ХИТРЫЙ способ, или как игнорировать МОДУЛЬ ★ Производная от функции с модулем

✔ 2 миллиона просмотров • Таблица умножения боль...
‪@arinablog‬
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Telegram: t.me/volkov_telegram
Группа ВК: volkovvalery
Instagram: / volkovege
Почта: [e-mail]
Найдите производную функции: y=|cos x|.
Производная модуля • Производная от модуля

[@user-vb1xw8sg4o]

Как всегда всё стало просто и понятно. Спасибо!

[@aliguseinov4836]

Да, хитрый способ не такой уж и хитрый, но лайк за упрощение ответа. Я бы не догадался.

[@rejeporazmetow3930]

Здравствуйте Уважаемый Валерий Волков, дорогой Вы наш учитель. Слава богу , с большим уважением к Вам Реджепбай. Ах как я соскучился по Вашим роликам. Как приятно смотреть и учиться у Вас. Большое спасибо за вашу работу. Я от всей души Вам и Вашей семье желаю всего самого доброго. Пусть у Вас ладится и работа и в семейной жизни.

[@rejeporazmetow3930]

Приём решения этого примера я вижу в первые. Просто супер приём. Спасибо.

[@AlexeyEvpalov]

Непростая, интересная задача Спасибо за решение.

[@dr_alex_ru]

Спасибо за такое решение, я бы сам никогда не догадался, по больше нужно таких методов

[@SergeiKuzinMath]

1) Возведём обе части в квадрат: y^2=(cos(x))^2 2) Найдём производную обеих частей: 2y*y'=2cos(x)*(-sin(x)) 3) Поделим обе части уравнения на 2y: y' = (-cos(x)*sin(x))/y 4) Вспоминаем, что y = |cos(x)| : y' = (-cos(x)*sin(x))/|cos(x)| 5) Profit!

[@aristotle1337]

папка порешал задачу

[@mikllll]

Это как усложнить решение? Тогда хорошо

[@user-ql6nq8xm7e]

Красота! Спасибо за адреналин.

[@kislyak_andrei]

Всегда со страхом переходил от такого корня к модулю А тут оказывается удобно сделать наоборот

[@user-vc9im2ls6v]

модуль - самая страшная вещь в математике, именно против модуля был придуман метод наименьших квадратов, оказалось легче всё возвести в квадрат, чем разбираться с модулем

[@kislyak_andrei]

@@user-vc9im2ls6v если штука под модулем очень страшная и так, то возведение в квадрат только усугубит положение

[@user-vc9im2ls6v]

​@@kislyak_andrei как раз наоборот, возведение в квадрат убирает модуль и выражение можно например легко продифференцировать для поиска точек экстремума, что и делают в методе наименьших квадратов

[@kislyak_andrei]

@@user-vc9im2ls6v я про то что к примеру под модулем к примеру( х^х^23) +х И не думаю что возведение в квадрат как-то упростит выражение

[@user-zz5wx4xw1f]

@@user-vc9im2ls6v О да. На занятии по вычмату у меня было "особенное задание". В общем, необходимо было решить систему уравнений, или что-то подобное. Воспользоваться МНК, а потом выполнить многомерную оптимизацию. Но препод предложил мне вместо возведения в квадрат, воспользоваться модулем, и посмотреть что получится. Как итог - получалась полнейшая каша. Пару недель ломал голову, из-за чего это происходит. Как я понял, метод оптимизации, по крайней мере каким я пользовался (вроде метод наискорейшего спуска), "стремится" к месту, где всего лишь один из модулей стремится к нулю. А дальше практически останавливается. Даже несколько тысяч итераций сдвигали оптимизированное значение на 2-5% в сторону ближайшего минимума, а уж если ещё учесть что чем ближе к минимуму, тем спуск медленнее... В общем, квадрат, в отличие от модуля, является гладкой функцией, а потому с ним намного проще работать. То, что штука под квадратом может быть страшная, не важно. Компьютер же высчитывает :)

[@user-pe3gv7be8w]

Спасибо Вам огромное. 👍

[@user-or6pu7ub3b]

Спасибо, будем знать!

