✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной

Как решать кубические уравнения. Формула Кардано
#БотайСоМной 025
Поговорим о том, как решать кубические уравнения, откуда берется формула Кардано, и при чем тут комплексные числа.
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/ege11b
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/ege1315
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_trushin
Группа "TrushinBV.ru": trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
KZbin-канал: / trushinbv

[@si8175]

Я похоже совершил ошибку, включив это видео в 2 часа ночи)

[@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53]

Пффф, 3 часа ночи и 6 дней до егэ)

[@zuzu9106]

@@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53 ну как сдал?

[@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53]

@@zuzu9106 84

[@marshallmathers5654]

@@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53, мне кажется тебе на егэ это не понадобилось

[@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53]

@@marshallmathers5654 ты прав, мне это не помогло. У меня в 15 получилось кубическое уравнение и я в процессе нахождения его корней совершил арифметическую ошибку) каким бы способом я ни решал задачи, моя невнимательность всегда со мной)

[@alext4764]

Наверное самое лучшее изложение истории этого открытия (достаточно приближенное к тем временам) можно найти в журнале "Квант" №9 1976г. в статье С.Г.Гиндикина "Великое искусство". Стоит прочитать и другие статьи из этого журнала, посвященные решению кубических уравнений (целевая аудитормя журнала - школьники старших классов). Если же ориентироваться на студентов младших курсов, то про геометрическую интерпретацию формул Кардано на комплексной плоскости можно посмотреть сборник "Математическое просвещение" вып.15, 2011г.

[@Germankacyhay]

Спасибо.

[@gemeni0]

Спасибо

[@intellll]

Красиво излаете. Желаю успехов(исправьте неточность).

[@user-qy6nx7hy3p]

kvant.mccme.ru/1976/09/p02.htm

[@allatrunina1993]

Спасибо,спасибо и еще раз спасибо! Искренне вам всегда благодарна, вы делаете прекрасное дело !

[@avis_sherlockov]

Борис Викторович, спасибо за всё

[@raffinad]

ОЧЕНЬ КРУТОЙ РОЛИК! Наконец то мне стало понятно для чего нужны комплексные числа, спасибо огромное ❤

[@apl3951]

Пожалуйста, сделайте видео на тему "Касание двух функций", в 18 ЕГЭ часто встречается, было бы очень полезно разобрать

[@misha.physics]

Спасибо!

[@user-te1ss4xy9t]

долго не занимался математикой. потратил 3 дня на этот урок

[@trushinbv]

Это очень круто! Большинство бы бросило через 10 минут )

[@user-wf3fd9vf7t]

Это лучший математик!!!

[@user-ul1nx8xl1i]

Спасибо огромное, у Вас получается захватить внимание)) . Да комплексные числа и в физике, квантовой химии нужны, но это применение не знал)

[@kefirwarrior7901]

@Лол ХП уравнение 6 степени? Если так надо, но не через комп, советую Безу и схему Горнера, почти всегда работает

[@muha_v_pive]

Ещё некоторые ими мешки с картошкой подвязывают, у них на самом деле много применений

[@stasessiya]

@@kefirwarrior7901 наоборот, безу и горнер почти никогда не работают в прикладных задачах, где коэффициенты уравнения не подобраны специальным образом, заточенным под эти методы

[@stasessiya]

@Ivan ⚛️☮️ никто и не говорит, что в вашей прикладном аспекте нужно находить строгие аналитические решения. уверен, что интегралы и даже значения функций вы тоже находите численными методами, как и решения кубических уравнений

[@Muffat100]

отлично. редкая тема. увлекался когда еще не проходили квадратные. потом сам все вывел без подсказок!

[@a.osethkin55]

Лайк за Кардано! Ждём для 4-й степени. Спасибо за видео!

[@nitroner6572]

Для 4 степени нет общих формул

[@Stas-bl4ud]

@@nitroner6572 есть, формула феррари

[@user-rq6hk7jm5g]

@@nitroner6572 нет с пятой и выше. На 4 есть метод Феррари

[@gark9748]

​@@user-rq6hk7jm5gНу вообще то есть если считать только некоторые из них и не все симметрия там и все такое

[@user-lb3my6eq2y]

Очень круто!!!

[@georgian_thoughts]

Отличное видео! Можете в следующий раз(или когда-нибудь) объяснить ряды Фурье? для этого, правда, сначала придется интегралы и ряды объяснить, наверное.. но все равно было бы очень интересно!

[@WYLSACOMpobeditel]

Борис Викторович, можете разобрать метод неопределённых коэффициентов

[@user-cw4bk5ts8e]

С уважением Александр. Вечный студент.

[@michaelpolishchukCAInc]

Теорема Виета для многоразмерных полиномов всё-таки гораздо приятнее в обращении. На часах,кстати, 02:46 ночи. Пора, видимо,смотреть ролик о размножении утконосов...

[@user-lu2xc5lp8g]

А я с утконосов начал) и в 3:10 здесь

[@Leha_from_Zavod]

Вхвххвв откуда такие реки

[@user-pj1rh5jr6d]

02:48

[@letsplay1626]

Это самое крутое ваше видео!!!

