Diagonalizzare una matrice e trovare la matrice DIAGONALIZZANTE del cambio di base .Esercizio

[@pietrobovo8035]

Fortemente sottovalutato, credo sia uno dei professori più chiari che io abbia mai ascoltato, merita assolutamente più credito per l'impegno che mette in questo canale. Grazie!

[@salvoromeo]

Buongiorno Pietro la ringrazio tantissimo per l'apprezzamento . Canali come il mio che divulgano matematica a livello molto tecnico (pur mantenendomi sempre in ambito didattico ) non potranno mai avere molto seguito (in termini di iscritti e visualizzazioni) dal momento che gli argomenti trattati sono rivolti solo verso una nicchia molto ristretta come studenti o appassionati di matematica .Non bazzico troppo nei social , ma credo che canali che divulghino matematica e discipline "ostili" non possano mai raggiungere centinaia di migliaia di utenti iscritti .Al contrario canali divulgativi che parlano di scienza senza entrare in dettagli troppo tecnici riescano ad avere (ma è normale ) anche milioni di iscritti e visualizzazioni . È normale che milioni di utenti preferiscono scegliere di vedere un video su una recente spedizione su Marte piuttosto che vedere un video in cui si deve calcolare la circuitazione di una funzione vettoriale lungo un"ellisse di data equazione . Di questo ne ero a conoscenza ancora prima di aprire il canale ,e al contrario mi ritengo molto soddisfatto e sorpreso che oggi dopo un paio di anni sono arrivato a 4000 iscritti .In passato credevo di fermarmi a molto meno .. tuttavia preferisco avere mille iscritti e fare quello che piace e diverte , piuttosto che divulgare roba che attirerebbe molti followers ma che non mi appassionerebbe minimamente .Mai ad esempio riuscirei a parlare di astronomia , di buchi neri o di intelligenza artificiale (anche a livello base ) ; che pur essendo tematiche molto interessanti e fruibili da un pubblico molto vasto , non mi farebbero sentire a mio agio . Quello di KZbin è un gioco per me e mi dedico nel tempo libero un paio di ore (anche tre ) divertendomi a spiegare davanti la videocamera a spiegare qualche concerto di matematica . Può essere che poi sbaglio e sto dicendo molte inesattezze , in ogni caso per me va bene così e già per me è tantissimo leggere molti commenti che apprezzano i miei contenuti anche se ogni tanto a causa di qualche lapsus nel mio cervello (sono anche così nella vita ) dico qualcosa di inesatto anche se il mio cervello sta pensando la cosa giusta 😄. Ancora grazie e buona giornata .

[@lucaluppi1285]

no cap

[@Antonio-hi2pj]

Il Migliore 💪💪🦾

[@lellucctgs7074]

@@salvoromeo e invece oggi di iscritti ne conta quasi 40 mila, con alcuni video che superano abbondantemente le 100 mila visualizzazioni (mai dire mai!). Spero che lei riesca a raggiungere il traguardo dei 100 mila iscritti un giorno, dimostrando che anche i canali che parlano di "materie ostili" possono essere apprezzati su KZbin Italia. Le auguro il meglio davvero

[@lorenzolandiii]

​@@salvoromeo sto guardando questo video a due anni dalla pubblicazione e sono contentissimo che il suo canale abbia addirittura decuplicato le iscrizioni. Tutto super meritato e la ringrazio infinitamente perchè mi ha salvato per l'esame di algebra lineare. A trovarne di divulgatori/professori come lei che riescono a trasmettere la propria passione così chiaramente e genuinamente!

[@SofiaLeoni-zi7um]

Il miglior professore di matematica su youtube, senza alcun dubbio. Contenuti trattati con chiarezza e professionalità. Grazie mille prof!

[@salvoromeo]

Buonasera Sofia , La ringrazio per gli elogi nei confronti della mia didattica ... Reciprocamente ringrazio per la scelta e fiducia verso i miei contenuti .

[@nicolap.1401]

Grazie mille professore! La sua playlist è una salvezza per tutti coloro i quali approcciano a questa affascinante e talvolta ostica materia Continui così!

[@salvoromeo]

La ringrazio per il commento Nicola .Ne sono onorato .Grazie a te (e tutti voi ) per il gradimento .

[@micaelacarone2802]

Prof le scrivo per ringraziarla del suo ottimo lavoro che mi ha permesso di superare l'esame di Algebra Lineare e Geometria, non vedo l'ora di guardare la sua playlist di Analisi 1. Grazie ancora ❤

[@gianmarcosantagata5342]

Lezioni impeccabili, riesce a spiegare in una maniera chiarissima e diretta. Grazie per questo grande aiuto, davvero complimenti professore!

[@salvoromeo]

Grazie a Lei Gianmarco .

