Ошибаются даже учителя ★ ХИТРАЯ система ★ x^(x+y)=y^(x-y); yx^2=1

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за подробный разбор решения.

[@MatematikRepetitor]

Есть еще один способ не потерять (1: 1 ) логарифмировать

[@СергейМишуров-и6е]

(1;1) и вправду потерял. Потом думал почему она хитрая, но единицу не увидел. Спасибо, интересная система.

[@АнжелаРепецкая]

Спасибо, что напоминаете о таких важных очевидных моментах! Точно потеряли бы корень!

[@K.Vladislav]

Я бы после приведения к общему основанию сразу прологарифмировал бы выражение: (x+1/x²)*ln(x)=(2/x²-2x)*ln(x), Откуда (3x-1/x²)*ln(x)=0, Или первый множитель равен 0, или второй. Из логарифма получаем x = 1, и не надо вспоминать свойства степени единицы.

[@stvcia]

Так же решал

[@abradoxdxing]

Можно не приводить к общему основанию, а оба уравнения сразу прологарифмировать из-за x > 0 и y > 0 (x+y)ln(x) = (x-y) ln(y) ; 2ln(x) + ln(y) = 0 Получаем: ln(y) = -2ln(x), подставляем в первое: (x+y)ln(x) = (x-y)(-2ln(x)) Получаем: ln(x) (3x - y) = 0, откуда x = 1, и подставляя во второе исх. уравнение y = 1 или y = 3x, опять подставляем во второе исходное, и получаем вторую пару корней.

[@cb_q]

логарифмировать уместно если есть ограничение на положительное основание (как в этом случае), а без него пришлось бы еще учитывать случаи когда левая или правая часть равна единице и имеет вид (-1)^2k, k є Z.

[@АлексейСапрыкин-в2к]

@@cb_q решил систему логарифмированием, прежде чем зашёл на само видео. Удивился, где можно потерять корень. Подумал, что речь как раз про отрицательные значения, получил (-1, 1). Захожу на видео, а тут ограничение x>0 :)

[@alexandergretskiy5595]

Оптимально. А вот еще аналогичная простая задача со множеством решений (квадратный трехчлен в степени квадратного трехчлена): (x^2-7x+11)^(x^2-13x+42)=1

[@cb_q]

походу никто не заценил это уравнение. а ведь это настоящий тест на понимание математики!

[@ajdarseidzade688]

Отлично. Спасибо большое за Ваши коротенькие видео с подобными решениями!

[@StupidCat34]

При взгляде на задание можно заметить, что пара (1;1) удовлетворяет условию. Ну, заметить, если чуть приглядеться и окунуться в математическое небытие. :) Поэтому эту пару нужно добавить к решению, даже если забыть обосновать это строго математически.

[@sqr25]

Забавно выходит, если сразу оба уравнения прологарифровать.

[@roman_n1]

Систему очень сложная, но по своему интересная. Ответ (1;1) я нашел сразу, подобрав корень, а вот с 2 корнем пришлось повозиться, но все-таки нашел корень

[@СтасИволгин]

Привет всем, решавшим урок про показательные уравнения из Ткачука!

[@ValeryVolkov]

Спасибо, у Ткачука не видел, взял эту систему из сборника задач Шабунина М.И. 1960 г. выпуска, это значит, что Ткачук (он свои книги издавал как минимум на 30 лет позже) взял её оттуда. Кстати, у Шабунина в ответе не хватает решения (1; 1), поэтому я и написал, что некоторые учителя теряют это решение.

[@ouTube20]

@@ValeryVolkov у Ткачука тоже не хватает решения?

[@ouTube20]

@@ValeryVolkov почитал про этого Шабунина в Википедии - заслуженный персонаж.

[@НиколайНБ]

@@ValeryVolkov когда в лицее учился много из Шабунина решали, в том числе и для общей подготовки к олимпиадам.

[@servenserov]

А ларчик просто открывался... Почему же трус я такой: самостоятельно решать побоялся.

[@СараСара-ъ6я]

Решение понравилось. Заметила, поскольку будет ясное решение, самому ничего делать не хочется.