[@user-ee6wp4in1i]

Здравствуйте Борис. Как всегда отличное видео. Но очень сильно не хватает примеров и хорошо бы было расставить все точки над i, т.е. рассмотреть все "хорошие" и "плохие"(не приводимые) случаи.

[@kuchma19]

Расскажите о функциональных уравнениях.

[@yaroslav.b.82]

Класс👍🏻

[@user-uq9jg5yd4v]

Очень полезная информация для 8 классника))) Теперь я могу хвастаться перед друзьями! :)

[@user-fo5oh4pf2k]

У вас ещё и превосходный артистистический талант. Наверное, и в этом вы бы состоялись. И роскошный бас, вероятно даже профундо. Редкое сочетание, на дороге на валяется.

[@user-pd8eo7vk6e]

Очень крутой ролик! Подобного нигде не видел, чтоб прям по честному рассказали да ещё и интересно. Разобрался со всем только к 4 просмотру (каждый раз понимал все больше по чуть-чуть). Спасибо!

[@LordBulbator]

у меня два дня ушло хоть как-то самостоятельно разобрать и то путался, кому как...

[@darlingg5088]

Можешь сделать видео на тему "Касание двух функций".Просто это тема очень часто встречаеться в 18 егэ

[@apl3951]

Darlingg ! Поддерживаю, было бы замечательно

[@user-bc9wj2kk3x]

кек значения равны и производные равны чего тут сложного-то?

[@sim9797]

Напротив, в ЕГЭ ты практически никогда такого не встретишь. Там специально такие задачи подбираются

[@imionfamilin7057]

Написал 18?

[@user-fr4dv1pe6g]

И насчёт "приводимых" и "неприводимых" случаев Дискриминант равен q^2 + p^3. Если q^2 + p^3 < 0, то случай "неприводимый" и в таком случае получаются три вещественных корня Если q^2 + p^3 = 0, то один из двух различных вещественных корней кратный Если q^2 + p^3 > 0, то один корень вещественный, а два других - комплексные Если q^2 + p^3 < 0, то u^3 = -q ± i*sqrt(-q^2 - p^3) (i*i = -1) В данном случае p - число заведомо отрицательное (p^3 < -q^2 < 0) Для извлечения кубического корня приведём u^3 в полярный вид (квадрат модуля комплексного числа равен сумме квадратов вещественной и мнимой частей) (|u^3|)^2 = |u|^6 = (-q)^2 + (-q^2 - p^3) = -p^3 = (-p)^3 => |u| = ((-p)^3)^(1/6) = sqrt(-p); |u|^2 = u*u_сопряжённое u^3 = |u^3| * exp(±i*arg(u)) = (-p)^(3/2) * exp(±i*arccos(q / (p*sqrt(-p)))) => u = sqrt(-p) * exp(2i*pi*k/3 ± i*arccos(q / (p*sqrt(-p)))/3) Таким образом, y = u - p/u = u + (-p) / u = u + |u|^2 / u = u + u_сопряжённое = 2*Re(u) = 2*sqrt(-p)*cos(2*pi*k/3±arccos(q / (p*sqrt(-p)))/3) y = 2 * sqrt(-p) * cos(2*pi*k/3 ± arccos(q / (p*sqrt(-p)))/3), k - целое число Так выглядят корни уравнения y^3 + 3py + 2q = 0 в случае p^3 + q^2 < 0 в общем виде

[@previousprevious.timesfgchh]

это было слишком умно

[@user-sw1tk5ro5q]

Писали пробник по огэ, в нем попалось уравнение вида х³+рх+q=0. Я не решил хвастаться перед учителем, поэтому оставил его не решенным, бог с ним, других методов для данного вида, кроме как Кардано я не знаю. Интересна реакция проверяюших огэ, если вдруг мне попадется такое уравнение))). Я имею хорошую базу о комплексных числах, и даже немного знаю о кватернионах, зачем мне решать скучным школьным стадным методом,разложением на множители или еще как-то, когда в тетради можно такую красоту написать?

[@HomoMathematicus.]

Есть элегантный вывод ф-лы Кардано для приведенного уравнения. В формуле куба суммы (допустим, суммы х + у ) переносим все слагаемые налево, туда где куб суммы. В слагаемых с тройкой выносим за скобку общий множитель 3ху. Получаем, что из куба суммы вычитаются 3ху(х+у) и (х^3 + у^3). Осталось найти х и у такие, что бы 3ху = р (коэффициент при первой степени неизвестной в приведенном уравнении), а х^3 + y^3 = q (свободный член в том же уравнении). Выражаем х через у и р, подставляем во второе равенство, решаем обыкновенное биквадратное уравнение. Фсё.

[@downill]

Можешь попробовать рассказать о гипотезе Римана, видосов на русском практически нет, которые хоть как-то объясняли что это.

[@user-ef1rc5kf2u]

Почитай книгу "Простая одержимость" Джона Дербишира. Четко и понятно (даже для тех, кто не особо знаком с математикой) рассказывает о самой гипотезе, том как ее решали и много другом интересном.

[@user-wk6ek3iz3k]

12:09 узнали ?