[@graziapollacchi4740]

sto studiando per l'esame di algebra lineare e lei con i suoi video mi aiuta un sacco a capire concetti che non mi sono chiari. grazie mille e buon natale

[@salvoromeo]

Grazie a Lei per la scelta dei miei contenuti e sono molto contento che si stiano rivelando utili . Ricambio gli auguri di buon natale 🙂

[@lorenzomarcogianni3975]

Salve,tra poco avrò l’esame di geometria (in ingegneria), volevo solo dirle che è veramente bravo a spigare ,il mio professore in sapienza è un po’ confusionario ,diciamo che ha una visione delle cose tutta sua (anche se si vede che è un genio) .E niente con queste sue lezioni mi sta salvando,continui a farle ,aiuterà tantissimi studenti in difficolta (come il sotto scritto😁)💙.

[@salvoromeo]

Buonasera Lorenzo , la ringrazio per gli elogi , ma è bene ricordare che la didattica ufficiale dei rispettivi docenti della vostra università (da nord a sud) deve essere considerata quella principale . Poi i contenuti su KZbin vanno bene come supporto complementare . In ogni caso grazie per il Suo commento e buona permanenza nel mio canale 🙂

[@mariaritadiliddo8792]

professore la ringrazio per questi suoi video che oltre a rendere chiari concetti complessi, mi stanno facendo anche appassionare alla materia che in precedenza mi annoiava.

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio .La ringrazio per la scelta dei miei contenuti (che non vogliono assolutamente sostituire la didattica tenuta nelle aule ) . Mi fa molto piacere che i contenuti della playlist Le sta trovando utili e anche interessanti ; e la filosofia nel rilasciare tali videolezioni è proprio questo : far capire i principi basilari di questa materia e non far superare l'esame in modo meccanico :-)

[@raffaelederoberto]

Lezione come al solito perfetta! Mi sta facendo amare questa materia di corso....grande Salvo! The Best Prof!

[@Mjricipollaro5528]

Perfetto, chiaro e conciso, volevo ringraziarla perchè è davvero eccellente, pulito nelle sue spiegazioni, sono molte utili, soprattuto svolgimenti di eventuali esercizi, rendono tutto più facile e apprendibile, continui professore non si fermi perchè davvero aiuta tanti ragazzi come me. Complimenti per l’ottimo lavoro che fa, si è e che spiega con passione! 👏🏻👏🏻

[@salvoromeo]

La ringrazio .Dico grazie a te e a tutti gli utenti (studenti o appassionati di matematica ) che date fiducia e seguito ai contenuti che pubblico .Senza il vostro sostegno (condivisioni tra studenti , visualizzazioni ecc ecc ) non sarei motivato a divulgare i contenuti nel presente canale . Ringrazio una carissima amica Carmen Consoli (nota cantautrice italiana e appassionata di matematica ) che mi ha invitato più volte a riprendere il canale KZbin che tempo fa avevo abbandonato .Più che ringraziare me ringraziate Carmen per aver insistito parecchie volte per il rilancio del mio canale .Se non mi avesse convinto insistendo per tre mesi di seguito , il mio canale lo avrei chiuso da tempo . Buona continuazione nel mio canale .

[@alessandromozzillo1242]

non avrei passato il mio esame di algebra e geometria senza di lei professore, grazie infinite

[@salvoromeo]

Mi fa molto piacere e non mi devi ringraziare 😊

[@matteocarta2393]

Complimenti, lei spiega benissimo. Domani ho l'esame di algebra lineare e se lo passerò sarà tutto merito suo. grazie e continui a postare tantissimi nuovi contenuti. in bocca al lupo!!!

[@salvoromeo]

Speriamo bene allora .Le auguro il meglio per domani .

[@matteocarta2393]

@@salvoromeo Grazie😁

[@sessodantesco2605]

Come è andata?

[@micheleviggiano]

Complimenti al professore per le spiegazioni, fornite con competenza e semplicità. Cordiali saluti.

[@salvoromeo]

La ringrazio Michele , lieti che le mie lezioni siano utili .

[@Velia-s9d]

salve prof la volevo ringraziare per le sue lezioni molto chiare e complete. Sto preparando l'esame di algebra lineare guardando i suoi video non avendo potuto frequentare tutte le lezioni. Grazie per la passione che mette nello spiegare facendo risultare le lezioni più leggere.

[@salvoromeo]

Grazie mille per il suo feedback .Questa è una minima parte del mio lavoro eo faccio con molto piacere .La ringrazio per il gradimento e come dico sempre , le videolezioni possono andare bene per imparare qualcosa , ma NON devono sostituire lo studio previsto dai vostri docenti . Grazie ancora e buona giornata .

[@-gamingmd-1630]

Mi stai aiutando un sacco per l'esame di algebra lineare!!

[@salvoromeo]

Mi fa molto piacere .Grazie per la scelta dei miei contenuti .

[@peiderkonz6597]

Buonasera professore, la ringrazio molto per quest’ottima spiegazione, chiara e concisa come da suo standard.

[@amedeoarzarello9443]

Grazie professore per le sue spiegazioni impeccabili e sempre molto chiare.

[@salvoromeo]

Grazie a te per l"apprezzamento .