[@assisstent8844]

Я тоже от нижнего уравнения отталкивался, но немного иначе. Я думал так: Если х2у=1, то значит либо оба множителя равны 1, либо множители - взаимно обратные дроби. Тогда х2\с = а\у, следовательно х=sqrt(y), а значит sqrt(y)^(sqrt(y)+y) = y^(sqrt(y)-y). Затем, в результате несложных математических преобразований получил, что у = (-у) и в общем-то это меня вполне устроило

[@АндрейРейф-м4о]

В рекомендациях выплыла британская олимпиадная задачка а!в!=а!+в!+с!

[@ТудуцТыдыщ]

Между прочим х=-1 и y=1 тоже являются корнями уравнения, что нигде не отражается. Правда одни не удовлетворяют дополнительному условию что оба корня положительные.

[@rejeporazmetow3930]

Большое спасибо. Всё понятно

[@ouTube20]

Гениально, если внимательно посмотреть на первое уранение то решение (1,1) понятно интуитивно.

[@VSU_vitebsk]

простым и доступным языком

[@ГайнельКанашева]

Действительно, зачастую происходит потеря одного решения...(

[@romualdaszapolskasromualda4249]

Задача нетрудная, может не всем. Да не все учителя по математике это знают . Многие, особенно женщины, это я знаю из своей практики решают задачи только из книг по програме и то есть книги учителя, книги, в которых даны ответы задач. Я не говорю уже про матрицы, про призводные, про интегралы в радикалах, с тригонометрическими функциями, с рациональными функциями, про внкторы, их применение и т. д. и т. п. Мне пришлось с этим встретиться. Однажды дал своей колеге найти производную от функции y=x^x, то не смогла. Да такие задачи не встречаются в школьной програме . И вашу задачу не все учителя смогут решить. Я встретился с этим. Только там была не система, а просто уравнение, где в основаниях х. И х=1 многие прпускали. Может и не понравится женщинам, которые прочитают мой коментарии, пускай. Это можно сказать и многим учителям мужчинам.

[@ValeryVolkov]

Эта система из сборника задач Шабунина М.И. и др. 1960 г. выпуска, там в ответе не хватает решения (1; 1), поэтому я и написал, что некоторые учителя теряют это решение.

[@s1ng23m4n]

Это что такое, преподаватели математики занимаются списыванием? Не одобряю.

[@s1ng23m4n]

У меня друг, который после университета стал учителем в школе, который математику не особо-то и знал, но каждую задачу, которую дает ученикам сам решает. А если он не уверен в чем-то, обращается к другим (ко мне в том числе). А представьте, что школьник укажет на ошибку и будет прав, а учитель будет возражать? Бррр.

[@positivecoder1085]

A разве не надо рассмотреть случай, когда показатели обеих частей уравнения равны нулю?

[@ОлжасКапизов-ъ6щ]

Основания не могут ровняться единице, у показательной функции всегда основание строго больше нуля и не равно единице

[@mAtanmOtan]

Здравствуйте! По сути ведь условие к задаче в скобках, где сказано, что y>0 излишнее Из второй системы оно само собой следует, если изначально сказать, что x>0

[@ЕвгенийПопов-х8е]

Спасибо.

[@семёнполетаев-х6л]

Один и один сразу напрашивается

[@leonidsamoylov2485]

Ёкнуло, когда автор начав писать рыжим цветом не упомянул про 1 как решение. Неужели я что-то путаю? Ан нет. Это для учителей. А рядовые математики - в порядке. Спасибо))

[@Владимир-з5ъ6з]

Да, кстати там можно сразу подставить 1 и 1, сразу заметно

[@hktundra]

А существует ли какой-то способ изначально оценить хотя бы для себя количество корней по аналогии с многочленами?

[@andreyyasashnyh]

Забавно. Увидел систему - единицы подобрал сразу. Потом решил систему - единиц в решении нет. Не понял, пришлось смотреть. Сам точно потерял бы...

[@РоманФилиппов-о4ф]

Решил без проблем и я не учитель.

[@SaarSergey]

В каком месте тут можно ошибиться? Простая система, решил её за пару минут.