[@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53]

Знакомо

[@user-jt5tc4ez4s]

@@love_gr4ss_hate_w4lls_coz_53 было?

[@surrealminevid]

@@user-jt5tc4ez4s согласны?

[@clown3949]

Теорема безу в помочь почти всегда

[@negin1812]

Я вот только одно не понял, в последнем уравнении, которое решено в качестве примера, мы для u^3 нашли два значения, но одному значению x соответствует одно значение u. Соответственно мы нашли два икса. А куда третий то корень делся? И ещё когда подставил в икс найденные значения для u получилась какая то каша кубических корней и мнимых чисел, не пойму как там вообще что-то может преобразоваться до целых чисел, ведь все 3 корня целые

[@armyant6187]

какая - сцуко - красота!

[@williamspostoronnim9845]

На самом интересном месте останов. А где искать продолжение?

[@user-nx5bk1mx3u]

Получается необходимость в комплексных числах появилась для решения уравнения третьей степени.

[@user-cw4bk5ts8e]

Я сам пробовал решать их. Есть прикладная часть решения этих уравнений. Когда мы описываем электр схему. Т.е. создаем математическую модель схемы. С емкостями и индукдивностями, то происходит накрутка производных - т е. диф ур. или степени уравнения характеристического от этого ДУ. Надо либо решать самой ДУ. Либо решать его харак уравнение с высокой степенью. И вот тут то мы сталкиваемся с этой проблемой. Поиска корней ур-я или разложения по скобочкам х-х0. Я не знаю выйдете ли вы на связь. Есть метод как раз Горнера. Но он только для численных коэффициентов при иксах. Вот а у нас может быть любое мат выражение при иксах.

[@user-kc2yx8fi7u]

синус и косинус угла в 1гр(градус) - это действительная и мнимая часть одного из корней уравнения U^3 = cos(3гр) + i*sin(3гр), причем и косинус и синус 3гр могут быть представлены только через радикалы и арифметику. Но удастся ли показать школьнику, незнакомому с комплексными числами, аналогичное представление синуса и косинуса угла в 1градус? А ведь надо всего лишь решить простое на первый взгляд кубическое уравнение. В Интернете я таких формул не нашел. А Вы что думаете на этот счет? Уравнение решается в радикалах?

[@user-qy6nx7hy3p]

не за скобку, а за знак корня 19:14. Блестяще! Но был бы восторг, если бы до конца было дорешенно...

[@user-rx2po9uv2n]

Хм Интрига. Буду ждать серий о мистических комплексных числах)

[@timurkodzov718]

Уравнение можно так решить: В видео сказано, что u₁³=-q+√(q²+p³) и u₂³=-q-√(q²+p³) причём p=-7/3 и q=3 Из-за того что дискриминанта отрицательная: u₁³=-q+√(-q²-p³)*i и u₂³=-q-√(-q²-p³)*i Модуль чисел по теореме пифагора: | u₁³|=| u₂³|=√(q²+(-q²-p³)=√-p³ cos(φ)=- q ÷ √-p³ и sin(φ)= √(-q²-p³) ÷ √(-p³) По формуле Муавра: => u₁³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)+i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) и u₂³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)-i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) причём k любое целое число => u₁=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)+i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) u₂=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)-i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) k=0,1,2 x= u₁+p/ u₁=...=2*√(-p)*cos((φ+2π*k)/3) φ=arccos(- q ÷ √-p³)=arccos(-(9*√3)/(7*√7))≈2,5712158436 (в радианах) x₁=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3)=2 x₂=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(2π)/3)=-3 x₃=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(4π)/3)=1 Да, я пользовался калькуляторам. Но после того, как я решил первый ответ х=2, два остальных можно вычислить и без калкулятора, если поделить уравнение на х-2 и там выдет квадратное уравнение.

[@gemeni0]

Расскажите как из этого u получаются то 1, 2 и -3. Это интересно. Ато незавершённый гештальт выходит.

[@timurkodzov718]

Уравнение можно так решить: В видео сказано, что u₁³=-q+√(q²+p³) и u₂³=-q-√(q²+p³) причём p=-7/3 и q=3 Из-за того что дискриминанта отрицательная: u₁³=-q+√(-q²-p³)*i и u₂³=-q-√(-q²-p³)*i Модуль чисел по теореме пифагора: | u₁³|=| u₂³|=√(q²+(-q²-p³)=√-p³ cos(φ)=- q ÷ √-p³ и sin(φ)= √(-q²-p³) ÷ √(-p³) По формуле Муавра: => u₁³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)+i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) и u₂³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)-i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) причём k любое целое число => u₁=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)+i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) u₂=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)-i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) k=0,1,2 x= u₁+p/ u₁=...=2*√(-p)*cos((φ+2π*k)/3) φ=arccos(- q ÷ √-p³)=arccos(-(9*√3)/(7*√7))≈2,5712158436 (в радианах) x₁=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3)=2 x₂=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(2π)/3)=-3 x₃=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(4π)/3)=1 Да, я пользовался калькуляторам. Но после того, как я решил первый ответ х=2, два остальных можно вычислить и без калкулятора, если поделить уравнение на х-2 и там выдет квадратное уравнение.