[@alessandromozzillo1242]

Salve Prof. Romero, complimenti per i suoi video sempre chiari e interessanti! Avrei una richiesta: potrebbe fare un video in cui spiega come verificare la diagonalizzabilità di una matrice utilizzando il concetto di autospazi? Sarebbe davvero utile per approfondire meglio questo argomento. Grazie mille per il suo prezioso lavoro e la passione che mette nell’insegnamento!

[@salvoromeo]

Buongiorno Alessandro intanto grazie per l'apprezzamento .Quando si diagonalizza una maatrice , ricorrere agli autospazi non è di fondamentale importanza o per lo meno passando dalla molteplicità algebrica è come avessimo considerato la dimensione degli autospazi .In effetti realizzazzare una lezione in tal senso non avrebbe alcun senso per il semplice motivo che la lezione già esiste nel mio canale . La prima cosa da fare è tenere in mente la procedura eseguita nel presente video (quello dove stiamo commentando ) . A questo punto vada al seguente link kzbin.info/www/bejne/p5DHkKyjiq1prKM e consideri il primo esercizio e faccia finta che per la matrice data io chiedessi di determinare la matrice diagonalizante .Se ci fa caso dopo aver considerato autovalori e autovettori passo dagli autospazi (i protagonisti della lezione di cui ho fornito il link ) . Non solo mi saprà dire chi è la matrice diagonale , ma mi saprà dire anche chi è la matrice diagonalizzante grazie a questo video sopra. Vedrà che è solo un 'informazione in più ma come ben sa per diagonalizzare una matrice servono gli autovalori , gli autovettori (che definiscono gli autospazi) e la condizione di diagonalizzabilità .Realizzare un un video a proposito sarebbe ripetitivo . Se non Le è chiaro qualche punto di questo messaggio non esiti a scrivere un commento.

[@alessandromozzillo1242]

@@salvoromeo Salve Prof. Romero, La ringrazio molto per la sua risposta e per il link al video. Ho guardato il materiale che mi ha indicato e ho trovato molto utile il collegamento tra autovalori, autovettori e la matrice diagonalizzante. Capisco ora meglio come gli autospazi si integrano nella procedura di diagonalizzazione. Apprezzo davvero il tempo che ha dedicato alla mia richiesta e la chiarezza con cui ha spiegato la questione. Se dovessi avere ulteriori dubbi, non esiterò a contattarla di nuovo. Grazie ancora per il suo supporto e per il lavoro prezioso che fa! Cordiali saluti, Alessandro

[@camillojimmyfiorito9660]

video ottimi per il ripasso. Grazie mille.

[@stefanodipietro9616]

Professore buongiorno, spiega davvero con assoluta chiarezza! A tal proposito, volevo chiederle...è giusto dire che la matrice P del cambio di base non è unica poichè possiamo scrivere gli autovettori della base secondo l'ordine in cui vengono disposti gli autovalori nella matrice diagonale D? Viene spesso fatta questa domanda negli esercizi. La ringrazio in anticipo della risposta, buona giornata!

[@salvoromeo]

Buonasera Stefano grazie per il commento .In base a come si scelgono gli autovalori nella matrice diagonale , nella matrice P cambia la disposizione degli autovettori , tuttavia si tratta sempre di una matrice invertibile , con lo stesso rango e determinante in valore assoluto uguale .

[@lillypatrick4770]

La ringrazio moltissimo, senza lei non saprei fare niente. Quando mette altri video? Il teorema spettrale di cosa parla? Mi servirebbe una lezione su di esso. Ottimo lavoro comunque 🤗

[@salvoromeo]

Buongiorno , invierò sono sempre in via di rilascio . Il teorema spettrale è stato realizzato qualche tempo fa , ma è in coda e se ne parla fra un mese circa il rilascio . La ringrazio per l'attesa , ma purtroppo c'è un ordine sul rilascio delle videolezioni . Mi scuso per l'attesa .

[@emanuelespeciale5343]

Buongiorno professore, nel caso in cui ad esempio ottengo un autovettore con molteplicità algebrica uguale a due, corrispondente successivamente con la molteplicità geometrica (quindi ottengo due autovettori), nel momento in cui vado a realizzare la matrice P scrivendo per colonna l'autovettore corrispondente all'autovalore, come dovrei comportarmi? Quale dovrei trascrivere tra i due

[@lucaluca8338]

buonasera professore, ho un dubbio, le spiego: mentre stiamo cercando l’autovettore relativo all’autovalore uguale a 3, possiamo decidere chi identificare come variabile libera. Io ho scelto la z e l’autovettore mi torna (-1,0,1) e non come a lei (1,0,-1) . Questo però mi va a compromettere la matrice P? Grazie

[@salvoromeo]

Buonasera Luca , è la stessa cosa .La matrice P cambia ma solo apparentemente .Il meccanismo non viene alterato .