[@ademijakshylykova4265]

Можно комбинаторика пожалуйста 🙏🏻🙏🏻🙏🏻🙏🏻🙏🏻🙏🏻🙏🏻🙏🏻

[@s1ng23m4n]

Как же так, смотрел видео спустя 20 минут после публикации и забыл поставить лайк(( Исправил. А как учителя могут такие нелепые ошибки совершать?

[@ЕркебуланОтеш-ч1х]

Круто

[@sargisabrahamyan3578]

Я не понял как приобразовалось первое уравнение второй системы с 3х

[@ofmoonsbirdsandmonsters]

Вот с показательными уравнениями или неравенствами с переменным основанием мне этот момент всегда непонятен. Считается ли, как в этом случае, уравнение выполненным, если основания равны 1? Помню, что в учебнике алгебры было сказано, что показательные уравнения это уравнения вида а^х=b, при этом а>0, а≠1. Ведь правда: если мы будем логарифмировать, то мы автоматически накладываем условие, что 1 не может быть в основании логарифма. Так как будет точно правильно? Валерий или кто-нибудь, подскажите, пожалуйста.

[@КорнейКвадратных]

Уравнение вида а^х=b при а=1 просто нельзя решать как показательное (логарифмированием), т.к. логарифм по основанию 1 не определен. Но это не значит, что это уравнение не имеет смысла. Оно имеет решением х - любое число, если b=1 и не имеет решений, если b≠1. Это подобно тому, как при записи формулы для решения квадратного уравнения аx^2+bx+c=0 указывается, что а≠0 - это не значит, что при а=0 такое уравнение не имеет смысла, просто его нельзя решать по такой формуле как квадратное. x=1 входит в ОДЗ уравнения (1 можно возвести в любую степень), просто не входит в область применимости выбранного способа решения, поэтому это значение нужно рассмотреть отдельно и оно вполне может оказаться корнем.

[@cb_q]

незачем цепляться за показательные уравнения. решением уравнения есть переменная, при подстановке которой это уравнение приобретает вид тоджества. это необходимое и достаточное условие для того, чтобы определенное значение переменной было решением уравнения. а вот для понимания как решать уравнение уже нужно его изучать и стараться привести его к одному видов уравнений, решать которое умеем.

[@FastStyx]

Да, я упустил корень 1;1

[@МаркизКарабас-о6б]

Не совсем понял, почему уравнение 3*x=1/x^2 имеет всего один корень?

[@cb_q]

обращаюсь к автору канала явно: я считаю, что если бы отсутствовали дополнительные условия на положительность x и y, пара (-1;1) была бы решением, хотя бы по подстановке. я не прав? (спойлер: не прав, но с оговоркой что решаем на вещественных числах)

[@letsplay1626]

Кликбейты поперли

[@Germankacyhay]

👍

[@nurgul_m]

Может рубрику начнете "Ошибки в авторитетных задачниках", чтобы учителя, особенно молодые, больше доверяли себе, а не авторитету, и не допускали таких ошибок

[@ludmilalagrang5164]

Шабунин М.И. ,Ткачук В.В., Сканави М.И. и другие профессионалы, имеющие учёную степень, составляли задачники, которые редактировали такие же профессионалы ( знаю весь процесс изнутри и сама в нем участвовала). Поэтому создание " рубрики ошибок...." неуместно! Это в нынешнее время допускается масса ошибок, нарушаются математические постулаты, транслируется, мягко скажем, "отсебятина" . А в данном случае, если Вас интересует почему (1;1) не является решением данной системы, смотрите соответствующий комментарий...) Удачи!)

[@barackobama2910]

с ходу не глядя (0 0) (1 1) (-1 1) это правда или нет?

[@nalnal9608]

Нет, только (1,1) из тех что вы привели годится. Остальные - не решения. С нулями очевидно почему, а вот с (- 1) - это повод для жарких споров - поищите ниже в комментариях))

[@barackobama2910]

@@nalnal9608 сорян там у без степени во второй части )))) извиняюсь

[@nalnal9608]

@@barackobama2910 предлагаю также загуглить ноль в нулевой или завикипедить, это не 1, как бы нам этого не хотелось))

[@barackobama2910]

@@nalnal9608 Предел х^x при х->0 это 1

[@cb_q]

@@barackobama2910 предел равен, а для x = 0 f(x)=x^x не определено. к тому же при x = 0, y не существует. (y -> +inf, если x -> 0, но если x = 0, то y не существует, т.к. любое число умноженное на ноль это ноль, а из второго уравнения нужно получить единицу).