[@volodymyrtykulov8800]

Формули рішення кубічних рівнянь Джереламо Кардано надав Тарталья з вимогою ні з ким цими формулами не ділитися. Але Д. Кардано риючись у чиїхось раніш оприлюднених трактатах знайшов ці формули. Тому він ці формули і вніс у свої роботи при цьому порушуючи обіцянку Тартальї. А ще Джереламо Кардано був незвичайною людиною. За свідченнями деяких істориків він убив свого батька, жив зі своєю донькою. Розробляв гороскопи. У відповідності зі своїм гороскопом мав прожити 75 років. І коли це сталося у свій день народження покінчив життя самогубством, щоб довести правильність свого гороскопу. У його роботах викладена конструкція підвісу, який називають кардановий підвіс, а звідси і назва карданний вал який знають майже всі водії.

[@user-ik2eo5ug7y]

нарезка из видео - как смысл жизни

[@paveldemyanenko]

👍

[@gemeni0]

8:32 Всё объяснил. Пальцем. Вот он вертится. Всё ясно.

[@user-pe4zo4dc9z]

Лучший кликбейт в моей жизни)

[@user-il1wg1hy6x]

да это вынос мозга какой то,даже на 0,5 скорости не улавливаю

[@kostyabah3569]

Уважаемый Борис! Прошу поменять название видео! на "интрига века часть первая!" Где во второй расскажете как получить 1,2,-3! А то интрига бешеная! Получше всяких детективов! p.s Константин 35лет! Хобби пишу проект(разрабатываю веб-приложение по векторной графики). И именно там пришлось узнать аргумент в кривой безье!

[@holyshit922]

Подстановка Виета (Виет решал кубические уравнения в этот способ) 21:40 u^3=(-3/2±1/6*sqrt(-3))^3 Если не знаем комплексных чисел можем решать это уравнение тригонометрическими функцями

[@nobrainnogain7255]

Бортс Викторович, а вот скажите, почему корень из -1 извлечь можно, а, допустим логарифм из отрицательного числа взять или же вообще какую-нибудь акультную вещицу похуже: какой-нибудь тангенс(п/2)

[@georgian_thoughts]

по факту и корень из -1 извлечь нельзя, просто он часто появляется, поэтому ему сказали "давайте считать, что это i и пойдем дальше". логарифм нуля тоже можно назвать каким-нибудь f и пойти дальше, но применять его особо будет негде, так зачем это делать

[@user-rx2po9uv2n]

а что плохого в тангенс(п/2)? Там просто косинус=0

[@bravefalcon210]

ru.m.wikipedia.org/wiki/Комплексный_логарифм

[@user-ss9lh2tm8x]

видосики Творца Стихов, Почему нельзя? Вполне возможно извлечь корень из -1, только он выйдет за пределы поля действительных чисел и будет находиться в комплексной области.

[@userxolli3568]

Комплексная область и основывается на корне из -1

[@user-jj9nt7uc3u]

постоянно в голос со вставок в начале

[@SunLightDH]

Vanechki 2 Уравнение третьей степени Введите выше написанное в поиск и будет вам счастье и полный и внятный разбор всего, самый интересный препод...

[@Serg63ryba]

Тарталья тоже принимал участие Никко́ло Тарта́лья (итал. Niccolò Tartaglia, 1499-1557) - итальянский математик-самоучка, инженер фортификационных сооружений.

[@OnePunchman-jl9fe]

там много кто принимал участие

[@Serg63ryba]

@@OnePunchman-jl9fe что значит много? Тарталья нашел доказательство а Кардано выложил его в своей книге. Я это знал еще в школе сорок лет назад

[@OnePunchman-jl9fe]

@@Serg63ryba ферро,например,бомбелли...До тартальи много кто находил вещественные корни кубических уравнений, я к тому клонил,вы же это подразумевали,разве нет?И после Тартальи уже бомбелли с виетом нашли комплексные корни

[@Serg63ryba]

@@OnePunchman-jl9fe в журнале "Квант" №9 1976г. в статье С.Г.Гиндикина "Великое искусство". все хорошо изложено и статья легко находится в интернете. Знали и до Тарталья решения частного случая куб уравнений. Однако это не так интересно как решение задачи о диаметре колодца. Ее возраст до нашей эры и нужно уметь решать уравнение 4 степени

[@LEA_82]

Хоть и длинное видео, но оно уВас гораздо подробнее, чем у Саватеева.

[@user-cw4bk5ts8e]

Уважаемый Борис. Смотрю ваши решения. А если вот таким методом решать уравнения более высоких порядков. Т.е. я так понимаю. В самом общем случае. Для кубического ур выделяется полный куб и плюс остаток - число. Для четвертой степени полную сумму в четвертой степени и плюс число. Что не всегда будет. Правильнее выделить полный квадрат потом еще раз полный квадрат. Так чтобы у нас в остатке было число. Ну и так далее. Просто с ростом степени уравнения будет расти громоздкость этих выкладок. И самого результата.

[@AdCoder]

Очень интересно узнать откуда береься метод крамера ? Почему он действительно работает? Много действий, но как люди дошли до этого..не понятно... Вот хотелось бы про это узнать.