[@lucasalvatelli4082]

Salve, complimenti per la professionalità e la chiarezza con la quale spiega le cose. Ho solamente un dubbio: il calcolo del primo autovalore lei ottiene (0 1 0). Specifica poi come abbia utilizzato y come incognita libera. Ma non dovrebbe essere y = 0? Oppure essendo libera e avendo x = 0 e z = 0 è obbligatoriamente diversa da 0? La ringrazio in anticipo

[@salvoromeo]

Buonasera Luca , la ringrazio per il commento .In questo caso y non è specificata e quindi è libera mente le altre due sono vincolate ad essere zero .

[@irenemarchesi9068]

Salve professore, ho una domanda sul determinante: lei in questo caso a deciso di determinarlo partendo da -1-y, ma è sbagliato utilizzare 2-y? Anche perché usando questo risultano ovviamente anche degli autovalori diversi.

[@salvoromeo]

Buongiorno .Certamente che può partire anche da 2- lambda ma deve considerare anche -1 nella stessa riga (o colonna) e quindi applicare il primo teorema di Laplace (vedi lezioni precedenti ) è più complicato .Per tale motivo ho preferito scegliere la prima riga che semplifica molto il calcolo del determinante . In ogni caso il determinante e gli autovalori devono risultare sempre gli stessi .

[@irenemarchesi9068]

Grazie mille! @@salvoromeo

[@AndreaPancia1]

Bravissimo!!

[@salvoromeo]

La ringrazio Andrea .Troppo gentile .Mi fa piacere che sta trovando i contenuti interessanti .

[@AndreaPancia1]

Professore sono io che ringrazio lei come stanno del resto facendo tantissime persone. Penso che lei abbia veramente una predisposizione per l'insegnamento superiore a quella di tanti altri docenti sul web. Il mio è un interesse fine a se stesso data l'età e vorrei aver trovato persone come lei quando ho fatto e poi mollato il primo anno di ingegneria a Bologna nel 1980. Problemi economici e logistici si sono sommati alla mia scarsa maturità come persona a quei tempi. Sono nato a Predappio (FC) e per me Bologna era come NY.. altri tempi. Mia figlia che fa la 5 liceo scientifico è tutta un'altra cosa più indipendente dai genitori più smaliziata. I tempi sono cambiati. Mi creda ho un grande rimpianto per non essermi laureato e non aver completato gli studi. La ringrazio ancora per quello che fa e la passione che ci mette. Un caro saluto.

[@lucacrispino4641]

Salve Prof, avrei un dubbio su un esercizio di questo tipo. Mi chiede se la matrice (1 1) è diagonalizzabile? Gli autovalori che ho trovato sono (1-d e 1+d), da qui in poi non saprei come proseguire, d 1 non capisco che valore dare alla d, ho provato a dare come valore 0 ma viene che non è diagonalizzabile, probabilmente è sempre diagonalizzabile se è diverso da 0? Grazie mille per il suo aiuto

[@salvoromeo]

Buonasera Luca ,il testo che mi ha dato non mi è chiaro ed è comprensibile visto che scrivere tramite messaggio una matrice non è agevole . Una matrice (1,1) che non è quadrata non si può diagonalizzare .Per lo meno mi deve dare una matrice di ordine 2 . Mi scriva meglio sia la prima riga così come la seconda riga e Le risolvo subito il dubbio .

[@lucacrispino4641]

@@salvoromeo Mi scusi, con Yt non sapevo come scrivere, la matrice è ( prima riga: 1 1 , seconda riga: d 1 ), riesco a risolvere le matrici diagonalizzabili senza parametro, con il parametro non so il perchè trovo una leggera difficoltà in più. Il suo esempio nel video precedente l'ho capito bene, ma non lo sono riuscito a mettere in pratica con questo. La ringrazio ancora prof per tutto quello chefa per noi.

[@salvoromeo]

Ok perfetto .Calcola il polinomi caratteristico , e ti accorgerai che dipende dal parametro d . L'endomorfismo potrebbe essere diagonalizzabile in R solo de d è maggiore o uguale a zero ..Se d è strettamente maggiore di zero è ovvio che l'endomorfismo è "è semplice " (ovvero ammette una base di sutovettori (in base a quanto detto in tutte le lezioni della playlist ) , mentre de d è zero essendo la molteplicità algebrica maggiore della molteplicità geometrica (vedi lezione di questa playlist dove ho svolto una matrice con parametro ) trovi che la matrice non è diagonalizzabile . Purtroppo non posso fare tutti i passaggi perché per messaggio viene male . Ti consiglio di andare a visionare la lezione di questa playlist che si chiama :matrici personalizzabili (con esercizio d'esame svolto ) e troverai anche i parametri .

[@lucacrispino4641]

@@salvoromeo Grazie mille prof, il video con l'esercizio d'esame svolto l'ho già visto ed è grazie a quello che sono riuscito a svolgere alcuni esercizi. Anche io mi trovo con lei che se d=0 la matrice non è diagonalizzabile, ma se volessi continuare per trovare una matrice C tale che C-1 A C= D devo sostituire qualsiasi valore alla d che non sia zero?