[@Артьомдругартем]

Если есть учителя,совершающие такие промахи,то им не место в школе.

[@Abraxax]

Прологарифмировал и все

[@ДімаМакарусь-ч7о]

А как же (-1;1)

[@gdmitry78]

А почему пара (-1;1) не решение?

[@ValeryVolkov]

По условию.

[@Yurchik55]

А почему вариант (-1,1) не подходит?

[@АлександрМалышев-п4д]

x и y по условию >0

[@ValeryVolkov]

Обе переменные должны быть положительны.

[@liveDM5]

Без условий задания эта пара тоже решение

[@ouTube20]

@@liveDM5 без условий здесь много решений.

[@Артем-х9у9к]

@@liveDM5 если мы рассматриваем вещественные х и у, то они обязаны быть >0, из-за области определения степенной функции. Так что без условий задания решения те же.

[@goranaht8809]

Я сейчас в 6 классе ничего не зн из 5

[@canis_mjr]

Не ясна оговорка про учителей. Учитель учит математики, а не решать задачи. Вас научили свойству функций и тождественным преобразованиям, дальше милости просим совершенствуемся.

[@nalnal9608]

Хорошо бы убрать условие на положительность переменных и рассказать почему (-1;1) не является решением. Ведь на первый взгляд степени равны не только когда основания 1 а показатели - любые действительнык, но и когда основания по (-1) а показатели чётные. И ещё в нескольких случаях. Каждый из которых тут не будет работать. А вот почему именно - не всем ученикам очевидно. Хороший повод поговорить об этом. Тем более что такой вопрос в комментариях есть, и Ваш ответ "по условию" - не единственно возможный, и без условий x>0 y>0 пара (-1:1) ответом не будет ))

[@MaximusU76]

Мне не очевидно, почему (-1;1) не будет решением системы без условий x>0,y>0. Не определена степенная функция для отрицательного основания? Или еще что? Но (-1)^0 вполне однозначно =1.

[@nalnal9608]

@@MaximusU76 потому что не определена, верно.( Только не степенная а показательная, степенная это переменная в основании,, а в показателе константа)

[@SelectionofMusicals]

Не понравилось ваше решение тем, что нужно о чём-то дополнительно думать, почему мы должны держать в голове про х и y равными единице? Можно тогда ещё держать в голове, что степени могут быть равны 0 и так далее, намного приятнее, когда корни находятся или отсекаются сами путём правомерных преобразований. Я решил эту задачу путём логорифмирования первого уравнения по основанию x (log по основанию а от b по определению: a>0, a не равно 1, b>0), отсюда сразу видно, что после перехода мы получили новое уравнение, где x не может быть равен единице из-за определения логарифма, отсюда сразу же возникла необходимость проверить x=1. Выяснил, что он является корнем, и сразу же добавил это в систему, как совокупность решений. Да, ваш способ намного проще и быстрее, но в подобной задаче, где не будет изначального условия о том, что x и y положительные, будет ещё веселее. Нужно держать в голове намного больше вариантов, чем одинаковое основание 1.

[@КорнейКвадратных]

По сути это и есть логарифмирование по основанию х, только в уме.

[@SelectionofMusicals]

​@@КорнейКвадратных если исходить из этого определения, то тогда корня 1 вообще не должно быть, несмотря на то, что формально он удовлетворяет системе, определение показательно-степенной функции четко гласит его не учитывать (по крайней мере по Сканави)

[@eduardionovich4425]

И где же это нашлись ошибающиеся учителя? Опять рекламный ход? А комментарий о том,что система очень сложна,вызывает искреннее сочувствие г-на Волкова( наверное,он тоже так считает). А по сути - примитив в пёстрой упаковке.