[@Godrik99shadows]

Да там кстати ничего сложного, возьми некоторую СЛАУ и реши ее в общем виде относительно каждой из переменных, получишь формулу Крамера. Просто надо определитель разглядеть в числители и знаменателе.

[@user-vr8is4wd8k]

Возможно, благодаря таким странным чувакам как Кардано, мы не живем в пещерах, а смотрим видосы про математику со своих девайсов

[@maxskywalker8593]

По приколу заучил эту формулу и решил кубическое уравнение в 9 классе. Училка была в шоке

[@user-fr4dv1pe6g]

Есть немного другой способ прийти к замене y = u - p/u У нас появилось уравнение y^3 + 3py + 2q = 0 Вспомним формулу куба разности: (u - v)^3 = u^3 - 3u^2 v + 3 u v^2 - v^3 = u^3 - v^3 - 3uv(u - v) Таким образом, разность кубов можно представить как куб разности без утроенного произведения возводимых в куб величин и разности, то есть u^3 - v^3 = (u - v)^3 - 3uv(u - v) (то есть, в разности кубов фигурируют лишь куб разности и сама разность, помноженная на тройное произведение самих величин) Попробуем сделать замену y = u - v в надежде на то, что она поможет y^3 + 3py + 2q = 0 (u - v)^3 + 3p(u - v) + 2q = 0 u^3 - v^3 + 3(p - uv)(u - v) + 2q = 0 Значит, для избавления от (u - v) надо сделать так, чтобы uv = p. Так получается замена y = u - p/u

[@nobrainnogain7255]

Борис Викторович, а давайте для 4 степеней сразу может быть

[@trushinbv]

kzbin.info/www/bejne/l5nGkpVtjJ6YhpI

[@allbirths]

@@trushinbv ну там суть одна и та же ведь: собираем прибавлением и убавлением элементов более простые уравнения в скобках и со степенью. Ну степень 4 - это апафиоз шизофрении, полнейший косяк расчетов, кубы и то в объемах проще какими-нибудь литрами выразить. Вот ответ на вопрос, как обходиться без уравнения с большой степенью kzbin.info/www/bejne/m5TWhKCjd75obLM

[@allbirths]

@@trushinbv комплексные числа удобны, чтобы не забывать про отрицательные значения после преобразования. То есть, чтобы ориентацию не потерять))

[@user-ck2nj7in8x]

Борис, прошу прощения, я что-то не понял. Подскажите, пожалуйста, почему на 19:18 от 82 отнимается 27*343? Ведь по формуле «+»? Уже несколько раз пересмотрел видео - не пойму

[@dakoz]

По формуле D/4=(b/2)²-ac b=162 a=27 c=343

[@Sharbulat]

а меня смущает куб, там ведь 343 делить 27 все в кубе.

[@user-xq5vg5zy2c]

Наример х=1;-1;2 x^3-2*x^2-x+2=0 z=-0.37037037+/-0.577350269i u=0.666666667+/-0.577350269i y=1.333333333 x=2 вроде и операции с комплексными числами, а результат действительный)

[@user-qj5ld3vy7j]

Так с этого и началась эпоха комплексных чисел! Кардано знал, что у некоторых уравнений точно есть решение, т.е. мы не можем просто сказать "уравнение не имеет решений". Но формула выдавала корни из отрицательных. И Кардано придумал мнимые числа, которые в итоге самоуничтожились и дали верный вещественный ответ.

[@user-jr4vz1gc2k]

Самое интересное что Кардано не открывал этот метод, его открыли независимо Дель Феро и Тарталья. От последнего он и узнал метод, но дал обещание не публиковать до тех пор пока Тарталья не напишет книгу, но тот не написал и Кардано опубликовал вместе книге вместе с работой своего ученика Феррари про 4 степень, в книге он по-моему так и написал что не он этот метод нашел, но впоследствии все стали называть этот метод его именем

[@somebody198]

Борис Викторович! Тайминг 17:00 Если брать k=-7/3,то -3uk действительно становится 7u.Но вот 3k^2/u мало похож на 7k/u.Скорее на 49/3u.Или я что-то упустил?

[@trushinbv]

3k^2/u = 3 (-7/3) k/u = - 7k/u Одно k же нужно оставить )

[@somebody198]

Борис Трушин Ой,точно,можно ещё проверить,что все хорошо,подставив k во вторую строку,и получить там -49/3u.Спасибо!

[@ilkinnabiev89]

@@trushinbv Тайминг 11:12, я не понял. Вы же сократили везде 3p, но дальше у вас почему то вместо k стоит p. Объясните пожалуйста, возможно я не догоняю.А в 16:00 уже стоит k.

[@trushinbv]

@@ilkinnabiev89 10:45, k=p

[@morgul81]

Сам придумал уравнение третьей степени с тремя целыми корнями. Начал решать его по формуле Кардано и когда подошел к нахождению первого корня получил выражение 10/3+2*sqrt(61)/3*cos(1/3*arctg(270*sqrt(3)/91)). Это сумасшествие я смог посчтать только с помощью Maple. Это сумасшествие равно 8. Но вот вопрос, как такие выражение считать без компьютера? Борис, можете и что-нибудь сказать по этому поводу.