[@salvoromeo]

@@lucacrispino4641 vero che non devi mettere il valore zero , ma più che mettere un valore a d (diverso da zero ) devi portati nei calcoli il parametro "d" e gli sutovettori ti verranno (in generale ) in funzione del parametro . Se l'esercizio ti richiede solo la diagonalizzabilitá , non devi assolutamente calcolare la matrice del cambio di base P . Quella la devi determinare solo se è esplicitamente richiesta .

[@francescourciuoli8286]

grazie prof ho chiarito il mio dubbio

[@salvoromeo]

Perfetto come vede è lo stesso esercizio che mi ha inviato via email , ma con numero diversi. In caso di dubbi non esiti a chiedere . Buona serata .

[@fabio.dipierno.learning]

Buongiorno Prof. a 06:50 come ha dedotto che l'autovettore è (0,1,0) ?

[@fabio.dipierno.learning]

ho capito: x e z sono uguali a zero (questo lo vedevo) e y è V y di R e ha preso il valore più semplice. Tutto chiaro.

[@salvoromeo]

Buongiorno , ho risolto il sistema lineare scritto a sinistra dell'autovettore .Fatto a mente, ma se lo risolve carta e penna passo passo troverà lo stesso risultato .

[@fabio.dipierno.learning]

@@salvoromeo grazie sempre per le risposte

[@StefanoNappisistemivideo]

Buona sera Salvo ho una domanda molto semplice. Una matrice con determinante = 0 o con Rango inferiore al massimo, potrebbe essere comunque diagonalizzabile? In pratica di fronte alla domanda : questa matrice è diagonalizzabile ? devo sempre procedere con il solo fatto che sia invertibile ? Non esise l'escamotage determinante / Rango ? grazie spero di essere stato chiaro. Un saluto Stefano

[@salvoromeo]

Buonasera Stefano domanda molto bella che merita una risposta in evidenza . La risposta purtroppo è NO . Una matrice può anche non avere rango massimo ed essere benissimo diagonalizzabile . Provo a diagonalizzante la matrice di ordine 3 che detto per righe : Prima riga (1 , 1, 0) Seconda riga (1 , 1 ,0 ) Terza riga (0,0,0 ) Ha rango 1 , ma è diagonalizzabile . Grazie per la domanda interessante .

[@alessioroma2975]

Grazie mille dei suoi video impeccabili ,Grazie alla sua retorica ricercata per un fine didattico e la sua programmazione efficiente fa sembrare molto semplice ogni argomento, lo fa entrare bene in testa grazie anche al fatto che non corre, e risulta chiaro anche per merito degli esercizi da lei inseriti. Avrei una domanda: la matrice P è la cosiddetta matrice ortogonale o sto creando confusione ?

[@salvoromeo]

Grazie per l'apprezzamento Alessio . Lei con questo esercizio ha visto lungo e Le faccio i complimenti .Praticamente basta fare qualche operazione e ci riconduciamo a l concetto di matrice ortogonale ,ovvero trasposta P per P risulta identità (come dire inversa coincide con trasposta ) . Tale esempio infatti sarà preso come riferimento per spiegare una lezione che vera rilasciata fra un paio di settimane .

[@lorenzocrippa4565]

Bel video! Potresti farne uno sulle forme quadratiche e le loro matrici associate?

[@salvoromeo]

Grazie Lorenzo . Per gli argomenti nominati arriveranno anche quelli , prima però ci sono altre lezioni in coda da rilasciare .Grazie per il gradimento .

[@fabiodellorco1432]

Professore è sicuro che non ci siano errori di segni nella matrice inversa? Perché io ho riscontrato alcuni errori ma non riesco a capire perché. La ringrazio in anticipo

[@salvoromeo]

Buonasera Fabio la ringrazio per la domanda.Ho ricontrollato e confermo che non ci sono errori di calcolo . Ho anche fatto la prova e se provi a moltiplicare la matrice P per la sua inversa si ottiene e la matrice identità . Nella mia playlist (sempre algebra lineare ) trovi una lezione su come calcolare la matrice inversa .Ci sono tutti i passaggi passo passo . Se non la trovi ti invio il link tramite commento .

[@fabiodellorco1432]

Ho ricontrollato, grazie mille prof.

[@enricocolombo]

Buongiorno, nel trovare gli autovettori degli autovalori 1 e 3 ha trascurato la terza riga. Lo ha fatto per motivi di risoluzione algebrica del sistema (perché é ridondante) e anche perché la terza riga è linearmente dipendente dalla prima?

[@salvoromeo]

Buonasera Enrico .Esattamente .Quando elimino alcune righe è perché sono o proporzionali ad altre righe o sono combinazioni lineari .Quello che mi interessa infatti e determinate il rango della matrice .A rigore o nei casi più ostili si esegue la riduzione al fine di avere gli elementi speciali (come visto nella lezione inerente il rango di una matrice ) .

