazi vettoriali e per determinare una base si attuano le solite tecniche spiegate nelle varie lezioni di questa playlist .Ovviamente se qualche sottospazio ha dimensione pari a zero non c'è nulla da calcolare dal momento che siamo nel caso dello spazio vettoriale nullo (da non confondere con l'insieme vuoto ) . Per qualsiasi altra informazione resto a disposizione .

[@francescolillini481]

prof vogliamo lei dietro la cattedra al posto di quel ... che abbiamo ora dg, grazie mille. con affetto dalla stanza dello studio e del tempo

[@salvoromeo]

Grazie per l'apprezzamento :-)

[@alindamian9571]

Non riesco a capire come faccia a scrivere sull'aria

[@cataldobelluscio6012]

ma quando un'applicazione lineare è iniettiva prof?

[@salvoromeo]

Buonasera , è iniettiva quando il nucleo ha come elemento solamente lo zero dello spazio di partenza o in altre parole quando il nucleo ha dimensione uguale zero .Ciò non è comunque sufficiente per affermare che l'applicazione lineare è un isomorfismo

[@mimmomimmo1333]

Da Nobel.

[@salvoromeo]

Grazie e onorato per il Suo commento ...ma non esageriamo 😂😂😂

[@mimmomimmo1333]

@@salvoromeoil mio commento è dato con tutto il cuore .

[@sasyorto8994]

prof ma qualche lezioni dove spiega anche qualche teorema?

[@salvoromeo]

Buonasera , per quanto riguarda la parte di teoria (teoremi nello specifico ) preferisco di NO dal momento che si rischierebbero solo una decina di visualizzazioni . Ho sperimentato questo nel momento in cui l'anno scorso ho rilasciato solo l'enunciato dei teoremi di Rolle e Lagrange con scarsissime visualizzazioni .Con la dimostrazione il pubblico (creo ) di sarebbe annoiato molto di più dal momento che la maggior parte gradisce la parte più pratica sullo svolgimento degli esercizi . Ancora il mio canale è molto piccolo , e conta pochissimi iscritti ,pertanto avventurarmi in dimostrazioni teoriche sarebbe molto rischioso . Consideri anche che in molte facoltà universitarie hanno definitivamente abolito le prove orali quindi sempre meno studenti sono propensi a studiare la parte di teoria . In un futuro molto lontano non escludo che ci saranno tali contenuti , ma direi una bugia se dichiarassi che sarà fatto entro qualche anno . Mi dispiace tantissimo non poter approfondire tale aspetto e glielo dice uno che adora la teoria , ma purtroppo devo considerare anche i gusti e le richieste degli utenti . Sulla base di tale messaggio lancerò un sondaggio per vedere cosa ne pensano gli utenti .È ovvio che 100 votazioni non hanno alcun peso significativo .

[@user-od6gi4lz8t]

All’università per spiegare la stessa cosa 3h di lezione 😅

[@Alemanz104]

salvo lei mi fa sentire come j robert oppenheimer

[@thefireaspect5852]

Dici la verita hai votato meloni

[@giusdemm]

prof come mai nella matrice associata ha scritto i coefficienti in riga e non in colonna ? perché la matrice associata a me viene ( 1 0 1) 0 1 1 0 1 1

[@salvoromeo]

Buonasera , intorno al minuto 11:50 ho scritto la matrice associata seguendo le colonne .Ovvero nella prima colonna ho messo le componenti del vettore immagine f(e1) rispetto la base canonica , mentre nella seconda colonna ho messo le componenti del vettore immagine f(e2) rispetto le basi canoniche e analoghe considerazioni per la terza colonna .Ho omesso tutta la spiegazione dal momento che ho già spiegato come costruire la matrice associata passo passo . Spesso salto dei passaggi per il semplice fatto che quel concetto (in questo caso la matrice associata ) è stato spiegato in una lezione precedente nella relativa playlist . Rifaccia con cura i calcoli (dato per certo che abbia visto le due lezioni sulla matrice associata che le reputo importantissime ) e vedrà che risulterà la stessa matrice del video .

[@giusdemm]

@@salvoromeo grazie della spiegazione prof sono andato a vedere il video dove spiegavate la matrice associata (con base canonica e non) e ho capito perfettamente mi scusi se le ho fatto perdere tempo e comunque le faccio i complimenti per la bravura nel spiegare i concetti