[@morgul81]

Картинка по ссылке disk.yandex.ru/i/JL1nMKVvLPaw4Q

[@RD-D2-92]

Сделайте урок на тему уравнение из функций. Отличное видео

[@trushinbv]

Что вы имеете в виду?

[@zlukich]

Как это может решением кубического уравнения если в зависимости от знака +- корня будет два? Как тогда найти третий корень?

[@Markeaan]

ну смотри ты найдешь хотя бы один корень , подели на него и получи квадратное уравнение которое даст тебе ещё 2 корня . Но это при условии что корни действительные и уравнение нормально составлена чтоб ты там при делении никакую бяку не получил

[@aastapchik8991]

Корень кубический имеет три значения. Вот из подставляешь и получаешь 3 корня)

[@user-qj5ld3vy7j]

@@aastapchik8991 Там два кубических корня и две конструкции плюс-минус. Не приведет ли это к 36 корням?

[@somebody198]

А можно ли вывезти формулу Кардано,не залезая в комплексные числа?

[@trushinbv]

Для вывода формулы комплексные числа не нужны. Они нужны когда пытаешься начать ее использовать )

[@user-ho7go7sk1o]

Сделайте пожалуйста видео почему площадь квадрата равна квадрату его стороны🙏 и вообще что такое площадь

[@Liberty5_3000]

Омагад, ты серьезно?

[@nemoumbra0]

@@Liberty5_3000 а почему нет? На канале есть видео "Почему минус на минус даёт плюс".

[@Liberty5_3000]

@@nemoumbra0 ну просто минус на минус это что-то вроде некого постулата, дающегося без доказательства, а площадь квадрата это вроде очевидная штука

[@nemoumbra0]

@@Liberty5_3000 Ну уж нет. Ни разу. А что такое вообще "площадь" произвольной фигуры?

[@Liberty5_3000]

@@nemoumbra0 беспонятия какое определение, но оно и не нужно, по сути это то, сколько раз единичный квадратик умещается в фигуре

[@user-kc2yx8fi7u]

Что-то мне кажется, что мы не увидим перед собой корней 1, 2 и -3, все подставив как надо. А Вы пробовали это сделать?

[@aastapchik8991]

Все получается там)

[@srallulrich]

Да! Все ахрененно получается

[@timurkodzov718]

Уравнение можно так решить: В видео сказано, что u₁³=-q+√(q²+p³) и u₂³=-q-√(q²+p³) причём p=-7/3 и q=3 Из-за того что дискриминанта отрицательная: u₁³=-q+√(-q²-p³)*i и u₂³=-q-√(-q²-p³)*i Модуль чисел по теореме пифагора: | u₁³|=| u₂³|=√(q²+(-q²-p³)=√-p³ cos(φ)=- q ÷ √-p³ и sin(φ)= √(-q²-p³) ÷ √(-p³) По формуле Муавра: => u₁³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)+i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) и u₂³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)-i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) причём k любое целое число => u₁=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)+i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) u₂=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)-i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) k=0,1,2 x= u₁+p/ u₁=...=2*√(-p)*cos((φ+2π*k)/3) φ=arccos(- q ÷ √-p³)=arccos(-(9*√3)/(7*√7))≈2,5712158436 (в радианах) x₁=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3)=2 x₂=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(2π)/3)=-3 x₃=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(4π)/3)=1 Да, я пользовался калькуляторам. Но после того, как я решил первый ответ х=2, два остальных можно вычислить и без калкулятора, если поделить уравнение на х-2 и там выдет квадратное уравнение.

[@user-qj5ld3vy7j]

​@@timurkodzov718Что-то Вы перемудрили. После того, как вы расписали формулу Муавра, сразу можно было брать арккосинус. Перевод в экспоненциальную форму был ни к чему.

[@timurkodzov718]

@@user-qj5ld3vy7j Давай разберёмся (сам долго не увлекался этой формулай): формулу Муавра я не для того написал, чтобы взять арккосинус. Арккосинус можно сразу было-бы взять. Но как вы например без формула Муавра будете знать, что угол, который, я вычислил арккосинусам, надо поделить внутри косинуса на 3? Я беру из u³ кубический корень. Если сумму костнуса и синуса не приравнять к экспоненциалу exp(...), как я буду знать, что угол внутри косинуса надо делить на три? Как вы будете знать, что x=u-p/u=sqrt(-p)*cos(...) без экспонециальной формы? (Кстати, помоему у меня опечатка. Я написал x=u+p/u, но надо было написать x=u-p/u). Хотя может быть к последниму вопросу можно такой трюк применить: (cos(...)+i*sin(...))*(cos(...)-i*sin(...))=cos²(...)+sin²(...)=1. Но как вычислить кубический корень из cos(...)+i*sin(...) без экспоненциальной функции, это я сам не знаю.

[@saschok1836]

Почему про схему Горнера не рассказали?

[@ins1dehns184]

Речь шла о решении любого кубического уравнения, не?