[@azzurrabove1833]

Salve, avrei una domanda. Dato che l'autovalore -1 ha molteplicità algebrica 1 e geometrica 2, sbaglio o la matrice non si potrebbe diagonalizzare?

[@salvoromeo]

Buonasera ha fatto bene a fare la domanda .Il fatto che un autovalore abbia molteplicità maggiore di 1 (nel nostro caso 2) non implica che l'endomorfismo sia per forza non diagonalizzabile .Questo è stato spiegato nella lezione precedente a questa quando ho parlato di " matrici diagonalizzabili (con esercizio d'esame svolto ) "

[@azzurrabove1833]

Si ho avuto la conferma nel suo precendente video, se la molteplicità geometrica e quella algebrica non coincidono per un autovalore, la matrice non è diagonalizzabile

[@GiacomoFaltracco]

Buongiorno, nel calcolo dell'autovettore 3 con lambda=3, con quale criterio ha stabilito x=x e z=-x? Svolgendo il sistema non potevo trovare x=-z? e quindi trovare come risultato i valori ( -1 , 0 , 1)? Grazie

[@salvoromeo]

Buonasera Giacomo , certamente .La scelta dell'incognita libera non ha importanza .Nel mio caso ho considerato come incognita libera la x , mentre Lei ha considerato come incognita libera la z , ma va bene ugualmente .

[@leonardocevoli4639]

Buonasera, nel calcolo di P^-1 a me il det (P)=-2 , mentre P^-1 = (0, 1/2 , -1/2) (1, 0, 0) (0, 1/2 , 1/2) lette in colonna, ci tengo a precisare che però nel terzo autovettore io ho usato z come incognita libera quindi ho ottenuto un autovettore v3= (-1 , 0, 1) e dunque cambia pure la matrice P, può essere dovuto a ciò, in caso va bene lo stesso? Grazie per eventuale risposta.

[@salvoromeo]

Buongiorno , non ricordo più l'esercizio che ho inventato nel video (nel dettaglio non ricordo i valori ) . In ogni caso va bene lo stesso .La cosa importante è che abbia trovato una base ortogonale e ortonormale ,e dai valori che ha scritto pare che tutto sia coerente .😊

[@leonardocevoli4639]

@@salvoromeo Perfetto grazie tante professore. Le auguro buona serata ulteriormente

[@carlshod9024]

Professore mi scusi, nella matrice diagonale lei ha detto che possiamo scegliere a nostro piacere la disposizione dei valori sulla diagonale, questo però influenzerà poi la costruzione della matrice P. Cioè se decidessi di disporre i valori in modo diverso da come lei ha fatto, successivamente mi uscirà la matrice P diversa dalla sua e di conseguenza anche P inversa. Quindi come posso capire quale risultato sarà giusto alla fine? Complimenti per il video

[@salvoromeo]

Buonasera Carl , vanno bene tutte .L'importante è mantenere la coerenza con l'ordine .Se ad esempio scambiassi l'elemento a11 con a22 della matrice diagonale , dovrò di conseguenza scambiare la prima colonna con la seconda colonna della matrice P del cambio di base .Di conseguenza cambia anche la matrice inversa di P , tuttavia vanno bene ugualmente .In caso di dubbi chieda pura . .

[@carlshod9024]

@@salvoromeo grazie mille professore, magari ad avere insegnanti come lei in facoltà

[@filippolunghi863]

gentilissimo professore, quando calcola l'inversa di p alla fine del video, le vengono tutti segni positivi nella matrice trasposta a parte uno, a me viene tutto uguale tranne i segni che sono tutti invertiti, per arrivare a p alla -1 ho usato la formula (1\det(p) x C trasposta) mi saprebbe aiutare?

[@filippolunghi863]

credo che l'errore che ho commesso sia stato il non aggiungere i segni della tabella dei segni nella matrice C

[@Ricky-rc6qs]

Buon giorno, volevo chiederle nel posto a33 della matrice P^-1 come ha fatto ad ottenere -1/2, perché a me il complemento algebrico viene +1 che diviso per il determinante viene +1/2. Ho fatto -1(0-1) il posto era pari (3+3) quindi non ho cambiato il segno. Facendo per la verifica moltiplicando la matrice (P^-1) (A) (P) viene corretto con -1/2. Attendo risposta grazie

[@salvoromeo]

Buongiorno l'esercizio è correttissimo e tutti i termini sono stati calcolati senza errori (ha fatto bene a segnalare qualsiasi passaggio dubbio ) Per la matrice inversa consiglio il video m.kzbin.info/www/bejne/pmHIqohmqr6XqK8

[@Ricky-rc6qs]

Buongiorno, ancora non sono riuscito a trovare l’errore. Riuscirebbe a dirmi dove sbaglio ? Grazie

[@riccardocontini1930]

mi scusi, possibile che ci sia un errore? a me l'ultimo autovetture viene (-1,0,1), infatti se si calcola la matrice diagonale facendo P^-1*A*P utilizzando la matrice P fatta con il terzo autovettore (1,0,-1) la matrice diagonale viene sbagliata.. P.S. questo non è un commento fatto con cattiveria o insolenza, ma con curiosità piuttosto per chiarire.. spero possa farmi sapere... grazie mille in anticipo☺

[@salvoromeo]

Buonasera Riccardo io La ringrazio immensamente . Verificherò al più presto quanto segnalato e in caso di errore provvederò a mettere un commento in evidenza . Indipendentemente dall'esito (errore o meno le darò una risposta ) Le auguro una buona serata e grazie ancora .