[@user-de7zf6sx7p]

Интересно🤔💭, спасибо

[@sergzerkal1248]

Вспомнил юность...первый курс, 1972 год первый семестр, наверное октябрь... закончили в декабре неопределённым интегралом.

[@user-bl2lj9ff3c]

Гениально😍😍

[@amaharnes2403]

Спасибо, очень полезный прием! Несмотря на равносильность, редко от модуля переходят к корню

[@user-nu4cw1dc6q]

Спасибо, интересно. А ещё можно по определению модуля найти

[@user-bx1im2xb3x]

Замечательно!!!!!!

[@Gosha-U]

Шикарно, увлекательно! Но, интересно, можно ли иллюстрировать аналитические преобразования графиком?

[@servenserov]

Отдельное спасибо за второй способ. С младых ногтей не дружил с модулем. Теперь, надеюсь, исправлюсь.

[@sontv5662]

Спасибо большое, мне очень помогло ето решение

[@user-er4vk8wr1j]

3 - ий способ рассказываю Возводим обе части в квадрат y^2 = (cosx)^2 Берем производную от двух частей 2y * y' = -2cosxsinx Выражаем y' y' = -sinxcosx/|cosx|

[@user-mp8vw6tl4e]

Возведение обеих частей уравнения в квадрат не является равносильным преобразованием и может приводить к появлению лишних корней. Из равенства функций следует равенство их квадратов, но из равенства квадратов не следует равенство функций (квадрат даст и функция с противоположным знаком). Я бы рекомендовала с осторожностью использовать данный метод. Конкретно в данном уравнении это роли не играет, но в принципе нужно помнить, что это не совсем безопасная процедура.

[@user-id9ht7yn8j]

То есть, в принципе, производная от |x|=sign(x) ?

[@user-de7zf6sx7p]

Опять порадовали

[@andreybyl]

Производная от модуля это не только x/|x| , но и |x|/x и sgnx (x не равно нулю), один хрен ))) и вообще |cosx| можно представить как cos(x)*sgn(cos(x)) и продифференцировать как произведение, получится -sin(x)*sgn(cos(x))

[@maksimvialkov6303]

Мне нравится ответ с тангенсом: видно, как связаны тангенс угла наклона касательной с тангенсом аргумента функции. Это чисто "эстетическое", т.с., наблюдение, не более того. Да и модуль косинуса иметь в явном виде в знаменателе, лично, я не люблю: предпочитаю прятать такое в тангенс. Но, повторюсь, это чисто "стилистическое". PS: и модуль косинуса я бы перед тангенсом поставил. Что, опять же, "стилистика" и "украшательства". Не претензия, естественно, а в чистом виде "рюшечки".

[@user-oz6ii3tf6n]

Если не ошибаюсь, то можно через signum записать ответ

[@HelloWorld-rl2jz]

А как же функция sign (x) ?

[@user-bf3ko7ts5e]

Да, про способ №2 я подумал.

[@Halleluyah83]

Дано: u(x)= cos x; Найти: |u|' u' = -sin x |u|' = u'·sign u Ответ: -sin x · sign cos x

[@mikhail_from_afar]

Я сразу о таком подумал. Простая производная косинуса, только при переходе через ноль меняется знак. Но в видео на мой взгляд представлено более формальное решение.

[@Seraf2201]

Числитель через синус двойного ещё можно записать

[@user-zb4rs4fq9w]

спасибо большое ,завтра экзамен , мб попадется

[@andreykostin8375]

наверное стоит заметить, что модуль не дифф в точке 0, а значит такова и композиция с косинусом, в точках где он обращается в 0. на решение это не влияет, но по идее школьник это должен как-то акцентировать?

[@Tezla0]

Зачем?

[@andreykostin8375]

@@Tezla0 затем, что нужно понимать что там производная не существует

[@Tezla0]

@@andreykostin8375 бесполезно, если на ответ не влияет

[@andreykostin8375]

@@Tezla0 вообще функция задается не только своим выражением, но также и областью определения и значений. так что по хорошему -- влияет

[@user-nt8kt3tm1i]

В этом случае выражение для производной всегда получится такое, что по его виду понятно, где производная не существует (т.е. его область определения не шире, чем область дифференцируемости исходной функции), поэтому подчеркивать это не обязательно. Но есть и другие случаи, да. Например, производную функции y=ln(x) точнее записать так: y'=1/x, x>0, т.к. у функции 1/х по умолчанию область определения шире. Кстати, в тему модулей интересный факт: (ln |x|)'=1/x без всяких уточнений, т.к. область определения одинаковая. Отсюда появление модуля в аргументе логарифма при интегрировании.