[@ramzfit4435]

схема Горнера скатывается в молочное царство, когда корни иррациональные)

[@at_one]

Это не формула Кардано, а вроде бы называется «подстановка Виета» =) Формула Кардано делает подстановку y = α + β, такими что 3αβ = -p и α³+β³ = -q. Очевидно, что тогда y = α+β = α - p/(3α), т.е. методы похожи. У Вас не нужно согласовывать аргументы комплексных α и β, но при p близком к нулю теряется точность вычислений, т.к. u ≈ 0.

[@painkiller6859]

Не понимаю: кубическое уравнение может иметь 3 различных корня, при этом U может принимать 2 значения, Y однозначно определяется от U, X однозначно определяется от Y. По идее, в таком случае уравнение может иметь только 2 корня, не понимаю. Можете объяснить?

[@unstope]

Комплексное число имеет ровно три корня третьей степени. Например, единица имеет комплексные корни третьей степени {1, -1/2 + i * sqrt(3)/2, -1/2 - i * sqrt(3)/2}. Поэтому U может принимать 6 значений.

[@painkiller6859]

@@unstope Спасибо, я уже разобрался.

[@user-rq5bn6hh5d]

Кошмар и как Кардано до этого додумался, как получаются такие гении

[@Ivan_Nik.]

Красивое решение. мне понравилось НО у Вас есть небольшая ошибка логического характера: Вы не имеете права делать замену "y=u - k/u" не ставя ограничение и объясню почему. Решая данную подстановку относительно "u" мы получим такой дискриминант y2 + 4k который должен быть больше или равен нулю. Однако про это ограничение Вы забываете когда делаете следующую подстановку 3p=k . Отсюда и ошибка выходит с появлением отрицательного числа под знаком корня (

[@trushinbv]

Вы абсолютно правы. Но если не ставить такие ограничения как раз и приходишь к необходимости введения понятия комплексного числа: kzbin.info/www/bejne/an-UoqyYmLuVZ9U

[@sergeiivanov5739]

Как по понимаю продолжение следует? То, что знать комплексные числа нужно, это как сказать, что нужно знать преобразование Фурье и Лапласа для решения уравнения Максвелла. Там есть изящные рассуждения, и потому комплексное число - ещё далеко не комплексное, ибо корень из него может внезапно дать реальный результат.

[@user-of6hd5gv5p]

Что за формулу четного коэффициента?

[@trushinbv]

kzbin.info/www/bejne/d2eceJmqiNCAh5I

[@user-of6hd5gv5p]

@@trushinbv спасибо, понял.

[@user-cw4bk5ts8e]

К сожалению во многих видео показываются школьные варианты решения уравнений высшего порядка. Но когда коэфф заранее подогнаны под гладкий ответ и решение. Но так не интересно.

[@martinfonclous7690]

А это точно можно использовать на ЕГЭ? Я у учителя спросил это, и мне сказали, что нельзя: решат, решения пиисал не школьник т.к. в школьной программе этого нет. Учитель сам эксперт ЕГЭ. Ее правда нельзя использовать?

[@trushinbv]

Это не для ЕГЭ, а для общего развития. В ЕГЭ она не понадобится.

[@user-yw5zi5lq7v]

Почему основание логарифма должно быть больше 0? Ведь мы можем возвести, например, -2 в квадрат

[@ldred_]

так принято в научном сообществе, дабы избежать путаницы (ибо там получается противоречие, насколько я знаю, ежели брать в качестве основания логарифма отрицательное число)

[@migolovach1371]

логарифм - возрастающая функция. Любой логарифм - это степень какого-то числа и при отрицательном основании будет проблема возведения в дробную степень. Даже просто Log 25 с основанием -5, это 2log 5 с основанием -5. Не существует такого числа чтобы при возведении -5 в это число получилось 5

[@trushinbv]

Посмотрите это -- kzbin.info/www/bejne/b6Clfqp9mLOdi9U Скорее всего вопросов меньше будет )

[@user-nq6do2cf9o]

Дмитрий Леонов 1. Есть log и Log. В Log уже можно использовать любое комплексное основание и любое комплексное число логарифма.

[@SparrowNova3]

Будут ли видео про комплексные числа?

[@trushinbv]

Да, ближе к лету, наверно )

[@zosyanax]

уж середина лета, а ролика нет(

[@trushinbv]

ой ( надо записать )

[@user-qd4gs7jy2p]

Доска маловата, а урок годный.

[@koleso1v]

Где-нибудь на канале есть продолжение этого видео, чтобы подробно кубические корни из комплексных чисел брали и нашли в итоге корни 1, 2 и -3?

[@timurkodzov718]

Это уравнения можно до конца решить, если разбираться в комплексных числах, тригонометрии (сложения суммы углов, как например cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)) и в равенстве e^(ix)=cos(x)+i*sin(x) и.т.д.

[@koleso1v]

@@timurkodzov718 я вот сомневаюсь в этом утверждении. У вас получится выражение типа (a+ib)^(1/3) + (a-ib)^(1/3). Что вы будете делать? Представите комплексное число как e^(i*phi)? У вас получатся синусы и косинусы от phi/3, то есть 1/3*arctan(b/a) и что дальше, как это вычислить?