[@riccardocontini1930]

@@salvoromeolei è il numero uno😉buona serata..

[@salvoromeo]

@@riccardocontini1930 Buon pomeriggio Riccardo come promesso ho ricontrollato i calcoli e Le comunico che è tutto corretto . Ne approfitto per dire che l'ultimo autovettore trovato da Lei è anche corretto infatti un vettore è definito a meno di un coefficiente di proporzionalità e dire (1,0,-1) oppure (-1,0,1) è la stessa cosa .Tale situazione dipende dalla scelta dell'incognita libera durante la risoluzione del sistema . Con calma provi a moltiplicare la matrice P(inversa) per A , e successivamente la matrice ottenuta con la matrice P stessa .Otterá la matrice diagonale -1 ,1 , 3 . La ringrazio comunque per il messaggio e ha fatto benissimo . Molte volte ho avuto la possibilità di evidenziare alcune MIE imprecisioni grazie alla gentile segnalazione di alcuni utenti .Imprecisioni che sono state scritte a mò di correzione in cima ai commenti . Le auguro una buona serata .

[@riccardocontini1930]

@@salvoromeo grazie mille, così mi ha chiarito altri dubbi che avevo sul fatto che potessero uscire autovettori differenti.. grazie ancora e buona giornata😉😌

[@jenniferpezzella4853]

Domanda, se ho due autovalori uguali, la matrice é comunque diagonalizzabile?

[@salvoromeo]

Tutto dipende dalla molteplicità geometrica come spiegato nelle lezioni precedenti .

[@giuseppecandido3150]

Buongiorno avrei una domanda. Gli autospazi e gli autovettori sono la stessa cosa?

[@salvoromeo]

Salve Giuseppe .Non proprio .Nel senso che gli autospazi sono i sottospazi vettoriali di V generati dagli sutovettori .Sono strettamente correlati si ma sono due cose distinte .

[@giuseppecandido3150]

@@salvoromeo grazie mille per il chiarimento

[@loreeeee01]

Se ho un autovalore con molteplicità geometrica 2 , implica che la dimensione del nucleo è 2 e quindi ho due autovettori generanti il mio autospazio. Se ho due autovettori associati al mio autovalore , per costruirmi C quali dovrei prendere ?

[@salvoromeo]

In R³ se si ha un autovalori con molteplicità doppia che associa due sutovettori indipendenti , allora l'endomorfismo è diagonalizzabile e la matrice del cambio di base C è composta (in colonne) da tre sutovettori indipendenti .

[@theplayzone3749]

Buongiorno professore, avrei una domanda riguardo alla diagonalizzazione. Cosa succede se troviamo nel polinomio caratteristico un autovalore nullo ? In quel caso come diventerebbe la matrice diagonale ? La ringrazio per i video che carica e per una sua risposta

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio .Rispondo con piacere .In questo caso non succede nulla di particolare .Se l'endomorfismo è diagonalizzabile allora nella matrice diagonale (in una posizione della diagonale principale ) metto il valore 0 che è proprio l'autovalore .Attenzione tutto questo ha senso se la matrice è diagonalizzabile .Se a priori la matrice non è diagonalizzabile tutto questo non avrà senso .

[@giusdemm]

prof e se D e P hanno det=0 quindi P non è invertibile la matrice non è diagonalizzabile vero?

[@salvoromeo]

P (ovvero la matrice del cambio di base ) non l'ho mai avere mai determinate uguale a zero .Al contrario la matrice A e la matrice diagonale possono avere anche determinante uguale a zero . Come dire una matrice A benché abbia il determinante uguale a zero può esser benissimo diagonalizzabile .

[@giusdemm]

@@salvoromeo perfetto grazie riesce a chiare ogni dubbio

[@mohamedfarahat7515]

Professore scusi, ma questo video che sarebbe il numero 22 e il video 20 sono la stessa cosa?

[@salvoromeo]

Buonasera , no sono due lezioni complementari .Nella prima introduco il concetto di matrice diagonalizzabile rifacendomi al concetto di matrici simili . Nella seconda lezione evidenzio come determinare la matrice che diagonalizza (cosa non fatta nella prima matrice ) Addirittura la lezione 22 (onestamente non le ho mai numerate 😂 ) serve per introdurre il teorema spettrale .