[@Alexander--]

Да, я решил именно вторым способом. Только записал ответ в виде -sin 2x / |2cos x|.

[@user-id9ht7yn8j]

Либо ответ можно представить, как - sin2x /2|cosx|

[@Gennadi149]

А как же функция sign(X) ? Или видео относится к школьной математике?)

[@aristotle1337]

она и используется в ней, в 18 задаче

[@megaflora4642]

@@aristotle1337 прорешав больше сотни параметров, ни разу не видел чтобы эта функция применялась и узнал о ней только в университете

[@user-tu1cw1kp1q]

" лайки" не проставляются . Какой - то сбой ЮТ ; не первый день.

[@user-yq2ky1pj8z]

можно в конце синус двойного угла написать вместо тангеса

[@ivankuznetsov4620]

Модуль из заменителя нужно убрать

[@ahisas1325]

а как же 3 вариант. y=|cosx| y²=cos²x y²'=cos²x' 2yy'=-2cosxsinx так как y=|cosx|, то 2|cosx|y'=-2cosxsinx y'=-cosxsinx/|cosx|

[@Markeaan]

а ты я вижу злодейка индейка

[@user-mp8vw6tl4e]

Возведение обеих частей уравнения в квадрат не является равносильным преобразованием и может приводить к появлению лишних корней. Из равенства функций следует равенство их квадратов, но из равенства квадратов не следует равенство функций (квадрат даст и функция с противоположным знаком). Я бы рекомендовала с осторожностью использовать данный метод.

[@mikllll]

Как по мне этот способ для тех, кто забыл производную модуля

[@user-rj3fp7jb1b]

Валерий, а моё глубокое убеждение, что косинус - это псевдофункция! Постройте sin(п/2 -х), и всё поймёте) Зачем вообще он нужен🤨

[@user-zz5wx4xw1f]

А сможете сделать так же с гиперболическими синусом и косинусом? Косинус чётный, синус нечётный. Это довольно сильно помогает в некоторых местах. Тригонометрический ряд Фурье, к примеру. Без косинуса, как и без синуса, не было бы тригонометрии. Косинус используется при скалярном умножении векторов, очень часто используется в общей физике (на мой взгляд даже чаще, чем синус). То, что у него есть связь с синусом, не говорит, что косинус бессмысленный. Те же косинус с синусом имеют связь с экспонентой. Как вам такое: cos(x)=Re(e^(ix)) и sin(x)=Im(e^(ix))? Это не более чем следствие из следующего: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x). Замените косинус на синус, и вы потеряете стройность и красоту. Да и к тому же взгляните на e^(jx)=ch(x)+j*sh(x) (где j²=1, j≠1). Абсолютная идентичность.

[@user-mv2kv6tf6w]

Второй способ проще

[@laleydemurphy381]

Que rayos hago aquí??

[@Halleluyah83]

Производная модуля - это сигнум-функция. А дальше по формуле дифференцирования сложной ф-ции.

[@Sevenvad]

Можно сказать, что x / abs(x) - и есть сигнум-функция, только надо её в нуле доопределить...

[@null-mj2vp]

а почему у нас тут(2:47) двойка из степени переместилась вперёд, как множитель?

[@user-yl1dj4ic9e]

Потому что ((u(x))^2)'=2u(x)*u'(x) - по правилу дифференцирования сложной функции.

[@Halleluyah83]

Через радикал всё усложняется неимоверно

[@mr.fsociety]

Где же тут хитрость? Мы ведь именно таким способом и находим производную модуля.

[@deminsergey9287]

Тут для тех, кто не умеет работать с модулем, но умеет усложнять себе жизнь

[@azercellezercel6882]

Валера , это не хитрый ,а умный способ.

[@user-nr9cs8fd5q]

можно числитель полученной дроби скрутить по формуле синуса двойного угла.