[@timurkodzov718]

@@koleso1v Уравнение можно так решить: В видео сказано, что u₁³=-q+√(q²+p³) и u₂³=-q-√(q²+p³) причём p=-7/3 и q=3 Из-за того что дискриминанта отрицательная: u₁³=-q+√(-q²-p³)*i и u₂³=-q-√(-q²-p³)*i Модуль чисел по теореме пифагора: | u₁³|=| u₂³|=√(q²+(-q²-p³)=√-p³ cos(φ)=- q ÷ √-p³ и sin(φ)= √(-q²-p³) ÷ √(-p³) По формуле Муавра: => u₁³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)+i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) и u₂³=√(-p³)*(cos(φ+2π*k)-i*sin(φ+2π*k))=√(-p³)*exp(φ+2π*k) причём k любое целое число => u₁=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)+i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) u₂=√(-p)*(cos((φ+2π*k)/3)-i*sin((φ+2π*k)/3))=√(-p)*exp((φ+2π*k)/3) k=0,1,2 x= u₁+p/ u₁=...=2*√(-p)*cos((φ+2π*k)/3) φ=arccos(- q ÷ √-p³)=arccos(-(9*√3)/(7*√7))≈2,5712158436 (в радианах) x₁=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3)=2 x₂=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(2π)/3)=-3 x₃=2*√(7/3)*cos(2,5712158436/3+(4π)/3)=1 Да, я пользовался калькуляторам. Но после того, как я решил первый ответ х=2, два остальных можно вычислить и без калкулятора, если поделить уравнение на х-2 и там выдет квадратное уравнение.

[@user-fj3gp1vv9t]

Решение ради метода- это не вариант. В большинстве случаев легко подобрать корень и разделить многочлены. А так интересно, если делать дома нечего.

[@cn1430]

А как решать многочлены n степени?

[@qwitey]

4 степень ещё решаемая в общем виде, но 5 уже нет и это доказано

[@rickmorti4500]

Пока что угораю с превьюшки 25 минут спустя И на таком триггере закончилось видео ?

[@vic88tor]

19:49 - прикол

[@angelapriymenko8240]

Помогите, мне кажется, там потерян - . Там где u находим и вот это вот страшное долгое выражение

[@user-zn6cg6ql4h]

Где можно найти видео где задача решена доконца, как вычислил кубический корень и из мнимой части получились вещественные корни??? Пожалуста??

[@olderdog7285]

22:00 смысл моей жизни окончен

[@bo1ar3ky18]

При сложении и вычитания сокращать нельзя

[@LEA_82]

Как Шаталов говорил: "Они не сокращаются, они уничтожаются, сокращаются числа в дробях"

[@user-kc2yx8fi7u]

И разве мы не приходим опять к кубическому уравнению, пытаясь решить задачу типа "U в кубе = комплексное число ?"

[@zephyrred3366]

Неа, мы говорим, что, если t = r*exp(-iф + 2пN), то г = r^1/3 * exp(-iф/3 + 2пN/3),

[@user-ij1lb3np1x]

Но согласно формуле мы получаем 2 корня, а 3-ий где?

[@trushinbv]

На самом деле нет, корень кубический в комплексных числах имеет 3 разных значения.

[@user-ew3ff3db3q]

Мне кажется нужно больше внимания акцентировать на справедливости таких замен.

[@trushinbv]

А как замена может быть несправедливой? Или вы имеете в виду то, что не для всех y существует u? Это правда. И именно из-за этого не получается решить не выходя за рамки множества действительных чисел.

[@Generalizer]

@@trushinbv Возможно он имеет ввиду то что вы не говорили о довольно очевидных вещах типа: a не равно 0 (в начале) поскольку если а = 0, то кубическое уравнение стает квадратным?)

[@user-gg2qq9fh2f]

Вся соль этого кроется в том, что единица деленная на i равна минус i. Если в уравнении есть слагаемые типа z и 1/z, то комплексная часть частенько взаимоуничтожается).

[@user-eh6hw8cc5k]

строчка позет вниз, по психологии это значит заниженная самооценка

[@delimur4652]

Может через СХ.ГОРНЕРА?

[@trushinbv]

Для схемы Горнера нужно сначала угадать корень. А хочется формулу )

[@ins1dehns184]

@@trushinbv к тому же по схеме хорошо целые корни находить, а они и другими бывают)

[@KOPOJLb_King]

@@ins1dehns184, дробные тоже неплохо находятся, но вот с иррациональными уже начинаются проблемы 😉

[@hayknersisyan632]

В каком возрасте этому учатся?

[@user-wd8mv4pf8y]

С 8 лет

[@hayknersisyan632]

Лол а в этот раз я понял уры

[@Germankacyhay]

Борис как в вашем случае дорешать этот пример?

[@user-kc2yx8fi7u]

По-моему, останется какое-то нагромождение квадратных и кубических корней.

[@user-cm6xw3xe7r]

а главное хз где это используется) ,в математике высшей есть методы решения уравнений приближенно ,так что нафига мучаться

[@MrPe4KiN96]

:O