[@mohamedfarahat7515]

Ah perfetto, grazie mille

[@LucaDeLaurentiis]

ciao prof, al minuto 6:50 non ho capito come mai y=1

[@salvoromeo]

Buonasera , in base alla teoria dei sistemi lineari , scelgo di attribuire all'incognita libera un valore arbitrario non nullo , e per l'occasione ho scelto y=1

[@lunagayed4373]

Buongiorno, lei qui non parla di molteplicitá geometrica e algebrica, come ha fatto a determinarle? c’e un modo facile?

[@salvoromeo]

Buonasera Luna , non ho parlato di molteplicità algebrica e geometrica perché ne ho parlato nelle lezioni precedenti .Precisamente ho parlato di moltiplicata algebrica e geometrica in una lezione denominata "matrici diagonalizzabile (con esercizio esame ) che dovrebbe essere precedente a questa . Spesso quando di per scontate alcune nozioni è perché sono già state spiegate nelle lezioni precedenti 🙂 . Se non trova la lezione in questione mi avvisi e provvederò a dare il link .

[@lunagayed4373]

@@salvoromeo Buongiorno, lho trovato. La ringrazio per tutto il bel lavoro che fa caricando questi video. È sempre molto chiaro e si vede che ci mette passione. Buona giornata

[@grvtta]

Salvo oggi sembri meno incazzato del solito

[@salvoromeo]

😄

[@biagiociccone85]

Prof mi scusi la domanda ma il calcolo del determinante di H può essere sbagliato? perché ci sto provando e riprovando e non riesco a trovarmi come lei, mi scusi il disturbo e grazie in anticipo!

[@salvoromeo]

Buongiorno Biagio .Il determinante della matrice H confermo che è corretto .Faccia i calcoli passo passo e vedrà che otterrà gli stessi risultati .

[@biagiociccone85]

@@salvoromeo grazie prof, avevo sbagliato un segno

[@francesco3035]

mi chiedo perchè io debba pagare la tassa universitaria quando queste lezioni gratuite sono mille volte meglio di quelle del mio corso

[@angelorearea7]

professore non ho ben capito come ha trovato il polinomio caratteristico… ho difficoltà a capire come ha fatto a trovare i vari lamda

[@salvoromeo]

Buongiorno per determinare gli autovalori deve visionare in dettaglio la lezione raggiungibile tramite link a fine messaggio . Solitamente quando ometto e salto diversi passaggi lo faccio o perché banali (non è questo caso ) o perché sono concetti che sono stati affrontati in una lezione precedente della medesima playlist (come in questo caso ) . Lo stesso esempio di questa lezione lo utilizzo in seguito per il teorema spettrale .Le lezioni della stessa playlist sono quasi tutte collegate . Ecco il link su come trovare gli autovalori . m.kzbin.info/www/bejne/l5XVdntqj5qGas0

[@angelorearea7]

@@salvoromeo grazie professore👍❤️

[@samuelepluchino9943]

Salve mi scusi il disturbo, ma come mai quando va a calcolare gli autovettori a lambda uguale a 3 lei pone la x come variabile libera e le viene (1,0,-1). Ma se io pongo la z come variabile libera viene (-1,0,1) e quindi alla fine la matrice P ed P^-1 sono diverse dalle sue. Perché propio la z e non la x cosa cambia? e come faccio a capire in futuri esercizi a decidere quale scegliere come variabile libera?

[@salvoromeo]

Buonasera , va benissimo anche se sceglie un altra incognita libera .In questo caso certamente che la matrice P cambia (non di molto ) ma cambia anche P^-1 , ma tuttavia il prodotto tra le matrici si conserva . Vada tranquillo e scelga come incognite libere quelle che ritiene più opportune .

[@tommasoboi-l3f]

ma la p^-1 ha sbagliato dei meno nel 1/2?

[@salvoromeo]

Buonasera , mi lasci il tempo di controllare e se vi è un errore di calcolo lo metto in un commento in evidenza .

[@salvoromeo]

Ho controllato .Tutti corretto .Infatti se prova a fare la verifica si ha PP¹=P¹P=I .

[@FootLife365]

Io ho provato con la calcolatrice nella modalita matrice a mettere P*A*P-1 per non mi da D mi da un altra matrice

[@salvoromeo]

Buongiorno .Deve mettere le matrici nella:ordine giusto .Se fa caso ha messo le matrici in un diverso ordine e quindi è normale che non risulti . Messe nell'ordine giusto risulta perfettamente la matrice D nel corretto ordine .

[@Ascrakat]

Ma sela molteplicità algebrica è maggiore di uno cosa significa scrivere n voite l'autovalore

[@salvoromeo]

Significa scriverlo tanto m volte tanto quanto la molteplicità algebrica .

[@yaoooy]

Mai capito quale sia la necessità di diagonalizzare una matrice

[@salvoromeo]

Renderla poi snella e rendere il sistema fi riferimento più semplice .Ad esempio scrivere una civica in forma canova di un'ellisse allineando gli assi di simmetria della conica con quelli del sistema di riferimento .

[@yaoooy]

@salvoromeo che significa rendere snella una matrice