[@NiceTakeOff]

Не знаю какие учителя ошибаются, но алгоритм решения показательно-степенных да и просто показательных уравнений прописан в учебниках, и его должен знать любой учитель, который хоть раз его открывал. В этом алгоритме как раз и прописаны два случая решения уравнения вида f(x)^g(x)=f(x)^h(x). Например, в том же Мордковиче

[@ValeryVolkov]

В ответе в задачнике не хватало решения (1; 1), поэтому так написал.

[@NiceTakeOff]

@@ValeryVolkov Профессионалы тоже ошибаются:)

[@ludmilalagrang5164]

Valery Volkov, Вы НЕВЕРНО! решили систему уравнений, указав, что (1;1) является решением данной системы!!! Такие профессионалы как Шабунин М.И. и Ткачук В.В. НЕ допустили ошибку, которую допустили Вы, указав, что (1;1) - потерянное решение системы. И вот почему: исходное условие задания содержит сложную показательно-степенную функцию! А , как известно, основание X и основание Y этой функции ( в данном задании) могут быть только значения (0;1) и (1;+~) . В противном случае условие теряет смысл. Именно поэтому (1;1) НЕ ЯВЛЯЕТСЯ решением данной системы, независимо от выбранного метода решения. Так что ошибку допустили Вы! А также ввели в заблуждение Ваших подписчиков! Исправьте, пожалуйста!)

[@ValeryVolkov]

А с чего Вы взяли, что у доктора физико-математических наук Владимира Владимировича Ткачука нет второй пары корней? Его ответы совпадают с моими. А у Михаила Ивановича Шабунина опечатка в ответах потому, что доверил прорешать эти задачи своим студентам, а они ошиблись.

[@ludmilalagrang5164]

@@ValeryVolkov А как же всё-таки показательно-степенная функция?) Разве основание у такой функции может быть =1 ???!!! И это независимо от того, у кого там была допущена или не допущена ошибка! Ткачук из 90-х ... А тогда и начался разрушительный процесс в науках и трактовка " от себя", и ошибки рецензентов, и прочее..

[@cb_q]

@@ludmilalagrang5164 решение уравнения или системы уравнений есть переменная или набор переменных при подстановке которых уравнение приобретает вид тождественного равенства. а то, как выглядит уравнение особой роли не играет, вот, например, решите - (x^2-7x+11)^(x^2-13x+42)=1, или хотя бы дайте ответ сколько корней у этого уравнения?

[@ludmilalagrang5164]

@@cb_q Да что Вы говорите....!!!!!! После Вашего высказывания о том, что вид уравнения не имеет значения, хочется спросить:" А кто ж Вас так научил математике????) И учите ли Вы кого-то также, как научили Вас???")) 1) любое задание в математике решается с точки зрения функции, записанной по условию. А у каждой ф-ии есть свойства и характеристики. 2 ) Тождественность и следствие НЕ одно и то же! 3) И ещё раз: (1;1) не является решением системы. По поводу предложенного Вами уравнения: 1) Здесь также показательно-степенная функция. x=(-~;2)(2; (7-√5)/2) и ((7+√5)/2; 5)(5;+~),т.е основание x^2-7*x+11 должно быть "строго больше нуля и " не равно" 1. 2) Применяя функциональный способ решения( если Вам такой известен) делаем вывод: показатель степени x^2-13*x+42=0, в итоге x=7;x=6. Не более того. Догадываюсь, что Вы хотели бы включить в решение и тот момент,когда x^2-7*x+11=1, т.е. x=2; x=5......,что является неверным!!! Т.к. при этих значениях теряется смысл первоначальной показательно-степенной функции!!!). Ещё хочу добавить: включить в решение системы уравнений, рассмотренной на канале (1;1) и x=2,x=5 в уравнении ,предложенном Вами является грубейшей ошибкой с точки зрения математического моделирования. Мы ведь решаем не ребус для 5-ого класса, где главное, чтобы получилось "="))

[@НатальяБабухина-ь2ц]

@@ValeryVolkov , между прочим, совсем недавно в задачнике Шабунина мы с моей ученицей 10 кл. тоже с удивлением наткнулись на неверный ответ.

[@ИльясТабанов-Берналь]

👍